计算几何基础
计算几何
思考如下图形：
2020/2/6
9
先看最简单的多边形——三角形
2020/2/6
10
三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
2020/2/6
11
思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
2020/2/6
12
31
2020/2/6
32
计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
2020/2/6
18
2020/2/6
19
2020/2/6
20
2020/2/6
21
2020/2/6
22
2020/2/6
23
2020/2/6
24
2020/2/6
25
2020/2/6
26
2020/2/6
27
2020/2/6
28
2020/2/6
29
2020/2/6
30
2020/2/6
形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
数学几何基础知识点清单
数学几何基础知识点清单欢迎阅读本文，以下是数学几何的基础知识点清单。
希望通过这个清单，能够帮助你更好地理解和掌握数学几何。
1.点、线、面的基本概念在数学几何中，点、线、面是基本的几何概念。
点是没有长度、宽度和高度的，可以表示为大写字母，如A、B、C。
线是由无数点组成的，没有宽度只有长度，用小写字母表示，如a、b、c。
面是由无数直线连结而成的，有宽度和长度，用大写希腊字母表示，如Δ、Φ、Π。
2.角的概念和性质角是由两条射线共同确定的，用小写希腊字母表示，如α、β、θ。
角的度量单位通常使用度（°），角的大小可以通过角度的度数来表示。
角的种类有钝角、直角、锐角等，根据角的特点和度数可以判断角的性质。
3.三角形的分类和性质三角形是由三条边和三个角组成的，根据边的长短和角的大小可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
三角形的性质有内角和为180°、三边之和大于第三边、直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和等等。
4.四边形的分类和性质四边形是由四条边和四个角组成的，根据边和角的特点可以将四边形分为平行四边形、矩形、正方形、菱形等。
四边形的性质有对角线的长度相等、平行四边形的对边平行和对角线互相平分等。
5.圆的基本概念和性质圆是由一条曲线和所有离该曲线同一平面内且与曲线的每一点的距离相等的点组成的。
圆的性质有圆心、半径、直径等概念，弧长和扇形的面积等。
6.向量的概念和运算向量是有大小和方向的，用有向线段表示。
向量的运算有加法、减法、数乘等，可以进行向量之间的加减和与实数的乘法。
常见的向量有单位向量、相等向量、共线向量等。
7.空间几何中的平面和直线在空间几何中，平面和直线是重要的几何元素。
平面由无数条直线在同一平面内组成，可以用含有三个不共线的点来确定一个平面。
直线是由无数个点在同一直线上组成，可以用两个不同点来确定一条直线。
8.立体几何中的体积和表面积在立体几何中，体积和表面积是常用来描述物体的属性。
数学中的计算几何
数学中的计算几何在数学中，计算几何是研究几何形状与其数值特征、运算关系之间的相互关系的分支学科。
它基于代数与几何的结合，通过运用代数工具来研究几何问题。
计算几何在众多领域中得到了广泛的应用，例如计算机图形学、机器人学以及物理学等等。
本文将探讨数学中的计算几何以及其在现实生活中的应用。
一、计算几何的基本概念计算几何的基本概念包括点、线、平面和空间等概念。
在计算几何中，点是最基本的元素，被定义为没有大小和形状的位置。
线由一系列的点组成，它们是无限延伸的。
平面是由无限多个点和线组成的，具有二维特性。
而空间则是由无限多个点、线和平面组成的，具有三维特性。
二、计算几何的基本运算在计算几何中，有一些基本的运算，包括点的坐标表示、距离计算、向量运算和曲线方程等。
1. 点的坐标表示为了方便计算，在计算几何中通常使用坐标系统来表示点的位置。
对于二维空间中的点，我们使用笛卡尔坐标系，即通过横轴和纵轴的交点来确定点的位置。
通过该坐标系，我们可以用一对有序实数来表示二维空间中的每一个点。
2. 距离计算在计算几何中，我们可以通过坐标表示来计算两个点之间的距离。
对于二维空间中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
同样地，对于三维空间中的点，距离的计算方法与二维类似，只是多了一个坐标方向。
3. 向量运算在计算几何中，向量是用来表示具有大小和方向的量。
我们可以用向量来表示平移、旋转和缩放等操作。
向量的加法、减法、数量积和向量积等运算在计算几何中都有着重要的应用。
4. 曲线方程计算几何中，我们经常需要研究曲线的性质及其与其他曲线的关系。
通过方程的表示，我们可以了解曲线的形状、位置和运动等特征。
常见的曲线方程包括直线方程（斜截式、截距式和点斜式）、圆方程（标准式和一般式）以及椭圆、双曲线、抛物线的方程等。
三、计算几何在现实生活中的应用计算几何作为数学的一个分支，几乎在各个领域中都有着广泛的应用。
计算几何与图形学的数学基础
计算几何与图形学的数学基础计算几何与图形学是数学领域中涉及几何形状、图形和其它与空间相关概念的分支。
它们提供了许多重要的数学基础和理论，对于解决实际问题、工程应用以及计算机图形学的发展都具有重要意义。
本文将介绍计算几何与图形学的一些数学基础。
一、点、线、面的几何性质计算几何与图形学研究的对象主要是点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在几何学中，点是没有大小和形状的，用来描述位置；线是由无数点构成，是长度无限延伸的物体；面是由无数线构成的，是二维的，有面积的物体。
这些基本的几何要素有着特定的性质和运算规则，在计算几何与图形学中扮演着重要的角色。
二、向量和坐标系向量是计算几何与图形学中的重要概念，它可以表示空间中的方向和大小。
向量常用于描述点之间的位置关系和线段的方向。
在计算几何中，向量可以进行加法、减法和数乘等运算，这些运算有助于解决几何问题。
坐标系是用来标定点的位置的一种方法。
二维空间中常使用直角坐标系，通过横纵坐标来确定点的位置；三维空间则使用三维直角坐标系，通过三个坐标轴来确定点在空间中的位置，坐标轴互相垂直。
三、曲线和曲面在计算几何与图形学中，曲线和曲面是常见的几何对象。
曲线可以由参数方程或者隐式方程来描述，比如常见的直线、圆形、椭圆等；曲面是由参数方程或隐式方程描述的，如球面、圆柱面、锥面等。
曲线和曲面的性质和形状可以通过不同的数学工具和方法进行分析和计算。
四、投影与变换投影是计算几何中重要的概念之一，它描述了物体在不同角度和位置下在平面上的映射。
常见的投影包括平行投影和透视投影。
平行投影是指物体投影到平行于观察方向的平面上，透视投影则考虑了物体与观察者之间的距离和角度。
变换是计算几何与图形学中的关键技术之一，它包括平移、旋转、缩放和扭曲等操作，可以改变几何对象的形状和位置。
五、计算几何与图形学的应用计算几何与图形学的数学基础被广泛应用于众多领域。
在工程领域，它们被用于建筑设计、机械制造和飞行器设计等方面，帮助人们解决实际问题。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
几何算法初步知识点总结
几何算法初步知识点总结几何算法是数学中的一个重要分支，它研究空间和平面中点、线、面等几何图形的性质和运算方法。
几何算法在实际中有着广泛的应用，比如工程设计、地理信息系统、计算机图形学等领域都需要用到几何算法。
本文将主要总结几何算法的一些初步知识点，包括点、线、面的性质和运算方法，以及一些常见的几何算法。
一、点的性质和运算方法1. 点的定义一个点是几何中最基本的图形，它是一个没有长度、宽度和高度的对象。
点在空间中可以用坐标来表示，比如二维平面上的点可以用(x, y)来表示，三维空间中的点可以用(x, y, z)来表示。
2. 点的运算两个点之间可以进行一些基本运算，比如计算它们之间的距离、判断它们是否在同一条直线上等。
点的运算是几何算法中的基础，它为其他几何图形的运算奠定了基础。
3. 点的性质点是一个没有大小的对象，它没有方向，也没有形状。
在几何中，我们通常用点来表示图形的顶点和交点，它在几何图形的构造和分析中起着重要作用。
二、线的性质和运算方法1. 线的定义一条线是由无数个点连续排列而成的。
在几何中，线是一个没有宽度和厚度的对象，它只有长度。
线在空间中可以是一条直线或者是一条曲线，它们可以用数学方程或参数方程来表示。
2. 线的运算线可以进行一些基本的运算，比如计算两条线之间的交点、判断两条线是否平行等。
线的运算是几何算法中的重要内容，它可以用来解决很多实际问题。
3. 线的性质线是一个没有宽度的对象，它没有方向和形状。
在线的几何中，我们经常用线来表示直线、线段、射线等图形，它在几何学和数学中有着广泛的应用。
三、面的性质和运算方法1. 面的定义一个面是由一组点和连结这些点的线组成的，它有着长度、宽度和面积。
面可以是平面的，也可以是空间的。
在几何中，我们通常用平面几何学来研究平面上的图形，用立体几何学来研究空间中的图形。
2. 面的运算面可以进行一些基本的运算，比如计算它们之间的距离、判断它们是否相交等。
几何计数知识点总结
几何计数知识点总结几何计数是离散数学中的一个重要分支，主要研究平面或空间中的点、线、面、体等几何体的组合、排列和计数方法。
在解决实际问题和进行数学证明时，往往需要运用几何计数的方法。
本文将就几何计数的基本概念、常用方法和应用领域进行总结，以便读者更好地理解和运用几何计数知识。
一、基本概念1.1 点、线、面和体在几何计数中，点、线、面和体是最基本的几何构件。
点是没有长度、宽度和高度的，线是由一系列相邻的点组成的，面是由一系列相邻的线组成的，而体则是由一系列相邻的面组成的。
这些几何构件在计数问题中经常出现，需要根据其特性进行排列和组合的计算。
1.2 排列和组合排列和组合是解决几何计数问题的基本方法。
排列是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行排列，计算排列的种类数；组合是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行组合，计算组合的种类数。
根据排列和组合的公式和性质，可以准确地解决各种几何计数问题。
1.3 简单计数原理简单计数原理是指根据事件的性质和求解目标，将复杂的事件分解成若干个简单事件，然后根据简单事件的计数规律，求解复杂事件的计数问题。
简单计数原理在几何计数中经常被使用，尤其是在求解复杂的几何排列和组合问题时，可以大大简化计算。
1.4 对称性对称性是几何计数中广泛存在的重要性质。
在计算几何排列和组合时，通常可以利用几何体的对称性质，简化计算或得出结论。
对称性可以分为点对称、轴对称和面对称等不同类型，每种对称性质都有其特定的计数规律。
二、常用方法2.1 放回和不放回放回和不放回是几何计数中常用的计数方法。
放回是指在一定条件下，将选取的元素放回原处，继续进行下一次选取；不放回是指在一定条件下，将选取的元素不放回原处，继续进行下一次选取。
这两种方法在计算排列和组合时有不同的计数规律，需要根据具体的问题选择合适的方法。
2.2 递推关系递推关系是指根据已知的计数结果和规律，求解未知的计数问题。
在几何计数中，经常可以通过观察已知的排列和组合规律，得出递推公式或递推关系，从而求解更复杂的计数问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-5-26
6
判断一条线段是否在另一条线段的顺时针方向
判断p0p1到p0p2是否构成右手螺旋，以 P0为公共点。
p0(x0,y0),p1(x1,y1),p2(x2,y2) 以p0为公共点 计算叉积
(p1-p0)x(p2-p0)=(x1-x0)(y1-y0)-(x2-x0)(y2-y0) >0:左手螺旋(顺时针) <0:右手螺旋(逆时针) =0：共线
2015-5-26 7
判断一个点在一条线段的左边还是右边
用叉积(p1-p0)x(p2-p0) >0:右边 <0:左边 =0:线上
2015-5-26 8
判断两线段是否相交
两线段相交有下面两个情况
1. 2.
如图一两线交叉 如图二一线段的端点在另一条线段上
2015-5-26
9
伪代码
2015-5-26
2015-5-26
31
代码：例题：HDU 1115 Lifting the Stone
struct centre { double x , y ; }; int cas , n ; double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 ) { double area = 0 ; area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y; return area / 2 ; // 另外在求解的过程中，不需要考虑点的输入顺序是顺时针 还是逆时针，相除后就抵消了。 }
ACM程序设计
计算几何初步
(Computational Geometry Basic)
2015-5-26
2
第一讲
线段属性
2015-5-26 3
线段
三个问题
1、给定的向量p0p1和p0p2,以p0为公共点，
p0p1到p0p2是否构成右手螺旋(逆时针)？
2、给定两条线段p0p1和p1p2,如果我们遍
10
伪代码
2015-5-26
11
思考：
1、传统的计算线段相交的方法是什么？ 2、传统方法和本方法的区别是什么？
2015-5-26
12
特别提醒：
以上介绍的线段的三个属性，是计 算几何的基础，在很多方面都有应 用，比如求凸包等等，请务必掌握！
2015-5-26
13
第二单元
多边形面积和重心
2015-5-26
历p0p1和P1P2,能否判断p2在p0p1的左边？
3、线段p0p1和p3p4相交吗？
2015-5-26 4
叉积
定义. 矩阵的行列式：
可以解释为平行四边形的面积
2015-5-26
5
叉积
p1Xp2
>0:p1以（0,0）为起点，在p2的顺时针方向 <0:p1以（0,0）为起点，在p2的逆时针方向 =0:共线
2015-5-26 32
代码：
int main () { centre p0 , p1 , p2 ; double sum_x , sum_y , sum_area , area; scanf ( "%d" , &cas ) ; while ( cas -- ) { sum_x = sum_y = sum_area = 0 ; scanf ( "%d" , &n ) ; scanf ( "%lf%lf" , &p0.x , &p0.y ) ; scanf ( "%lf%lf" , &p1.x , &p1.y ) ; for ( int i = 2 ; i < n ; ++ i ) { scanf ( "%lf%lf" , &p2.x , &p2.y ) ; area = Area(p0,p1,p2) ; sum_area += area ; sum_x += (p0.x + p1.x + p2.x) * area ; sum_y += (p0.y + p1.y + p2.y) * area ; p1 = p2 ; } printf ( "%.2lf %.2lf\n" , sum_x / sum_area / 3 , sum_y / sum_area / 3 ) ; } return 0 ; }
但是，现在多边形的质量是均匀分布在 其内部区域上的，也就是说，是与面积 有关的！
2015-5-26
29
解决方案:
剖分成N个三角形，分别求出其重心和面 积，这时可以想象，原来质量均匀分布 在内部区域上，而现在质量仅仅分布在 这N个重心点上（等假变换），这时候就 可以利用刚才的质点系重心公式了。 不过，要稍微改一改，改成加权平均数， 因为质量不是均匀分布的，每个质点代 表其所在三角形，其质量就是该三角形 的面积（有向面积！），——这就是权！
57
2015-5-26
58
2015-5-26
59
2015-5-26
60
2015-5-26
61
2015-5-26
62
凸包模板：
//xiaoxia版 #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> typedef struct { double x; double y; }POINT; POINT result[102]; // 保存凸包上的点 POINT a[102];
44
2015-5-26
45
2015-5-26
46
2015-5-26
47
2015-5-26
48
2015-5-26
49
2015-5-26
50
2015-5-26
51
2015-5-26
52
2015-5-26
53
2015-5-26
54
2015-5-26
55
2015-5-26
56
2015-5-26
14
基本问题（1）：
给定一个简单多边形，求其面积。 输入：多边形（顶点按逆时针顺 序排列） 输出：面积S
2015-5-26
15
思考如下图形：
2015-5-26
16
Any good idea?
2015-5-26
17
先看最简单的多边形——三角形
2015-5-26
18
三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
2015-5-26 63
Any question?
课后作业：
《ACM程序设计》课后练习（5）——刘春英
2015-5-26
65
Welcome to HDOJ
Thank You~
2015-5-26
66
26
从三角形的重心谈起：
三角形的重心是： (x1+x2+x3) / 3，(y1+y2+y3) / 3
可以推广否？ Sigma(xi)/N , sigma(yi)/N (i=1…N) ???
2015-5-26
27
看看一个特例：
2015-5-26
28
原因：
错误的推广公式是“质点系重心公式”， 即如果认为多边形的质量仅分布在其顶 点上，且均匀分布，则这个公式是对的。
凸多边形的三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心， 连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性， 保证这些三角形全在多边形内，那么， 这个凸多边形的有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
P6 P1 A4 P5 A3 A1 P2
2015-5-26
A2 P3
P4
23
凹多边形的面积？
B C A ABC成左手系，负面积
2015-5-26
C
B A ABC成右手系，正面积
21
大功告成：
Area(A,B,C)= 1/2 * (↑AB) × (↑AC)
=∣
2015-5-26
Xb – X a Xc – X a
Yb –Y a
Yc –Y a
∣/2
22
特别注意： 以上得到是有向面积（有正负）！
2015-5-26 33
全部搞 定！
第三单元
凸包( Convex Hull )
2015-5-26
35
2015-5-26
36
2015-5-26
37
2015-5-26
38
2015-5-26
39
2015-5-26
40
2015-5-26
41
2015-5-26
42
2015-5-26
43
2015-5-26
2015-5-26 30
解决方案:
由前面所提出的原理和数学定理可以得 出求离散数据点所围多边形的一般重心 公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点 的任意N边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2 个三角形(如图1) 。每个三角形的重心为 Gi ( . xi , . yi ) ,面积为σi。那么多边形的 重心坐标G( .x2, .y2) 为：