线性代数思维导图
线性代数是数学的一个分支，其研究对象是向量、向量空间（或线性空间）、线性变换和有限维线性方程组。向量空间是现代数学中的一个重要课题。因此，线性代数在抽象代数和泛函分析中得到了广泛的应用。通过解析几何，线性代数可以具体表示。线性代数理论已扩展到算子理论。由于科学研究中的非线性模型可以近似为线性模型，线性代数在自然科学和社会科学中得到了广泛的应用。
概念
线性代数是代数的一个分支，主要研究线性关系。线性关系是以单一形式表示的指数对象之间的关系。例如，在解析几何中，平面上直线的方程是二维线性方程；空间中的平面方程是三次方程，空间中的直线被视为两个平面的交点，由两个三次线性方程组成。说。含有n个未知数的线性方程称为线性方程。变量为一阶的函数称为线性函数。线性关系问题称为线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
所谓“线性”是指以下数学关系。其中f称为线性算子或线性映射。所谓“代数”是指用符号代替元素和运算。换句话说，我们不关心上面的x和y是实数还是函数，f
是多项式还是微分。我们把它们抽象为一个符号或一种矩阵。线性代数共同研究了哪些线性算子f满足线性关系，它们分别具有什么性质。[1]
历史
作为线性代数的一个独立分支，它形成于20世纪
算术九章
算术九章
很久以前，“鸡兔同笼”问题实际上是求解线性方程组的一个简单问题。最古老的线性问题是解线性方程组。这在中国古代“九章算术·方程”一章中有充分的描述。本文所述的方法实质上等同于对方程组增广矩阵行进行基本变换并消除未知变量的现代方法。
由于费马和笛卡尔的工作，现代意义上的线性代数基本上出现在17世纪。直到18世纪末，线性代数的领域仅限于平面和空间。19世纪上半叶，完成了向n维线性空间的过渡。
随着对线性方程组和变量线性变换研究的深入，18、19世纪相继产生了行列式和矩阵，为解决线性问题提供了有力的工具，促进了线性代数的发展。向量概念的引入形成了向量空间的概念。所有的线性问题都可以从向量空间的角度来讨论。因此，向量空间及其线性变换和相关矩阵理论构成了线性代数的核心内容。
凯莉
凯莉
矩阵理论从凯利开始，到19世纪后半叶在乔丹的研究下达到了顶峰。1888年，钢琴通过公理定义了有限维或无限维线性空间。Toplitz将线性代数的主要定理推广到该领域中最一般的向量空间。在大多数情况下，线性映射的概念可以摆脱矩阵计算，而不依赖于基本选择。我们用不一定交换的对象或环作为算子定义的域，从而引出了模的概念，极大地扩展了线性空间理论，重新组织了19世纪的研究。
“代数”一词在汉语中出现得比较晚。它是在清代传入中国的。当时，它被翻译成“阿尔及利亚”。直到1859年，清代著名数学家、翻译家李善兰才将其译为“代数”，至今仍在使用。
思维导图在线性代数课堂教学中的应用
教育教学论坛EDUCATIONTEACHINGFORUM2018年4月第14期Apr.2018NO.14思维导图在线性代数课堂教学中的应用
收稿日期：2017-09-16基金项目：中国劳动关系学院教育教学改革立项项目资助（JG1432）作者简介：杨鑫刚（1982-），男，汉族，河北邯郸人，讲师，研究方向：数学教学、压缩感知理论。作为大学阶段一门重要的公共基础课，《线性代数》课程的教学目标是使学生掌握线性代数的基本概念、思想、原理和方法，能够利用其理论解决实际应用中的简单问题，为后续的学习和工作打下良好的基础。然而，课程本身抽象的理论、严密的逻辑和复杂的计算，使学生在学习的时候比较吃力，严重影响了课堂的教学效果和学习效率。如何利用辅助工具做好教学工作，具有重要意义。思维导图又称心智导图，20世纪70年代由英国学者TonyBuzan提出，经过几十年的发展，已经在课堂教学[4，9]、学生自学[2，4]、创新思维的训练[1，7]等方面有了广泛的应用，并取得了显著效果。思维导图结合人们左右脑思维习惯的不同，运用图文并重的技巧，深刻揭示知识的源头与发展历程，比较符合人脑思考的自然过程。思维导图是从一个中心点开始，每个与其相关的词或者图像都成为一个子中心或者联想源，整个合起来以一种无穷无尽的分支链的形式从中心向四周放射，回归于一个共同的中心。思维导图善用左右脑的功能，借助颜色、图像、符码的使用，不但可以协助我们记忆、增进我们的创造力，也让我们的学习更轻松有趣，且具有个人特色及多面性[7]。简单说，思维导图以某一个知识点为中心，将与此知识点相关的由来、定义、性质、判定、应用等内容以图的形式展现，将脑神经生理的学习互动本能有效激发，开启人脑思考的无限潜能，达到了对知识的整体系统把握。因此，我们有理由相信，将思维导图运用到线性代数的教学过程中，将会起到事半功倍的效果。一、当前线性代数教学过程中的困惑从教师教学层面上说，由于课时所限、学科本身的严谨性等原因，大部分教师课堂上照本宣科，不敢有较大改动。教师大部分采用“概念—性质—判定—例题—习题”的模式，过于强调理论知识，强调概念的严谨性，过分注重学生纯数学逻辑思维能力的锻炼，而忽视了内容的趣味性和实用性的讲授与引导[8]。从学生学习层面上说，由于课程本身抽象、空洞、枯燥、难学，学生在学习过程中往往功利性很强，对于线性代数的一些抽象概念不求甚解、死记硬背，学习过程纯粹是为了应付考试，学习兴趣和研究意愿更是无从谈起。由于缺乏学习的主动性，以致于学生在后期的专业课学习和实际生活中用到线性代数的相关知识理论时依旧是一脸茫然、无从下手。由于以上原因，线性代数教学过程中出现了“教师使劲教，学生依然听不懂”的局面，教师和学生的辛苦付出都没有得到很好的回报，严重影响了教学目标的实现。因此，如何能够让学生更加直观地了解线性代数抽象的课程内容，认真还原人们对课程内容的思考过程，充分激发学生的学习热情[5]，已经成为线性代数教学过程中必须解决的问题。二、思维导图的优点以及实践情况思维导图作为一种有效的教学设计工具，已经在许多同行的教学实践过程中体现出它的独到优势。实践表明，思维导图在教学过程中的有效应用，可以促进师生间的交流与沟通[3]，提高学生的自主学习能力和学业成绩[6]，极大地提高教学的效率。此外，在学生自学与复习过程中，思维导图有助于学生抓住知识点的本质特征[4]，对其日后活学活用、举一反三具有很大帮助。结合自身的教学实践，思维导图的优越性主要体现在以下几个方面：1.增强了知识点之间的关联性，有益于整合零散知识。对于任何一个学科的学习，除了要掌握其零碎的知识点之外，更要对各个知识点进行总结、归纳，找到它们之间的联系，形成一个完整的认知地图。因为若是仅杨鑫刚（中国劳动关系学院，北京100048）摘要：作为一种思维图形工具，思维导图已经普遍应用于教育培训等相关领域。本文研究了线性代数教学普遍存在的问题以及思维导图的优点，将思维导图方法应用于线性代数课堂教学，证明了思维导图在整合零散知识、激发学生学习兴趣、促进师生课堂沟通等方面的特殊功效。关键词：思维导图；线性代数；课堂教学中图分类号：G642.4文献标志码：A文章编号：1674-9324（2018）14-0190-02
大二学习计划思维导图数学
大二学习计划思维导图数学
一、数学
1. 微积分
- 微积分基础知识
- 极限
- 极限的定义
- 极限的性质
- 极限存在的条件
- 极限的计算方法
- 导数与微分
- 导数的概念
- 导数的性质
- 导数求解
- 微分的概念
- 微分的应用
- 不定积分
- 不定积分的概念
- 不定积分的性质
- 不定积分求解
- 不定积分的应用
- 微积分进阶知识
- 定积分
- 定积分的概念
- 定积分的性质
- 定积分的计算方法 - 定积分的应用
- 微分方程
- 微分方程的基本概念
- 微分方程的分类
- 微分方程的解法
- 微分方程的应用
- 微积分综合练习
- 例题练习
- 习题讲解
- 综合应用题
2. 线性代数
- 线性代数基础知识
- 矩阵与向量
- 矩阵的基本概念
- 矩阵的运算
- 向量的基本概念
- 向量的线性运算
- 行列式与矩阵的性质
- 行列式的定义
- 行列式的性质
- 行列式的应用
- 矩阵的性质
- 矩阵的应用
- 线性方程组
- 线性方程组的概念 - 线性方程组的解法
- 线性方程组的应用
- 特征值与特征向量
- 特征值与特征向量的概念
- 特征值与特征向量的求解
- 特征值与特征向量的应用
考研线性代数知识框架图
1 考研线性代数知识框架图
()000,nTArAnAAAxxAxAAxAAAE可逆
的列（行）向量线性无关
的特征值全不为0
只有零解 ，
0总有唯一解
是正定矩阵
R12,siAppppnBABEABE
是初等阵存在阶矩阵使得 或
注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.
()0ArAnAAAAxA不可逆
0的列（行）向量线性相关
0是的特征值
有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量
注：()()0abraEbAnaEbAaEbAx
0有非零解=-
2 具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()
√ 关于12,,,neee：
①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量152p教材；
②12,,,neee线性无关；
③12,,,1neee；
④tr=En；
⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示.
行列式的定义 1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
线性代数详细知识点
第一章行列式
§ 1二阶和三阶行列式
一、二元一次线性方程组与二阶行列式
结论：如果a11a22 a12a21 0，则二元线性方程组
的解为
有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为
、三阶行列式与三元一次线性方程组
811 812 813
定义： 821 822 823
831 832 833
811822833 812823831 813821832 813822831 812821833 811823832
811 812 813
定理：如果D
821 822 823 0 ,则(X1 ,X2, X3)是下面的三兀线性方程组的解
831 832 833
811X 812X2 813X3 bi
821 X[ 822X2 823X3 b2 831X1 832X2 833X3 bs
当且仅当 a^iX 812X2
*21 X[ 822X2 b
b2
X1 4822
811822 812821 X2 *11 b?
811
bd 821
d 821
定义: 设 811,812,821,822，记 811 822 812 821 为 811 a12
。称 811 812 为二阶行列式
821 822
X1 bi 812
811 bi
b2 822 V 812 b2
811 812 ，X2
811 812
821 822
821 822
性质2 :行列式某两行或列互换，其值变号。例如
aii ai2
3i3
a2i a22 a23
a2i a22 a23
aii ai2 ai3
a3i a32 a33
a3i a32 a33
推论：行列式有两行相同，其值为零。
性质3 :行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如
aii ai2 ai3
aii ai2 ai3
ka2i ka?2 ka?3 k a2i a22 a23
a3i a32 a33
最全线性代数知识点结构表
线性代数
2.1《行列式》（17页）1
1）行列式的概念、展开式、性质
2）几个重要公式
3）克莱姆法则
2.2《矩阵》（25页）2
1）矩阵概念和特殊方阵
2）矩阵的运算
3）矩阵可逆的充要条件
4）矩阵的初等变换与初等矩阵
5）矩阵的等价
2.3《向量》（30页）2
1）n维向量的概念与运算
2）线性组合与线性表出
3）线性相关与线性无关
4)秩
5）规范正交基与Schmidt正交化
2.4线性方程组（20页）1 1）线性方程组
2）基础解系
2.5特征值与特征向量（26页）2
1）特征值与特征向量的概念
2）相似矩阵
3）相似对角化
2.6二次型（16页）1
1）二次型概念
2）正定二次型与正定矩阵
3）合同矩阵
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳
线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。 8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为1
线性代数知识点细分目录
线性代数（同济教材，第六版）知识点的细分目录
第一章行列式
0101 排列与逆序数
0102 行列式定义
0103 几个特殊行列式
0104 行列式性质
0105 行列式按行（列）展开
0106 单元小结
0107 单元测试
第二章矩阵及其运算
0201 矩阵的引入
0202 矩阵的运算
0203 矩阵的转置与对称矩阵
0204 逆矩阵
0205 伴随矩阵与克拉默法则
0206 分块矩阵
0207 单元小结
0208 单元测试
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
0301 矩阵的初等变换
030101 用消元法求解线性方程组
030102 矩阵的初等变换及其相关定理
030103 矩阵之间的等价关系
0302 初等矩阵
030201 初等矩阵的定义
030202 有关初等矩阵的定理
030203 用初等变换求逆矩阵
030204 用初等变换解矩阵方程
0303 矩阵的秩
030301 k阶子式的概念
030302 矩阵秩的概念和基本性质
030303 矩阵秩的计算
030304 矩阵秩的性质续（放在辅导难点部分）
0304 线性方程组的解
030401 线性方程组解的判定
030402 线性方程组的解法
030403 两个推广（放在辅导难点部分）
0305 单元小结
0306 单元测试
第四章向量组的线性相关性
0401 向量组及其线性组合
040101 n维向量空间的概念 040102 向量组的线性组合
040103 向量组之间的线性表示
0402 向量组的线性相关性
040201 线性相关、线性无关的概念
040202 线性相关性的判定
040203 线性相关、线性无关的性质
0403 向量组的秩
040301 最大线性无关组与向量组的秩
040302 矩阵的秩与向量组的秩的关系
040303 向量组之间的线性表示和秩的关系
线性代数总结归纳
第一章行列式
1. 为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。
答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方 法在各个学科中得到了广泛的应用。
2. 《线性代数》的前导课程。
答：初等代数。
3. 《线性代数》的后继课程。
答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。
4. 如何学习《线性代数》？
答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习 中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一 章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一 个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。
第一章行列式
5. 什么是一个n阶全排列？【知识点】： n阶全排列。
答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。
6. 什么是标准排列？【知识点】： n阶全排列。
答：按数字由小到大的自然顺序排列的 n阶排列123…n。
7. 什么是n阶全排列的逆序？【知识点】： n阶全排列的逆序。
答：在一个 n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例
如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2,数5与3,数5与1，数5与2，数3与1,数3与2都构成逆
序。数4与5,数1与2不构成逆序。
& 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】： n阶排列的逆序数。
答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列 45312的逆序数为
& 9. 什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列
10. 对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？ 【知识点】：排列的对换
对排列的奇偶性的影响。
线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 :
2. 三阶行列式
①对角线法则
②按行（列）展开法则
3. 全排列：n个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n！
逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即
对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
4.
其中： 是1,2,3的一个排列，
t()是排列 的逆序数
5.
下三角行列式: 副三角跟副对角相识
对角行列式： 副对角行列式：
6. 行列式的性质：
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =
②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：
③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数 k 乘此行列式。第i行乘k： x k
推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面
④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0
⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：
⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如
第j列的k倍加到第i列上： 333231232221131211aaaaaaaaa3221312312332211aaaaaaaaa13312213332112322311aaaaaaaaa32132123312322211312113j2j1j)jjt(j33aaaaaaaaaaaa1)(nn2211nnn2n1222111...aaaa...aa0aaan...λλλλλλ21n21n21λλλn2121)n(nλλλ1)(nnnjnjn2n12n2j2j22211n1j1j1211a)c(baaa)c(baaa)c(baannnjn2n12n2j22211n1j1211nnnjn2n12n2j22211n1j1211acaaacaaacaaabaaabaaabaannnjnjnin12n2j2j2i211n1j1j1i11aakaaaaakaaaaakaaannnjnin12n2j2i211n1j1i11aaaaaaaaaaaa7. 重要性质：利用行列式的性质 或 ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶
线性代数知识点归纳,超详细
第 1 页 共 19 页 线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
1. 行列式的计算：
① (定义法)
②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
第 2 页 共 19 页 ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若都是方阵（不必同阶）,则
⑤ 关于副对角线：
⑥ 范德蒙德行列式：
证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。
⑦ 型公式：
⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中
,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.
(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，
使问题简化以例计算.
⑩ (数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法：
①、；
②、反证法； 第 3 页 共 19 页 ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值.
4. 代数余子式和余子式的关系：
第二部分 矩阵
1. 矩阵的运算性质
2. 矩阵求逆
3. 矩阵的秩的性质
4. 矩阵方程的求解
1. 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.
记作：或
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.
矩阵运算
a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.