东南大学线性代数期末考试试卷B
2020-2021学年线性代数期末考试题(含答案)
线性代数20－21学年第二学期期末考试试卷一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。
每空3分，共15分）1．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 2．设A 是n 阶矩阵，秩（A ）<n ，且A *≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个数为_____________________.3．若A ，B 均为3阶矩阵，且｜A ｜＝2，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 4．设A 为n 阶矩阵，若行列式｜5E －A ｜＝0，则A 必有一特征值为__________________.5．二次型3223222122x x x x x +--的秩为_____________________. 1．若A ，B 为3阶矩阵，且｜A ｜＝3，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 2．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________. 3．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中a i b i ≠0(i =1,2,3).则秩（A ）＝_______________. 4．设A 为n 阶矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b 的解的个数为_____________________.5.()()===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A R A 则秩设,,3,2,1,321 αββα____________________()==A R A 则秩已知1101001100001100001100101 .1________________________.2224, 4., ,000200011132200233121232221是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵x x x tx x x x f t y x y B x A ++---===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=., ,222252322323121232221==+=+++++=b a y y f x bx x x x ax x x x f 则经正交变换化为标准形．已知二次型二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
东南大学成贤学院期末B
密 封 线 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无效东南大学成贤学院考试卷（B 卷）一．填空与选择（每题3分，共30分）1. 310201112110201⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦= 。
2.10120--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= 。
3.当k = 时，向量组123[1,1,1],[1,0,2],[1,,1]TTTk ααα=-==-线性相关。
4.若向量12[1,2,2][2,,2]TTk αα==与正交，则k= 。
5.设23(2)(1),()21,()A E A f x x f A λλλ-=-+=-=是阶矩阵，则 。
6.设12,ηη是3元非齐次线性方程组Ax b =的两个不同解，且()2r A =，则Ax b =的通解为 。
7.已知3阶方阵A 的3个特征值分别为1,2,13-，且tE A +正定（E 为单位矩阵）， 则t 的取值范围为 。
8.已知矩阵3553A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与对角阵(2,8)diag Λ=-，则下列最恰当的描述为（ ）。
.A A Λ矩阵与相抵 B.A Λ矩阵与相似 C.A Λ矩阵与正交相似 B.A Λ矩阵与相合9.已知实二次型222112232f x x x x x =-+- ，下述结论正确的是（ ） A 正惯性指数为2，二次型秩为3 B 正惯性指数为2，二次型秩为2 C 正惯性指数为1，二次型秩为3 D 正惯性指数为1，二次型秩为2 10. 设A 为4阶矩阵，||0,*,A A O =≠则矩阵A 的秩为（ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 1二 计算与求解（每题9分，共36分）11．计算行列式4235235435425423课程名称 线性代数 适用专业考试学期 09-10-2 考试形式 闭 卷 考试时间长度 120分钟 学号 姓名 得分密 封 线 自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无效12.解矩阵方程23AX B X -=，其中31011132,2002212A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦13.已知向量131α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵2220213a A b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对应于特征值λ的特征向量，分别求,,a b λ值。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线性代数B期末试卷及答案
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷1。
设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=*8030010000100001A ，则A ＝ 。
2。
A 为n 阶方阵，T AA =E 且=+<E A A 则,0 。
3．设方阵12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵，且AB=O ,则=t 。
4。
设向量组m ααα,,,21 线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组,,,,21m ααα β 的秩为 .5．设A 为实对称阵，且|A ｜≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A —1 y 的线性变换是x = ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT ,()()232,3,4,3,4,3ββ==T T，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 。
(共6小题,每小题3分，满分18分）1.设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件是［］.(A) D n中有两行元素对应成比例；（B）D n中各行元素之和为零；(C）D n中有一行元素全为零；（D）以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组α,β,γ线性无关，α,β，σ线性相关,则［］.（A)α必可由β,γ,σ线性表示；(B) β必可由α，γ，σ线性表示；（C）σ必可由β，γ,α线性表示；(D)γ必可由β,α,σ线性表示。
３．设3阶方阵A有特征值0，－1,1，其对应的特征向量为P1，P2,P3，令P＝（P1，P2，P3)，则P－1AP＝［］。
(A)100010000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(B）000010001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(C)000010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－；(D)100000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－．４．设α1，α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ］.（A）α1，α2，α3 —α1；（B）α1，α1+α2,α1+α3；(C）α1+α2，α2+α3，α3+α1; （D）α1-α2,α2—α3,α3-α1.５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A)=[ ］。
东南大学考试卷(B)2006-2007学年高等数学期末试卷(后附答案)
东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）课程名称 高等数学B 期末 考试学期06-07-3得分适用专业高数B考试形式闭卷 考试时间长度 150分钟一。
填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x = ，0y = ，0z = ；2．已知三角形ABC ∆的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ∆的面积为 ；3． 曲线22221025x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为 ；4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k 的方向导数等于 ；5.交换积分次序⎰⎰-221x -1-11- ),(dx x dy y x f = ；6．设222},,,{z y x r z y x r ++== ，则3rr div= ；7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分dy xy ydx x c 22+⎰= ；8.设2()e x f x =，则)0()2(n f= ；9．设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π= ；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为 。
14．求全微分方程22(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分()22d Dxy y σ+-⎰⎰，其中D 为由1,2y x y x ==及2y =围成的区域.12．计算三重积分zv Ω，其中Ω是yoz 平面上的直线121,3z y y =-=以及1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分d Lz s ⎰，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面1z =+ z = 所围立体表面的外侧的流量.六．（17）(本题满分9分) 计算曲线积分(()ln d x y xy x y ++⎰，其中Γ是曲线1y =上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰06-07-3高数B 期末试卷参考答案及评分标准（A ）一。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数B期末考试题及答案
线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。
答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。
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东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）
课程名称 线性代数
考试学期
07-08-3
得分
适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟
一．填空题（E 表示单位矩阵）
1． 设12102,21111A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，则AB = ；
2． 若矩阵435x A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
不可逆，则x 满足条件 ； 3． 若矩阵A 满足2
32A A E O -+=，则1
A -= ；
4． 若33⨯矩阵A 的特征值是1,2,1-，则矩阵1
23A A E -++的行列式
123A A E -++= ；
5． 若矩阵12321045A x ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的秩为2，则参数x 满足条件 ；
6． 假设A 是n s ⨯矩阵，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含t 个解，则齐次线性
方程组0T
A y =的基础解系中向量的个数为 ； 7． 若1a α⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵120b A -⎛⎫=
⎪⎝⎭的相应于特征值１的特征向量，则a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
；
8． 若二次型22
121212(,)2f x x x x tx x =++是正定的，则参数t 满足条件 ；
9． 如果每个三维行向量都可以由()()()1,2,1,0,1,2,2,3,x -线性表示，则参数x 满足
条件
；
10． 若矩阵122a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵0053⎛⎫ ⎪⎝⎭
相似，则参数a = 。
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8%）计算行列式1
2
34
111
111
1111
1
1
x x D x x =
，其中1234,,,x x x x 均不等于1。
8%）假设1101000,1,210,11101T
P A P P αβαβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求2008A 。
四． （16%）已知矩阵3
2
2
1423A k
k -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝
⎭。
1.
求A 的特征值多项式。
2. 如果A 相似于对角阵，求参数k 的值；
3. 若A 相似于对角阵，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ；
4.
是否存在正交阵Q 使得T
Q AQ 是对角阵？为什么？
14%）假设,a b 是实数，二次型
222
1231231323(,,)22f x x x x x x ax x bx x =++++
1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ；
2． 求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形； 3． 问：当参数,a b 满足什么条件时，f 是正定的。
16%）设向量组1231111,3,114a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12100,1b c αα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1. 如果向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示，求参数a 的值，求向量组123
,,βββ的秩及其一个极大线性无关组；
2. 如果123
,,βββ与12,αα等价，求参数,,a b c 的值，并将123,,βββ中的每个向量
表示成2,αα的线性组合。
8%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：
1． 设,A B 分别是n s ⨯、s n ⨯矩阵。
若n s >，证明：齐次线性方程组0ABx =必有
非零解。
2． 假设n 维列向量α的长度
1α<，证明：矩阵T A E αα=-是正定的。
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