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安徽省皖豫名校联盟2024届高中毕业班第二次联考数学试题含解析
皖豫名校联盟2024届高中毕业班第二次考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}2lg 1A y y x ==+，集合2213x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.{}03x x ≤< B.{}53x x -≤< C.{}53x x -≤≤ D.∅【答案】A 【解析】【分析】由对数函数的单调性解不等式得到{}0A y y =≥，解分式不等式得到B ，求出交集.【详解】由题意得()2lg 1lg10y x =+≥=，故{}0A y y =≥，222235100333x x x x x x x ++-++≤⇒≤⇒≤---，等价于()()53030x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得53x -≤<，故{}53B x x =-≤<，所以{}03A B x x ⋂=≤<.故选：A2.若复数z 满足(1+i)2i z =+，则z 的虚部为A.1i 2B.1i2-C.12D.12-【答案】D 【解析】【分析】先由()12i z i +=+得到21iz i+=+，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为()12i z i +=+，所以231122i z i i +==-+，故z 的虚部为12-.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查.解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3.已知向量()(),2,,12m ax n x ax ==- ，命题:,0p x m n ∃∈⋅<R．若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据特征量词命题的否定为真命题可得2,420x ax ax ∀∈-+≥R 是真命题，易知0a =时满足题意，当0a ≠时，有0Δ0a >⎧⎨≤⎩，解之即可求解.【详解】由题可知，命题p 的否定：,0x m n ∀∈⋅≥R，且否定是真命题，即2,420x ax ax ∀∈-+≥R 是真命题．当0a =时，20,x ≥∈R ；当0a ≠时，0a >且21680a a -≤，所以102a <≤．综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：D4.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn r =++（,,p q r 为常数，且*0,p n ≠∈N ），则“{}n a 是等差数列”是“0r =”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可．【详解】若{}n a 是等差数列，设其公差为()0d d ≠，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以0r =，若0r =，则()20n S pn qn p =+≠，当1n =时，11a S p q ==+，当2n ≥时，12n n n a S S pn q p -=-=+-，此时1n =也满足，所以2n a pn q p =+-，于是有{}12,n n n a a p a +-=是等差数列，所以“{}n a 是等差数列”是“0r =”的充要条件．故选：A5.已知ABC 是锐角三角形，函数()e e xxf x -=+，则下列结论中一定成立的是（）A.()()sin cos f A f B ->B.()()cos sin f C f B >C.()()cos sin f A f C >-D.()()sin sin f C f B >-【答案】A 【解析】【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再利用ππππ,0222A B B A <+<<-<<得到0cos sin B A <<，同理得到0cos sin ,0cos sin C B A C <<<<，从而可判断ABC ，利用3A B C π===可判断D.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()e ee e x xx x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，()2e 10e e ex xxxf x ---==>'，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．因为ABC 是锐角三角形，所以ππππ,0222A B B A <+<<-<<，所以π0sin sin 2B A ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即0cos sin B A <<，所以()()()sin sin cos f A f A f B -=>，故A 正确；同理，0cos sin ,0cos sin C B A C <<<<，即()()cos sin f C f B <，()()()cos sin sin f A f C f C <=-故BC 错误；当3A B C π===时，()()()sin sin sin f C f B f B ==-，故D 错误．故选：A.6.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的π,,2ABC BAC D ∠=是边BC 上一点，,3cm,ABD ADB AC CD ∠=∠==，要求分别把,ABD ACD △△的内切圆1O ，2O 裁去，则裁去的圆12,O O 的面积之和为（）A.()239πcm - B.(2633πcm -C.(2163πcm - D.)231πcm 2-【答案】C 【解析】【分析】设π,0,2ABD ADB αα⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，根据已知条件在ACD 中利用正弦定理及三角公式求出π3α=，分别在,ABD ACD △△内用等面积法求出内切圆半径即可得解.【详解】在π,,2ABC BAC ∠= ，设π,0,2ABD ADB αα⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，则ππ,222ACD CAD αα∠=-∠=-，πADC α∠=-，所以πsin sin 2cos22CAD αα⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，3cm,3cm AC CD ==，由正弦定理得sin sin CD CACAD ADC=∠∠,即sin 3sin 3cos2ADC CAD α∠=∠=，即)2sin 32sin 1αα=-，化简得3sin 2α=或3sin 3α=-，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3α=（负值舍去），2π3ADC ∠=，故ABD △为等边三角形，ACD 为等腰三角形，3cm CD AD DB AB ====,在ABD △中，设圆1O 的半径为1r ，根据等面积有111ABDO DB O BA O AD S S S S ∆=++ ，即1111111sin 2222BD BA ABD DB r BA r AD r ⨯⨯∠=⨯+⨯+⨯，化简得11cm 2r =，在ACD 中，设圆2O 的半径为2r ，根据等面积有222ACD O DC O DA O AC S S S S ∆=++ ，即2221111sin 2222CD CA ACD DC r DA r AC r ⨯⨯∠=⨯+⨯+⨯，化简得2633cm 2r -=，所以圆12,O O 的面积之和为(22212ππ1693πcm r r +=-，故选：C.7.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D 【解析】【分析】分三类，第一类，只有3人被录用，第二类，只有4人被录用，第三类，5人全部录用，根据分类计数原理即可得到答案.【详解】分三类情况，第一类情况，只录用3人，有3353C A 60=种情况；第二类情况，只录用4人，有4232354333C C A C A 162-=种情况；第三类情况，录用5人有两种情况：2,2,1或3,1,1，有()1223233313543323533322C C C A C A C A C A 114A ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭种情况．所以根据分类加法计数原理共有60162114336++=种．故选：D .8.若函数()221e exx f x x ax a +=-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A.211,0e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.210,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.310,e e ⎛⎫⎪-⎝⎭D.31,0e e ⎛⎫⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数exx t =，利用导数研究其图象性质，再将问题转化为()2e g t t at a =-+的零点的分布情况，从而列式即可得解.【详解】令()0f x =，得221e e0xx x ax a +-+=，即22e 0e ex x x axa -+=，记ex xt =，则2e 0t at a -+=，对e xx t =求导得1e x xt -'=，因为当1x <时，0t '>，当1x >时，0t '<，所以函数ex xt =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且当x →+∞时，0t >且0t →，当0x =时，0=t ，当x →-∞时，t →-∞，则函数e xxt =的大致图象如图，记()2e g t t at a =-+，由于()f x 有三个不同的零点，所以()g t 必有两个不同的零点，记为12,t t ，当1211,0e e t t =<<时，有10e (0)0102e g g a ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪≥⎨⎪⎪<<⎪⎩，即211e 0e e e 0102e a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎨⎪⎪<<⎪⎩，无解；当1210,0e t t =<<时，有()10e 00102e g g a ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎪<<⎪⎩，即211e 0e e e 0102e a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎪<<⎪⎩，无解；当1210,0e t t <<<时，有()10e 00g g ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即211e 0e e e 0a a a ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+>⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪<⎩，解得310e e a <<-；综上，a 的取值范围为31,0e e ⎛⎫⎪-⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握二次函数的零点的分布情况，数形结合得到关于a 的不等式组，从而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法错误．．的是（）A.当样本相关系数r 满足1r =时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系B.残差等于预测值减去观测值C.决定系数2R 越大，模型拟合效果越差D.在独立性检验中，当2x αχ≥（x α为α的临界值）时，推断零假设0H 不成立【答案】BC 【解析】【分析】根据相关系数1r =±时的含义可判断A ；根据残差的定义可判断B ，根据决定系数2R 的含义判断C ；根据独立性检验的规则判断D.【详解】当样本相关系数1r =±时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系，故A 正确；残差等于观测值减去预测值，故B 错误；决定系数2R 越大，模型拟合效果越好，故C 错误；根据独立性检验的规则，当2x αχ≥时，推断零假设0H 不成立，D 正确，故选：BC10.已知函数()cos2sin f x x x =-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 最小的10个正零点之和为95π3C.2π是()f x 的一个周期D.()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-+【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断A ；令()0f x =，求出()0f x =对应最小的10个正零点的和可判断B ；利用周期定义可判断C ；求出()f x '，求出()f x 在0x =处的切线方程可判断D ．【详解】对于A ，因为()()cos2sin f x x x f x -=+≠-，所以()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B ，令()0f x =，得cos2sin 0x x -=，即22sin sin 10x x +-=，所以1sin 2x =或πsin 1,2π6x x k =-=+或5π2π6x k =+或()3π2π2x k k =+∈Z ，即()236ππk x k =+∈Z ，当0,1,,9k =⋅⋅⋅时，对应最小的10个正零点为π5π3ππ5π3ππ5π3ππ,,,2π,2π,2π,4π,4π,4π,6π6626626626+++++++，它们的和为902ππ95π363=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑k k ，故B 正确；对于C ，由于()()()()2πcos 4π2sin 2πcos2sin f x x x x x f x +=+-+=-=，故C 正确；对于D ，()01f =，()2sin2cos f x x x --'=，()01f '=-，所以()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-+，故D 正确．故选：BCD.11.若正实数,,x y z 满足()1xyz x y z ++=，记()()S x z y z =++，则（）A.S 的最小值是2B.当S 取最小值时，z 的最小值为22C.当S 取最仦值时，z1-D .当S 取最小值时，一定有x y=【答案】AC 【解析】【分析】利用基本不等式判断AD ；将问题转化为z =，利用换元法与函数的单调性即可得解判断BC ；从而得解.【详解】因为()()()2S x z y z xy xz zy z xy x y z z =++=+++=+++，由()1xyz x y z ++=可得()1z x y z xy++=，所以12S xy xy =+≥=，当且仅当1xy =时，等号成立，所以A 正确，D 错误；当S 取最小值时，1xy=，()()()21xyz x y z z x y z z x y z ++=++=++=，所以()210z x y z ++-=，解得z =又0z >，所以z ==又2x y +≥=，当且仅当1x y ==时等号成立，记t x y =+，则2t ≥，所以z =，易得函数z =在[)2,t ∈+∞时单调递减，所以当2t =时，z 取得最大值，则max1,z z ==无最小值，所以B 错误，C 正确．故选：AC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱11A B 上运动，点F 在正方体表面上运动，则（）A.存在点E ，使1AE DB ⊥B.当11A EEB =时，经过点,,A C E 的平面将正方体分成体积比为3:1的大小两部分C.当FA FB =时，点F 的轨迹长度为4D.当2FA FB =时，点F 的轨迹长度为(8π18+【答案】BCD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理验证即可判断A ；如图，由面面平行的性质判断几何体1ABC EB G -是棱台，结合棱台的体积公式计算即可判断B ；结合图形可知点F 的轨迹是以棱1111,,,AB A B C D CD 的中点为顶点的正方形，即可判断C ；先求出点F 在侧面11ABB A 内的轨迹，并求其长度，再求出点F 在底面ABCD 、侧面11BCC B 内的轨迹的长度，即可判断D.【详解】对于A ，如图，在正方体中，易知11A B DB ⊥，若存在点E ，使1AE DB ⊥，由于AE 与1A B 相交，所以1DB ⊥平面11AA B B ，显然不成立，故A 错误．对于B ，当113A EEB =时，如图，记经过点,,A C E 的平面与11B C 交于点G ，连接,CG EG ，则11312EB GB ==．由于平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面ACE 平面ABCD AC =，平面ACE 平面1111A B C D EG =，所以//EG AC ．记1BB CG H= ，则11312HB GB HB BC -==．记11BB AE H = ，则1111312H B EB H B AB -==，所以点H 与1H 重合．又平面//ABC 平面1EB G ，所以几何体1ABC EB G -是棱台，()11111134ABC EB G ABC ABC EB G EB G V BB S S S S -=⋅+⋅+=△△△△，其余部分的体积为13144-=，所以经过点,,A C E 的平面将正方体分成体积比为3:1的大小两部分，故B正确．对于C ，当FA FB =时，点F 的轨迹是以棱1111,,,AB A B C D CD 的中点为顶点的正方形，如图所示，轨迹的长度为4，故C 正确．对于D ，先看点F 在侧面11ABB A 内的轨迹，以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图．设(),F x y ，由2FA FB =可得点F 的轨迹方程为225469x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其是以15,06O ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，23为半径的圆，记该圆与1BB 交于点M ，则1π3BO M ∠=，点F 在侧面11ABB A 内的轨迹为一段圆弧．长度为2π9，同理点F 在底面ABCD 内的轨迹的长度也为2π9．当点F 在侧面11BCC B 内时，其轨迹可视为以1O 为球心，23为半径的球面与侧面11BCC B 的交线，由于1112,33BO O M ==，所以33BM =，点F 在侧面11BCC B 内的轨迹是以B 为圆心，33为半径的圆的14，长为3π6．分析易知，其余面上的点均不满足题意．所以点F 的轨迹长度为(83π18+，故D 正确．故选：BCD【点睛】方法点睛：对于立体几何中的满足一定条件下的点的轨迹问题，往往需要建立平面或空间直角坐标系来进行求解，将几何问题代数化可以大大减少思考难度，提高做题效率.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线l 经过()()1,1,0,1,1,2A B ---两点，则点()1,1,2P -到直线l 的距离为______．【答案】6【解析】【分析】根据空间向量求解即可.【详解】由题可知()()2,0,2,2,2,0AB PB ==- ，则()2222222,222AB PB =+==+- ，4PB AB =⋅，故点P 到直线l 的距离为226AB d PB PB AB ⎛⎫ ⎪=-⋅⎪⎝⎭．614.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量()()1122,,,a x y b x y == 时，有222a b a b ⋅≤ ，即()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++，当且仅当1221x y x y =时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：()()()2222212121122x x y y x y x y -≥--，当且仅当1221x y x y =时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，2212211x x -++的最小值是______．【答案】1-【解析】【分析】根据不等式()()()2222211221212x y x y x x y y --≤-构造不等式左侧()()22221421222122x x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦++⎝⎭求解即可.【详解】由题意得222212142112122x x x x -=-++++，则()()22221421222122x x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+⎪⎣⎦++⎝⎭2222⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎫⎣⎛21⎛≤=，当且仅当=，即0x =时，等号成立，即()()222214212212122x x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+≤⎪⎣⎦++⎝⎭，则221412122x x ⎛⎫--≤ ⎪++⎝⎭，所以2222121412112122x x x x -=-≥-++++，最小值为1-，此时0x =．故答案为：1-.15.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，ABC 是以点(0,1)B 为直角顶点的等腰直角三角形，直角边,BA BC 与椭圆分别交于另外两点,A C ．若这样的ABC 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．【答案】0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先设出直线:1(0)BA y kx k =+>和直线1:1BC y x k=-+，联立椭圆方程，求出,A C x x ，表达出,BA BC ，根据相等关系得到()22110k a k +-+=无实数解或有两个相等的实数解1k =，分两种情况，求出1a <≤，从而求出离心率的取值范围.【详解】不妨设直线:1(0)BA y kx k =+>，则直线1:1BC y x k=-+，联立方程得22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222120a k x a kx ++=，22221A a k x a k∴=-+，用1k -代替k 得2222c a k x a k =+，21A BA k ∴=+=22222222221121,11C a k a k BC a k k a k++=+=++．由BA BC =，得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，该方程关于k 已有一解1k =，由于符合条件的ABC 有且仅有一个，∴关于k 的方程()22110k a k +-+=无实数解或有两个相等的实数解1k =．当方程无实数解时，()221Δ140a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得13a <<；当方程有两个相等的实数解1k =时，2112a a >⎧⎨-=-⎩，解得3a =13a ∴<≤，则该椭圆的离心率2221610,3c c e a a a ⎛===- ⎝⎭．故答案为：60,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】求椭圆的离心率是(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).16.从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，L ，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是______．【答案】1318【分析】结合题意求得学生甲上每级台阶的方法数，从而利用古典概型的概率公式即可得解.【详解】记学生甲上到第n 级台阶共有n a 种上法，则121,2a a ==，当3n ≥时，学生甲上到第n 级台阶，可以从第n 1-级或第2n -级上去，所以21n n n a a a --+=，于是345673,5,8,13,21a a a a a =====，8934,55a a ==，101189,144a a ==，其中甲踩过第5级台阶的上台阶方法数，可分两步计算，第一步，从第1级到第5级，共有5a 种方法；第二步，从第6级到第11级，相当于从第1级到第6级的方法数，共有6a 种方法；所以甲踩过第5级台阶的上台阶方法数有56a a ，则甲踩过第5级台阶的概率是56118131314418a a P a ⨯===．故答案为：1318.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是得到递推关系式21n n n a a a --+=，从而得解.四、解答题：共70分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，任四棱锥P ABCD -中，,,AD BC AD PA E ⊥∥为棱BC 的中点，122BD CD AD BC ====．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若PB PD ==，求PB 与平面PCD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【分析】（1）连接DE ，证明四边形ABED 是正方形，即证明AD AB ⊥，即可证明AD ⊥平面PAB ，根据线面垂直的性质定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PCD 的法向量，根据空间角的向量求法，即可得答案.【小问1详解】如图，连接,4,DE BD DC BC E === 为棱BC 的中点，DE BC ∴⊥，222BD DC BC +=，故BD DC ⊥,则122DE BC ==，又AD BE ，AD BE =，则四边形ABED 是平行四边形，又2AD DE ==，DE BC ⊥，则平行四边形ABED 是正方形，AD AB ∴⊥，又,,,AD PA PA AB A PA AB ⊥=⊂ 平面PAB ，AD ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面,PAB AD PB ∴⊥．【小问2详解】,2PA AD PB PD AD ⊥===，2PA ∴=．由（1）知2AB AD ==,故222PA AB PB +=，PA AB ∴⊥，又,,,PA AD AD AB A AD AB ⊥=⊂ 平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD ．以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,4,0,0,2,0,0,0,2B C D P ，()()()2,0,2,2,4,2,0,2,2PB PC PD ∴=-=-=-．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2420220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，则()1,1,1m =- ．设PB 与平面PCD 所成的角为π0,2θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则sin cos ,||3||||m PB m PB m PB θ⋅===，3cos 3θ∴=，即PB 与平面PCD 所成角的余弦值为3cos 3θ=.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 2cos cos tan tan BA C A C=+.（1）求角B ；（2）若ABC 为钝角三角形，且2b =，求a c +的取值范围.【答案】（1）π3（2）(【解析】【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解；（2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为π4sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围.【小问1详解】由tan 2cos cos tan tan B A C A C =+，得sin sin sin 2cos cos cos cos cos A C BA C A CB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 2sin cos 2cos sin cos B A C A C B +=，所以()sin 2sin 2sin cos BA CB B +==，又sin 0B >，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈且π2B ≠，所以π3B =.【小问2详解】由正弦定理，得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以sin 3a A =，所以sin 3c C =，因为ABC 是钝角三角形，不妨设A 为钝角，则π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π1sin sin sin sin sin cos sin 333322a c A C A A A A A ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=+=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭31π2cos 4sin cos 4sin 226A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π13sin ,622A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c +的取值范围是(.19.某工厂生产一批螺丝钉，长度均为整数，且在24mm 至50mm 之间，技术监督组为了解生产的螺丝钉质量，按照长度分为9组，每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计，数据如下：长期区间[]24,26[]27,29[]30,32[]33,35[]36,38[]39,41[]42,44[]45,47[]48,50优质个数818184888483837066（1）设每个长度区间的中点值为x ，优质个数为y ，求y 关于x 的回归直线方程．若该厂又生产了一批长度区间为[]54,56的螺丝钉，并从中随机抽取50个，请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数．（2）若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的，则认为从该长度区间内任选一个均为优质的，否则不是．现从[][][][][]24,26,33,35,39,41,45,47,48,50这五个长度区间中各随机抽取一个，再从这5个螺丝钉中任选3个，记随机变量X 为其中的优质个数，求X 的分布列与数学期望．（参考公式和数据：()()()9912111ˆ,,26340,720niii i i ini i ii xxy y ba y bx x y y xx====--==-==-∑∑∑∑ ）【答案】19. 590599x y =-+；7020.分布列见解析；95【解析】【分析】（1）根据线性回归分别求出()()()919215ˆ9iii i i x x y y bx x ==--==--∑∑，ˆ9059a =，从而求解．（2）根据题意可知X 的所有可能取值为1，2，3，然后求出相应的概率列出分布列，求出期望从而求解.【小问1详解】由题意得，91333252831343740434649333,37,9i i x x ==++++++++===∑91818184888483837066720,80ii yy ==++++++++==∑所以91926640,26340iii x y x y=⋅==∑，所以()()991192634026640300iii i i i x x yy x y x y ==--=-⋅=-=-∑∑又()921540i i x x=-=∑所以()()()9192130055905ˆ,8037540999iii ii xxy y ba y bxxx==---===-=-=+⨯=-∑∑ ，故y 关于x 的回归直线方程为590599x y =-+．当55x =时， 70y =，即预测长度区间为[]54,56的150个螺丝钉中的优质个数为70．【小问2详解】根据题意，在[]24,26，[]33,35，[]39,41，[]45,47，[]48,50这五个长度区间中，[][][]24,26,33,35,39,41这三个长度区间中超过半数是优质的，在[]45,47，[]48,50这两个长度区间中优质的不足一半，故随机抽取得到的5个螺丝钉中有3个是优质的．所以X 的所有可能取值为1，2，3，则()()()1221332323333555C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========，故随机变量X 的分布列为X123P31035110()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯=．故期望为95.20.已知数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n +=+∈N，且113a=，数列{}n b 满足()2*12n n n b b b n ++=∈N ，且20231111i i b a =⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦∑（[]x 表示不超过x 的最达整数），232b =．（1）求1b ；（2）令)*nc n =∈N ，记数列{}n c 的前n 项和为nT ，求证：()*12nTn >-∈N ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先推导可得11111n n n a a a +=-+，再累加可得1202413b a =-，再判断当4n ≥时，1n a >即可得；（2）推导可得{}n b 是以12b =为首项，16q =为公比的等比数列，代入通项公式可得n c =，再根据n c >.【小问1详解】()21111,0,03n n n n n n a a a a a a a +=+=+=>∴> ，()1111111n n n n n a a a a a +∴==-++，11111n n n a a a +∴=-+，20231120242024111131i i a a a a =∴=-=-+∑．又{}210,n n n n a a a a +-=>∴是递增数列，123414526916,,,139816561a a a a ====> ，∴当4n ≥时，1n a >．20232024112024111,3(2,3),21i i a b a a =⎡⎤∴>-∈∴==⎢⎥+⎣⎦∑．【小问2详解】()2*1212,2,32n n n b b b n b b ++=∈==N ，0n b ∴>，则有()*121n n n n b b n b b +++=∈N ，{}n b ∴是以12b =为首项，2116b q b ==为公比的等比数列，())143**2162,n n n n b n c n --∴=⋅=∈∴=∈N N．12n c ==，1212n n T c c c ∴=++⋅⋅⋅+>--+⋅⋅⋅+-)141141112222=-=->-，∴原不等式得证．21.已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b-=>>分别是C 的左、右焦点．若C 的离心率2e =，且点()4,6在C 上．（1）求C 的方程．（2）若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点（不同于双曲线的顶点），问：2211AF BF -是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）221412x y -=（2）是定值，13【解析】【分析】（1）首先根据离心率，和双曲线方程，列式即可求解,,a b c ；（2）首先设直线l 的方程4x my =+与双曲线方程联立，并用坐标表示2AF 和2BF ，并利用韦达定理表示22211AF BF -，即可化简求解.【小问1详解】设双曲线C 的半焦距为(0)c c >．由题意可得，222222,16361,,c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,4a b c ===，所以C 的方程为221412x y -=．【小问2详解】2211AF BF -为定值，理由如下：由（1）知()24,0F ，设直线()()1122:4,,,,l x my A x y B x y =+，联立方程得2214124x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，整理可得()223124360m y my -++=，()22122122310Δ1441024313631m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=+>⎪⎪∴⎨+=-⎪-⎪⎪=-⎩()()22222211141AF x y m y =-+=+，21AF ∴=，同理22BF =．直线l 过点2F 且与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，,A B ∴两点在x 轴同侧，120y y ∴>，此时2310m ->，即213m >．22222222211112AF BF AF BF AF BF ∴-=+-⋅()()()222221212112111my m y m y y =+-+++()()()222221212112111m y m y m y y =+-+++()()212122222212121241112111y y y y m y y y y m y y +-⎛⎫=⋅+-=⋅ ⎪++⎝⎭22111199m m +=⋅=+，221113AF BF ∴-=，为定值．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线联立，解决定值的问题，本题的关键是利用坐标表示2AF 和2BF ，并求解22211AF BF -.22.已知函数()22e 2xf x x ax =-+-．（1）若()()0,,0x f x ∞∀∈+>恒成立，求实数a 的范围；（2）证明：对任意正整数n ，都有不等式()12121(1)e 2e e e e e 2(e 1)2(e 1)k e n n n k k n n ++=+--->++--∑成立．【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分2a ≥-与2a <-两种情况求解()min f x 即可得a 的范围；（2）由（1）可得21e 12x x x ->+，结合1ln x x >+，可得()1ln e 12x x x x +->+，则()e e 1e e 12k k k k +->+，后由错位相减法可得()*1e (1)nk n k T k n ==+∈∑N ，即可证明结论.【小问1详解】由题可知()2e 2xf x x a ='-+，记()2e 2xg x x a =-+，则()2e 2xg x ='-，当()0,x ∈+∞时，()()0,g x g x >'∴在()0,∞+上单调递增，即()f x '在()0,∞+上单调递增，∴当()0,x ∈+∞时，()()02f x f a ''>=+．（ⅰ）当2a ≥-时，()()()020,f x f a f x >=+≥∴''在()0,∞+上单调递增，则()()00,2f x f a >=∴≥-成立；（ⅱ）当2a <-时，()020f a '=+<，()2e 2e 2e x x x f x x a x a =-+=-++'，记()()e 2,0,x h x x x =-∈+∞，则()e 2xh x '=-，令()0h x '=，得ln2x =，当ln2x >时，()0h x '>，当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x ∴在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，()min ()ln222ln20h x h ∴==->，则()0h x >．令()ln ln20x a =->>，则()()()()ln ln e 2ln 0a f a a --'-=->，∴存在()()00,ln x a ∈-，使得()0002e 20x f x x a =-+='，则002e 2x a x =-+，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x \在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0022min 00000()2e 221e 2x x f x f x x ax x x ∴==-+-=-+-．记()()221e 2x x x x ϕ=-+-，则当()0,x ∈+∞时，()()21e 0x x x ϕ=-<'，()x ϕ∴在()0,∞+上单调递减，()()00x ϕϕ∴<=，则有()00f x <，与()0f x >恒成立矛盾，所以2a <-不成立．综上，实数a 的取值范围是[)2,-+∞．【小问2详解】由（Ⅰ）知，当2a =-时，()()20,,2e 220x x f x x x ∀∈+∞=--->，21e 12x x x ∴->+．记()1ln m x x x =--，则当()1,x ∈+∞时，()1110x m x x x='-=->，()m x ∴在()1,+∞上单调递增，则有()()10m x m >=，∴当()1,x ∈+∞时，1ln x x >+，∴当()1,x ∈+∞时，()21ln 1e 1122x x x x x +->+>+．令()*e k x k =∈N ，则()e e 1e e 12k k k k +->+．记()*1e (1)nk n k T k n ==+∈∑N ，则()()2323412e 3e 4e 1e ,e 2e 3e 4e 1e n n n n T n T n +=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++，()()()()()211231e 1e e 11e e e e 2e 1e 2e 1e n n n n n T n n -++-∴-=+-++⋅⋅⋅+-=+---，()12121e 2e e e e 1(e 1)n n n n T +++--∴=+--，()121e 211(1)e 2e e e e e 22(e 1)2(e 1)n n n k k n k n T n n ++=+--∴->+=+--∑，∴对任意正整数n ，都有不等式()121e 21(1)e 2e e e ee 2(e 1)2(e 1)k n n n k k n n ++=+--->++--∑成立．。
安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题(含解析)
安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．已知直线与直线，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个数中最大的是A ．B ．C ．D．4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h ）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A ．B ．1{244x A xy B x ⎧⎫===<<⎨⎬⎩⎭∣A B ⋂=(1,2)-[1,2)-(2,1)--(2,1]--21:10l a x y ++=2:370l x ay -+=3a =12l l ⊥lg 20lg(lg 20)2(lg 20)1lg 20P mg /L)t 0e(0)tP P t λ-=…0P 0,P λ80%00.04P ()f x ()f x 1()cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1()sin f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．D ．6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．已知函数，则满足的的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，若，则下列命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知，且，则A ．B ．CD．11．已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为为奇函数，则A ．B ．为偶函数C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“”是假命题，则实数的最小值为______．1()ln ||f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1()cos f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭22,1()1ln(2),1x ax a x f x x x ⎧-+<-=⎨-+-⎩…R a (,0]-∞[0,)+∞[2,)-+∞[2,0]-33()e e x x f x x --=-+(22)(1)6f m f m -++>m (3,)+∞3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]x x []a b ，(,),[,),(,]a b a b a b b a -x []2[]6k x x >-k 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦14,25⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦4,15⎛⎤⎥⎝⎦,(0,1)(1,)m n ∈⋃+∞211log 2,log 212m n a a==-2a =2mn =2a >2mn >1mn =1a =1mn >1a >0,0ab >>24a b +=1ab (12)2a b + (2)412b a a+…()f x ()g x ()f x '()g x '(),(),(),()f x g x f x g x '',()(6)3()(2),(4)g x f x f x g x g x ''--==-+R (2)(6)0g g +=(4)f x '+()(8)f x f x =+20241()0k g k ==∑π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦m13．若函数在时取得极小值，则的极大值为______．14．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（Ⅰ）已知函数满足，求在区间上的值域；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.16．（15分）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）求的零点个数.17．（15分）已知函数.（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若且存在，使得成立，求的取值范围．18．（17分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的极值；（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围．19．（17分）已知函数．2e ()1xf x x bx =++2x =()f x ()()3ln f xg x x ==+()y f x =()y g x =m 2()f x ax bx =+()(1)2f x f x x -+=()f x (0,1)2(1)1x y x x =>-M 0m M <<11M m m +-()f x '()f x ()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()0,x f x ()y f x =32()9f x mx nx x =+--(1,2)--()f x 2()ln 1()a f x a x a x=+-∈R 1a =()0f x …0a >0(0,e]x ∈()01f x <-a ()(1)ln ,f x a x x x a =++∈R 2a =-()y f x =(e,(e))f 1a =()f x 2()e x a f x x -+…a e ()ln ,x m f x m x m x x=--∈R（Ⅰ）讨论的单调性．（Ⅱ）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．()f x 1m =2x …()f x x >()f x a =12,x x 122x x +>0x →2e 11,e 7.4,ln 20.7x x-→≈≈数学•答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B 命题意图本题考查集合的交运算.解析由已知，得，由，得，所以，所以．2．答案A 命题意图本题考查充分必要条件的判断．解析若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．3．答案C 命题意图本题考查对数函数的性质．解析由的单调性可知，即．故最大的是．4．答案C 命题意图本题考查函数的实际应用．解析依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．5．答案D 命题意图本题考查函数图象的识别．解析对于A ，当时，，排除A ；对于B ，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，当时，由0，得，排除C ，故选D ．6．答案B 命题意图本题考查函数的单调性．{1}A x x =-∣ (1)244x <<22x -<<{22}B x x =-<<∣{1A B x ⋂=-∣…2}x <12l l ⊥230a a -=0a =3a =3a =12l l ⊥lg y x =lg10lg 20lg100<<1lg 202,<<21lg(lg 20)lg 21,1,(lg 20)lg 20∴<<<- 2lg 20(lg 201)lg 200,(lg 20)lg 20=->∴>2(lg 20)0t =0P P =4t =00(180%)0.2P P P =-=400e0.2P P λ-=4e0.2λ-=1ln 54λ=ln540e t P P -=ln5400e 0.04t P P P -=…8t …(0,1)x ∈()0f x <11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 1()sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0x >1ln ||x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1x =解析易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．7．答案D 命题意图本题考查利用函数性质解不等式．解析令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，即，解得．8．答案B 命题意图本题考查新定义及不等式与函数综合问题．解析设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即解得所以．综上，实数的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABC 命题意图本题考查指、对数的运算性质和函数的性质．1ln(2)y x =-+[1,)-+∞()f x R 1,2131,aa ⎧-⎪⎨⎪+⎩……0a …a [0,)+∞()(3)3e e,()()0,()xxg x f x x g x g x g x -=+-=-++-=∴ ()g x R (22)(25)3,(1)(2)3,f m g m f m g m -=-++=-+∴ (25)(2)0g m g m -+->(25)(2),252g m g m m m ->-∴->-73m >(),()|26|f x kx g x x ==-(),()f x g x []|2[]6|k x x >-[2,4)[3,5)[2,4)(2)(2),(4)(4),f g f g >⎧⎨⎩…2|226|,4|246|,k k >⨯-⎧⎨⨯-⎩…[3,5)(2)(2)(2),(4)(4),(5)(5),f g f g f g ⎧⎪>⎨⎪⎩……2226,4246, 5256,k k k ⎧⨯-⎪>⨯-⎨⎪⨯-⎩……1,1,24,5k k k ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩……1425k <…k 14,25⎛⎤ ⎥⎝⎦解析由题意知，所以，所以．对于A ，若，则，故A 正确；对于B ，若，则，所以，故B 正确；对于C ，若，则，解得，故C 正确；对于D ，若，则，不能得到，故D 错误．10．答案BC命题意图本题考查基本不等式的应用．解析对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于，当且仅当时等号成立，故B 正确；对于C ，因为C 正确；对于D ，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D 错误．11．答案ACD命题意图本题考查抽象函数及函数的性质．解析对于A ，因为为奇函数，所以，令，得，故A 正确；对于B ，由，得，又，所以，即，所以，又的定义域为，故为奇函数，故B 错误；对于C ，由，可得为常数）.，又，所以，所以，所以，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C 正确；222log 12,log m a n a =-=22log ()21mn a a =-+2212a a mn -+=2a =122mn ==2a >2221(1)1a a a -+=->122mn >=1mn =2210a a -+=1a =1mn >2221(1)0a a a -+=->1a >0,0a b >>42a b =+…2ab …12112141B,(2)442444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…22b a ==224448a b =++=++=24a b +=42b a =-22(42)164481616b a a a a a a a-+=+=+--…a =4b =-(4)g x +(4)(4)g x g x -+=-+2x =(2)(6)0g g +=()(6)3g x f x --=()(6)0g x f x ''+-=()(2)f x g x ''=-(2)()(6)f x g x f x '''+==--(2)(6)f x f x ''+=--(4)(4)f x f x ''+=--(4)f x '+R (4)f x '+()(2),(4)(4)f x g x g x g x ''=--+=-+()(2)(f x g x b b =-+(6)(4)f x g x b -=-+=(4)g x b -++()(6)3g x f x --=()(6)()(4)3g x f x g x g x b --=++-=()(4)g x g x ++=3,(4)(8)3b g x g x b ++++=+()(8)g x g x =+()g x ()f x对于D ，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，因为，所以，又，所以，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案命题意图本题考查全称量词命题．解析因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数．13．答案命题意图本题考查利用导数研究函数的极值．解析由题意可得，，解得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．14．答案命题意图本题考查导数的几何意义、公切线及函数与方程．解析设曲线上的切点坐标为，由已知得为，即上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即，消去，得．若存在两条不同(4)(4)g x g x -+=-+0x =(4)(4)g g =-(4)0g =4x =(0)(8)g g =-()g x (0)(8)0g g ==(4)(4)g x g x -+=-+(1)(7)0,(3)g g g +=+(5)0g =(2)(6)0g g +=20241()253[(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)k g k g g g g g g g ==+++++++∑(8)]25300g =⨯=π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦…m …m e()22e (1)(1)(),(2)01x x x b f x f xbx ''-+-==++1b =-()22e (1)(2)()1x x x f x xx '--=-+()f x (,1)-∞(1,2)(2,)+∞()f x (1)e f =(0,()y f x =(11,,0x x …()f x '=y -=)1x x -y x =+()y g x =()222,3ln ,0x x x +>()g x '=1x()()22213ln y x x x x -+=-2212ln y x x x =++2212ln x x ==+1x 2222ln 4x m x +=的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图像如图所示，所以，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查二次函数的性质、基本不等式．解析（I ）由题意得，即，………………（1分）所以且，解得．所以，…………………………………………………………………………………（3分）则在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的值域为．…………………………………………………………（6分）（II ），(),()y f x y g x ==2x 24m =222ln x x +2ln (),0x h x x x +=>21ln ()x h x x '--=()0h x '>10e x <<()0h x '<1ex >()h x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭max 1()e e h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()0h x =21ex =0x →0x >()h x →-∞x →+∞()0h x >()0h x →()h x 20e 4m <<0m <<22(1)(1)2ax bx a x b x x +-+-+=22ax a b x ---=22a -=0a b +=1,1a b =-=2()f x x x =-+()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11(0)(1)0,24f f f ⎛⎫===⎪⎝⎭()f x (0,1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦22111111x y x f x x x ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，由（I ）知，所以，即．……………………………………（9分）所以，……（12分）当且仅当时等号成立．所以的最小值为1.…………………………………………………………………………（13分）16．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（I ）因为，所以，所以，………………………………………………………………（3分）又因为的图象的对称中心为，所以…………………………………………………………………（5分）即解得…………………………………………………………………………（7分）（II ）由（I ）知，，所以，…………………………………………………………（9分）令，得或，……………………………………………………………………（10分）当变化时，的变化情况如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的极大值为，极小值为，…………………………………………（13分）1x >101x<<110,4f x ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦1[4,)1f x ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭4M =11111141(4)2(22)1444444m m m m m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=-++=++⨯+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭…2m =11M m m+-32()913f x mx nx x =+--2()329f x mx nx '=+-()622(3)f x mx n mx n ''=+=+()f x (1,2)--(1)2(3)0,(1)9132,f m n f m n ''⎧-=-+=⎨-=-++-=-⎩30,2,m n m n -+=⎧⎨-+=⎩1,3.m n =⎧⎨=⎩32()3913f x x x x =+--2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+-()0f x '=3x =-1x =x (),()f x f x 'x (,3)-∞-(3,1)-(1,)+∞()f x '()f x ()f x (3)14f -=(1)18f =-又，所以有3个零点．………………………………………………………………………………（15分）17．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（I ）若，则，所以．…………（2分）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，……………………………………………（4分）所以有极小值，也是最小值，且，所以．……………………………………………………………………………………………（6分）（II ）由题意得，…………………………………………………（7分）因为，所以令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………（9分）若，则在上的最小值为．………………………………（10分）要使条件成立，只需，解得．…………………………………（12分）若，则在上的最小值为，………………………………………（13分）令，无解．……………………………………………………………………………（14分）故的取值范围为．……………………………………………………………………………（15分）18．命题意图本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题．解析（I ）当时，，故曲线在点处的切线方程为．…………………………………………（4分）（II ）当时，，则，………………………………（6分）令，得，令，得，(10)6230,(3)140f f -=-<=>()f x 1a =1()ln 1f x x x =+-22111(),0x f x x x x x '-=-=>()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞()f x min ()(1)0f x f ==()0f x …222()(),0a a a x a f x x x x x '-=-=>0a >()0f x '>x a >()0f x '<0x a <<()f x (0,)a (,)a +∞0e a <<()f x (0,e]()ln 1f a a a a =+-()ln 11f a a a a =+-<-10ea <<e a …()f x (0,e]2(e)1ea f a =+-211ea a +-<-a 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a =-()ln ,()ln ,(e)1,(e)0f x x x x f x x f f ''=-===()y f x =(e,(e))f e y x =-1a =()2ln (0)f x x x x x =+>()3ln f x x '=+()0f x '<30e x -<<()0f x '>3e x ->所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………………（8分）所以，无极大值．………………………………………………………（9分）（III ）令，由得，…………………………………………………………（10分）令，则在上单调递减，又，故．……………………………………………………………………………………………………（11分）下面证明当时，．易知．……………………………………………（12分）设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，即．……（14分）设，则，当时，，当时，，故，则，即．……………………………………………（15分）故，则．故所求的取值范围是．………………………………………………………………………（17分）19．命题意图本题考查利用导数讨论函数的单调性、证明不等式．解析（I ）由已知，得．………………………（1分）当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；………………………………………………（2分）当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增；……………………………（3分）当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…………………（4分）()f x ()30,e -()3e ,-+∞()33()e e f x f --==-极小值2()e (1)ln x a g x a x x x x -=-+-+(1)0g …11e(1)1e 0a a a a ---++=-…1()e a q a a -=-()q a R (1)110q =-=1a …1a …()0g x …212e (1)ln e 2ln x a x a x x x x x x x x ---+-+--+…()e 1x p x x =--()e 1x p x '=-(,0)x ∈-∞()0p x '<(0,)x ∈+∞()0p x '>()p x (,0)-∞(0,)+∞()(0)0p x p =…e 1x x +…()ln 1(0)t x x x x =-+>11()1x t x x x '-=-=(0,1)x ∈()0t x '>(1,)x ∈+∞()0t x '<max ()(1)0t x t ==ln 10x x -+…ln 1x x -…121e 2ln e 2(ln )20x x x x x x x x x x x x x ----+=-+--+=…()0g x …a (,1]-∞()222(1)e e e (),0x x x x m x m m f x x x x x x '---=-+=>1m …()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞1e m <<()0f x '<ln 1m x <<()0f x '>1x >0ln x m <<()f x (ln ,1)m (0,ln )m (1,)+∞e m =()0f x '…(0,)+∞()f x (0,)+∞当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增．……………………………（5分）（II ）（i ）由题可知，即证当时，．令，则．………………………………（7分）令，则．令，则，易知在上单调递增．………（8分）所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，……………………………………（9分）所以，则在上单调递增，所以，原不等式得证．…………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）当时，，由（I ）知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且时，，由（i ）可知当时，，由方程有两个不同的实数根，得．………………………………………（12分）不妨设，则，要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，即证．………………………………………………………………………………（13分）设，则．…………………………………………（14分）e m >()0f x '<1ln x m <<()0f x '>ln x m >01x <<()f x (1,ln )m (0,1)(ln ,)m +∞2x …e 1ln 0x x x x x--->e 1()ln ,2x s x x x x x x =---…()22e (1)1()x x x x s x x '--+-=()2()e (1)1,2x t x x x x x =--+-…()e 21x t x x x '=--()e 21,2x n x x x x =--…()(1)e 2x n x x '=+-()n x '[2,)+∞2()(2)3e 20n x n ''=->…()n x [2,)+∞2()(2)2e 50n x n =->…()t x [2,)+∞2()(2)e 50t x t =->…()0,()s x s x '>[2,)+∞2e 57.4()(2)ln 20.7 2.50.50222s x s =--≈--=>…1m =e 1()ln x f x x x x =--()f x (0,1)(1,)+∞min ()(1)e 1f x f ==-0x >0x →()f x →+∞x →+∞()f x →+∞()f x a =12,x x e 1a >-12x x <121(0,1),(1,),2(1,2)x x x ∈∈+∞-∈122x x +>212x x >-()f x (1,)+∞()()212f x f x >-()()112f x f x >-()()(2)g x f x f x =--222e 1e 1()()(2)(1)(2)x x g x f x f x x x x -'''⎡⎤--=+-=--⎢⎥-⎣⎦设，则，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，又因为，所以存在，使得，………………………………………………………………（15分）当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………（16分）又因为，所以当时，，当时，，所以当时，单调递减，因为，所以，所以，故原命题得证．…………………………………………………………（17分）2e 1()x h x x -=3(2)e 2()x x h x x '-+=()(2)e 2x u x x =-+()(1)e xu x x '=-01x <<()0,()u x u x '<1x >()0,()u x u x '>(0)0,(1)2e 0,(2)2u u u ==-<=0(1,2)x ∈()00u x =00x x <<()0u x <()0h x '<0x x >()0u x >()0h x '>()h x ()00,x ()0,x +∞2e 1(1)e 1,(2)e 14h h -=-=<-01x <<()e 1h x >-12x <<()e 1h x <-01x <<()(1)[()(2)]0,()g x x h x h x g x '=---<1(0,1)x ∈()1(1)(1)(1)0g x g f f >=-=()()112f x f x >-。
2020届天一大联考皖豫联盟高中毕业班第二次考试数学(理)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案.
【详解】
.
复数 为纯虚数,得 解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题..
3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立 周年，某校聚集 名学生站成一个方阵.方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“ ”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选 名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为 ，则任选 名学生， 名学生身穿红色衣服，另 名学生身穿白色衣服的概率为（）
【详解】
（1）如图，取 的中点为 ，连接 .
因为 是等边三角形，所以 .
由题意知 ，从而 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
（2）如图，连接 .
因为 ，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 .所以 ， ， 两两垂直.
分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于中档题.
10．已知在体积为 的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点.若平面 平面 ，则 在正方形 中的线段长度为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长 ， ，交于点 ，连接 ， ，可知 在正方形 中的线段为线段 ，由 和 全等，及 ，可得 ，从而可求得 进而可求得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
在 中，由余弦定理得 ，即 .
2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学(word无答案)
2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学一、单选题(★★) 1 . 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★) 2 . 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 3 . “ ”是“函数在区间上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 4 . 中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( )A．B．C．D．(★★) 5 . 设，，，则（）A．B．C．D．(★★) 6 . 已知函数为奇函数，则不等式的解集为( ) A．B．C．D．(★★) 7 . 若满足约束条件，则的最小值为( )A．B．C．1D．2(★★) 8 . 已知平面向量满足，，，则的取值范围是( )A．B．C．D．(★★) 9 . 函数图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 记等比数列的前项和为，已知，，设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，则的最小值为( )A．2B．3C．4D．8(★★) 12 . 设都是不为1的正数，函数的图象关于对称则的零点个数为( )A．0B．1C．2D．3二、填空题(★) 13 . 设函数则_______.(★★) 14 . 已知函数的图象上有一点，则曲线在点处的切线方程为______.(★★) 15 . 已知三棱锥的外接球半径为2，底面是直角三角形，且斜边的长为，则三棱锥的体积的最大值为_____.(★★) 16 . 已知函数的图象在区间上与轴恰好有1个公共点，则实数的取值范围为_______.三、解答题(★★) 17 . 设为实数，，，不等式恒成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，求实数的取值范围.(★★) 18 . 已知函数，其导函数是偶函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围.(★★) 19 . 如图，在平面直角坐标系中，已知定点及动点，以为斜边作一等腰直角三角形（原点与点分别在直线的两侧）.（1）当时，求；（2）求四边形面积的最大值.(★★) 20 . 已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.(★★★★) 21 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点在椭圆上且位于第二象限，过点作直线，过点作直线，若直线的交点恰好也在椭圆上，求点的坐标.(★★★★) 22 . 已知函数，其中.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）已知，，设函数的最大值为，求证：.。
2020届天一大联考皖豫联盟高中毕业班第二次考试数学(理)试题(解析版)
2020届天一大联考皖豫联盟 高中毕业班第二次考试数学（理）试题故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算、 不等式的解法考查运算求解能力以及化归与转化思想， 属于基础题.2.若复数z i^菁（m R ）为纯虚数，则m （ ）A . 2 B. 1C. 1D. 2【答案】D【解析】 结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案 【详解】1 mi (1 mi)(2 i) 2 i2mi m 2 m 2m 1 z2 i(2i)(2 i)5 55复数z 为纯虚数, 2 得m 0解得 m 2.2m 1 0故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基、单选题 1 •已知集合 y | y 5，则 $ A I B (A .B .5, 3C.5, 3D.5,3【答案】 【解析】先求出集合 A ，然后求出 e R A , 再与集合 B 取交集即可•【详解】 依题意, xx 3，则3，所以e ?A5,础题..3. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立 70周年，某校聚集400名学生站成一个方阵•方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“70”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选1名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为1，则任选2名学生，1名学 4 生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率为（) 100 3 50A .B.C.1334 133D.—16【答案】C【解析】 分别求出身穿红色衣服和白色衣服的人数，然后求出选出 1名学生身穿红色衣形的概率公式可求出答案 【详解】1400名学生中，身穿红色衣服的有 400 — 100人，身穿白色衣服的有 300人，故任4选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另 1名学生身穿白色衣服的概率故选：C.【点睛】 本题考查排列组合，考查古典概型的概率，考查推理能力，属于基础题 4 •记递增等比数列 a n 的公比为q ,前n 项和为S n .若S 2 8 , S 4 80,则（ ）A . a 1 4B . a 2【答案】B2【解析】 结合a 3 a 4 S 4 ，及q【详解】依题意，得 a 1 a 2 8, a 3 a ° S 4者q 3.又因为数列 a n 是递增数列,故选：B. 【点睛】服，另1名学生身穿白色衣服的选法，及400名学生选出2名学生的选法，结合古典概50 133C. q= 2D. q4a 3a 4 ，可求出公比，进而求出印.a 1 a 22a 3 a 4 小S 272, 所以q 9 , 解得q 3或a 1 a 2所以 q 3，所以a 1 2.本题考查等比数列的通项公式、 前n 项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想, 属于基础题.9x 的值为3，输出的x 的值为，则判断框中8【答案】C【解析】 运行该程序，可知i 3，不满足判断框，i 4，满足判断框，从而可选出答 案• 【详解】9由于输入的x 的值为3，输出的x 的值为一，可知：8运行该程序， 第一次,x 1(3 2 1) 2 , i 1，不满足判断框; 第二次，x1(21)3 . ,i 2，不满足判断框；2 2第三次，x1 3 15 .,i3，不满足判断框；2 245 •运行如图所示的程序框图；若输入的C. i 3D. i 21 第四次，x -5 1 9. ,i94，满足判断框，输出 x 的值为Y ,2 488故判断框可以填 i 3.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题6 •地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放 出的能量愈大，则震级愈大•震级的大小可通过地震仪测出 •中国使用的震级标准， 是国 际上通用的里氏分级表，地震释放的能量E 与地震里氏震级 M 之间的关系为的能量分别为E 1 ,E2.记，E 2则 (）A .30,31B. 31,32C. 32,33D.33,34【答案】B【解析】分别求出 E 1和E 2，可得到 E LE 2109 107.5101.5，然后比较101.5,31,32的大小关 系即可选出答案【详解】大小关系，可比较103与322的大小关系，易知103 同理可得，101.5 31，所以 （31,32）.故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题.7 .已知三棱锥A BCD 满足AB CD 则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为（A . 116n B. 128n 2.13 , AC BD 10, AD BC 4, 5 , )C. 132 nD. 156n【答案】AE 1048—3M,10 .已知A 地区最近两次地震的震级M i , M 2的值分别为6, 5，释放依题意，E i104.8 109, E 2 104.8 107.5,故■El109 107.51 5 d c10 .,要比较10与32的1000，而 322 1024，故 101.5 32 .【解析】 可将三棱锥置于一个长、宽、高分别为x , y , z 的长方体中，可得x 2 y 2 52y 2 z 2 100，从而可求出x 2 y 2 z 2及外接球半径，进而可求出该三棱锥外接球 z 2 x 2 80的表面积 . 【详解】三棱锥A BCD 的对棱相等，可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，则22x y 52 y 2 z 2 100 ，三式相加可得， x 2 y 2 z 2116 ，z 2 x 2 80设三棱锥 A BCD 外接球的半径为 R ,则2R 2 x 2 y 2 z 2 116，即4R 2 116.则所求外接球的表面积 S 4 T R 2 116 n故选： A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题【详解】依题意， y tan x 是曲线 y 3e x 2过原点的切线 . 设切点坐标为 x 0,3e x0 2 ，而 y 3e x 2 ，所以 tan 3ex0 2. 把切点坐标 x 0,3e x） 2代入y tan x ,得3e Xo 2 x 0 3e Xo 2，解得x 1，即3tan 3e .故选： D. 点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想, 属于 中档题 .第 5 页 共 24 页8．将曲线 y 3e x 2绕原点顺时针旋转角 A ． 2e 2 B ． 2e 3【答案】 D【解析】 易知直线 y tan x 是曲线 yx 0,3e x0 2 ，结合导数的几何意义，可求出后第一次与 x 轴相切，则 tan （）23C ． 3e 2D ． 3e 33e x 2过原点的切线，设切点坐标为x 0 ，从而可求出 tan .2 29.记双曲线C:a2右1（a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1, F2，点M在双曲线的渐近线上，且在第二象限, OM OF2（O为坐标原点），线段MF?的中点P满足PF i PF? 2a，则双曲线C的离心率为（A. 1 5B. 1 3【答案】A【解析】先求出M的坐标，进而可得到P的坐标，由P满足PF i PF22a，可知点P在双曲线C的右支上，将坐标代入方程，计算可求得离心率【详解】双曲线C的渐近线为y设M的坐标为m,由|OM | PF i OF2 c,可得2c2 mac2，即a,b，则PF2 2a，则点2c1 5，即ea因为e 1，所以只有e故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率, 能力，属于中档题10.已知在体积为点.若平面BEF I【答案】D P在双曲线C的右支上，所以(C a)24a24b2整理得25，解得e . 5 1 ,5符合题意.考查双曲线的方程与性质, 考查学生的计算能力与推理论证27的正方体ABCD A3C1D1 中, E , F分别是AD1 , C1D1的中平面BCC1B1 l，则I在正方形BCC1B1中的线段长度为（【解析】延长EF , B i C i ，交于点G ,连接BG , BG I CC i H ，可知I 在正方形BCC i B i 中的线段为线段BH ，由VD i EF 和VGGF 全等，及GH //BB i ，可得 C 1H C 1G 1 ‘ 、口，从而可求得C i H 进而可求得BH .BB i B ]G 3【详解】如图，延长EF ，B i C i ，交于点G ，连接BG ，其中BG I CC i H ，则|在正方形BCGB i 中的线段即为线段 BH .依题意，得 AB 327，则AB 3.又易知VD i EF 和VGGF 全等，所以1C i H C i G iC i GD iE -A i D i ，又 C i H / /BB i ，则話冷-，GH i .2 BB i BiG 3所以 CH 2，BH, 32一22 J3.本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力以及数形结合思想，属于基础题 ii .已知函数 f(x) Asin( x ) A 0,0,P 3,1 , M , N 是与P 相邻的两个最低点，且 tan MPN调递减区间为()故选：D. 【点睛】n 的图象的一个最高点为22021，则函数 f (x)的单A. 3 10k,8 10k (k Z)B. 8 10k,13 10k (k Z)C. 3 5k,8 5k (k Z)D. 8 5k,13 5k (k Z)2 n n 10 5，【答案】A 【解析】由函数f(x)图象的一个最高点为P 3,1 ,可知A 1 ,n2k nk Z)，由tan MPN药，结合二咅角公式，可求得tan 」更，进而由图象可知M N T 4tan 竺2，从而可求得，即可求得f(x)的表达式及单调递减区间 【详解】 依题意，得tan— MPN 2tan MPN -------------- 2——2 MPN 1 tan220，解得tan21MPN2MPN tan — 2 2 MPN5，因为—T 所以只有tanMPN 25符合题意,2函数f(x)图象的一个最高点为P 3,1 ，得AMNtan 』PN 102 ，又 f(3) 1，得 n52k * Z)，解得n102k «k Z).因为I12，所以n10，则 f(x)nsin — x57t10 n2k n x5n 10 3 n—2k n k Z)，解得 310k8 10k(k Z).故选: A.【点睛】第8页共24页本题考查三角函数的图象与性质， 考查正切的二倍角公式的应用， 考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题 •2 212 .已知椭圆C 二 y 2 1(a b 0)与x 轴交于P , Q 两点, a 2 b 2【答案】&、6,可得2ab 8. 6，进而可求得a,b 的值. 【详解】由 cos RPQ ，可得 tan RPQ10又 PRQ 135，所以 联立2a b 82 6 ,解得b 2 , a 2 6.故椭圆C 的方程为X 工1.a 2 6b 224 4故选：A.与y 轴交于M ，两点，点R 在椭圆C 上，PRQ135cosRPQ □10且四边形 MPNQ面积为8,6，则椭圆C 的方程为(2A. I24B. 2y ~8C.x 216 2y- 1 62xD.18 3y 2 16【解析】由角的关系可求得 tan RPQ 和 tan RQP 的值，然后设 R(s,t) (s 0,t 0),可得|PQ| 2atan RPQttan RQPtan RPQ ,联立可求得s,t,a 的 a s关系，将点R 的坐标代入椭圆方程，可求得a,b 的关系, 结合四边形 MPNQ 的面积为tan RQP tan PRQ RPQtan RPQ不妨设 R(s,t) (s 0,t0)，则 | PQ| 2atan RPQ ，即 s 3t a 3a s2a 5又四边形 tan PRQ tan PRQtan RPQtan RPQttan RQP5t ，即t 仝,5a 2代入椭圆方程可得一社 525a 2 4a 2 25b 21，即 a 2 6b 2. MPNQ 的面积为& 6，即2ab 8-.6 ,【点睛】本题考查三角恒等变换、椭圆的方程和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于中档题.二、填空题13 .对一批产品的内径进行测量，所得数据统计如下图所示，估计这批产品内径的中位数为____________ .频率【答案】26【解析】由小矩形的面积之和等于1可求出a的值，计算前3个小矩形的面积可知中位数在第四组中，列式子计算即可.【详解】由题意，得(0.0125 2 0.025 0.0375 0.05 a) 5 1，解得a 0.0625.前3个小矩形的面积S (0.0125 0.025 0.05) 5 0.4375，故所求中位数为故答案为：26. 【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题 .14 •已知VABC 中，D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点.若uur uuu uunBE mAD nAE ，则m n -----------------------------------------------------------.【答案】-2uuur uuu uuu【解析】结合平面向量的线性运算，用 AD,AE 表示BE ，进而可求出m,n 的值，即可求出答案• 【详解】 如图，uur uur uur 3 uuiu uuu 3 uuu uuu uuu3 uuuuuiu uur uur 3 uuu BE BC CE 2 DC AE 3(AC 2 AD)AE 严AD) AE 2AE 2 AD33 7，所m n 2 , 所以 m n -2222250.5 0.4375 0.062526.故答案为： 7. 2【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查推理论证能力，属于基 础题.115 .记数列 a n 的前n 项和为S n ，已知a 13k 的最大值为 _____________ .【答案】19【解析】利用a n 1 S n 1 S n ，将等式转化为只含an 1——.若41S kS n1 1k39 ,S n ,S n 1的关系式，进而可得到【详解】故答案为：19. 【点睛】S n 与a n 关系问题的求解思路:根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 ① 利用a n S n S n-1门2，转化为只含&$.一1的关系式，再求解； ② 利用S n 1 a n n 2，转化为只含a n , a n 1的关系式，再求解•2x 3 门 ------ ,x 0216.已知函数 f(x) x 1，函数 g x f x 2m 1 f x 2m ,x 2 4x 3,x 0若函数g x 有7个零点，则实数 m 的取值范围为 _______________ .3【答案】，1 U 02【解析】作出函数f x 的图象，令g(x) 0，解得f(x) 1或f(x) 2m ，结合图 象易知f(x) 1有4个解，从而只需f(x) 2m 有三个解，结合图象讨论 2m 的取值 范围即可. 【详解】式 41S k1 ST39 1,即数列1ST是等差数列，从而可求出 S n 的表达式, 解不等可求出答案•依题意，得a n1Sn 1S i 1Sn 1S n 1 S n 1 S nS ；12S n 1所以S n 1S n2S n 11，则SnS n 1 S n即二 述±_S n 1 S n 11S n 11S n 11S n 111所以S n 111 ST!1.故数列1是首项为S n 1a 1|，公差为1的等差数列，贝y -一-S n 1所以S n 2n 1 2n 1故 41S k39可化为41生」2k 1 39，解得k 20 ,因为k N *，所以k 的最大值为19.3 上单调递减，在 ,0上2y f (x)和y 1的图象有4个交点，即f(x) 1有4个实数根，所以只需f(x) 2m有3个实数根即可•观察可知，当2 2m 3或2m 0时，符合题意,3 解得一 m 1或m 0.本题考查函数的图象性质，考查函数的零点，考查推理论证能力以及数形结合思想，属 于中档题.三、解答题417 •如图所示，在平面四边形 ABCD 中，tan BCD .3当x 0时,f (x) x 4x 3，在0,2上单调递减,(2,+?)上单调递增，且f(0) 3. 作出函数f x 的图象如下图所示:令 g(x) 2f (x)(2m 1)f (x)2m 0,解得 f(x) 1 或 f (x) 2m ，而3时，图象始终在 2的下方;2故答案为：3, 1 U 02 -^|，f(x)在(2)若 CBD 45 , BC 2，求 VBCD 的面积.【答案】（1） AC 5（ 2） 8【解析】（1）由tan BCD ，可求出cos BCD ，结合 ACB Z ACD ，可求得cos ACB ，在VABC 中，由余弦定理可求出 AC 的长;（2）先求得sin BCD,cos BCD ，则sin CDB sin BCD 45 ，然后利用正弦定BC理sin CDBCD sin CBD可求出CD ，进而可求出VBCD 的面积•【详解】(1) tan BCD-,则BCD 是钝角， cos BCD 0 ,可求得cos BCD335因为 ACBZ ACD ，所以 cos BCD3 2cos 2 ACB 1.5因为 cos ACB 0，所以 cos ACB —.5在VABC 中，由余弦定理得AB 2BC 2 AC 2 2BC AC cosACB ，即AC 22- AC 3 0. 5解得AC '、5，或AC3,5 5（舍去）•所以 AC 5 .（2）由（1）可知，sin BCD 1 cos 2 BCD -.5在VBCD 中，因为 CBD45 ,所以sin CDB sin 180BCD 45sin BCD 45J 2(sin BCD cos BCD)吧CDsin CDB sin CBDBC sin CBD . _ 所以CD 10.sin CDB1 4故VBCD的面积S 丄2 10 = 8.2 5【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题•18 •如图，三棱锥P ABC中，VABC是等边三角形，M是线段AC的中点，N是线段CB上靠近C的四等分点，平面PBC 平面ABC .A(1)求证：MN PB;(2)若PB PC BC 4，求二面角A PC B的余弦值•【答案】(1)证明见解析；(2) ―55【解析】(1)取BC的中点为O,连接AO ,由VABC是等边三角形，可得AO BC ,MN //AO，结合平面PBC 平面ABC，易证MN 平面PBC，从而可证明结论；(2)连接PO,易知OA, OB , OP两两垂直，以OA, OB , OP所在直线为x轴, y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，然后分别求出平面BPC、APC【详解】(1)如图，取BC的中点为O，连接AO .因为VABC是等边三角形，所以AO BC .由题意知MN //AO，从而MN BC .因为平面PBC 平面ABC，平面PBC I平面ABC BC , MN BC , 所以MN 平面PBC.又PB 平面PBC，所以MN PB.的法向量，设二面角A PC B为，贝U cosir rm n，可求出答案BC由正弦定理得(2)如图，连接P0.因为PB PC ，所以PO BC .又平面PBC 平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC , PO BC , 所以P0 平面ABC .所以0A , OB , 0P 两两垂直.分别以0A , OB , 0P 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .因为PB PC BC 4，VABC 为等边三角形,所以 PO A0 2、3，所以 A 2 3,0,0 ，C 0, 2,0，P 0,0, 2. 3， uir uuu 从而 PA 2 3,0, 2.3，PC 0, 2, 2 3 . 设平面APC 的法向量n x,y,z19 •由于工作需要，某公司准备一次性购买两台具有智能打印、扫描、复印等多种功能XPA 0 /曰 2.3x 2 一 3z 0 由 v uuv ，得 _n PC 0 2y 2 3z 0 x zr l 即 .可取 n 1,、3,1y 、3zir取平面BPC 的一个法向量m 1,0,0设二面角A PC B 为，则cos1 1 .'3 0 1 0.12 212 -,12 02 02m n本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.的智能激光型打印机•针对购买后未来五年内的售后，厂家提供如下两种方案:收取费用3000元;收取费用1000元以这200台打印机使用五年的维修次数的频率代替 1台打印机使用五年的维修次数的概率，记X 表示这两台智能打印机五年内共需维修的次数 （1） 求X 的分布列及数学期望；（2） 以两种方案产生的维修费用的期望值为决策依据，写出你的选择，并说明理由 【答案】（1）详见解析（2）应使用方案一，详见解析【解析】（1）X 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，7，8，分别求出对应概率, 列出分布列并求出数学期望即可;（2）分别求出两种方案产生的修理费用的分布列，进而可求出对应的期望值，比较. 者大小可得出答案• 【详解】20 11次的概率为 ，维修2次的概率为200 10该公司搜集并整理了 200台这款打印机使用五年的维修次数，所得数据如下表所示:1 111 1 1P(X 2)— —，P(X 3) 2 — —10 10 10010 4 201 11 2 1 2 57P(X 4)24 410 5 16 25 4001 21 1 1 P(X 5)224 510 4 4，2 21 1 4 1 57c 2 1 1P(X 6)2P(X 7) 2 -5 54 4 25 8 2005 4 5X 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，7，8，方案一：一次性缴纳 10000元，在未来五年内，可免费上门维修5次，超过5次后每次方案二：一次性缴纳14000元，在未来五年内，可免费上门维修7次，超过7次后每次（1 ）依题意，1台打印机使用五年维修 50200 1，维修3次的概率为-80-4200-，维修4次的概率为—— 5 200P(X 8)2 43 204 575 1006 1147 808 255.6.400id o d斥 71 1故 EY10000莎13000-16000519000亦1261752215 1故 E Y 214000 1500014062.5 E 丫 .216 16 1故应使用方案一. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望在实际生活中的应用 ，考查学生的计算能力，属于基础题. 20 •已知抛物线：:y 2 4x , A , B , C , D 四点都在抛物线上.16'故 E(X)(1)若线段AC的斜率为2，求线段AC中点的纵坐标；1 1 所以kPQ2m t 2m2 2m ；2 m ；2m 2，则直线PQ : y2m 11x m 1 m 2c 22m )因为AC1BD ，所以一m 2，即 m 1m 21.所以直线 PQ : ym 1 m2 (x 4)， 故直线PQ 过点R ，即 Q ，R 三点共线.（2）记R 4,0 ,若直线AC , BD 均过定点2,0，且AC BD , P , Q 分别为AC ,BD 的中点，证明：P , Q , R 三点共线.【答案】（1） 1; （2）证明见解析【解析】（1）设Ax ,,%, C X 2,y 2，分别代入抛物线方程并作差，结合线段 AC 的斜率为2，可求出y y 的值;（2）设出直线 AC ，BD 的方程，分别与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得到PQ 方程的表达式，结合AC BD ，证明R 在直线PQ上即可. 【详解】则线段AC 中点的纵坐标为1.同理可得，Q 2 2m ；,2m 2 .Q 坐标的表达式，进而求得直线 (1)设 A x ,, y , ，C X 2,y 2 ，A ，C 在抛物线上，得 2 y1 2 y24x 1 4x 2，两式相减可得 y 1 y 2 y 1 y 24 x 1 x 2 .由题意知,X 1X 2，所以% y 2X 1 x 2(2)因为ACBD ，故直线 AC ，BD 的斜率存在且不为零•设直线AC : xgy2，直线 BD : x m 2y2.易知m 1m 2 0， m 1 m 2.由y 2 4Xx gy 2，得 y 2 4m 』8 0，则 y 1设 P x p ,y p .则 y P* y ?22m i ， X p 222g ，即 P 22m ! ,2 m !.x【点睛】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力 以及函数与方程思想，属于中档题•f (x)21.已知函数 f(x) (x 1)lnx mx , g (x) —.xe(1)若 m2，求证：当 x 1 时，f(x) 2 ；(2) 若函数g(x)在1,e 上单调递减，求实数 m 的取值范围.1 【答案】(1)证明见解析；(2), — 1 U 2,e【解析】(1) m 2时，求导并判断函数 f(x)的单调性，可得f(x)在(0,)上单调递增，即当x 1时，f x f 12 ；f (x)(2)构造函数h(x)，求导并判断单调性可得x0 和 h(x) min 0 h(x) max 三种情【详解】h (x)在1,e 上单调递增，可求出 h(X )min 与 h(x )max ，然后分 h(X )min 0、h(X )max 况讨论，使得g(x)在1,e 上单调递减所满足的条件, 可求出实数m 的取值范围.(1)依题意f(x) (x1)ln x 2x ，定义域为 0,,f (x) In x令 m(x) In Inx11.x1 2 x 1x 1，则 m (x) x1 x 1~~2 2x x所以当0x 1 时，m (x)0 ,1 时，m (x)0 .所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增•所以 m(x) m(1)0，即 f (x)所以函数f(x)在(0,)上单调递增.x所以 h(x)min h(1) m , h(x)max h(e)所以当x 1时，f x 2.(2)设 h(x)x(x 1)ln x mx 1 - Inx m ，贝U h (x) -_—1 xx易知当x 1,e 时，x1 Inx ,即 h (x) 0，故h(x)在1,e 上单调递增.4【点睛】 本题考查导数的计算，考查利用导数研究函数的性质，考查构造函数的数学思想，考查 学生的推理论证能力，属于难题亠x 2A /3COS22 .在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为(为参数).y 2si n以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为、2，且I 与C 交于A ，B 两点，已知点 M 的极坐标为 2,3①若h(1)m 0，则在1,e 上，翌0，所以g(x)11 ln x m x xe所以g (x)221 x x l nx mx x 1^~xx e令 u(x)1 x x2 l n x mx 2 x 1.在1,e 上, 要使g(x)单调递减，则 0.因为 u(x) (1 2x)ln x1(2 m 1)xx0，所以u(x)在 1,e 上单调递减. 所以 u (x)max u(1)2 0，所以m2.②若 h(e)则在1,e 上,h(x)所以In xg(x)由①可知 g(x)u(x) 2 x x e所以当1,e 时,u(x)x x 2 l n x mx 2x 2 ln x1 x x2 (1 ln x) 0从而g 0，所以g x 在1,e 上单调递减.③若hh e ，则存在x °(1,e)，使得 h从而x 0 0.而 g(1) 综上所述, h(1)0，g(e)h(e) ee0,从而g x 在区间 1,e 上不单调递减.实数 m 的取值范围为11 U 2, esin（1） 求曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程，并求 MA| |MB 的值； （2） 若矩形DEFG 内接于曲线C 且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.2 2【答案】（1）曲线C 的普通方程为 — y 1 ；直线的直角坐标方程为 x y 2；124MA MB 4（ 2）16【解析】（1 ）结合参数方程、极坐标方程及普通方程间的关系， 转化即可求出曲线 C 的 普通方程和直线I 的直角坐标方程；求出直线I 的参数方程的标准形式，并代入曲线C 的 普通方程中，得到关于 t 的一元二次方程，结合|MA |MB |址2可求出答案；（2）设【详解】由椭圆的对称性可知，矩形的周长为【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程及普通方程间的转化，考查直线的参数方程的应用，考 查三角恒大变换，考查运算求解能力，属于基础题点D 在第一象限，且 D 2.3 cos ,2sin0-，可知矩形的周长为 24 2,3 cos 2sin，利用三角函数的性质求最大值即可（1）依题意，得点M的直角坐标为2,0，曲线C 的普通方程为2 X 12 2y- 1. 4由直线I ： 2in2cos2、、2， 得其直角坐标方程为所以直线I 的参数方程为2（t 为参数），代入—12可得t 2 2t 4 0，所以MA MBt 1t24.（2）不妨设点D 在第一象限，且 D 2 . 3cos ,2sin°，n .4 2 3 cos 2sin 16 sincos_216sinn0,，所以当 2n—时，矩形DEFG6的周长取最大值, 最大值为 16.23.已知a 0, b 0.(1)若c 0，证明a 4b c22 ab 、、ac 2 .. bc ;2 21 6ab 3a 3b 〜(2)右a b，证明：2a 2 22b.a2 2ab b2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)由基本不等式可得：a 4b 4、、ab , a c22 . ac , 4b c2 4. bc ,三个式子相加可得到结论；1 1(2)经过变形，不等式左边2a 23，故证明2(a b) 2 3即可,(a b) (a b)然后利用三个正数的基本不等式可证明结论【详解】(1)依题意，a 4b <ab，当且仅当a 4b时等号成立•a c22 ac，当且仅当a c2时等号成立.4b c24 \ bc，当且仅当4b c2时等号成立•1 6ab1 6ab【点睛】三式相加可得，2a 8b 2c 2 4\ bc ，即 a 4b c 22、、ab 、、ac bc ，当且仅当 a 4bc 2时等号成立•(2)因为a b ，所以a b0.而2a1 6ab 3a2 3b 2 a 2 2ab b 22a1 3(a b)2(ab)2 2a(a3.要证2a(a 2b ， 即证 2(ab)(a b)2即证(ab) (a b)(a b)2而(a b) (a b)(a b)233 (a b) (a b)(a b)2当且仅当1 (a b)2a b ，即 a b 1时等号成立,所以2a2 23a 3b2 2 a 2ab b2b .本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题。
天一大联考“皖豫联盟体”2022届高三下学期第三次考试理科数学试卷含答案
!M需＊启用晌天一大i联考··皖猿i',校联盟I 丰”2022府向中毕业班第二三队；考试理科数学3号§在泣’：I.荼越辅导立务必将＠己创惶惑、管生'l"l4写在认＂和�JI 卡尘。
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天一大联考皖豫联盟2024届数学高一下期末预测试题含解析
天一大联考皖豫联盟2024届数学高一下期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．2．设函数2()2cos 32f x x x a =++（a 为常实数）在区间[0,]2π上的最小值为4-，则a 的值等于（ ）A ．4B ．-6C ．-3D ．-43．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R4．已知三棱锥D ABC -中，1,2,3,2AB BC AD BD AC =====BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．4πC 6πD ．86π5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．()221n a n n =++ B ．32nn a =⨯C ．31n a n =⨯D ．23nn a =⨯7．将两个长、宽、高分别为5，4，3的长方体垒在一起，使其中两个面完全重合，组成一个大长方体，则大长方体的外接球表面积的最大值为（ ） A ．150πB ．125πC ．98πD ．77π8．已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差2d =,则5a =( ) A ．5B ．7C ．9D ．119．已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则51S 的值为（） A ．-199B ．199C ．-101D ．10110．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
数学-皖豫联盟高三一联多维细目表+命题报告
“天一大联考·皖豫名校联盟”2024届高中毕业班第一次考试数学·命题报告一、试题命制依据1．严格遵循高中数学课程标准和教材。
2．贴近新高考全国卷的试题模式和命题风格。
3．根据高中高考总复习进度，重点考查，力求知识全覆盖。
4．结合学生实际情况，调控试题难度，整体难度为中等。
5．检查学生知识掌握的情况，为后续学习和复习备考提供有效的数据参考，更好地制定教学计划。
二、知识点及题型分布1．本次考试考查内容为高考的全部内容，并对集合与逻辑、函数与导数两部分进行重点考查。
2．题型分布：单项选择题（8）＋多项选择题（4）＋填空题（4）＋解答题（6）。
3．权重比例：主题知识单元分值比重函数集合与逻辑、不等式、函数、导数、三角函数、数列8657%几何与代数平面向量、复数、立体几何、解析几何69 36%概率与统计计数原理、概率、统计10 7%三、试题简评1．考查全面，注重基础性。
全面考查了集合、复数、平面向量、立体几何、统计与概率、函数与导数以及数列等知识点，实现了基础知识全覆盖，同时突出主干知识的考查，贴近日常教学实际。
2．真实情境，彰显应用性。
第3题以生活中细菌的培养为背景，考查指数和对数的运算；第9题以昼夜温差的大小与人体的健康状况为实际生活背景，考查正态分布、成对数据分析、概率、随机变量及其分布列的期望的综合应用，考查考生在实际情境中应用数学解决实际问题的能力。
3．设置梯度，体现综合性。
单选前3 题，多选第1 题，填空前2 题均以设置单一知识点进行考查，体现出了试卷的基础性，考查了基础知识的综合应用能力，第6题将圆的切线方程与基本不等式进行结合，第11 题将新定义函数性质、函数与方程来结合来综合考查，第12 题为立体几何线面位置关系、求角、动态问题的综合考查，4. 逐层设置，展示阶段性。
根据高三学习的进程，解答题重点体现本章知识内的综合，难度层层提高。
17 题为解三角形的综合。
第18 、22题考查利用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式等知识。