小学奥数 五年级奥数竞赛班 讲义 [第73讲]余数问题(逐级满足法)
第七讲余数问题解答[五竞]
![第七讲余数问题解答[五竞]](https://img.taocdn.com/s3/m/d844c650cf84b9d528ea7a72.png)
第三讲余数问题知识导航余数定理：余数具有可加、可减、可乘性。
既和的余=余的和；差的余=余的差；积的余=余的积。
同余定理：两个自然数除以同一个数，若余数相同，则两个数的差一定能被除数整除。
中国剩余定理。
余数问题解法：转化法：将有余数转化为能整除。
减同余，差同补，逐级满足法，中国剩余定理求解。
找余数的规律精典例题例1：求478×296×351除以17的余数。
例2：有一个大于1的整数，除300，262，205可得到相同的余数，问：这个整数是几？例3：有一个自然数，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，则a=。
例4：11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3余几？例5：从1，2，…，100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个数的和都不能被3整除？例6：有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个分别是几？例7：有10张卡片，上面分别写着33、36、37、40、42、46、50、53、58、60.甲取走2张，其余的被乙、丙、丁三人取走。
已知乙取走的卡片上的数字之和是丁的3倍，丙取走的卡片上的数字之和是丁的4倍，那么甲取走的两张卡片分别写着几和几？例8：希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人，六年级先坐满几辆车，剩下的16人与五年级坐满一辆车，五年级又坐满若干辆车。
到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级的学生合影一张，每个胶卷可拍36张，全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？家庭作业1、某数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数最小是多少？[分析与解]设这个数为N，根据题意得：N÷3余2N÷5余4N÷7余6观察余数和除数，发现：余数都比除数小1。
(N+1)就能同时被3，5和7整除，最小的数就是3，5，7的最小公倍数。
[3，5，7]=3×5×7=105，N+1=105;N=104.答：这个数是104。
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)本文介绍了小学奥数的七大模块，包括计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题。
模块一：计算模块这个模块包括速算与巧算、分数小数四则混合运算及繁分数运算、循环小数化分数与混合运算、等差及等比数列、计算公式综合、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳、比较与估算、定义新运算和解方程。
模块二：数论模块这个模块包括质数与合数、因数与倍数、数的整除特征及整除性质、位值原理、余数的性质、同余问题、中国剩余定理（逐级满足法）、完全平方数、奇偶分析、不定方程、进制问题和最值问题。
模块三：几何模块这个模块包括直线型和曲线型两部分。
直线型包括长度与角度、格点与割补、三角形等积变换与一半模型、勾股定理与弦图和五大模型。
曲线型包括圆与扇形的周长与面积和图形旋转扫过的面积问题。
此外，还包括立体几何，包括立体图形的面积与体积、平面图形旋转成的立体图形问题、平面展开图和液体浸物问题。
模块四：行程模块这个模块包括简单相遇与追及问题、环形跑道问题、流水行船问题、火车过桥问题、电梯问题、发车间隔问题、接送问题、时钟问题、多人相遇与追及问题、多次相遇追及问题和方程与比例法解行程问题。
模块五：应用题模块这个模块包括列方程解应用题、分数、百分数应用题、比例应用题、工程问题、浓度问题、经济问题和牛吃草问题。
模块六：计数模块这个模块包括枚举法之分类枚举、标数法、树形图法、分类枚举之整体法、对应法、排除法、加乘原理、排列组合和容斥原理。
小学奥数七大模块详解模块一：从简单情况入手在解决问题时，我们可以从简单情况入手，逐步深入，找到规律，从而解决更复杂的问题。
模块二：对应与转化思想对应与转化思想是一种常用的解决问题的方法，通过将问题转化为另一种形式，或者与另一个问题进行对应，从而得出答案。
模块三：从反面与从特殊情况入手思想有时候，我们可以通过考虑问题的反面或特殊情况来解决问题。
这种思想可以帮助我们发现问题的本质，从而找到解决问题的方法。
五年级奥数讲义(学生版)30讲全
-1-五年级奥数第1讲数字迷〔一〕第16讲巧算24第2讲数字谜(二)第17讲位置原那么第3讲定义新运算(一)第18讲最大最小第4讲定义新运算(二)第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一)第20讲多边形的面积第6讲数的整除性(二)第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性〔一〕第22用割补法求面积第8讲奇偶性〔二〕第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性〔三〕第24讲行程问题〔一〕第10讲质数与合数第25讲行程问题〔二〕第11讲分解质因数第26讲行程问题〔三〕第12讲最大公约数与最小公倍数〔一〕第27讲逻辑问题〔一〕第13讲最大公约数与最小公倍数〔二〕第28讲逻辑问题〔二〕第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一)第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)-2-第1讲数字谜〔一〕例1把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立〔每个运算符号只准使用一次〕：〔5○13○7〕○〔17○9〕=12。
例2将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
例4六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
FORTYTENTENSIXTY例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成立。
练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。
在以下竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：〔1〕AB (2)ABAB+BCA - ACAABC BAAC在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
五年级数学奥数精品讲义1-34讲
五年级数学奥数精品讲义1-34讲(总87页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）2第一讲消去问题（一）在有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。
我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。
这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。
例题与方法在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。
(1)买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？例1学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。
五年级数学 奥数精品讲义1-34讲
6.有一个数，减去3所的差的4倍，等于它的2倍加上36。这个数是多少？
7.体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边带了多少元？
81目录第一讲消去问题一第二讲消去问题二第三讲一般应用题第四讲盈亏问题一第五讲盈亏问题二第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试一第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题一第十二讲周期问题二第十三讲第十五讲数阵问题一第十六讲数阵问题二能力测试第十七讲平面图形的计算一第十八讲平面图形的计算二第十九讲列方程解应用题一第二十讲列方程解应用题二第二十一讲行程问题一第二十二讲行程问题二第二十三讲行程问题三第二十四讲行程问题四能力测试三第二十五讲平均数问题一第二十六讲平均数问题二第二十七讲长方体和体一第二十八讲长方体和体二第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数一第三十三讲分解质因数二第三十四讲牛顿问题能力测试四word81第一讲消去问题一在有些应用题里给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系要求出这些未知数的数量
能力测试 （二）
第十七讲平面图形的计算（一）
第十八讲平面图形的计算（二）
第十九讲列方程解应用题（一）
第二十讲列方程解应用题（二）
第二十一讲行程问题（一）
第二十二讲行程问题（二）
第二十三讲 行程问题（三）
第二十四讲行程问题（四）
能力测试（三）
五年级奥数-数论之余数问题
数论之余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理0r =0r ≠a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
五年级奥数归类详细讲解——余数问题
余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
第讲余数问题
第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。
一般地，如果.a是整数，b是整数(b M0),那么一定有另外两个整数q和r, 使得a十b = q r 或 a = b x q+ r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r工0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商( 也简称为商) 。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列(给一串数，要求第x个数除以某个数的余数)和n次幕(求一个数的n 次方除以某个数的余数) 相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130^ 13的余数。
例如尖子班作业1 。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”？整数a和b除以整数c,得到的余数相同，我们就说整数a、b对于模c同余记作： a = b (mod c)例如：15宁4= 3 (3)23-4= 5 (3)15 和23对于除数4同余。
记作：15 = 23 (mod4可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1: 如果a = b (mod m)，则m|(a —b) 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 三23 (mod 10)贝U 10 |( 73—23) 73 与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果a = b (mod m)c =d (mod m), 贝Ua ± c = b± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 三 3 (mod 10)84 = 4 (mod 10)73+84 三3+4 三7 (mod 10)84 —73三4-3 三1 (mod 10) 同余性质3：如果a三b(模m)，c三d(模m),则a X c三b X d(模m)两数积的余数等于余数的积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1余数问题（逐级满足法）有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
(1998年小学数学奥林匹克预赛B 卷)
一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是______。
(美国小学数学奥林匹克竞赛)
1～中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除?
一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。
一个比10大的数，除以5余3，除以7余1，除以11余8，问这个数最小是多少？
有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数．这三个连续自然数最小是多少？
如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔。
他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔。
他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔。
最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？。