东南大学线性代数几何代数历年试题

- 8 -04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵12(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。

若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ；- 9 -5． 已知向量111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ．二、 （8%）计算行列式121111x x x x x x xx x x ． 三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 求矩阵方程3XB XA =+的解．- 10 -四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。

求直线l 的方向向量，并写出直线l 的方程．六、 （10%）假设二次曲面1π的方程为：2242x y z +=；平面2π的方程为：1x z =-．- 11 -1. 1π与2π的交线向xy 平面作投影所得的投影曲线l 的方程为 ；2. 该投影曲线绕x 轴旋转所得的旋转曲面π的方程为 ；3. 在坐标系中画出投影曲线l 的草图（请给坐标轴标上名称）；4. 在坐标系中画出1π与2π所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）．七、 （14%）设二次型22212312313(,,)22f x x x x x x kx x =-+-+1． 试就参数k 不同的取值范围，讨论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型； 2． 假设0k >．若经正交变换X QY =，123(,,)f x x x 可以化成标准形222123224y y y +-，求参数k 及一个合适的正交矩阵Q ．八、 （10%）证明题- 12 -1． 假设n 维向量112a b βαα=+，212c d βαα=+。

若12,ββ线性无关，证明：12,αα线性无关，并且，行列式0a b c d≠。

2． 假设,A B 都是n 阶实对称矩阵，并且，A 的特征值均大于a ，B 的特征值均大于b ，证明：A B +的特征值均大于a b +。

- 13 -05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷一. (24%)填空题1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ；2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211x y z -==垂直的平面的方程为 ；3. 设0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1011Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1010P A Q =⎛⎫ ⎪⎝⎭；4. 若33⨯矩阵A 的秩为2, 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ,并且 ()12,3,4T α=,()232,4,6T αα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是 ；5. 设α是(1)n n >维列向量，则n 阶方阵T A αα=的- 14 - 行列式A 的值为 ；6. 设A 是33⨯矩阵，若矩阵,2,23I A I A I A+--均不可逆，则行列式A = ；7. 若3是n n ⨯矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵*A 的一特征值为 ；8. 若222221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 。

二（12%）设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，101021001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，求11,A B --以及矩阵X ，使A O C X O B O ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

式中的O 均指相应的零矩阵。

三（10%）设向量组 123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组 12l αα+，23m αα+ ，13αα+也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：- 15 -1:21x y z π++=,2:2x y z πλ++=,3:1x y z πλλ++=+1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2. 当它们交于一直线时，求直线的方程。

五（12%）已知33⨯矩阵10023302A aa a a -⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪--+⎝⎭有一个二重特征值。

1. 试求参数a 的值，并讨论矩阵A 是否相似于对角阵。

2. 如果A 相似于对角阵，求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ是对角阵。

六（10%）假设,A B 是实对称矩阵。

证明：分块矩阵A O M O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵的充分必要条件是,A B 都是正定矩阵。

- 16 -七（8%）由与平面1z =-及点(0,0,1)M 等距离运动的动点(,,)P x y z 所生成的曲面记为1π，将y O z 平面上曲线250y z x ⎧+=⎨=⎩以z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2π。

则：1.1π的方程是： ；2π的方程是：； 2. 1π与2π的交线在xOy 平面上的投影曲线方程是： ；3. 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图．八（10%）证明题：1. 若22⨯实矩阵A 的行列式0A <，证明：A 必定相似于对角阵．2. 假设n n ⨯实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ ，α是A 的属于特征值1λ单位特征向量，矩阵1TB A λαα=-．证明：B 的特征值为20,,,n λλ ．- 17 - 06-07第二学期几何代数期终考试试卷一． (30%)填空题（I 表示单位矩阵）1. 向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1k αβγ=-=-=共面时参数k 的值为 ，此时，与这三个向量都正交的一个单位向量是 ；2. 向量组123410110111,,,21131102αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩等于 ，这个向量组的一极大线性无关组是 ；3. 假设矩阵1(2,)2A t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若1是A 的特征值，则参数t 的值为 ；4. 二次型22(,,)22f x y z x z xy =++的正、负惯性指数分别为 ，下列图形中，能表示二次曲面(,,)1f x y z =的图形的标号为 ：- 18 -（A ），（B ） ，（C ） ， （D ） ；5. 由曲线20z x y ⎧=⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面方程为 ；6. 若向量组1211,1a αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组1211,2b ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，则参数,a b 必定满足条件 ；7. 若2130100A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与00010001c B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则(),,a b c = 。

二． （10%）已知向量组1234,,,αααα线性无关，问：- 19 -当参数p 取何值时，向量组1232122,2,βααβαα=+=+3344142,p βααβαα=+=+也线性无关？三． （15%）假设,p q 是参数，空间直角坐标系中平面123,,πππ的方程分别如下：1:21x y z π-+=，2:22x py z π++=，3:352x y z q π++=（1） 问：当,p q 取何值时, 这三个平面的公共点构成一直线？（2） 当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。

四． （15%）设212010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100010001⎛⎫ ⎪Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭，并且AP P =Λ，求A 及99A 。

- 20 - 五． （15%）已知二次型22212312312(,,)4f x x x x x x x x =+--。

（1） 写出二次型f 的矩阵；（2） 求一个正交变换x Qy =，把f 化为标准形,并给出该标准形；（3） 假设0a >，求222123123max (,,)x x x a tf x x x ++==的值．六． （15%）证明题： 1. 已知矩阵a b A I c d ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，其中，2,1a d a d b c +=-=。

证明：A 不与任何对角阵相似．2. 假设s n ⨯矩阵A 的秩等于r ，并且非齐次线性方程组Ax b =（b θ≠）有解。

证明： Ax b =有并且只有1n r -+个线性无关的解向量．3. 若A B 、都是可逆的实对称矩阵，且A B A B -、、都是正定矩阵，证明：11B A---也是正定矩阵．。