最大熵模型在物流量分布预测中的应用

曹景， 等： 最大熵模型在物流量分布预测中的应用
分析与决策
最大熵模型在物流量分布预测中的应用
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｎｔｒ ｏｐｙ－ ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ Ｍｏｄｅｌ ｉｎ Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ Ｄｉｓｔｒ ｉｂｕｔｉｏｎ Ｆｏｒ ｅｃａｓｔ
曹 景， 李宗平 ＣＡＯ Ｊｉｎｇ，ＬＩ Ｚｏｎｇ－ ｐｉｎｇ （ 西南交通大学 物流学院， 四川 成都 ６１００３１） （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ， Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００３１， Ｃｈｉｎａ）
［参 考 文 献］ ［１（］ 美） Ｓ 伯 恩 斯 坦 著 ， 史 道 济 译．统 计 学 原 理 推 断 性 统 计 学［Ｍ］．北 京 ：
科学出版社， ２００２． ［２］俞礼军， 严海 ， 等．最 大熵原 理在 交通 流统 计分布 模型 中的 应用［Ｊ］．交
通 工 程 学 报，２００１． ［３］张锦．物流系统规划［Ｍ］．北京： 中国铁道出版社，２００４． ［４］褚 琴 ， 陈 绍 宽．重 力 模 型 标 定 方 法 及 应 用 研 究［Ｊ］．交 通 运 输 系 统 工 程
５．１ 最大熵模型
依 据 式（ １７） ， 基 于 现 状 Ｏ－ Ｄ 矩 阵 标 定 参 数 γ， 得 到 γ＝ ０．３８２ ６， 此时最大熵模型表达式为：
利用终止计算准则：
， 反复收敛迭
代计算确定系数 μｉ 和 λｉ。取 ε１＝０．０００ ５ 和 ε２＝０．０００ １， 经计 算分别迭代 ３ 次、４ 次， 得到相同的 Ｏ－ Ｄ 矩阵， 列于表 ２。
间， 产生的组合数 Ｅ 可由下式表示
（８）
再引入 ｑｉｊ， 某一种分布方式发生的概率根据多项式概率分 布可表示为：
（９）
根据最大熵原理， Ｆ 取最大值时对应的分布方式即为所 求。对 Ｆ 取对数得：
式中， ａｉ＝ｅｘｐ（μｉ／ｆｉ）， ｂｊ＝ｅｘｐ（λｊ）。μｉ 和 λｊ 是与约束条件有关 的拉格朗日系数， 对约束条件进行反复收敛计算来决定。于是 得到 Ｏ－ Ｄ 对 ｉｊ 间的物流分布量：
［收稿日期］２００６－ ０７－ ２５
［作者简 介］曹 景， 女 ， 西南交 通大 学物 流学 院硕士 研究 生， 研 究方 向：物
流 工 程 、物 流 系 统 优 化 。
李宗平， 教授， 研究方向：物 流系 统工 程、交 通运输 规划 与管
理。
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（１５） 其中 β０＝ｌｎα， β３＝－ γ 令
则 ｙ＝ｘβ， 用最小二乘法估计可得 （１７）
其 中 － γ＝β２， 标 定 出 γ 的 值 后 代 入 式（ １２） 求 ｈｉｊ， 对 约 束 条 件 进行反复收敛计算来确定 μｉ 和 λｉ。
５ 计算示例
式（ １０） 的 第 一 项 表 示 熵 ， 第 二 项 表 示 阻 抗 的 期 望 值 ， 需 求 解 的 未知变量是 ｈｉｊ， 把式（ ５） 、（ ６） 的端点条件 作为约束条件， 求其最 大值。令 Ｌ＝ｌｎＦ， 写出以下规划问题：
的流量守恒条件可表示如下：
（５）
（６）
假 设 Ｏ－ Ｄ 物 流 小 区 ｉ、ｊ 的 先 验 概 率 ｑｉｊ 由 下 式 重 力 模 型 给 定：
（７）
式中 ｑｉｊ—称为重力式先验概率； ｔｉｊ—小区 ｉ 到小区 ｊ 之间的广义出行费用； α、γ—回归系数， 可通过实验数据确定。 先不考虑 ｑｉｊ， 将 总 量 为 Ｘ 的 物 流 量 任 意 分 布 到 各 小 区 之
Ｋｅｙｗｏｒ ｄｓ：ｅｎｔｒｏｐｙ－ ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ ｍｏｄｅｌ； ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ； ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ ｐｒｉｏｒ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ．
１ 引言
用“ 四阶段法”进行物流规划时， 根据各区现状的物流交换 量以及各区未来的发生、吸引量， 找出各区未来的空间交换量。 目前常用的物流分布预测模型有重力模型， 但重力模型参数标 定复杂， 因此这种模型在实际应用中有一定的局限性， 要根据 经 验 得 到 。物 理 学 中 的 熵 具 备 描 述 系 统 的 微 观 状 态 和 宏 观 状 态 之间相互关系的能力， 于是将熵概念引入物流状态分析中， 得 到 了 物 流 分 布 的 最 大 熵 模 型 。该 模 型 在 一 定 程 度 上 克 服 了 重 力 模型的使用局限， 能较好的描述区域之间的物流分布， 为物流 规划打下了良好的基础。
表 ２ 最大熵模型对现状出行总量进行分布预测
５．２ 双约束重力模型
用双约束重力模型进行物流分布预测时， 对于参数 γ， 用 试算法进行标定。计算步骤参见参考文献［４］， 得到预测出行分
布的表达式：
。分布结果如表 ３ 所示。
从表 ４、表 ５ 的误差分析中得出： 与双 约 束 重 力 模 型 相 比 ， 最大熵模型的预测平均误差较小。
６ 结论
最大熵模型能描述系统的宏观状态和微观状态， 当物流总 量一定时， 取发生概率最大 的微观状态为预测的 Ｏ－ Ｄ 分布形 式， 隐含考虑了随机因素的影响， 从宏观上描述了物流量分布； 由于引入了重力式先验概率， 能用现状 Ｏ－ Ｄ 分布准确标定模 型参数， 即使是现状 Ｏ－ Ｄ 矩阵不完备的情况下也能预测。因此 最大熵模型具有较强的实用性。
单位： ｔ／ｈ
５．３ 误差分析
下面分 别 对 两 种 预 测 模 型 进 行 误 差 分 析 ， 误 差 用（Ｌｉｊ－ ｌｉｊ）／ｌｉｊ 表示。
表 ４ 最大熵模型的 Ｏ－ Ｄ 分布误差 单位（ ／％）
表 ５ 双约束重力模型的 Ｏ－ Ｄ 分布误差 单位（ ／％）
先对现状出行产生、吸引总量 ｘｉ、ｙｊ 进行 Ｏ－ Ｄ 分布， 以比较 两种模型的预测误差。
２ 最大熵模型的基本原理
３ 物流分布的最大熵模型
１９４８ 年 Ｃ．Ｅ．Ｓｈａｎｎｏｎ 首次提出了信 息 熵 的 概 念 ， 把 熵 作 为
佐佐木纲模型引入了重力式先验概率， 可以用观测的流量
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分析与决策
数据来检验， 较实用。本文讨论佐佐木纲的熵模型。 假设规划年 区 ｉ 的 物 流 发 生 概 率 为 ｆｉ， 区 ｊ 的 物 流 吸 引 概
其中： Ｈ（Ａ）是随 机 变 量 Ａ 的 熵 ； Ｐｉ 为 随 机 变 量 Ａ 在 ａｉ 出 现 时 的 概 率 ； ｆｋ（ａｉ）为 Ａ 的 某 种 函 数 ； Ｆｋ 为 若 干 已 知 函 数 ｆｋ（ａｉ）的 均 值。
在 物 流 分 布 预 测 中 ， 设 规 划 区 域 物 流 发 生 量 为 Ｘ， 将 Ｘ 任 意分布到各 Ｏ－ Ｄ 对间的分布方式为 随 机 变 量 Ａ， 每 一 种 分 布 方式， 即系统的微观状态， 相互独立， 发生的概率为 Ｆ， 当 Ｆ 最 大时， 熵最大， 对应的分布方式即为所求。从概率的角度看， Ｆ 可表示为某一种分布方式的组合数与所有分布方式的组合数 的比值， 当 Ｘ 在各小区之间平均分布， 即各 Ｏ－ Ｄ 对间的物流量 相等， 这种分布可称为均匀分布， 对应的组合数最多， 此时 Ｆ 最 大。但是均匀分布在实际情况中是不会发生的， 故需增加约束 条件， 求 Ｆ 最大时的物流分布。接下来介绍物流分布预测的最 大熵模型。
一个随机事件的“ 不确定性”或信息量的度量。随后， １９５７ 年 Ｅ． Ｔ．Ｊａｙｎｅ 提出了一个准则： 当 根 据 部 分 信 息 进 行 推 理 时 ， 必 须 选 择这样一组概率分配， 它应具有最大的熵， 并服从一切他分配， 就 等 于 对 原 来 没 有 信 息 做 了 随 意 假 设 。这 一 准 则 被 称 为 最 大 熵 原 理。数学上的最大熵原理可表示为如下优化问题：
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曹景， 等： 最大熵模型在物流量分布预测中的应用
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表 ３ 双约束重力模型对现状出行总量进行分布预测
图 １ 计算示例图
表 １ 给出了已知物流网络的现状 Ｏ－ Ｄ 调查数据及已预 测 的各小区规划年的物流出行产生 、吸引总量， ｘｉ、ｙｊ 表示各小区 的 现 状 出 行 产 生 、吸 引 总 量 ； 根 据 现 状 的 各 区 的 物 流 发 生 与 吸 引量， 现状的社会经济指标， 找出它们之间的关系， 然后根据未 来 各 区 的 社 会 经 济 发 展 情 况 ， 预 测 各 区 规 划 年 的 发 生 、吸 引 物 流总量； 根据时间、费用、服务水平来确定广义出行费用 ｔｉｊ。 表 １ 物 流 小 区 现 状 Ｏ－ Ｄ 矩 阵 及 规 划 年 物 流 产 生 、 吸 引 量
与 信 息，２００３． ［５］佐 佐 木 纲，杨 涛 译 ．最 大 熵 模 型 及 其 在 一 种 土 地 模 型 中 的 应 用 ［Ｊ］． 国 外
城 市 规 划，１９９７． ［６］王 炜 ， 等 ．城 市 交 通 规 划 理 论 及 其 应 用［Ｍ］．南 京 ： 东 南 大 学 出 版 社 ，
１９９８． ［７］饭田恭敬．交通工程学［Ｍ］．北京： 人民交通出版社，１９９４．
［摘 要］引 入 最 大 熵 模 型 的 原 理 和 方 法 ， 对 物 流 分 布 预 测 的 “ 四阶段方法”中的重力模型做了一定的 改进 ， 可以 将发生 概率 最
大的物流分布视为预测的物流分布， 使得模型参数容易标定。示 例表明该方法在物流量分布预测中具有较好的应用前景。
［关键词］最大熵模型； 物流量分布预测； 重力式先验概率 ［中图分类号］Ｆ２２４．０；Ｆ５０２ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１００５－ １５２Ｘ（２００７）０２－ ００８５－ ０３ Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｅｎｔｒｏｐｙ－ ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ （ＥＭ） ｍｏｄｅｌ， ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ ｐｈａｓｅｓ ｏｆ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｏｒｅｃａｓｔ． Ｉｔ ｔｒｅａｔｓ ｔｈｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｓ ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．