第1章位姿几何基础分解说课讲解

类似地，对三维空间中坐标点[x，y，z] 例如齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3） 取w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即
P = [PX PY PZ 1]T
━ w≠0时表示唯一点，点的坐标分别为 x＝a/w y＝b/w z＝c/w
连杆的位姿表示 若给定了连杆PQ上某点的位置和该连杆在空间的姿态， 则连杆在空间是完全确定的。 O为连杆上任一点，OXYZ为与连杆固接的一个动 坐标系，即为动系。 连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位置表示为
P = [xo yo zo]T
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。 令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位矢量 连杆的姿态以坐标形式表示为：
第四列元素X、Y、Z分别表示沿坐标轴 X、Y、Z的移动量。
算子左、右乘规则 若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘； 若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。
例4 图示坐标系的平移变换给出了下面三种情况：动坐标系 {A}相对于固定坐标系的X0Y0Z0相对于自身坐标系轴作(–1,2,2) 平移后到{A}；动坐标系{A} 的XYZ轴分别作(–1，2，2)平移 后到{A} 。已知：
1.平移的齐次变换 空间一点A (XA，YA，ZA)，平移至A (XA，YA，ZA) ，A点和A 点的坐标关系为
或：
也可以简写为 A 'T ran s( X , Y , Z )A
Trans(X，Y，Z)称为平移算子
1 0 0 X
Trans(X,Y,Z) 0 1 0 Y 0 0 1 Z
0 0 0
1
u = [0 0.866 0.5 0]T
矢量 v：cos=0.866，cos=0，cos=0.5
v = [0.866 0 0.5 0]T
矢量 w：cos=0.866，cos=0.5，cos=0
w = [0.866 0.5 0 0]T
四、齐次变换
连杆的运动是由转动和平移组成的,引入齐次坐标变换矩阵描 述刚体运动。
第1章位姿几何基础分解
一般将机器人简化成由连杆、 关节和末端执行器组成的空间 连杆开式链机构 。
要研究机器人，首先分析运动 学和动力学。
把坐标系固连在机器人的每一 个连杆关节上，用变换来描述 这些坐标系之间的相对位置和 方向，进行机器人的位姿分析。
n
2 1
一、坐标系 采用参考坐标系和关节坐标系描述机器人位姿。 参考坐标系：位置和方向不随机器人各关节的运 动而变化，用来定义机器人相对于其他物体的运 动以及机器人运动路径等。
机器人手部的位置和姿态 机器人手部的位置和姿态用固连于手部的动系 {B}的位姿来表示。 手部的中心点为动系原点OB
关节轴为ZB轴，单位矢量a为接近矢量，指向朝外。 手指的连线为YB轴，单位矢量o为姿态矢量，指向可 任意选定。
XB轴与YB轴及ZB轴垂直，单位矢量n为法向矢量，指 向符合右手法则。
手部的位置矢量：动系原点（x0，y0，z0） 手部的方向矢量：n, o, a 手部位姿的(4×4)矩阵表达式：
向量的方向
设向量iA是单位向量，与参考系轴x0的单位向量i0的 夹角为α；与轴y0的单位向量j0的夹角为β ；与轴z0 的单位向量k0的夹角为γ ： 单位矢量在参考系O系上各坐标轴z投0 影方向余弦
cos α
i
0 A
cos
cos
cos
O0 cos
α x0
iA y0
cos
设n, o, a分别代表动坐标轴的单位方向矢量 单位矢量在参考系O系上的分量为动系各坐标轴投 影在O系上的方向余弦 刚体在参考坐标系内的方向用R矩阵来表示为：
nx ox ax
R ny
oy
a
y
nz oz az
表示轴iA与轴 i0 的夹角
si
Ai0
cosjAi0
coskAi0
jA
R0A cosiA j0
cosjA j0
coskA
j0
z0
cosiAk0
cosjAk0
coskAk0
iA OA
pA
O0
kA
y0
x0
刚体的位姿可用 4×4矩阵来描述：
三维空间固定坐标系OXYZ表述。
关节坐标系：用来描述机器 人每一个独立关节的运动。
二、刚体的位姿描述 若给定刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿 态，则这个刚体在空间完全定位。 设O 为刚体上任意一点，参考坐标OXYZ， O 在 O系中位置表示：
Ro = [xo yo zo]T
在刚体上建立动坐标系 O X Y Z ，动系坐标 轴的方向表示刚体的方 向。
例2 图示手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体，写 出表达该手部位姿的矩阵式。
解 物体Q形心与手部坐标系的坐标原点O 相重合，
手部位置列阵为： P = [1 1 1 1]T
动系X 轴的单位方向矢量 n：
动系Y 轴的方向矢量 o： 动系Z 轴的方向矢量 a：
手部位姿矩阵为：
刚体的运动可分解为旋转和平移，旋转和平移的 描述可以用O系和O 系的齐次坐标变换矩阵来表 达，这是研究机器人运动姿态的基础。
nx ox x
Tny oy y
n0z
oz 0
z
0
px pp1zy
R| P
0|
1
例1 图示固连于刚体的坐标系{B}位于0B点,xb＝10，yb＝5，zb ＝o。Zb轴与画面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个 300的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的(4×4)矩阵表 达式。
坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式：
━ w＝0时表示从坐标原点到点（x y z）的方向； x = [1 0 0 0]T, y = [0 1 0 0]T ,z = [0 0 1 0]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标 没有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行 性和方便性。
例3 用齐次坐标表示图示矢量u、v、w的坐标方向。
解 矢量 u：cos=0，cos=0.866，cos=0.5
三、齐次坐标
将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐 标即为n维坐标的齐次坐标。 齐次坐标表示： P = [a b c w]T
w：比例因子。 非齐次坐标表示： P = [a b c ]T 普通坐标与齐次坐标的关系：一对多。
若二维点(x，y)的齐次坐标表示为[hx，hy，h]，则 [h1x，h1y，h1]，[h2x,h2y,h2], …，都表示二维空间中 同一个点(x，y)的齐次坐标。 如[12，8，4]、[6．4，2]和[3，2，1]均表示[3，2]这 一点的齐次坐标。