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解析几何课件(吕林根许子道第四版)
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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第2章轨迹与方程2.3空间曲线的方程
x0 , y0 .
却表示两个坐标面 yoz 与 xoz 的交线 ,即 z 轴 .
二、空间曲线的参数方程(表示空间曲线的常用方法)
与平面曲线类似地 ,有空间曲线的向量式参 数方程
(2.3-2) r r ( t ). 或 r ( t ) x ( t ) e y ( t ) e z ( t ) e . (2.3-3) 1 2 3
与
设 t , 则 ( 2 . 3 5 ), ( 2 . 3 6 ) 分别写成
) (2 .35
x a cos ya sin ( ).
z b
) ( 2 .3 6
式中 为参数 , 曲线的形状象弹簧 ( 图 2 ).
从上式消去 得曲线方程的一般形式
2.3 空间曲线的方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看成两曲面 的交线 .
设两曲面为
Si：F , y, z) 0 i (x (i 1 ,2)
z
S1
L
S2
它们的交线为 L.
则L上的任何点的坐 标满足：
o
x
图1
y
F 1 ( x, y, z) 0, F2 ( x, y, z) 0.
p在 xy 面上射影为 Q ,则
z
t为参数.
(2.3-5)
质点运动轨迹的向量式参数方程 坐标式参数方程为 图2
or p
xA
Q
t
y
x a cos t t ). y a sin t( t为参数. z b t
(2.3-6)
r i a cos j a si k b n ( ).
却表示两个坐标面 yoz 与 xoz 的交线 ,即 z 轴 .
二、空间曲线的参数方程(表示空间曲线的常用方法)
与平面曲线类似地 ,有空间曲线的向量式参 数方程
(2.3-2) r r ( t ). 或 r ( t ) x ( t ) e y ( t ) e z ( t ) e . (2.3-3) 1 2 3
与
设 t , 则 ( 2 . 3 5 ), ( 2 . 3 6 ) 分别写成
) (2 .35
x a cos ya sin ( ).
z b
) ( 2 .3 6
式中 为参数 , 曲线的形状象弹簧 ( 图 2 ).
从上式消去 得曲线方程的一般形式
2.3 空间曲线的方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看成两曲面 的交线 .
设两曲面为
Si：F , y, z) 0 i (x (i 1 ,2)
z
S1
L
S2
它们的交线为 L.
则L上的任何点的坐 标满足：
o
x
图1
y
F 1 ( x, y, z) 0, F2 ( x, y, z) 0.
p在 xy 面上射影为 Q ,则
z
t为参数.
(2.3-5)
质点运动轨迹的向量式参数方程 坐标式参数方程为 图2
or p
xA
Q
t
y
x a cos t t ). y a sin t( t为参数. z b t
(2.3-6)
r i a cos j a si k b n ( ).
1-5解析几何吕林根第四版
因为M1为P2 P3的中点,故M1(
x2
+ 2
x3
，y2
+ 2
y3 ，z2
+ 2
z3
),又因为G为重心，
故有P1G 2= GM1，即重心G把中线分成定比λ 2，
P1
利用定比分点坐标公式可得
x x= 1 + x2 + x3 ，y y= 1 + y2 + y3 ，z
3
3
z1 + z2 + z3 . G 3
e1, e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架.
P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2
注: (1) 标架{O; e1, e2 , e3}中的向量 e1, e2, e3 是有顺序的，交换它们
的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架
二、坐标
{ } 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的
坐标或称为分量，记做 r{x, y, z} 或{x, y, z} .
{ } 定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP { } 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐 { } 标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 P ( x, y, z) 或 ( x, y, z).
1-4解析几何吕林根第四版
GF与 CG共线
证明： AG = λGD; BG = µGE;
CG = AG − AC = λ AD − AC
=
λ
•
1
(
1+ λ
AB + AC)
−
AC
1+λ 2
= λ AB − λ + 2 AC
2(1 + λ） 2(1 + λ）
CG = BG − BC = µ BE − BC 1+ µ
= µ • (AE − AB) − BC 1+ µ
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设 p = a − b + 5 − 1 b + b − 3a , q = 4a + 5b,
2
5
试证明 : p // q.
证明:
p
=
(1
−
5
组合，即
r = xe1 + ye2 + ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中= OA a= , OB b, 而M、N分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM= λ a (0 < λ < 1) ,
线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
证明： AG = λGD; BG = µGE;
CG = AG − AC = λ AD − AC
=
λ
•
1
(
1+ λ
AB + AC)
−
AC
1+λ 2
= λ AB − λ + 2 AC
2(1 + λ） 2(1 + λ）
CG = BG − BC = µ BE − BC 1+ µ
= µ • (AE − AB) − BC 1+ µ
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设 p = a − b + 5 − 1 b + b − 3a , q = 4a + 5b,
2
5
试证明 : p // q.
证明:
p
=
(1
−
5
组合，即
r = xe1 + ye2 + ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中= OA a= , OB b, 而M、N分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM= λ a (0 < λ < 1) ,
线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
3-7解析几何吕林根第四版
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN
(
2 7
2,
13 7
1,
3 7
3)
(
12 7
,
6 7
,
24 7
),
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
二、空间两直线的夹角（直角坐标系）
定义3.7.1 平行于空间两直线的两向量间的角，叫做空间两直线
这条公垂线的方程又可写成 x 2 y 5z 8 0
x
y
z
1
0
例： 求通过点 4,0, 1 且与两直线
x 2x
yz 1 yz 2
,
与
x 2x
yz 4y
3 z4
都相交的直线方程.
解：设所求直线
l1
的方向矢量为
r v
X
,Y
,
Z
则所求直线可写为 x 4 y z 1 .
XY Z
∵ 直线 l1 平行于矢量
平行,又与直线 x 1 y 3 z 相交的直线方程. 4 2 1
解 设过点 1,0, 2 的所求直线为 x 1 y z 2 .
XY Z
∵ 它与已知平面 3x y 2z 1 0平行,所以有
3X Y 2Z 0
又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面.
∴
11 30 02
4 2 1 0 XY Z
由于所求平面通过点（-5, 2,-3）
设所求平面方程为：
A( x 5) B( y 2) C(z 3) 0
z
3A 2B C 0
M
求平面方程为平行于 l2有
3-1解析几何吕林根第四版
R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），求此平面方程.
z
将 A D, B D, C D,
c
a
b
c
代入所设方程
Ax By Cz D 0,
o
xa
y
b
得
x y z 1 平面的截距式方程
a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
5. 平面的截距式方程
若已知三点为平面与三坐标的交点 M1 a,0,0, M2 0,b,0,
化简得
n1
n2
2x 3 y z 6 0.
nr
例 求过点(1,0,-1), 且平行于向量 n1 {2,1,1} 和 n1 {1, 1, 0} 的平
面方程.
解 取所求平面法向量 n n1 n2 {1,1, 3},
所求平面方程为
1 ( x 1) 1 ( y 0) 3 ( z 1) 0, n1
为所求平面之法向.
故得平面方程为： r
( x x1, y y1, z z1) n 14( x 2) 9( y 1) (z 4)
14x 9 y z 15 0
或
r ( x x2, y y2, z z2) n
14( x 1) 9( y 3) (z 2)
14x 9 y－z 15 0
所以, 点B与C分居在平面的两侧.
的方位向量。
ur uur ur
uuuuur ur
在空间取仿射坐标系 O;e1, e2, e3 ，并设点 M0 的向 OM0 r0 ，平面
z
uuuur r
上任意一点 M 的向径为 OM r ，
b
r ur r r
M0
a
M
则平面 的向量式参数方程为 r r0 ua vb
《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第3章平面与空间直线3.1平面的方程
x0 y0 z0 D X1 Y1 Z1 ,
因a,
b 不共线,
X2 所以A,
B,
Y2 Z2 C不全为零
,
这表明
:
任一平面都可用关于 x, y, z的三元一次方程表示 .
反之,可证 : 任一关于x, y, z的一次方程 (3.110)都表示平面.
事实上,因A, B, C不全为零,不妨设A 0,则(3.110)
在空间,
取仿射坐标系
O；e1
,
e2
,
e3
,
并设点
M
的向径
0
OM
0
r0
,
平面上任一点
M的向径OM
r
(图3
1),
则
a,
点 M在平面上 M
b不共线,由 定理 1.4.2知
0M
, a, z
b共面.
又 即
MM0 M0 Muarvrb0 ,, r r0 ua vb.
(3.1-1)
平面 的向量式参数方 x
2 11 3 3 2
问题：说明上式的由来 .
将方程组(*)变形为
A 5B D, 3A 2B D.
由克莱姆法则 , 有
D 5 5 1
D 2 2 1
A
D,
1 5 1 5
32 32
1 D 1 1 B 3 D 1 3 D,
1 5 1 5 32 32
5 1 1 1
2 1 13
A:B:D
D:
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 t 1 ,
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§1.平面的方程（2）
§5.二次曲线的主直径与主方向（1）
§0.5） §7.应用不变量化简二次曲线的方程（07.5）
各章的重点与难点 全书的难点
第一章 重点是介绍向量的代数运算、向量的内积、向量的外积、 向量的混合积以及它们的几何意义。难点是：向量的线性关系与向 量的分解、向量的数性积，向量积与混合积的几何意义，在仿射坐 标系下利用向量法证明几何问题。 第二章 重点是介绍曲面与空间曲线的方程，球面的方程。难点是 参数方程的求法。 第三章 重点是建立满足指定条件的平面和直线的方程；根据方程 的系数判定直线与直线，直线与平面及平面与平面的位置关系。难 点是方程的建立，相关量的计算，有轴平面束的运用。 第四章 重点是掌握几种特殊曲面的方程及其形状。难点是理解曲 面的直纹性，曲面围成的空间区域的作图及两曲面交成的空间曲线 形状的认识。 第五章 重点是了解二次曲线不变量的意义，了解坐标的变换公式 及二次曲线的分类。难点是使用矩阵工具处理坐标变换问题。
全书的难点：向量积的方向、向量的线性关系、建立合适坐标系
求曲线与曲面的方程、异面直线的公垂线求法、有轴平面束的运用、 8
曲面围成的空间区域及两曲面交线的作图、二次曲线的化简。
四. 课程内容的框架结构与逻辑体系
第三章 平面与空间直线
第二章 轨迹与方程
第四章 柱面、锥面、旋转曲面
与二次曲面
第五章 二次曲线 的一般理论
3.熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟练地进行
某些几何量的计算；
4.会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高空间
想象能力。
·考核方式：闭卷考试 ·总评成绩＝平时成绩×10%+期中考查×20%+期末考试成6绩
70%
三. 课程内容、课时安排、重点与难点
课第§§§§§§§§§123456789一.........向程向数向标向两两三向章量内量量量向向向量架量的乘 的 在 量 量 量的 与向容的分向线轴的的的加坐量概、解量性上数向混法标与念课、（关的性量合（（坐（行时113系射积积积标2）））列）与影（（（安式（221排）））1（18（）1课+共时1）60课时）§§§§§§第§§§§3456781357四..........两 空 直 空 空 平 柱 旋 双 单章叶平 间 间 间 面 面 转 曲线柱双面 直 两 直 束 （ 曲 面与面曲的 线 直 线 （ 面 （2平锥面）相 的 线 与 （面11面与） ）关 方 的 点1的旋双）位 程 相 的相转曲§曲置（关相关§抛2§6面.（位关位24物锥.抛）.与椭置位面1置面物）二的球（置（（面次直面（111曲（））母）（1面2线）2）1（）2课1）时
§7.两向量的数性积 abmR §8.两向量的向量积 ab c
解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
解析几何产生数学自身的条件：
1.几何学已出现解决问题的乏力状态
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生
产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经
验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航
海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常
吕林根版解析几何说课
一. 解析几何产生的实际背景和数学条件
二. 课程性质、教学目标、考核方式、成绩计算 三. 课程内容、课时安排、重点与难点
四. 课程内容的框架结构与逻辑体系
五.主要数学思想、观念和处理问题的方法及实践
六. 对其它同时段课程及后继课程的渗透和作用
七. 解析几何的进一步发展
2
一. 解析几何产生的实际背景和数学条件
第一章 向量与坐标
中学数学 相关知识、 矩阵行列式
9
第一章 向量与坐标
§1. 向量的概念 a
§4.向量的线性关系与向量的分解
a1a1 nan 1a1 nan 0
§5.标架与坐标
rxe1ye2ze3
§6.向量在轴上的射影
a
b
§2.向量的加法 ab c
§3.数量乘向量 a
向量的运算 f :RV V g:VV V;加群,但不为. 环 h:VV R
1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统 地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示 已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门 以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为 一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲 线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念 的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具 有普遍性的方法的作用．
一学期开设。为学生学习其它如《数学分析》、《高等代 数》、《大学物理》等课程提供知识、工具及思维准备。能 明显提高学生的计算能力、空间想象能力等。
·通过本课程的学习达到以下基本要求：
1.掌握解析几何的基本知识和基本理论，善于运用坐标和向量 为工具，把几何问题转化为代数方程并解决相应的几何问题.
2.培养用形数结合的方法来解决问题的能力；
§10.三向量的双重向量积（1）
第五章 二次曲线的一般理论 12课时
第二章 轨迹与方程 4课时
§1.二次曲线与直线的相关位置（2）
§1.曲面的方程 （2课时）
§2.二次曲线的渐近方向、中心、渐近线（2）
§2.空间曲线的方程 （2）
§3.二次曲线的切线（1）
第三章 平面与空间直线 14课时 §4.二次曲线的直径（1）
量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。
16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由
落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆
锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个
变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．
3
2.代数的发展为解析几何的诞生创造了条件．
4
解析几何学的创立者
17世纪前半叶，解析几何创立，其中 法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650) 和 法国数学家费尔马（Fermat，1601-1665） 作出了最重要的贡献，被公认为解析几何学的创立者。
笛卡尔
费尔马
5
二. 课程性质、教学目标、考核方式、成绩计算
· 解析几何是高等师范院校数学专业的一门必修基础课，在第