中国科技大学数学系课程简介
中国科学技术大学线性代数课程讲义3
(j1,j2,··· ,jn)∈Sn
(3.1)
(3.1) 式称为 det(α1, α2, · · · , αn) 或 det(aij) 的完全展开式．许多教科书直接把它作为行列式的定 义．记 (3.1) 式定义的多元函数为 ∆(α1, α2, · · · , αn)．容易验证 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足定义 3.1 所 述的多重线性和规范性．定理 3.2 说明 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足反对称性．因此，定义 3.1 中的行列 式函数 det(α1, α2, · · · , αn) 是存在且唯一的，就是 ∆(α1, α2, · · · , αn)．
(
)
当 p ⩾ 3 时，可先把 A 分块成 A11 ∗ ，得 det(A) = det(A11) det(B)．再对 B 继续分块．由 OB
此可得 det(A) = det(A11) det(A22) · · · det(App)．
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第三章 行列式
行列式的完全展开式含有 n! 个单项式．当 n 较大时，利用完全展开式求一般 n 阶行列式的计 算量非常巨大，不容易实现．通常是利用行列式的定义及性质，通过初等变换把方阵变成三角方阵， 从而求得原方阵的行列式．
定理 3.1. 由定义 3.1 可知，行列式具有下列性质，其中 λ, λ1, λ2, · · · , λn ∈ F．
1. 若存在 αi = 0，则 det(α1, α2, · · · , αn) = 0．
2. 若存在 αi = λαj (i ̸= j)，则 det(α1, α2, · · · , αn) = 0．
det(· · · , αi, · · · , αi, · · · ) = 0 det(· · · , αj, · · · , αi, · · · ) = − det(· · · , αi, · · · , αj, · · · )
中科院课程
Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969. 撰写人： 肖良(中国科学院研究生院) 撰写日期： 2001 年 10 日
同构定理；共轭定理。 第五章 存在定理
通用包络代数；PBW 定理；生成元与定理关系。 第六章 表示理论
有限维表示；基础表示与初等表示；旋表示；表示的 Freudeuthal 公式；特征标理论；Weyl 公式；Kostant 公式和 Steinberg 公式。 第七章 李群与李代数
指数映射；伴随表示；李群与李代数。
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时 也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代 数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过 本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技 巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚 实基础。 内容提要: 第一章 欧氏空间
单纯同调群；奇异同调群；一般系数同调群；长正合同调列； Mayer-Vietoris 序列；球面同调群及几何应用；Lefschetz 不动点定理； CW 复形及其同调群。 第四章 上同调与对偶定理
上同调群；正合上同调列；上同调环；Poincare 对偶定理； Alexander 对偶定理；Lefschetz 对偶定理。
主要参考书： 1．Maunder, C.R.F.，Algebraic Topology，Cambridge University Press，
中国科学技术大学数学科学学院;培养方案整理与课程简介;
大三上学期：数理统计 大三下学期：回归分析、应用随机过程
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二、专业方向课程(数院各方向的选修课程，8 credits)
修读任一方向的学生，需要从对应计划选修课程中修读至少 8 学分
基础数学(8/25 credits)
夏季学期：纯粹数学前沿(1 学分) 秋季学期：组合学、高等实分析*、微分流形*、代数拓扑*、代数学* 春季学期：应用随机过程
修读任一方向的学生，需要从对应计划选修课程中修读 8 学分
基础数学(8/20 credits)
秋季学期：高等实分析*、微分流形*、代数拓扑*、代数几何引论*、交换代数* 春季学期：李代数及其表示*、应用随机过程、黎曼几何*
计算数学(8/26 credits)
秋季学期：数值代数、符号计算软件、数学实验、有限元方法*、偏微分方程数值解 春季学期：数值分析、计算机图形学、算法基础、小波分析
夏季学期： 计算与应用类课程：间断有限元简介*(1 credits)、计算机图形学前沿(2 credits) 基础数学类课程：纯粹数学前沿(1 credit)
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四、华罗庚数学科技英才班培养计划
通修课程(80.5 credits)
同数学科学学院培养计划
学科群基础课(11 credits)
大一上学期：代数学基础(3 学分)、解析几何 大二上学期：微分方程 I
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四、大学物理实验(3 credits)：
中国科学技术大学数学科学学院
培养方案整理与课程简介
整理人：章俊彦 2013 级数学科学学院‐基础数学方向 PB13001112
目录
必修课程………………………………………………………1
·全校通修课程、学科群基础课（数院必修）、专业核心课（方向必修）
中国科学技术大学线性代数课程讲义8
定义 8.1. 设 V 是一个非空集合，V 的元素称为向量，F 是一个数域，F 的元素称为数．在 V 上 定义了加法运算 α + β ∈ V 和数乘运算 λ · α ∈ V ，其中 α, β ∈ V ，λ ∈ F．若这两种运算满足下列 运算律
(A1) (A2) (A3) (A4) (M1) (M2) (D1) (D2)
比较以上关于 “线性空间” 和 “数域” 的定义，两者有许多相似之处．我们可以认为 “向量” 是 “数” 的推广，向量运算降低了对 “乘法” 的要求，从而有更广泛的应用．
例 8.3. 容易验证，下面是一些常见的线性空间的例子．
1. 在自身的加法和乘法运算下，F 是 F 上的线性空间．
2. 在复数的运算下，复数域 C 是实数域 R 上的线性空间，也是有理数域 Q 上的线性空间．
(A1) (A2) (A3) (A4) (M1) (M2) (M3) (M4) (D1)
加法交换律 加法结合律 加法有单位元 加法有逆元 乘法交换律 乘法结合律 乘法有单位元 乘法有逆元 加乘分配律
∀a, b ∈ F，a + b = b + a ∀a, b, c ∈ F，(a + b) + c = a + (b + c) 存在零元素 0 ∈ F 使得 0 + a = a，∀a ∈ F ∀a ∈ F，存在 b ∈ F 使得 a + b = 0 ∀a, b ∈ F，a · b = b · a． ∀a, b, c ∈ F，(a · b) · c = a · (b · c) 存在幺元素 1 ∈ F 使得 1 · a = a，∀a ∈ F ∀a ∈ F，若 a ̸= 0，则存在 b ∈ F 使得 a · b = 1 ∀a, b, c ∈ F，(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
中国科学技术大学数学系课程简介
课 号：MA02006 课程名称（中文）：线性代数（2） 课程名称（英文）：Linear Algebra (II) 学 时：80 学 分：4 开课学期：秋 预修课程：整数与多项式、MA03003 解析几何 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程讲授线性空间关于线性变换的空间分解理论和矩阵的 Jordan 标准型理论；讲授 Euclid
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பைடு நூலகம்
热传导方程与调和方程的定解问题，解的存在性、唯一性和稳定性。适当地介绍方程线的 相应问题及柯西-柯娃列夫斯卡娅定理，对特征理论、算子理论、广义函数理论也做了适量 的讨论。通过内容的论述介绍了偏微分方程中常用的广义解及处理手段并适当地引入一些 现代化的处理方法
的微分学和积分学的基本内容以及基本的运算技巧和方法。
课 号：MA02001 课程名称（中文）：数学分析（2） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(2) 学 时：100 学 分：5 开课学期：春 预修课程：MA02000 数学分析（1） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程主要讲授数项级数，函数列与函数项级数，Fourier级数与Fourier积分；Rn的拓扑及
多变量连续函数的性质。
课 号：MA02002 课程名称（中文）：数学分析（3） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(3) 学 时：80 学 分：4 开课学期：秋 预修课程：MA02001 数学分析（2） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程讲授多变量函数的微分学和积分学，表达重积分和线面积分之间关系的 Green 公式，
Gauss 公式和 Stokes 公式；介绍数量场和向量场中几个重要的量以及它们之间的关系；讲 授用参变量积分表示的函数的性质。
科大高等数学用的教材
科大高等数学用的教材高等数学教材高等数学是大部分理工科学生所必修的一门课程，它是建立在基础数学知识之上的一门学科。
而有一个优质的教材对于学生来说是非常关键的。
科大高等数学用的教材便是一本深受学生喜爱和认可的教材。
本文将介绍科大高等数学教材的特点以及其在学习中的重要性。
一、教材特点科大高等数学用的教材是一本经过多年改进和研究的教材，它具有以下几个特点：1. 扎实的数学基础：科大高等数学教材从数学的基础概念开始，循序渐进地引导学生深入学习。
它对于代数、微积分、数列等知识点的解析和讲解非常透彻，能够帮助学生建立扎实的数学基础。
2. 简明清晰的表达：教材中的内容简洁明了，用词准确，能够帮助学生更好地理解和掌握数学概念。
它将抽象的数学知识转化为具体的问题和实例，使学生能够更好地将理论应用到实际问题中。
3. 合理的编排结构：教材的编排结构科学合理，顺序严谨。
每个知识点都有清晰的引入、讲解和练习部分，有助于学生逐步掌握和应用所学内容。
4. 多维度的思维培养：科大高等数学教材注重培养学生的综合思考能力，通过实例和习题的设计，引导学生综合运用所学知识解决问题，提高学生的分析和解决问题的能力。
二、教材的重要性科大高等数学用的教材在学习中具有重要性的原因如下：1. 建立扎实的数学基础：高等数学是很多理工科学生后续学习的基础，而一个优质的教材能够帮助学生建立起扎实的数学基础，为后续学习打下坚实的基础。
2. 增强学生的逻辑思维能力：高等数学作为一门理论性学科，对于学生的逻辑思维能力要求较高。
科大高等数学教材通过合理的编排和思维培养，能够帮助学生提升逻辑思维能力，培养学生的系统性思考和问题解决能力。
3. 提高学生的应用能力：科大高等数学教材注重将数学理论与实际问题相结合，通过实例和习题的设计，能够帮助学生将所学知识应用到实际问题中，提高学生的应用能力。
4. 培养学生的数学兴趣：优质的教材能够激发学生对数学的兴趣和热爱，让学生在学习过程中感受到数学的魅力和乐趣。
中科大数学系本科专业必读科目及参考
中科大数学必读科目及参考有些科大学生，尤其是新生，抱怨科大教材偏难；而且新生通常缺乏学习方法，对如何在大学中学习还没有清楚的概念。
下面是一位科大数学系学长给科大数学专业学生的一些建议。
我转发过来，仅供参考。
1、老老实实把课本上的题目做完。
其实说科大的课本难,我以为这话不完整。
科大的教材,就数学系而言还是讲得挺清楚的,难的是后面的习题。
事实上做1道难题的收获是做10道简单题所不能比的。
2、每门数学必修课至少要看一本参考书,尽量做一本习题集。
3、数学分析别做吉米，除非你太无聊,推荐北大方企勤的习题集。
此外注意一下有套波兰的数学分析习题集，是不是搞得到中文或英文版。
4、线性代数推荐普罗斯库列科夫的<<线性代数习题集>>和法捷耶夫的<<高等代数习题集>>。
莫斯科大学要求把上面的题全做光。
建议大家在搞定亚洲第一难书的同时也把里面的题打通。
5、解析几何不要不重视。
现在有种削弱几何课的倾向,甚至有的学校把解析几何课改成只有两课时,这样一来,几何训练不足,会很吃亏的。
6、常微要看看阿诺尔德的书,打通菲利波夫的习题集。
7、数论课是很重要的,起码可以锻炼思维能力。
8、数学分析、线性代数、解析几何、泛函、拓扑、抽象代数、实变、微分几何是最重要的课,大家脱层皮也要学好。
要尽量加强这方面的工底,不然的话以后很吃亏。
9、有时间去物理系多听课,千万不要毕业了连量子力学也不懂,这样的数学家注定要被淘汰的。
读读费曼物理讲义和郎道的理论物理教程。
10、华罗庚的<<数论导引>>的前言大家好好看看,多多领会!11、想读数理统计和计算数学的要注意,统计和计算数学同样是数学类的专业,不要以为加上计算和统计就可以降低要求。
黎曼几何教学简介
中国科学技术大学研究生课程《黎曼几何》教学大纲课程内容简介:黎曼几何是现代数学的重要分支之一，黎曼几何学经历了从局部理论到大范围理论的发展过程。
现在，黎曼几何学已经成为广泛地用于数学、物理的各个分支学科的基本理论，它与众多数学分支及理论物理关系密切。
本课程的目的就是介绍黎曼几何研究中的各种基本概念和技巧。
以测地线的研究为重点讨论了各种形式的比较定理，同时也介绍球面定理和子流形几何。
本课程内容共分三大部分。
第一部分主要介绍黎曼几何研究中的各种基本概念，如：黎曼度量；仿射联络；挠率和曲率；黎曼联络；协变微分；Laplace 算子；黎曼几何基本定理；黎曼曲率等。
第二部分主要讨论测地线第一、第二变分公式及其应用，各种形式的比较定理和Morse指数定理。
第三部分主要介绍子流形几何。
第四部分介绍复几何的基础知识,介绍Calabi-Yau定理和Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理.本课程的授课对象是基础数学方向和理论物理方向的研究生，授课对象需具有微分几何和偏微分方程方面的知识。
教材: 1，白正国，沈一兵等：黎曼几何初步，高教出版社参考书目:1, 伍鸿熙等：黎曼几何初步，北京大学出版社。
2，F.W.Warner, Foundations of Differential manifolds and Lie groups, GTM, Springer-Verlag。
3，W.M. Boothby: An introduction to differential manifolds and Riemannian geometry.4, J.Jost; Riemannian geometry and geometric analysis.5, S.Kobayashi and K.Nomizu, foundations of differential geometry.6. Peter Petersen, Riemannian geometry GTM教学内容及课时安排。
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课 号：MA04202 课程名称（中文）：群与代数表示论 课程名称（英文）：Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras 学 时：60 学 分：3 开课学期： 预修课程：MA02006 线性代数（2）、MA02010 近世代数 适用对象和学科方向：基础数学 主要内容：本课程主要以线性代数为基础，介绍有限群和紧群的表示理论。群表示的基本概念、特征
Gauss 公式和 Stokes 公式；介绍数量场和向量场中几个重要的量以及它们之间的关系；讲 授用参变量积分表示的函数的性质。
课 号：MA02003 课程名称（中文）：解析几何 课程名称（英文）：Analytic Geometry 学 时：40 学 分：2 开课学期：秋 预修课程：高中数学 适用对象和学科方向：数学
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学自上世纪 50 年代发展至今已逐渐成为一门较成熟的学科。它在相当广泛的领域，如：计 算机辅助设计与制造、科学计算可视化、交互性的事务管理、过程控制、计算机动画与广 告、计算机艺术等有着重大的应用。
课 号：MA03058 课程名称（中文）：现代微分方程选讲 课程名称（英文）：Selected Topics in Modern Differential Equations 学 时：80 学 分：4 开课学期：春 预修课程：MA02014 偏微分方程、MA02007 实变函数 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程主要讲解 Sobolev 空间理论，二阶椭圆型方程的弱解存在性、正则性，调和函数的
纯开拓、共形映射、调和函数与次调和函数等内容，强调与其它数学分支的联系。引入若 干现代的方法简化处理一些较难的证明是本课程的特色。
课 号：MA03002 课程名称（中文）：微分流形与李群基础 课程名称（英文）：Introduction to Differential Manifolds and Lie Groups 学 时：60 学 分：3 开课学期：春 预修课程：MA02010 近世代数、MA02008 常微分方程、MA02011 微分几何
性变换的基本知识。
课 号：MA02006 课程名称（中文）：线性代数（2） 课程名称（英文）：Linear Algebra (II) 学 时：80 学 分：4 开课学期：秋 预修课程：整数与多项式、MA03003 解析几何 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程讲授线性空间关于线性变换的空间分解理论和矩阵的 Jordan 标准型理论；讲授 Euclid
课 号：MA02013 课程名称（中文）：拓扑学 课程名称（英文）：Topology 学 时：80 学 分：4 开课学期：春 预修课程：MA02002 数学分析（3） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：该课程系统介绍一般拓扑学中的一些概念（如拓扑空间、连通性、可数性、分离性、紧致
性），并着重研究了有关的重要定理。通过定理的叙述和论证以及大量具体实例（正面的例 子与反面的例子）的引入，使得读者能够熟悉上述各种重要概念之间的联系和区别。更重 要的是，学习一般拓扑学可使读者站到“拓扑”这高度来处理和研究各种数学问题。对度 量空间中拓扑性质的深入讨论和度量化定理的详细论述，无疑有利于熟练掌握拓扑学的基 本内容、方法和技巧。
课 号：MA03012 课程名称（中文）：符号计算系统 课程名称（英文）：symbolic computation 学 时：30+30（上机） 学 分：2 开课学期：秋 预修课程：MA02002 数学分析（3）、MA02005 线性代数（1）、CS01002C 语言程序设计 适用对象和学科方向：理工科 主要内容：本课程主要介绍符号计算系统 Mathematica 的总体结构；内容按符号计算、数值计算、图
力学系统中的基本重要性.主要内容包括：1.牛顿力学；2 拉格朗日力学；3.哈密尔顿力学。 我们将从上述 3 个方面讲述经典力学，并通过微分形式、微分流形、辛流形等工具和概念 揭示其蕴涵的基本数学理论和数学方法。我们还将通过 Poisson 结构、Hilbert 空间及算子 表示等构造一些力学系统的量子化等。
标理论、结合代数的表示、诱导表示和诱导特征标、Artin 定理和 Brauer 定理及其应用、 紧群的表示理论。
课 号：MA04303 课程名称（中文）：计算机图形学 课程名称（英文）：Computer Graphics 学 时：60 学 分：3 开课学期：春 预修课程：解析几何与线性代数、CS01002C 语言程序设计 适用对象和学科方向：计算数学 主要内容：计算机图形学是在计算机的环境中通过算法与程序在显示设备上构造出图形。计算机图形
型演示和编程划分；讲授如何用 Mathematica 计算初等代数、微积分、线性代数和计算方 法中的常见的数学问题，包括求极限、求导、积分、计算特征值和特征向量、解微分方程 等问题。它是数学实验和数学模型的前序课程。
课 号：MA03000 课程名称（中文）：组合数学 课程名称（英文）：Introductory Combinatorics 学 时：60 学 分：3 开课学期：秋 预修课程：MA02004 初等数论、MA02010 近世代数 适用对象和学科方向：数学、 计算机科学 主要内容：本课程组合数学中的组合计数的基础理论,组合矩阵论的一些基础知识,组合设计的一些入门
极值原理和 Harnack 不等式等现代微分方程的基本知识。
课 号：MA04271 课程名称(中文)：经典力学中的数学方法 课程名称(英文)：Mathematical Methods in Classical Mechanics 学 时：60 学 分：3 开课学期：春 预修课程：MA02011 微分几何 适用对象和学科：数学学科研究生 主要内容：本课程主要通过考察经典力学和量子力学的一些基本问题，体现出几何的和整体的观念在
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主要内容：用代数方法讨论一些简单图形和变形的性质，所谓代数的方法就是坐标法和向量运算。简 单图形和变形是指直线、平面、二次曲线、二次曲面和正交变换以及仿射变换。
课 号：MA03010 课程名称（中文）：数学基础 课程名称（英文）：Foundations of Mathematics 学 时：40 学 分：2 开课学期：秋 预修课程：高中数学 适用对象和学科方向：数学 主要内容：逻辑预备知识；集论基本概念；数系：从自然数到实数；势的基本知识；序结构与超限归
多变量连续函数的性质。
课 号：MA02002 课程名称（中文）：数学分析（3） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(3) 学 时：80 学 分：4 开课学期：秋 预修课程：MA02001 数学分析（2） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程讲授多变量函数的微分学和积分学，表达重积分和线面积分之间关系的 Green 公式，
六、课程简介
课 号：MA02000 课程名称（中文）：数学分析（1） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(1) 学 时：120 学 分：6 开课学期：秋 预修课程：高中数学 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程主要讲授单变量函数的微积分学。主要内容有：实数理论，极限理论，单变量函数
理论的学习，掌握有关的几何不变量，重点介绍活动标架方法的含义以及它在曲面理论中 的应用
课 号：MA14001 课程名称（中文）：数学实验 课程名称（英文）：Mathematics Experiment 学 时：40 学 分：2 开课学期：秋 预修课程：MA02002 数学分析（3） 适用对象和学科方向：公共基础课 主要内容：本课程通过视数学为一门“实验科学”，使学生在体验解决问题的过程中掌握基本的数学思
全面地介绍信息论。既讲述成熟原理，又适当介绍发展中的前沿课题。如有关信息及其度 量、信源及其编码、信道及其编码的基本概念与基本理论，并对非统计意义下的信息论也 作适当的讨论。作为应用例子，介绍数学传输码、压缩码、检错与纠错码、最大熵等。
课 号：MA02004 课程名称（中文）：初等数论 课程名称（英文）：Elementary Number Theory 学 时：60 学 分：3 开课学期：春 预修课程：高中数学 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程由可类比的两部分内容组成，第一部分讲述整数的基础知识，如数的整除，同余，
的微分学和积分学的基本内容以及基本的运算技巧和方法。
课 号：MA02001 课程名称（中文）：数学分析（2） 课程名称（英文）：Mathematical Analysis(2) 学 时：100 学 分：5 开课学期：春 预修课程：MA02000 数学分析（1） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程主要讲授数项级数，函数列与函数项级数，Fourier级数与Fourier积分；Rn的拓扑及
原根，二次剩余及简单的不定方程；第二部分讲述初等多项式理论，涉及域上的一元多项 式，整系数多项式和多元多项式。
课 号：MA02012 课程名称（中文）：复变函数 课程名称（英文）：Function of the Complex Variable 学 时：80 学 分：4 开课学期：春 预修课程：MA02002 数学分析（3）、MA02006 线性代数（2） 适用对象和学科方向：数学 主要内容：本课程系统介绍全纯函数的 Cauchy 积分理论及其应用、Weierstrass 级数理论及其应用、全
方程、MA02012 复变函数 适用对象和学科方向：数学、物理、力学等 主要内容：度量空间，完备性，列紧性，线性赋范空间，凸集与不动点，内积空间，线性算子与线性
泛函，Riesz 定理及其应用，纲与开映象定理，Hahn－Banach 定理，共轭空间，弱收敛， 自反空间，线性算子的谱，紧算子，Riesz－Fredholm 理论，紧算子的谱理论等。
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课 号：MA03018 课程名称（中文）：信息论基础 课程名称（英文）：Basis of Information Theory 学 时：60 学 分：3 开课学期：春 预修课程：MA02009 概率论 适用对象和学科方向：数学 主要内容：信息理论课程的中心内容是介绍 Shannon（香浓）提出的基本概念、方法与定理，较系统