安徽省2018届高三上第一次月考数学试卷(理)含答案

2018届高三数学上学期第一次月考试题 理（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2|20A x x x =-<，{}2B x x =<则( )A.A B =∅B.A B A =C.A B A =D.A B R =2已知复数4m xi =-，32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ） A.6-B.6C. 83-D. 833.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A.22π+ B.23π+C.43π+D.42π+4.已知等边ABC ∆与等边DEF ∆同时内接于圆O 中，且//BC EF ，若往圆O 内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）A ．3πB ．πC ．2πD ．4π5.已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a aa a ++的值为（ ）A.2B.4C.8D.166.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 1.5S =（单位：升），则输入k 的值为（ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．97．已知角α终边与单位圆x 2+y 2=1的交点为1(,)2p y ，则sin(2)2a π+=（ ）A ．12-B ．12 C．2- D ．1 8、设x ，y 满足约束条件230,2210,0,+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩x y x y x a 若-+x y x y 的最大值为2，则a 的值为（ ）A ．12 B ．14 C ．38 D ．599，2OB = ，OC mOA nOB =+ ，若OA 与OB的夹角为60°，且OC AB ⊥ ，则实数mn的值为（ ）A. 16B. 14C. 6D. 410．函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜011.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12．已知定义域为R 的函数g （x ），当x ∈（﹣1，1]时，211, 1<0()132, 0<1x g x x x x x ⎧--≤⎪=+⎨⎪-+≤⎩，且g （x +2）=g （x ）对∀x ∈R 恒成立，若函数f （x ）=g （x ）﹣m （x +1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（，） B ．（﹣∞，]∪（，+∞） C ．[，） D ．[，]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知函数2()2sin()12f x x x x π=-+的两个零点分别为m 、n （m ＜n ），则=14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第_______项.15.若()()5321a y x y x +--+的展开式中各项系数的和为32，则展开式中只含字母x 且x的次数为1的项的系数为________16.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2A+sin 2C=sin 2B ﹣sinAsinC ． （1）求B 的大小；（2）设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AD =2，BD =1，求sin ∠BAC 的值．18、（本小题满分12分）2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： （Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E (X )；CBD19（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ， ∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E 是边SB 的中点．（1）求证：CE ∥平面SAD ；（2）求二面角D ﹣EC ﹣B 的余弦值大小．20.（本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于M ，N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点． （Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与||MN 相等，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）函数f （x ）=lnx++ax （a ∈R ），g （x ）=e x+．（1）讨论f （x ）的极值点的个数；（2）若对于∀x ＞0，总有f （x ）≤g （x ）．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：对于∀x ＞0，不等式e x+x 2﹣（e +1）x +＞2成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分10分）．22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 23.已知函数()52f x x x =---.（1）若x R ∃∈，使得()f x m ≤成立，求m 的范围； （2）求不等式2815()0x x f x -++<的解集高三数学（理科）参考答案选择题一、1-5 BCACD 6-10 BACAC 11-12CC 二、填空题132π三、解答题17.解：（本小题满分12分）（1）在△ABC 中，∵sin 2A+sin 2C=sin 2B ﹣sinAsinC ， ∴a 2+c 2=b 2﹣ac ，… ∴cosB==﹣=﹣，…∵B ∈（0，π），… ∴B=．…（2）在△ABD中，由正弦定理：，∴sin ∠BAD===，…∴cos ∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin 2∠BAD=1﹣2×=，…∴sin∠BAC===．…18. 解：(1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P＝1－189256＝67256.6分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C315，由题知X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C310C315＝2491，P(X ＝1)＝C15C210C315＝4591，P(X＝2)＝C25C110C315＝2091，P(X＝3)＝C35C315＝291，X分布列为所以E(X)＝0×91＋1×91＋2×91＋3×91＝1.8分 12分19【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且EF=AB，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，又∵AB=2CD，且EF=CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴FD∥EC，又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，∴CE∥面SAD．解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．..20.解：（20.解：（Ⅰ）设2(,)4yA y，圆C方程为2(2)()()04yx x y y y--+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，∴0M N y y y +=，2014M N y y y =-，||||2M N MN y y =-==．（Ⅱ）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，∵3OP OQ ⋅=- ，∴12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， ∴2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，当(2,0)B 到直线l的距离d =∵圆心C 到直线l 的距离等于直线1x =的距离，∴208y =又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时，200240y m y -==，直线l 的方程为3x =， 综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21.解：（1）由题意得f'（x ）=x++a=，当a 2﹣4≤0，即﹣2≤a ≤2时，f'（x ）≥0恒成立，无极值点； 当a 2﹣4＞0，即a ＜﹣2或a ＞2时，①a ＜﹣2时，设方程x 2+ax+1=0两个不同实根为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 1，x 2， 则x 1+x 2=﹣a ＞0，x 1x 2=1＞0，故0＜x 1＜x 2， ∴x 1，x 2是函数的两个极值点．②a ＞2时，设方程x 2+ax+1=0两个不同实根为x 1，x 2， 则x 1+x 2=﹣a ＜0，x 1x 2=1＞0，故x 1＜0，x 2＜0， 故函数没有极值点．综上，当a ＜﹣2时，函数有两个极值点； 当a ≥﹣2时，函数没有极值点．（2）（i ）f （x ）≤g （x ）等价于e x﹣lnx+x 2≥ax ，由x ＞0，即a ≤对于∀x ＞0恒成立，设φ（x ）=（x ＞0），φ′（x ）=，∵x ＞0，∴x ∈（0，1）时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时，φ'（x ）＞0，φ（x ）单调递增， ∴φ（x ）≥φ（1）=e+1， ∴a ≤e+1．（ii ）（ ii ）由（ i ）知，当a=e+1时有f （x ）≤g （x ），即：e x +x 2≥lnx+x 2+（e+1）x ，等价于e x+x 2﹣（e+1）x ≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，以下证明：lnx+≥2，设θ（x ）=lnx+，则θ′（x ）=﹣=，∴当x ∈（0，e ）时θ'（x ）＜0，θ（x ）单调递减， x ∈（e ，+∞）时θ'（x ）＞0，θ（x ）单调递增， ∴θ（x ）≥θ（e ）=2，∴lnx+≥2，②当且仅当x=e 时取等号；由于①②等号不同时成立，故有e x+x 2﹣（e+1）x+＞2．22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=，得22sin 2cos .ραρα= ……4分∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22= ……5分（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--=……6分 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，……7分12AB t t =-==22.sin θ=……9分 当2πθ=时，AB 的最小值为2. ……10分23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩……3分 当25x <<时，3723x -<-<， 所以3() 3.f x -≤≤……4分 ∴ 3.m ≥-……5分 （II ）即()2815f x x x -≥-+由（I ）可知，当2x ≤时，2()815f x x x -≥-+的解集为空集；……6分 当25x <<时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|55}x x ≤<； ……8分 当5x ≥时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.……9分综上，不等式的解集为{|56}x x ≤≤.……10分。