代数几何I课程简介
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代数几何
代数簇
研究方向
定义
研究重点
定义
一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。 当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函数全体也构成一个域， 叫做V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语 言和观点进行的有限生成扩域的研究。
在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.
参考书目
参考书目
arevich,basic Algebraic Geometry,Grundlehren der MatheMatischen Wissenschaften,213,SpringerVerlag,Berlin,1974.
代数簇V关于基域k的维数可以定义为V的有理函数域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的 代数簇叫做代数曲面。
方程代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，著名的费马猜想（又称费马大定理）就可以归结为 下面的问题：在平面中，由方定义的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标是非零的有理数点。
代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就 是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以 引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次 或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而 奠定了椭圆曲线理论基础。
代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的，如复分析、数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、 拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。
高等代数与解析几何导学
高等代数与解析几何
绪 言
一、课程介绍
（一）代数与几何 在古代很长很长的时间 里，代数与几何就象两条铁 轨并行向前。直到笛卡尔和 费尔马诞生后，二者才实现 了历史的结合，并获得快速 发展。
（一）代数与几何
然而，受前苏联追求完美理论体系的影响， 高等代数、解析几何成为两门独立的课程，并 与数学分析一起被认为是数学专业的三门重要 基础课程。 伴随高等教育教学改革的推进，为解决原 有教学体系中出现的突出问题，早在上世纪90 年代初，陈省身、姜伯驹等数学家就提出把高 等代数、解析几何整合为一门课程的思想。最 近几年，这项工作取得显著成效，基于“代数 为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背 景”的理念，代数与几乎又被融为一体。
卡尔丹公式的推导过程充分展示了从特殊到一般的思想。
b x y a
a
a
a
关于五次方程求根问题，我们需要记住两位数学家。
1802年8月出生于挪威的一个农村。他很早 便显示了数学方面的才华。16岁那年，他遇到 了一个能赏识其才能的老师霍姆伯介绍他阅读 牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们 不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了 阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的 境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵 地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话： “要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的 而不是他们的门徒的著作”。自16世纪以来， 随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落 在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索 一无所获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在 求根公式，解决了这个世纪难题，在挪威皇宫 有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年 的形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表 五次方程和椭圆函数。
绪 言
一、课程介绍
（一）代数与几何 在古代很长很长的时间 里，代数与几何就象两条铁 轨并行向前。直到笛卡尔和 费尔马诞生后，二者才实现 了历史的结合，并获得快速 发展。
（一）代数与几何
然而，受前苏联追求完美理论体系的影响， 高等代数、解析几何成为两门独立的课程，并 与数学分析一起被认为是数学专业的三门重要 基础课程。 伴随高等教育教学改革的推进，为解决原 有教学体系中出现的突出问题，早在上世纪90 年代初，陈省身、姜伯驹等数学家就提出把高 等代数、解析几何整合为一门课程的思想。最 近几年，这项工作取得显著成效，基于“代数 为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背 景”的理念，代数与几乎又被融为一体。
卡尔丹公式的推导过程充分展示了从特殊到一般的思想。
b x y a
a
a
a
关于五次方程求根问题，我们需要记住两位数学家。
1802年8月出生于挪威的一个农村。他很早 便显示了数学方面的才华。16岁那年，他遇到 了一个能赏识其才能的老师霍姆伯介绍他阅读 牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。大师们 不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了 阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的 境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵 地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话： “要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的 而不是他们的门徒的著作”。自16世纪以来， 随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落 在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索 一无所获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在 求根公式，解决了这个世纪难题，在挪威皇宫 有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年 的形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表 五次方程和椭圆函数。
基础代数几何课
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
Algebraic Geometry, A First Course,Joe Harris,Basic Algebraic Geometry,I. R. Shafarevich,Algebraic Geometry,R. Hartshorne,
参考书
教学大纲
基本目的：了解代数几何中的若干经典问题与基本语言，增加对于代数几何
研究对象的感性认识，看到代数概念在几何上的用处。
基本目的：了解代数几何中的若干经典问题与基本语言，增加对于代数几何
研究对象的感性认识，看到代数概念在几何上的用处。
内容提要：
一、基本念
仿射空间中的代数子集，代数集的仿射坐标环，仿射坐标环的一些代数性质，
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％。
主要为课堂讲授
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％。
教学评估
蔡金星：
五、各种例子
直纹面的例子，外代数的概念与Grassmann流形，Plucker嵌入与Plucker二次关系
式，仿射代数群的基本概念。
六、线性系的语言
线性系的古典概念和例子，由线性系来定义有理映射的方法，线性系与线丛
概念的密切联系。
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1、Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, Springer-Verlag, GTM 133.
理，二次曲线以及二次超曲面的有理性，某些三次曲线的非有理性的代数证明，三
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
Algebraic Geometry, A First Course,Joe Harris,Basic Algebraic Geometry,I. R. Shafarevich,Algebraic Geometry,R. Hartshorne,
参考书
教学大纲
基本目的：了解代数几何中的若干经典问题与基本语言，增加对于代数几何
研究对象的感性认识，看到代数概念在几何上的用处。
基本目的：了解代数几何中的若干经典问题与基本语言，增加对于代数几何
研究对象的感性认识，看到代数概念在几何上的用处。
内容提要：
一、基本念
仿射空间中的代数子集，代数集的仿射坐标环，仿射坐标环的一些代数性质，
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％。
主要为课堂讲授
学生成绩评定方法：作业20％，期中考试30％，期末考试50％。
教学评估
蔡金星：
五、各种例子
直纹面的例子，外代数的概念与Grassmann流形，Plucker嵌入与Plucker二次关系
式，仿射代数群的基本概念。
六、线性系的语言
线性系的古典概念和例子，由线性系来定义有理映射的方法，线性系与线丛
概念的密切联系。
教学方式：每周授课3学时
教材与参考书：
1、Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, Springer-Verlag, GTM 133.
理，二次曲线以及二次超曲面的有理性，某些三次曲线的非有理性的代数证明，三
数学专业的代数与几何学课程
数学专业的代数与几何学课程数学专业的代数与几何学课程是大多数数学专业学生的必修课程，它涵盖了代数和几何学的基本理论和应用知识。
代数与几何学是数学中两个重要的分支领域，它们在解决实际问题和推动学科发展方面起到了重要的作用。
本文将从代数与几何学的基本概念、重要性和应用等方面来论述这门课程的内容。
一、代数与几何学的基本概念代数学是数学的一个分支，其研究的对象是数、运算符号和运算规则等。
代数学的基本概念包括数和代数运算、方程和不等式、函数和函数图像等。
数学专业的代数学课程主要讲授代数的基本理论和方法，如线性代数、矩阵论、群论等。
通过学习代数学，学生可以掌握抽象思维能力和逻辑推理能力，为解决实际问题提供了数学工具和方法。
几何学是数学的另一个分支，具体研究空间、形状、大小、位置等几何对象的属性和规律。
几何学的基本概念包括点、直线、平面、曲线等基本要素，以及角度、形状的度量等。
数学专业的几何学课程主要学习几何学的基本原理和应用，如欧几里得几何、解析几何、非欧几何等。
几何学的学习可以培养学生的空间想象能力和几何推理能力，为解决空间和形状相关的问题提供了基础。
二、代数与几何学课程的重要性代数学和几何学是数学的两个重要分支，它们之间存在密切的联系和相互作用。
代数学提供了一种抽象的数学工具和方法，在解决实际问题时起到了重要的作用。
几何学则着眼于空间和形状的性质和变换，研究各种几何对象的性质和规律。
代数与几何学的结合可以更好地理解数学问题，并找到解决问题的途径。
1. 代数与几何学在科学研究中的应用代数与几何学广泛应用于各个科学领域，如物理学、化学、生物学等。
在物理学中，代数与几何学常被用于描述物体的运动和力学规律，如运动方程和力学模型的建立。
在化学中，几何学被用于分子结构的描述和化学反应的研究。
在生物学中，代数被用于建立生物模型和分析生物数据。
代数与几何学的应用确保了各个科学领域的准确性和严谨性。
2. 代数与几何学在工程技术中的应用代数与几何学是应用数学的重要组成部分，它们在工程技术领域具有广泛的应用。
《代数几何》课程大纲
课程教学大纲(course syllabus)
*学习目标(Learning Outcomes)
1.熟练掌握Hilbert零点定理，Hilbert基定理，Noether正规化定理，以及局部代
数与仿射代数簇的性质。A5,B2,B3,B7.
2.熟练掌握仿射代数簇的有限覆盖的基本性质，以及代数簇间映射的纤维的维数 理论。A5, B2, B3,B7
2
面授
习题
完成要求
书面作业
11微分与剩余
12Riema nn-Roch
定理
2
4
面授
面授
习题
习题
完成要求
完成要求
书面作业
书面作业
*考核方式
(Gradi ng)
（成绩构成）
本课程的考试，注重对学生综合运用所学知识解决问题能力的考核， 考试成绩包括二个方面：
（1）期末大作业成绩，占50%。
（3）作业成绩（包括习题，课堂报告和出勤），占50%。
习题
完成要求
书面作业
3代数簇间的 映射
2
面授
习题
完成要求
书面作业
4维数与积
2
面授
习题
完成要求
书面作业
5局部代数
3
面授
习题
完成要求
书面作业
6仿射代数簇 的性质
3
面授
习题
完成要求
书面作业
7代数簇
4
面授
习题
完成要求
书面作业
8完备非奇异 曲线
3
面授
习题
完成要求
习题
完成要求
书面作业
10完备化
the graduate level. We have tried to give complete proofs assuming a background in algebra at the level one except from a first or sec ond year un dergraduate stude nt. The point of view here is that of Serre[5] or Chapter I of Mumford[4]-a variety is a ringed space locally isomorphic to an affine variety over a field ,which is algebraically closed . Although we do not treat schemes we trust the reader will not find the transition too difficult.
*学习目标(Learning Outcomes)
1.熟练掌握Hilbert零点定理，Hilbert基定理，Noether正规化定理，以及局部代
数与仿射代数簇的性质。A5,B2,B3,B7.
2.熟练掌握仿射代数簇的有限覆盖的基本性质，以及代数簇间映射的纤维的维数 理论。A5, B2, B3,B7
2
面授
习题
完成要求
书面作业
11微分与剩余
12Riema nn-Roch
定理
2
4
面授
面授
习题
习题
完成要求
完成要求
书面作业
书面作业
*考核方式
(Gradi ng)
（成绩构成）
本课程的考试，注重对学生综合运用所学知识解决问题能力的考核， 考试成绩包括二个方面：
（1）期末大作业成绩，占50%。
（3）作业成绩（包括习题，课堂报告和出勤），占50%。
习题
完成要求
书面作业
3代数簇间的 映射
2
面授
习题
完成要求
书面作业
4维数与积
2
面授
习题
完成要求
书面作业
5局部代数
3
面授
习题
完成要求
书面作业
6仿射代数簇 的性质
3
面授
习题
完成要求
书面作业
7代数簇
4
面授
习题
完成要求
书面作业
8完备非奇异 曲线
3
面授
习题
完成要求
习题
完成要求
书面作业
10完备化
the graduate level. We have tried to give complete proofs assuming a background in algebra at the level one except from a first or sec ond year un dergraduate stude nt. The point of view here is that of Serre[5] or Chapter I of Mumford[4]-a variety is a ringed space locally isomorphic to an affine variety over a field ,which is algebraically closed . Although we do not treat schemes we trust the reader will not find the transition too difficult.
高等代数与解析几何(I)课程教学大纲
important course that helps students to preliminarily complete the
excess from high school mathematics to university mathematics on
the level of learning method and mathematical thinking.
Mid-term exam
20%
Final Exam
60%
教材：《高等代数简明教程》上册（第007 年第二版。
*教材或参考资料 (Textbooks & Other
Materials)
参考书目： 1.《高等代数与解析几何》上册，陈志杰编著，高等教育出版社，2008 年第二版。 2.《高等代数》，北京大学数学系编著，高等教育出版社，2003 年第三版。 3.《大学代数》，陆少华、沈灏编著，上海交通大学出版社，2001 年。 4. Serge Lang,《Introduction to Linear algebra》, Second Edition,
习题
完成要求 书面作业
*考核方式 (Grading)
线性空间与
线性变换
39
面授
习题
完成要求 书面作业
本课程的考试，注重对学生综合运用所学知识解决问题能力的考核， 考试成绩包括三个方面：
（1）作业与平时成绩，占 20％。 （2）期中考试， 占 20％。 （3）期末考试，占 60％。
Homework
20%
3．熟练掌握矩阵理论的基本知识，以及分块矩阵技巧。(A5，B1，B2，B7)
*学习目标(Learning Outcomes)
algebra_I_II
2、阿提亚等《交换代数导引》科学出版社
3、陈志杰《代数基础》华东师范大学出版社
参考书目及文献
1、David S. Dummit, Richard M. Foote:《Abstract Algebra》
2、S. Lang：《Algebra》，
3、N. Jacobson：《Basic Algebra，II》
课程简介模板
《代数学I，II》课程简介
课程名称
代数学I，II
课程代码
课程英文名称
Algebra I，II
任课教师
任课教师职称
课程类别
学位基础课
学时
周学时4，两学期
学分
4 + 4
授课方式
面授Байду номын сангаас
主要内容简介
《代数学I》
1、群论――基本概念、同态与同构、群作用、中心化子、正规化子、稳定化子、商群、拉格朗日定理、合成列。群作用于置换表示、左乘作用与凯莱定理、共轭作用与类方程、Sylow定理、An的单性。直积与半直积。约24课时（6周）
6、交换代数与代数几何――素理想与素谱、环与仿射簇的维数、环与模的局部化、Nakayama定理、诺特环与Hilbert基定理、Hilbert零点定理与函数环、准素分解与子簇的分解、环的整扩张与仿射簇的覆盖、环的正规化与曲线的奇点解消、离散赋值环与曲线的光滑点、戴德金整环与光滑曲线、阿丁环与曲线的相交。约28课时（7周）
注：面向全系硕士生的通识课程.
7、同调代数――范畴概念、函子与自然变换、范畴的等价、可表函子、Yoneda引理、加性与abelian范畴、复形与同调、同调长正和列、同伦、导函子、Ext与Tor、群的上同调、Koszul复形和Hilbert的Syzygy定理、谱序列、导范畴。约36课时（9周）
3、陈志杰《代数基础》华东师范大学出版社
参考书目及文献
1、David S. Dummit, Richard M. Foote:《Abstract Algebra》
2、S. Lang：《Algebra》，
3、N. Jacobson：《Basic Algebra，II》
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《代数学I，II》课程简介
课程名称
代数学I，II
课程代码
课程英文名称
Algebra I，II
任课教师
任课教师职称
课程类别
学位基础课
学时
周学时4，两学期
学分
4 + 4
授课方式
面授Байду номын сангаас
主要内容简介
《代数学I》
1、群论――基本概念、同态与同构、群作用、中心化子、正规化子、稳定化子、商群、拉格朗日定理、合成列。群作用于置换表示、左乘作用与凯莱定理、共轭作用与类方程、Sylow定理、An的单性。直积与半直积。约24课时（6周）
6、交换代数与代数几何――素理想与素谱、环与仿射簇的维数、环与模的局部化、Nakayama定理、诺特环与Hilbert基定理、Hilbert零点定理与函数环、准素分解与子簇的分解、环的整扩张与仿射簇的覆盖、环的正规化与曲线的奇点解消、离散赋值环与曲线的光滑点、戴德金整环与光滑曲线、阿丁环与曲线的相交。约28课时（7周）
注：面向全系硕士生的通识课程.
7、同调代数――范畴概念、函子与自然变换、范畴的等价、可表函子、Yoneda引理、加性与abelian范畴、复形与同调、同调长正和列、同伦、导函子、Ext与Tor、群的上同调、Koszul复形和Hilbert的Syzygy定理、谱序列、导范畴。约36课时（9周）
代数几何I课程简介
(5)映射光滑点组成Zariski开集(6)主要定理的证明
9.射影代数簇
(1)射影空间(2)方程组在无穷远处的解(3)射影齐次坐标与仿射坐标(4)齐次坐标环
(5)射影代数簇上的有理函数与正则函数(6)不可约代数簇的维数
Chapter 4.代数曲线
1.代数曲线的局部性质
(1)代数曲线介绍(2)平面代数曲线(3)曲线的重数与切线
3.根理想----约化为既约方程组
(1)去掉方程中的指数幂(2)根理想(3)方程组同解的判别法
4.理想的准素分解----约化为不可约方程组
(1)方程组的分解(2)方程组的不可约分解
(3)不可约方程组解集的不可约性(4)准素分解的唯一性
(5)极小准素分解(6)不可约分支的性质
5.代数簇的有理函数域----方程的解的维数
Hartshorne<Algebraic Geometry>
代数几何I ----代数簇理论
(周课时: 4，第二学期开设)
Chapter 1.解方程的基本理论
1.希尔伯特基定理----约化为有限个方程
(1)背景(2)希尔伯特基定理的证明
2.希尔伯特零点定理----方程组有无解的判别法
(1)判别方程组是否有解(2)诺特正规化引理(3)结式的性质(4)零点定理的证明(5)零点定理的等价形式.
课程简介模板
代数几何I课程简介
课程名称
代数几何I
课程代码
∕
课程英文名称
Algebraic Geometry I
任课教师
任课教师职称
课程类别
第二层次
学时
4
学分
4
授课方式
主讲
主要内容简介
本课程属于第二层次课程，面向代数组的全体学生。这门课从解方程的思想出发，并以此为线索，由浅入深地介绍了代数几何的基础内容。它承接了本科生的《高等代数与解析几何》、《代数几何基础》等课程内容，也为今后学习代数几何后续课程提供了基础。
9.射影代数簇
(1)射影空间(2)方程组在无穷远处的解(3)射影齐次坐标与仿射坐标(4)齐次坐标环
(5)射影代数簇上的有理函数与正则函数(6)不可约代数簇的维数
Chapter 4.代数曲线
1.代数曲线的局部性质
(1)代数曲线介绍(2)平面代数曲线(3)曲线的重数与切线
3.根理想----约化为既约方程组
(1)去掉方程中的指数幂(2)根理想(3)方程组同解的判别法
4.理想的准素分解----约化为不可约方程组
(1)方程组的分解(2)方程组的不可约分解
(3)不可约方程组解集的不可约性(4)准素分解的唯一性
(5)极小准素分解(6)不可约分支的性质
5.代数簇的有理函数域----方程的解的维数
Hartshorne<Algebraic Geometry>
代数几何I ----代数簇理论
(周课时: 4，第二学期开设)
Chapter 1.解方程的基本理论
1.希尔伯特基定理----约化为有限个方程
(1)背景(2)希尔伯特基定理的证明
2.希尔伯特零点定理----方程组有无解的判别法
(1)判别方程组是否有解(2)诺特正规化引理(3)结式的性质(4)零点定理的证明(5)零点定理的等价形式.
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代数几何I课程简介
课程名称
代数几何I
课程代码
∕
课程英文名称
Algebraic Geometry I
任课教师
任课教师职称
课程类别
第二层次
学时
4
学分
4
授课方式
主讲
主要内容简介
本课程属于第二层次课程，面向代数组的全体学生。这门课从解方程的思想出发，并以此为线索，由浅入深地介绍了代数几何的基础内容。它承接了本科生的《高等代数与解析几何》、《代数几何基础》等课程内容，也为今后学习代数几何后续课程提供了基础。
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代数几何I ----代数簇理论
(周课时: 4，第二学期开设)
Chapter 1.解方程的基本理论
1.希尔伯特基定理----约化为有限个方程
(1)背景(2)希尔伯特基定理的证明
2.希尔伯特零点定理----方程组有无解的判别法
(1)判别方程组是否有解(2)诺特正规化引理(3)结式的性质(4)零点定理的证明(5)零点定理的等价形式.
(5)映射光滑点组成Zariski开集(6)主要定理的证明
9.射影代数簇
(1)射影空间(2)方程组在无穷远处的解(3)射影齐次坐标与仿射坐标(4)齐次坐标环
(5)射影代数簇上的有理函数与正则函数(6)不可约代数簇的维数
Chapter 4.代数曲线
1.代数曲线的局部性质
(1)代数曲线介绍(2)平面代数曲线(3)曲线的重数与切线
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代数几何I课程简介
课程名称
代数几何I
课程代码
∕
课程英文名称
Algebraic Geometry I
任课教师
任课教师职称
课程类别
第二层次
学时
4
学分
4
授课方式
主讲
主要内容简介
本课程属于第二层次课程，面向代数组的全体学生。这门课从解方程的思想出发，并以此为线索，由浅入深地介绍了代数几何的基础内容。它承接了本科生的《高等代数与解析几何》、《代数几何基础》等课程内容，也为今后学习代数几何后续课程提供了基础。
Hartshorne<Algebraic Geometry>
(1)态射(2)态射的像、原像和纤维(3)态射由局部环同态决定
5.有限态射
(1)环的有限扩张(2)有限态射(3)有限态射的定义方程
(4)双有理等价(5)有限态射的正规化
6.纤维的维数
7.纤维的不可约性
8.纤维的光滑性
(1)映射的微分(2)纤维的光滑点(3)光滑点的邻域是完全交(4)映射在光滑点处的解析表示
2.平面曲线的局部相交数
3.贝祖定理
(1)贝祖定理(2)曲线的拐点
4.诺特定理与Cayley-Bacharach定理
5.有理函数的零点与极点的重数计算
6.L(D)的定义与计算
7.L(D)的基本性质
8.Riemann-Roch定理及其证明
9.三次曲线的群结构和分类
(1)标准方程(2)群结构(3)三次曲线的几何(4)有理点计算(5)三次曲线的分类与j不变量
3.根理想----约化为既约方程组
(1)去掉方程中的指数幂(2)根理想(3)方程组同解的判别法
4.理想的准素分解----约化为不可约方程组
(1)方程组的分解(2)方程组的不可约分解
(3)不可约方程组解集的不可约性(4)准素分解的唯一性
(5)极小准素分解(6)不可约分支的性质
5.代数簇的有理函数域----方程的解的维数
10.Riemann-Roch定理的应用
(1)相伴线性系的性态(2)曲线典范映射的性态(3)亏格0曲线的分类
(4)亏格1线的分类(5)亏格2曲线的分类
(6)超椭圆曲线(7)非超椭圆曲线
11.曲线上的有理微分形式与Hurwitz公式
考核方式
闭卷考试
教材
谈胜利《交换代数与代数几何基础》
参考书目及文献
M.F.Atiya,I.G.Macdonald<Introductionto Commutative Algebra>
Chapter3.代数簇的几何
1.代数簇的切空间
(1)解方程与隐函数定理(2)方程组的线性化与切空间(3)切空间的维数
2.光滑代数簇
(1)代数簇上的光滑点(2)零维诺特局部环
(3)一维诺特局部整环(4)曲线在光滑点处
3.正规代数簇
(1)正规簇上的奇点集(2)正规簇上的正则函数(3)正规簇上的除子
4.代数簇之间的态射
1.坐标函数环
(1)坐标函数环的定义(2)极大理想与方程的解
2.环的整扩张
(1)例子(2)环的整扩张(3)整环的整闭包
(4)环的整同态、有限同态、有限型同态
3.代数簇的正规化
(1)正规化(2)迹与域的扩张(3)整元的特征多项式
(4)整闭包的有限性证明(5)诺特环上的有限生成模
4.局部化技巧
(1)分式环(2)分式模(3)局部性质(4)分式域
6.域的单扩张----约化为一个方程
(1)分裂域(2)域的可分扩张(3)有限单扩张
(4)代数簇双有理等价于超曲面
7.诺特规范化定理----约化为规范方程
(1)有限代数(2)整性与有限性(3)诺特正规化(4)代数簇的函数域的结构
Chapter 2.解方程的代数理论
5.代数簇的维数理论
(1)不可约真子簇的维数(2)分式环中的素理想链(3) Q(x)的素理想链
6.整闭整环上的整扩张
(1)整闭性是局部性质(2)理想上的整元(3)构造素理想(4)下降定理
7.方程的个数与解的维数
(1)主要结果(2) Krull主理想定理的证明(3)高度和维数的定理证明
(4)不可约分支维数的定理证明
(周课时: 4，第二学期开设)
Chapter 1.解方程的基本理论
1.希尔伯特基定理----约化为有限个方程
(1)背景(2)希尔伯特基定理的证明
2.希尔伯特零点定理----方程组有无解的判别法
(1)判别方程组是否有解(2)诺特正规化引理(3)结式的性质(4)零点定理的证明(5)零点定理的等价形式.
(5)映射光滑点组成Zariski开集(6)主要定理的证明
9.射影代数簇
(1)射影空间(2)方程组在无穷远处的解(3)射影齐次坐标与仿射坐标(4)齐次坐标环
(5)射影代数簇上的有理函数与正则函数(6)不可约代数簇的维数
Chapter 4.代数曲线
1.代数曲线的局部性质
(1)代数曲线介绍(2)平面代数曲线(3)曲线的重数与切线
课程简介模板
代数几何I课程简介
课程名称
代数几何I
课程代码
∕
课程英文名称
Algebraic Geometry I
任课教师
任课教师职称
课程类别
第二层次
学时
4
学分
4
授课方式
主讲
主要内容简介
本课程属于第二层次课程，面向代数组的全体学生。这门课从解方程的思想出发，并以此为线索，由浅入深地介绍了代数几何的基础内容。它承接了本科生的《高等代数与解析几何》、《代数几何基础》等课程内容，也为今后学习代数几何后续课程提供了基础。
Hartshorne<Algebraic Geometry>
(1)态射(2)态射的像、原像和纤维(3)态射由局部环同态决定
5.有限态射
(1)环的有限扩张(2)有限态射(3)有限态射的定义方程
(4)双有理等价(5)有限态射的正规化
6.纤维的维数
7.纤维的不可约性
8.纤维的光滑性
(1)映射的微分(2)纤维的光滑点(3)光滑点的邻域是完全交(4)映射在光滑点处的解析表示
2.平面曲线的局部相交数
3.贝祖定理
(1)贝祖定理(2)曲线的拐点
4.诺特定理与Cayley-Bacharach定理
5.有理函数的零点与极点的重数计算
6.L(D)的定义与计算
7.L(D)的基本性质
8.Riemann-Roch定理及其证明
9.三次曲线的群结构和分类
(1)标准方程(2)群结构(3)三次曲线的几何(4)有理点计算(5)三次曲线的分类与j不变量
3.根理想----约化为既约方程组
(1)去掉方程中的指数幂(2)根理想(3)方程组同解的判别法
4.理想的准素分解----约化为不可约方程组
(1)方程组的分解(2)方程组的不可约分解
(3)不可约方程组解集的不可约性(4)准素分解的唯一性
(5)极小准素分解(6)不可约分支的性质
5.代数簇的有理函数域----方程的解的维数
10.Riemann-Roch定理的应用
(1)相伴线性系的性态(2)曲线典范映射的性态(3)亏格0曲线的分类
(4)亏格1线的分类(5)亏格2曲线的分类
(6)超椭圆曲线(7)非超椭圆曲线
11.曲线上的有理微分形式与Hurwitz公式
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谈胜利《交换代数与代数几何基础》
参考书目及文献
M.F.Atiya,I.G.Macdonald<Introductionto Commutative Algebra>
Chapter3.代数簇的几何
1.代数簇的切空间
(1)解方程与隐函数定理(2)方程组的线性化与切空间(3)切空间的维数
2.光滑代数簇
(1)代数簇上的光滑点(2)零维诺特局部环
(3)一维诺特局部整环(4)曲线在光滑点处
3.正规代数簇
(1)正规簇上的奇点集(2)正规簇上的正则函数(3)正规簇上的除子
4.代数簇之间的态射
1.坐标函数环
(1)坐标函数环的定义(2)极大理想与方程的解
2.环的整扩张
(1)例子(2)环的整扩张(3)整环的整闭包
(4)环的整同态、有限同态、有限型同态
3.代数簇的正规化
(1)正规化(2)迹与域的扩张(3)整元的特征多项式
(4)整闭包的有限性证明(5)诺特环上的有限生成模
4.局部化技巧
(1)分式环(2)分式模(3)局部性质(4)分式域
6.域的单扩张----约化为一个方程
(1)分裂域(2)域的可分扩张(3)有限单扩张
(4)代数簇双有理等价于超曲面
7.诺特规范化定理----约化为规范方程
(1)有限代数(2)整性与有限性(3)诺特正规化(4)代数簇的函数域的结构
Chapter 2.解方程的代数理论
5.代数簇的维数理论
(1)不可约真子簇的维数(2)分式环中的素理想链(3) Q(x)的素理想链
6.整闭整环上的整扩张
(1)整闭性是局部性质(2)理想上的整元(3)构造素理想(4)下降定理
7.方程的个数与解的维数
(1)主要结果(2) Krull主理想定理的证明(3)高度和维数的定理证明
(4)不可约分支维数的定理证明