勾股定理经典题型及解析,八上勾股定理典型例题归类总结含答案
勾股定理典型题解析(含解答)
第十八章勾股定理1. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24 知识点：勾股定理的逆定理知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。
答案:A详细解答: A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形．B． a2-b2=c2即a2 =c2+b2，这个三角形是直角三角形．C．a2=(b+c)(b-c) 即a2 =b2-c2，所以a2 +c2= b2，这个三角形是直角三角形．D． a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2 =262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（）．（A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4答案:C详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。
其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。
2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（）A、8B、10C、12D、16知识点：勾股定理在数学上的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理经典题型（后附答案）
勾股定理经典题型（后附答案）第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)⼀、经典例题精讲题型⼀：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并⽤——例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41=那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？题型四：利⽤勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有⼀所中学，AP=160⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐上边缘的B 处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯的B 点，最少要花⼏秒钟？三、课后训练：⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。
人教新版八年级数学上册经 典勾股定理的应用总结(含答案 )
设 ，则 。
在Rt△ECF中， ，即 ，解得
。 即EF的长为5cm。
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
应用2：勾股定理的构造应用 例、如图，已知：在
中， ， ， . 求：BC的长.
解析：作 于D，则因 ，
∴ （ 的两个锐角互余）
∴
（在 中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在 中，
由勾股定Байду номын сангаас可得：
所以
（2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向
应用4：用勾股定理求最短问题 例、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面 的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行 的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾 股定理得
（提问：勾股定理） ∴ AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 答：最短路程约为１０．７７cm．
应用5：利用勾股定理作长为
的线段 例、在数轴上作出
的点。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以 OC为半径，
= 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BECD·DE=
应用3：勾股定理的实际应用 例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏
八年级数学勾股定理经典例题解析
八年级数学勾股定理经典例题解析经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，C=90(1)a=6，c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c;(3)c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1)在△ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在△ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在△ABC中，C=90，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,那么AB的长是多少【答案】∵ACD=90AD=13,CD=12AC2=AD2-CD2=132-122=25AC=5又∵ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16AB=4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在中，，，.求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，那么有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，那么因，(的两个锐角互余)(在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，..举一反三【变式1】如图，：，，于P.求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，那么根据勾股定理有.又∵()，.在中，根据勾股定理有，.【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵A=60，B=90，E=30。
AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE==S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C 点。
(文末带答案)八年级数学勾股定理经典大题例题
(每日一练)(文末带答案)八年级数学勾股定理经典大题例题单选题1、若△ABC三边长a，b，c满足√a+b−25+|b−a−1|+(c−5)2=0，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形2、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，，则BC的长是（）折痕现交于点F，已知EF=32A．3√2B．3√2C．3D．3√323、如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16√2，则CE的长度为（）A．2√2B．4C．3√2D．64、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AB =5，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（ ）A ．127B ．2C ．157D ．3 6、如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）A ．5B ．√7C ．√5D ．5或√78、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a +b ＝14cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A ．24cm 2B ．36cm 2C ．48cm 2D ．60cm 2填空题9、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米．则旗杆的高度______．10、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____．11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．12、正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为________．13、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____．解答题14、如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB=90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD=3米，AD=4米，BC=12米，AB=13米．（1）求证：∠ADC=90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．15、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b>a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2=c2．(文末带答案)八年级数学勾股定理_007参考答案1、答案：C解析：根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可解答．解：∵√a+b−25+|b-a-1|+(c-5)2=0，∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0，∴a=12，b=13，c=5，∵a2+c2=b2=169，∴△ABC是直角三角形．故选C．小提示：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键．2、答案：B解析：折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知AB,所以AB=AC,的长可求，再利∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=12用勾股定理即可求出BC的长．解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，且∠AFB=90°，∴EF=12AB，∵EF=32，∴AB=2EF=32×2=3，在ΔRtABC中， AB＝AC，AB=3，∴BC=√AB2+AC2=√32+32=3√2,故选B.小提示：本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．3、答案：C解析：设DC＝3x，CB′=2x，则DB'＝5x，由折叠的性质得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC ＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案．解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD＝3x，∴AB＝AD+DB＝8x＝16√2，∴x＝2√2，∴CD＝6√2，BD＝10√2，B'C＝4√2，∴BC＝√BD2−CD2＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，∵CE2+B'C2＝B'E2，∴a2+32＝（8√2﹣a）2，解得a＝3√2，∴CE＝3√2，故选：C．小提示：本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4、答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故4×12ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，4×12a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．5、答案：A解析：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据三角形面积公式即可求解．解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，在Rt△ACB中，AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵CD是角平分线，∴DE=DF，∴12AC⋅DE+12BC⋅DF=12AC⋅BC，即12×4×DE+12×3×DE=12×4×3，解得DE=127．故点D到AC的距离是127．故选：A．小提示：本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6、答案：B解析：试题分析：设CH＝x，因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3，由折叠知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：(9−x)2=32+x2，解得：x＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理7、答案：D解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8、答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．9、答案：12米解析：设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：(x+1)2=x2+52，解得：x=12，答：旗杆的高度为12米．所以答案是：12米．小提示：本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．10、答案：45°解析：利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．所以答案是：45°．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．11、答案：29解析：如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得AB2=30,BC2=16,CD2=17，再利用勾股定理可得AD2的值，由此即可得出答案．如图，连接AC，由题意得：AB2=30,BC2=16,CD2=17，∵在△ABC中，∠ABC=90°，∴AC2=AB2+BC2=46，∵在△ACD中，∠ADC=90°，∴AD2=AC2−CD2=29，则正方形丁的面积为AD2=29，所以答案是：29．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．12、答案：2√5或52或√652 解析：分情况讨论：(1)当PB 为腰时，若P 为顶点，则E 点与C 点重合，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，∵P 是AD 的中点，∴AP=DP=2，根据勾股定理得：BP=√AB 2+AP 2=√42+22=2√5；若B 为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD 中点，此时腰长PB=2√5；(2)当PB 为底边时，E 在BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E ；①当E 在AB 上时，如图2所示：则BM=12BP=√5，∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP ，∴△BME ∽△BAP ，∴BE BP =BM BA ，即2√5=√54，∴BE=52；②当E 在CD 上时，如图3所示：设CE=x ，则DE=4−x ，根据勾股定理得：BE 2=BC 2+CE 2，PE 2=DP 2+DE 2，∴42+x 2=22+(4−x)2，解得：x=12，∴CE=12，∴BE=√BC 2+CE 2 =√42+(12)2=√652；综上所述：腰长为：2√5，或52，或√652； 故答案为2√5，或52，或√652. 点睛：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键.13、答案：4.8cm.解析：根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．∵直角三角形的两条直角边分别为6cm ，8cm ，∴斜边为√62+82 =10(cm)，设斜边上的高为h ，则直角三角形的面积为12×6×8=12×10h ， 解得：h=4.8cm ，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.小提示：此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.14、答案：（1）见解析；（2）24解析：（1）根据勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°；（2）利用△ABC 的面积减去△ACD 的面积即可．解：（1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13，∴AC=√AB2−BC2=5，∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°；（2）S阴影=S△ABC-S△ACD=1 2×AC×BC−12×CD×AD=1 2×5×12−12×3×4=24．小提示：本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力．15、答案：见解析．解析：首先连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−a，根据RtΔABC≅RtΔDAE，易证∠DAB=90°，再根据S四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE，S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB，两者相等，整理即可得证．证明：连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−aS四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE=12ab+12ab+(b−a)⋅b =ab+b2−ab=b2∵RtΔABC≅RtΔDAE ∴AB=AD=c∴∠ADE=∠BAC∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠BAC+∠DAE=90°即∠DAB=90°，∴AD⊥AB∴S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB=12c2+12(a+b)⋅(b−a) =12c2+12b2−12a2即有：b2=12c2+12b2−12a2∴a2+b2=c2小提示：本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
北师大八年级上勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_________S 3S 2S1考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边长为．2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
北师大版八上数学专题一勾股定理(内含答案详解)
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BS 八上数学专题一勾股定理一．选择题（共14小题）1．在Rt△ABC中，若斜边AB=3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．182．在△ACB中,若AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积为（）A．6B．8C．12D．243．直角三角形的两边长分别为6和8,那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或24．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为(）A．4B．8C．16D．645．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．B．2C．D．26．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（)A．6B．6πC．10πD．127．△ABC的三边长为a，b,c,已知a：b=1：2，且斜边c=2，则△ABC的周长为（）A．3B．5C．6D．68．如图，线段AD是直角三角形ABC斜边上的高，AB=6，AC=8,则AD=（）A．4B．4.5C．4.8D．59．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9,则S1的值为（)A．18B．12C．9D．310．下列各组数据分别为三角形的三边长,不能组成直角三角形的是（）A．9,12,15B．7，24，25C．6，8,10D．3，5，711．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm12．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为（)A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m13．如图，圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm14．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm,如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm二．填空题(共6小题)15．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5）,（5，12,13），（7，24，25)，（9，40,41）…可发现,4=，12=，24=…请写出第5个数组:．16．如果一个三角形的三边长之比为9：12:15,且周长为72cm，则它的面积为cm2．17．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到线段AB的距离是．18．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是时，这三条线段构成直角三角形19．小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0。