从Durer魔方跨入线性代数思维之门
《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》笔记
《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》阅读随笔目录一、矩阵基础篇 (2)1.1 矩阵的定义与性质 (3)1.2 矩阵的运算 (4)1.3 矩阵的秩与行列式 (5)二、矩阵应用篇 (6)2.1 矩阵在物理学中的应用 (7)2.2 矩阵在计算机科学中的应用 (8)2.2.1 图像处理 (9)2.2.2 机器学习 (10)2.3 矩阵在经济学中的应用 (11)三、矩阵可视化篇 (13)3.1 利用图表展示矩阵 (14)3.2 利用动画展示矩阵运算 (15)3.3 利用交互式工具探索矩阵世界 (16)四、矩阵挑战篇 (17)4.1 解决矩阵方程 (19)4.2 矩阵分解技巧 (20)4.3 矩阵的逆与特征值问题 (21)五、矩阵与艺术篇 (22)5.1 矩阵在艺术设计中的应用 (23)5.2 矩阵与音乐的关系 (25)5.3 矩阵与建筑的空间结构 (26)六、矩阵学习策略篇 (27)6.1 如何选择合适的矩阵学习材料 (28)6.2 矩阵学习的有效方法 (29)6.3 如何克服矩阵学习的障碍 (31)七、矩阵趣味问答篇 (32)7.1 矩阵相关的趣味问题解答 (33)7.2 矩阵在日常生活中的实际应用 (33)7.3 矩阵的趣味故事与趣闻 (34)八、结语 (35)8.1 阅读随笔总结 (36)8.2 对矩阵未来的展望 (38)一、矩阵基础篇在《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》作者以一种通俗易懂的方式向我们介绍了矩阵的基本概念和性质。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。
我们将学习矩阵的基本运算，包括加法、减法、乘法等，并通过实际的例子来理解这些运算的含义。
我们来学习矩阵的基本运算，矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
每个元素用一个位于其行列索引处的小写字母表示，例如矩阵A [13 4]中，A[1][2]表示矩阵A的第一行第三列的元素，即3。
从Durer魔方跨入线性代数思维之门
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Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关
显然， Dürer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
求Dürer魔方空间的基
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= (dij) 16维变量 y
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A= 0 0 0 1 0 1 0
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Ar y = 0
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r (A, E) y = 0
0000001 1010000 0101000
魔方和数学之间的奥秘
魔方和数学之间的奥秘魔方是一款极具挑战性的智力游戏，它看似简单，实际上却蕴含着深奥的数学原理和设计思想。
许多人在打破魔方时犯难，只能把它当成一种摆脱无聊的方式。
然而，如果我们能够深入研究魔方的奥秘，就会发现它和数学之间有着密切的联系。
魔方的结构和数学定理魔方由27个小正方体组成，每个小正方体有六个面，每个面有一种颜色，颜色不同的面被组合在一起形成了六个大正方体。
在拼立过程中，我们熟知的“魔方标准状态”是保持六个大正方体共面的状态，六面分别是相邻的。
魔方中的三组对称轴分别在水平、垂直和对角线方向上，它们都是面中心到中心对称的轴线。
这种对称性可以通过数学来解释，魔方的两个面通过旋转会交换它们的位置，因此，魔方具有六次旋转对称。
同时，魔方的对称中心和小正方体数量的奇偶性有关，这些属性在数学中称为置换群和奇偶性群，是代数学中的基本概念。
除了对称性，魔方的另一个重要特征是它的结构形式——立方体。
立方体是三维几何图形中最简单和最规则的形状，也是自然界中的多个物体的形状。
立方体的性质可以通过代数方法来研究，比如利用线性代数来探索它的对称性、利用拓扑学来探索它的变形过程等，这些知识和思想都可以应用到魔方研究当中。
魔方算法和数学思维一般人在拼魔方时都是一步一步地转，往往花费很多时间却只能拼出一面或几个面，进而很快放弃。
但是实际上，魔方解法还有更快捷和科学的方法。
魔方的解法可以描述为一系列的操作指令，这些操作指令构成了一个完整的算法，这些算法不仅显著缩短了拼魔方的时间，而且可以训练我们的数学思维。
例如，有的算法可以应用到更复杂的图形应用，如建模和渲染等方面，这些技能都需要大量的数学思维。
此外，魔方的解法也充满了其他数学思想，例如排列组合、置换群、逆元的性质等等。
对于喜欢数学的人，掌握这些思想和技能将会使他们更加高效和深入地理解更广泛的数学领域。
总结魔方和数学之间的奥秘让我们不得不佩服人类智慧的精妙创作，它为我们提供了一个庞大的实验平台，可以进行各种数学实验和探究，也可以从中学习拓展各种数学思维，培养我们的思维能力和创造力。
Dürer魔方(或幻方)问题
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 8Dürer 魔方（或幻方）问题Drer 魔方（或幻方）问题 有些较为复杂的问题，开始时常常给人以一种变幻莫测的感觉。
但经过细微的分析研究，可以发现其中存在着某些内在的关系。
在使用适当的数学工具后，这些内在关系就被一一揭露出来了。
德国著名的艺术家 Albrecht Drer(1471-1521)于 1514 年曾铸造了一枚名为Melencotia I 的铜币。
令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。
这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题。
1 、Drer 魔方 这是一个由自然数组成的方块，称之为 Drer 魔方，其数字排列如下：什么是魔方？我们来下一个定义。
我们所谓的魔方是指由 1~n 2 这 n 2 个正整数按一定规则排列成的一个 n 行 n 列的正方形。
按不同的要求，它可以具有某些特定的性质，n 称为此魔方的阶。
例如，上面给出的 Drer 魔方是 4 阶的，它的每一行数字之和为 34，每一列数字之和为 34，把对角线（或反对角线）上的数字加起来是 34，每个小方块中的数字之和也是 34，若把四个角上的数字加起来还是 34，多么奇妙！最后一行中间两个数字恰好是铜币的铸造时间1514 年。
构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。
传说三千二百多年前（公元前 2200 年），因治水出名的皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称洛书），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，（被人称为洛书的 3 阶魔方）大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯阿格里帕（1486-1535）先后构造出了 3~9 阶的魔方。
从魔方到数学思维魔方教学的思考
从魔方到数学思维魔方教学的思考作者：曾舟来源：《学校教育研究》2020年第05期摘要：在当今新的数学教育改革中，强调调动学生学习积极性，强调学习方式的变革，强调从学生学习兴趣出发，强调加强校本课程的背景下，教学就意味着要寻求一个新的切入点，而魔方是一种有趣的益智玩具，其构造和操作过程中都蕴含着丰富的数学因素。
并且，通常情况下，“玩”都能调动起学生的积极性，选择魔方这一具有娱乐性，同时具有很强数学因素的对象作为校本课程，是对数学这种传统的、具有很强抽象性的学科的辅助研发，是一种有益的尝试。
关键词：魔方数学教学思维魔方一、背景这学期我们学校的校本课程中推行了“魔方与数学”活动，并将在全校举行比赛。
作为一名数学老师，我苦苦地思索，如何以这个有效的活动载体作为切入点，培养学生的空间观念，提升学生的思维，锻炼学生的专注、理解、空间、逻辑、记忆、协调、想象等方面的能力。
二、“魔方与数学思维魔方”的慨念界定魔方是一个娱乐性很强的益智玩具，它的发明与发展貌似与数学教育没有联系，多数人甚至是魔方玩家也没意识到它所蕴含的数学原理，家长和小孩也都把它当做开发智力的玩具。
但事实上魔方与数学的关系是非常密切的。
魔方是一个可以变化的空间立体图形，在玩魔方的过程中它可以使小学生形成空间与图形的概念，并对一些数学概念如变换、群、坐标、组合等有一个直观的理解，方便日后的数学学习。
“魔方与数学”课程的开发不仅仅是教小学生技巧性的还原魔方，更重要的是借助魔方让小学生在玩中体会数学知识、数学方法和数学思想，增进小学生对数学的兴趣，从而促进小学生数学的学习，改善数学学习效果。
而数学思维魔方是在研究魔方的基础上，产生的一种新的教学模式。
三、传统数学教学与思维魔方教学的区别学生不用静静地坐在教室里，看着枯燥的阿拉伯数字，做着传统的加减乘除，而是思维魔方教学利用各种玩具，自己动手实际操作，在活动中利用逻辑思维、想象力等学习加减乘除，探索数学的奥秘。
六年级毕业生学习数学思维魔方感悟
六年级毕业生学习数学思维魔方感悟最近玩魔方的很多，但还有人一些不知道。
三阶魔方只有三种玩法，初级，高级，顶尖。
(本人六年级刚毕业停留在高级玩法)，其中高级，顶尖玩法有上白条公式。
当然，魔方说白了就是套公式，熟练，指法。
先说说有些人为什么老记公式不住。
没理解魔方转动的原理。
贸然去套公式。
记忆效果很差，因该每走一不就理解一步，和学习数学是一个道理，生扳硬套是没法记好的，我对初级公式的心得，先说CROSS。
就是底面十字，有些人总找颜色不到，一般高手能在1到5秒至2到5秒内弄完，一般在魔术方块比赛中会给选手看5秒，高手总会把底色看好，从哪个路径可以上去，然后计算好下一个棱块的位置。
如果计算不好的，用小指按好，等到要转时就用上，然后就是多练练眼力。
因该转CROSS 不需要太多时间。
在说说F2L。
就是第二层，初级玩法与高级玩不同。
只要记两个公式，只有两种情况，而高级玩法对应的有40种情况，初级玩法中只要看好颜色，计算好下一个颜色的走向，因该会快。
顶面十字初级玩法就一个公式，但要配合指法，顶面还原公式也只有一个公式。
只要指法和眼力上去了，因该没什么问题。
但要注意，一开始不要速度太快，不然手指会跟不上眼力，到底转错方向。
8个角块的还原方法，我们称L公式，网络上是从前面开始转，但根据我的玩法和经验，从后面开始转比较好配合指法，速度更快，希望大家借鉴。
一步还原楞块公式，网络上的我看都没看，很慢，我根据别人的玩法创了自己的一套玩法(我也不知道怎么想出来的。
很抽象，但很快)。
有兴趣的可以找我交流交流。
以上是我的心得。
根据我的方法你一定可以学会玩魔方的。
魔方数学原理以及解法演变历程回顾
魔方数学原理以及解法演变历程回顾魔方，也被称为魔方立方体、魔方方块，是一种拼图玩具，由三维立方体组成，每个面上有不同的颜色，挑战者的目标是将魔方的每个面都恢复成同一种颜色。
自魔方被发明以来，它吸引了无数数学家和谜题爱好者的兴趣，魔方数学原理的研究也因此而诞生。
魔方的解法可以追溯到20世纪70年代，当时匈牙利的鲁比克教授发明了这个玩具。
起初，鲁比克教授打算设计一个机制复杂的谜题，但他万万没有想到的是，这个看似简单的玩具最终成为了一道数学难题，引起了全球范围内的研究热潮。
早期的魔方解法方法以暴力搜索为主，也就是尝试所有可能的移动组合，直到找到一种恢复到初始状态的解法。
这种方法非常耗时，需要进行大量的反复尝试，不适合于解决速度问题。
然而，正是这种暴力搜索的方法，使得魔方解法这一领域开始了追求更高效解法的探索。
1981年，美国的著名计算机科学家迪奥·科纳斯提出了一个基于组群理论的复杂性分析模型，被称为魔方问题的驱动程序。
这一模型为解决魔方问题提供了一种新的思路。
科纳斯发现，魔方有可能通过将其分解为特定操作的乘积，而达到恢复到初始状态的目标。
他的研究成果进一步推动了魔方解法的发展。
随后的几十年里，全球范围内的数学家和爱好者们利用数学原理和算法研究魔方的解法，探索魔方数学原理的奥秘。
以凯琳目标为例，它根据魔方三层的状态为基础，提出了一种实用且高效的解法。
凯琳方法将魔方的恢复分为四个步骤：交叉、底角、底棱和顶层。
这个方法基于分层思想，通过将整个过程分为几个阶段，逐步恢复魔方。
另一个著名的解法方法是弗里德里希方法。
弗里德里希方法是一个快速解法方法，其目标是在尽可能短的时间内，通过最少的步骤完成魔方的还原。
这个方法基于预定义的顶层算法和层次变换，能够在很短的时间内找到最优解。
此外，还有许多其他的解法方法如罗湖法、齐湖法、CFOP法等等，这些方法都是在不同的基础上发展起来的，通过不同的思路和算法，达到恢复魔方的目标。
数学史话线性代数发展史简介
数学史话线性代数发展史简介数学史话—线性代数发展史简介一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori从事数学研究，发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。
学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。
V. Z.卡兹数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。
M(Kline一、了解数学史的重要意义数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。
与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。
在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。
教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。
由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。
正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。
数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。
数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展和进步的历程。
通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律，通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。
二、代数学的历史发展情况数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
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Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
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0 1 0 0 Q2 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 6 1 0 0 1
？
？ ？ ？
所得的线性方程组有16个方程？23个变量？ 如何求解该线性方程组呢？ Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
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Dü rer魔方空间
随心所欲构造Dü rer魔方
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0
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Dü rer魔方空间
构造Albrecht Dü rer的数字魔方
D r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7
16 r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 5 = = r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 9 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6 4
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Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
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Dü rer魔方空间
>> A=[1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; …0 0 0 0 1 1 0]; %变量r对应的系数矩阵 >> C=[A,-eye(16)]; %系数矩阵(A,E ) d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44 >> C1=rref(C) %求行最简形 C1= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0
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Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关
显然， Dü rer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
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显然， Dü rer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
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Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 类似于n维空间的 基本单位向量组， 利用0和1来构造一 些R=C=D=S=1的 最简单的方阵。
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1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有 两种取法。当第二行的1也取定后，第三、 四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最 简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8
3
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10 11 8 15 14 1
r1 8, r2 8, r3 7, r4 6, r5 2, r6 3, r7 4
D 8Q1 82 Q2 7Q3 6Q4 2Q5 3Q6 4Q7
Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
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Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关 由 r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7 0
ri 0 Q1 , Q2 , , Q7 线性无关。 Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
多么奇妙 的魔方！ 1
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
4阶Dü rer魔方： 行和=列和=对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 = 四个角之和. 1 10 17 20 11 26 5 6 和为48. 16 3 14 15 铜币铸造时 间：1514年 20 09 12 7 你想构造Dü rer魔方吗？ Dü rer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dü rer魔方？
多么奇妙 的魔方！ 2
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
4阶Dü rer魔方： 行和=列和=对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 = 四个角之和. A= 1 10 17 20 11 26 5 6 B= 设A,B是任意两个 16 3 14 15 Dü rer 魔方， 20 09 12 7 A+B 是Dü rer魔方吗？ 你想构造Dü rer魔方吗？ 对任意实数k，kA Dü rer魔方有多少个？ 是Dü rer魔方吗？ 如何构造所有的Dü rer魔方？
0 1 0 0
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1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有 两种取法。当第二行的1也取定后，第三、 四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最 简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8
Dü rer
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
Dü rer魔方：4阶，每一行之 和为34，每一列之和为34， 对角线（或次对角线）之和 是34，每个小方块中的数字 之和是34，四个角上的数字 加起来也是34.
版画创造时 间：1514年
该魔方出现在德国著 名的艺术家 Albrecht Dürer于1514年创造的 版画Melancolia。