2014高考数学(理)总复习 单元基础+提升训练：不等式--提升
人教新课标2014高考数学总复习课后巩固提升第六章不等式6-3
(对应学生用书P 305 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43 B.0<a ≤1C ．1≤a ≤43D.0<a ≤1或a ≥43解析 D 由约束条件的可行域是如图所示的阴影区域，观察得0<a ≤1或a ≥43.2．(2013·合肥调研)设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－2 B.－22C ．0D.322解析 B 作出可行域OAB ，如图所示，作直线l 0：x －2y ＝0，平移l 0至l ，使l 过点A 时z 有最小值，z min ＝22－2×22＝－22.3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞) C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D.[3,6]解析 A 作出可行域如图△ABC ，yx 表示可行域上点M 到原点O 连线的斜率k ，∴k OA ≤k ≤k OB ，∴95≤k ≤6.4．(2011·广东高考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3 B.4 C ．3 2D.4 2解析 B画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.5．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a 的值为( )A ．－5 B.1 C ．2D.3解析 D 作出可行域，如图阴影部分所示，直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)， 若a <0，则不能围成封闭区域， ∴a >0，解⎩⎨⎧ax －y ＋1＝0，x ＝1，得A (1，a ＋1)，∴S △ABC ＝12×1×(a ＋1)＝2，a ＝3.6．已知D 是由不等式组⎩⎨⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所表示的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π2解析 B 如图，l 1、l 2的斜率分别是k 1＝12，k 2＝－13，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan ∠AOB ＝12＋131－12×13＝1， ∴∠AOB ＝π4，∴弧长＝π4·2＝π2.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．(2013·成都模拟)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3<3，解得m ＝－3.【答案】 －38．已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，N ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域M 上随机投一点P ，则点P 落入区域N 的概率为________．解析 由题意得，M 表示的区域是图中的△OAB (含边界)，N 表示的区域是图中的△OCD (含边界)，则向区域M 上随机投一点P ，点P 落入区域N 的概率为S △OCD S △OAB .又A (6,0)，B (0,6)，C (4,0)，D (4,2)，所以S △OCD S △OAB＝12×2×412×6×6＝29. 【答案】 299．(2013·宝鸡模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数z＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________．解析要使目标函数z ＝x －2y 取得最大值，只需直线y ＝12x －z 2在y 轴上的截距－z2最小，当目标函数z ＝x －2y ＝2时，其对应的直线在y 轴上的截距为－1，过点(2,0)；结合图形知，点(2,0)为直线x ＝2与x ＋2y －a ＝0的交点，则2＋2×0－a ＝0，得a ＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域．解析 不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左侧的点的集合，所以原不等式组表示的平面区域即为如图所示的三角形区域．11．(12分)已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2表示的平面区域内，求点N (a ＋b ，a －b )所表示平面区域的面积．解析 依题意，点M (a ，b )满足的约束条件⎩⎨⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ≤2，令⎩⎨⎧a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y 2，b ＝x －y 2，∴点N 满足的约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤2，作出可行域△AOB ，如图所示，∴面积S ＝12×2×4＝4.12．(16分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎨⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900， 解得⎩⎨⎧x ＝100，y ＝200，∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．。
2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)不等关系与不等式(含解析)
第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．若ac ＞bc ⇒a ＞b B ．若a 2＞b 2⇒a ＞b C ．若1a ＞1b ⇒a ＜bD ．若a ＜b ⇒a ＜b答案：D2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( ) A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定解析：选A 由a <0，ay >0知y <0，又x ＋y >0，所以x >0.故x －y >0. 3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a －c >b －d ，c >d ， 则a >b .但c >d ，a >b ⇒/ a －c >b －d .如a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－3时，a －c <b －d . 4.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③1.使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．典题导入[例1] 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[自主解答] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5；当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.若本例中“q ＞0”改为“q ＜0”，试比较它们的大小． 解：由例题解法知当 q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝－q －1q 4.当－1＜q ＜0时，S 3a 3－S 5a 5＜0，即S 3a 3＜S 5a 5；当q ＝－1时，S 3a 3－S 5a 5＝0, 即S 3a 3＝S 5a 5；当q ＜－1时，S 3a 3－S 5a 5＞0，即S 3a 3＞S 5a 5.由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．以题试法1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a .典题导入[例2] (1)(2011·大纲全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3(2)(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] (1)由a ＞b ＋1得a ＞b ＋1＞b ，即a ＞b ；且由a ＞b 不能得出a ＞b ＋1.因此，使a ＞b 成立的充分不必要条件是a ＞b ＋1.(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C由题悟法1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．以题试法2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab解析：选B A 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确．典题导入[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B 由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)·(a 2－1)>0，故M >N . 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．4．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定解析：选A ∵0＜a ＜1b ，∴1＋a ＞0,1＋b ＞0,1－ab ＞0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )＞0.5．若1a <1b <0，则下列结论不．正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.6．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析：选C 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错． 因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定， 所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错． 因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与ab的大小不能确定．7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4. ∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)8．(2012·深圳模拟)定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b . 已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c＝________.(结果用a ，b ，c 表示)解析：∵log 30.3＜0＜0.33＜1＜30.3，∴c ＜b ＜a ， ∴(a *b )*c ＝b *c ＝c . 答案：c9．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋ba 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. 证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e (b －d )2. 11．已知b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，求证：x x ＋a ＞y y ＋b .证明：x x ＋a －yy ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝bx －ay(x ＋a )(y ＋b ).∵b ＞a ＞0，x ＞y ＞0， ∴bx ＞ay ，x ＋a ＞0，y ＋b ＞0， ∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )＞0，∴x x ＋a ＞y y ＋b. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求ca 的取值范围．解：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ， ∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca.∴⎩⎨⎧2ca＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12.1．已知a 、b 为实数，则“a ＞b ＞1”是“1a －1＜1b －1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a ＞b ＞1⇒a －1＞b －1＞0⇒1a －1＜1b －1，当a ＝0，b ＝2时，1a －1＜1b －1，∴1a －1＜1b －1⇒/ a ＞b ＞1，故选A. 2．(2012·洛阳模拟)若－1＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜3则(a －b )·c 的取值范围是________． 解析：∵－1＜a ＜b ＜1，∴－2＜a －b ＜0，∴2＞－(a －b )＞0. 当－2＜c ＜0时，2＞－c ＞0， ∴4＞(－c )[－(a －b )]＞0， 即4＞c ·(a －b )＞0； 当c ＝0时，(a －b )·c ＝0；当0＜c ＜3时，0＜c ·[－(a －b )]＜6， ∴－6＜(a －b )·c ＜0.综上得，当－2＜c ＜3时，－6＜(a －b )·c ＜4. 答案：(－6,4)3．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x800＋10x ＞3，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x 1＜x 2≤10， 则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0，所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．1．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a ＞0 B ．2a －b ＞1C ．2ab ＞2D ．log 2(ab )＜－2解析：选D 由已知，0＜a ＜1,0＜b ＜1，a －b ＜0,0＜ab ＜14，log 2(ab )＜－2.2．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1aB.b a ＞b ＋1a ＋1 C ．a －1b ＞b －1aD.2a ＋b a ＋2b ＞a b解析：选A 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a ＞b ＞0时，f (a )＞f (b )必定成立，但g (a )＞g (b )未必成立，可得，a －1a ＞b －1b ⇒a ＋1b ＞b ＋1a.3．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B 设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s (a ＋b )2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b，T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2s a ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )＞0，即乙先到教室．4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ay ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出 ②④成立．答案：②④。
2014高考数学知识点专能提升不等式(含解析)
不等式(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.不等式x2-4>3x的解集是()A.(-∞,-4)∪(4,+∞)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-∞,-4)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)2.若a,b∈R,且ab>0.则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2C. D.≥23.(2013·福建,文6)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为()A.4和3B.4和2C.3和2D.2和04.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是()A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b35.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是()A. B.4C. D.56.设实数x,y满足不等式组若x,y为整数,则3x+4y的最小值是()A.14B.16C.17D.19二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.不等式≤3的解集为.8.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为.9.如果关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b),,那么称这两个不等式为“对偶不等式”,如果不等式x2-4x cos2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为“对偶不等式”,且θ∈,那么θ=.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)设函数f(x)=4x-a,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤2},求a的值.11.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率.(1)求a+b+c的值;(2)求的取值范围.12.(本小题满分16分)某化工厂为了进行污水处理,于2013年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?##1.B解析:由x2-4>3x,得x2-3x-4>0,即(x-4)(x+1)>0.∴x>4或x<-1.2.D解析:由ab>0,可知a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,由不等式的性质可知,A不成立,D成立.3.B解析:画出可行域如下图阴影部分所示.画出直线2x+y=0,并向可行域方向移动,当直线经过点(1,0)时,z取最小值.当直线经过点(2,0)时,z取最大值.故z max=2×2+0=4,z min=2×1+0=2.4.A解析:A选项中,a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以“a>b+1”为“a>b”成立的充分不必要条件.5.C解析:∵2y=2=(a+b)=5+,又a>0,b>0,∴2y≥5+2=9,∴y min=,当且仅当b=2a时取等号.6.B解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,设z=3x+4y,即y=-x+z,当该直线经过可行域时截距越小z就越小,由数形结合可知y=-x+z通过点(4,1)时截距最小,此时z的最小值为16.7.解析:由≤3得≤0,解得x<0或x≥.8.3解析:画出不等式组所对应的可行域(如图).由于z=x+5y,所以y=-x+z,故当直线y=-x+z平移至经过可行域中的N点时,z取最大值.由解得N.所以z=x+5y的最大值z max=.依题意有=4.解得m=3.9.解析:由题意可知ab=2,a+b=4cos 2θ,=-2sin 2θ,即=-2sin 2θ,∴2cos 2θ=-2sin 2θ,tan 2θ=-.∵θ∈,∴2θ∈(π,2π),2θ=.∴θ=.10.解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为4x-1≥3x+2,由此可得x≥3.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3}.(2)由f(x)≤0得4x-a≤0.因为a>0,所以不等式组的解集为.由题设可得=2,故a=8.11.解:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=-1.(2)∵c=-1-a-b,∴f(x)=x3+ax2+bx-1-a-b=(x-1)[x2+(a+1)x+a+b+1].从而另外两个零点为方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根,且一根大于1,一根小于1而大于零,设g(x)=x2+(a+1)x+a+b+1,由根的分布知识画图可得即作出可行域,如图所示,则表示可行域中的点(a,b)与原点连线的斜率k,直线OA的斜率k1=-,直线2a+b+3=0的斜率k2=-2,∴k∈,即.12.解:(1)y=,即y=x++1.5(x∈N*).(2)由均值不等式,得y=x++1.5≥2+1.5=21.5(万元),当且仅当x=,即x=10时取到等号.故为使企业的年平均污水处理费最低,该企业10年后需重新更换新的污水处理设备.。
浙江省杭州电子科技大学附中高三数学一轮复习 不等式单元能力提升训练
杭州电子科技大学附中2014届高三数学一轮复习单元能力提升训练：不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式24410x x -+≤的解集是( )A ． 1{}2B ． 11(,)(,)22-∞+∞UC ． RD ． ∅【答案】A2．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+ 【答案】C3．已知,,a b c R ∈，且0c ≠，则下列命题正确的是( )A ． 如果a b >，那么a b c c> B ． 如果ac bc <，那么a b < C ．如果a b >，那么11a b > D ．如果22ac bc <，那么a b <【答案】D4．实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，则,,,a b c d 四个数的大小关系为( )A ． c d a b <<<B ． a b c d <<<C ． c a d b <<<D ． a c b d <<<【答案】D 5．已知222222,,,,a b R m n R a m b n m n +∈∈+=.设22,M m n N a b =+=+则,M N 大小关系是( )A ． M N >B ． M N ≥C ． M N <D ． M N ≤【答案】B6．如果实数a,b,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0,那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ac >B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -< D ．22cb ab <【答案】D 7．设偶函数()x f 满足()()042≥-=x x x f ，则不等式()2-x f ＞0的解集为( )A ． {x x ＜0或x ＞}4B ．{x x ＜2-或x ＞}4C ．{x x ＜0或x ＞}6D ．{x x ＜2-或x ＞}2 【答案】A8．若a>b ，则下列命题成立的是( )A ． ac>bcB ． 1a b >C ． 11a b <D ． 22ac bc ≥【答案】D 9．设d c b a 、、、∈R ，且d c b a >>,，则下列结论正确的是( )A ． d b c a +>+B ． d b c a ->-C ． bd ac >D ． a b d c >【答案】A 10．已知函数，则的解集为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 11．若对任意实数x ,022sin 2cos 2<--+k x k x 恒成立,则实数k 的取值范围是( )A ． 2121+<<-kB ． 21->kC ． 121≤<-kD ．1->k【答案】B 12．已知实数x ，y 满足线性约束条件+30102x y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2+y x 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】}2{)0,(Y -∞14．关于x 的不等式042≥--m x x 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】3-≤m15．若不等式29(2)2x k x -≤+-的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则k =． 【答案】2 16．不等式02<+-b ax x 的解集为{}32|<<x x ，则不等式012>--ax bx 的解集为____________【答案】(,16)(1,)-∞-+∞U三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．关于的不等式的整数解的集合为-，求实数的取值范围．【答案】不等式x 2-x-2>0的解为x>2或x<-1不等式2x 2+(2k+5)x+5k<0可化为(x+k)(2x+5)<0欲使不等式组的整数解的集合为{-2} 则, 即-3k<218．已知b a ba ab b a +≥+>>22,0,0求证 【答案】a b ba b b a b a a b a a b b a 22,22,0,02222=⋅≥+=⋅≥+∴>>Θ b a b a a b a b b b a a a b +≥++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2222,22故 答：每天生产玩具A50个，玩具B50个，玩具C0个，这样获得的利润最大，最大利润为550元.19．,,a b c +∈R ，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++ 【答案】左端变形111a b c b c c a a b++++++++ 111()()a b c b c c a a b =+++++++，∴只需证此式92≥即可。
2014届高三数学一轮复习 基本不等式提分训练题
基本不等式一、选择题1．若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x≥4.答案 D2．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b的最小值为( )A.256 B.83C.113D ．4解析 由a >0，b >0,2a ＋3b ＝6得a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(a 3＋b 2)＝23＋32＋b a ＋a b ≥136＋2 b a ·a b ＝136＋2＝256. 当且仅当b a ＝a b 且2a ＋3b ＝6，即a ＝b ＝65时等号成立．即2a ＋3b 的最小值为256. 答案 A3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为⎝ ⎛⎭⎪⎫n10＋4.9，n ∈N *元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( ) A ．600天 B ．800天 C ．1 000天 D ．1 200天解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n 10＋4.9n2n＝32 000n ＋n20＋4.95，当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去． 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋bab＝1ab≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是( )． A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd＝x ＋y 2xy≥xy 2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号． 答案 D7. 已知a b 、都是正实数， 函数2xy ae b =+的图象过（0,1）点，则11a b+的最小值是（ ）A．3+ B ．3- C ． D ．答案 A 二、填空题8. 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析 ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.时xy取得最大值3. 答案 39．若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为________．解析 a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则a 2＝1－4b 2⇒a 2＋4b 2＝1.∵a 2＋4b 2＝(|a |＋2|b |)2－4|ab |＝1.∴2ab |a |＋2|b |＝2ab 1＋4|ab |，这个式子只有当ab >0时取得最大值，当ab >0时，∴2ab 1＋4|ab |＝2ab 1＋4ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab 2＋4ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋22－4，由于a 2＋4b 2＝1，故4ab ≤1，即1ab≥4， 故当1ab ＝4时，2ab |a |＋2|b |取最大值232＝24.答案2410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233.答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，2x，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 4 三、解答题13．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解析 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)；(2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元． 15．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数． ∴bc a ＋ca b≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解析 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3， 得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。
2014高考数学(理)名师指导提能专训3 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
提能专训(三)不等式与线性规划、计数原理与二项式定理A组一、选择题1．(2013·广东佛山质检）不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!,则a＋b的值是( ）A．10 B．－10 C．14 D．－14D 命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，难度中等．解题思路:由题意知ax2＋bx＋2＝0的两个根为－错误!，错误!，所以－错误!＋错误!＝－错误!，－错误!×错误!＝错误!,∴a＝－12,b＝－2，∴a ＋b＝－14.2．（2013·山西附中期中考试)函数y＝a x＋3－2(a＞0,a≠1）的图象恒过定点A,若点A在直线错误!＋错误!＝－1上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为（)A．13 B．16C．11＋6错误!D．28B 解题思路：函数y＝a x＋3－2的图象恒过A(－3，－1)，由点A在直线xm＋yn＝－1上可得，错误!＋错误!＝－1,即错误!＋错误!＝1,故3m＋n＝(3m＋n）×错误!＝10＋3错误!，因为m＞0，n＞0,所以错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,故3m＋n＝10＋3错误!≥10＋3×2＝16，故选B.3．已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝错误!的取值范围为( ) A．[1，2] B.错误!C。
错误! D.错误!B 命题立意：本题是线性规划问题，首先准确作出可行域,然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(－1,－1）连线的斜率，最后通过计算求出z的取值范围．解题思路：由已知约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，其中A（1，1)，B（1,2)，目标函数z＝错误!的几何意义为可行域内的点与点P(－1，－1)连线的斜率,k PA＝1,k PB＝错误!,故选B.4．（2013·湖南衡阳八中第六次质检)设x，y满足约束条件错误!若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则错误!＋错误!的最小值为( ）A。
2014届高考数学(人教版)总复习提高分冲刺模拟卷6.3基本不等式
第6章 第3节 课时作业一、选择题1．(2012·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－5B ．－4C ．－2D ．3【解析】 利用线性规划求最值． 画出可行域，如图阴影部分所示，当目标函数线移至点A 处时，目标函数取得最小值，且A(0,2)，故zmin ＝3×0－2×2＝－4.【答案】 B2．(2011·浙江高考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x≥0，y≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19【解析】 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16.【答案】 B3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，y≤3，ax －y －a≤0，且x2＋y2的最大值等于34，则正实数a 的值等于( )A.35B.34C.53D.43【解析】 在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA(如图所示)，其中直线ax －y －a ＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.又由于x2＋y2＝(x2＋y2)2，且x2＋y2的最大值等于34， 所以平面区域MPA 中的点到原点的最大距离等于34， 又M(－12，3)，OM ＝9＋14＜34，所以点P(3a ＋1,3)到原点的距离最大，故有(3a ＋1)2＋9＝34，解得a ＝34，或a ＝－12(舍去)． 【答案】 B4．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x －y≥－1，y≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．0，13B ．－∞，13C ．－13，0D ．－∞，－13【解析】 如图所示，画出可行域，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知，该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.故k 的取值范围是－13，0.【答案】 C5．若z ＝mx ＋y 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y －2x≤0，2y －x≥0，x ＋y －3≤0上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．0D ．0或±1【解析】 画出平面区域，可以判断出z 的几何意义是直线mx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，只有直线mx ＋y －z ＝0与直线x －2y ＝0重合时，才符合题意，此时，相应z 的最小值为0. 【答案】 C6．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，x ＋y≤70，10x ＋6y≤480，甲乙两车间每天能够获得的利润为z ＝280x ＋200y ，画出可行域，由线性规划可知当直线z ＝280x ＋200y 经过x ＋y ＝70与10x ＋6y ＝480的交点(15,55)时，z ＝280x ＋200y 取到最大值，因此，甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱时，每天能够获得的利润最大，选B. 【答案】 B 二、填空题7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝yx 的最大值为2，则实数m ＝________.【解析】 作出可行域如图所示，目标函数z ＝yx 可以看做是可行域中一点与原点连线的斜率，显然目标函数的图象过点A 和点O 时，目标函数z ＝yx 取得最大值2.此时x ＝1， y ＝2，∴m ＝1＋2＝3.【答案】 38．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y≥a ，0≤x≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 先画出x －y ＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a 表示的区域．由图知：5≤a ＜7.【答案】 [5,7)9．(2011·全国新课标高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y≤9，6≤x －y≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 法一：根据⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y≤9，6≤x －y≤9得可行域如图所示：根据z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，平移直线y ＝－x2，在M 点z 取得最小值．根据⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，此时z ＝4＋2×(－5)＝－6. 法二：设x ＋2y ＝m (2x ＋y)＋n(x －y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝1，m －n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1.故z ＝(2x ＋y)－(x －y)∵3≤2x ＋y≤9，－9≤－(x －y)≤－6， ∴－6≤z≤3.∴z 的最小值为－6. 【答案】 －6 三、解答题10．若点P 在区域⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．【解】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0所表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x －4y 所表示的平行直线系过点A(0,2)时，目标函数取得最小值，此时对应的直线方程为3x －4y ＋8＝0，其与直线3x －4y －12＝0的距离为d ＝8＋1232＋42＝4，即得点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值为4.11．已知x 、y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值；(2)x2＋y2的最大值和最小值．【解】 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0表示的可行域如图中阴影所示：其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，设t ＝4x －3y.直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)．作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t.则当l 过C 点时，t 值最小，tmin ＝－18； 当l 过B 点时，t 值最大，tmax ＝14.(2)x2＋y2＝(x2＋y2)2表示P(x ，y)到原点O 距离的平方即x2＋y2＝|OP|2. 由图形知当P 位于C 时，|OP|max ＝37；O 与P 重合时|OP|min ＝0. ∴(x2＋y2)max ＝37，(x2＋y2)min ＝0.12．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲产品每单位质量可获利10元，生产乙产品每单位质量可获利12元，甲、乙两种产品的生产都要经过厂里完成不同任务的三个车间，每单位质量的产品在每个车间里所需要的加工的总时数如下表：如何安排生产，才能使本月获得利润最大？【解】 设甲种产品的质量为x 单位，乙种产品的质量为y 单位，本月厂方获利z ＝10x ＋12y ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤1500，3x ＋2y≤1500，x ＋y≤600，x≥0，y≥0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝600，3x ＋2y ＝1500，得点M(300,300)，所以安排甲种产品、乙种产品均为300时，本月厂方获利最大，为6600元．四、选做题13．(2012·江苏高考)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a≤b≤4c －a ，cln b≥a ＋cln c ，求ba 的取值范围． 【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b≤4c ，3a ＋b≥5c ，cln b －a≥cln c ⇒b≥ce ac .作出可行域(如下图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ， 得a ＝c 2，b ＝72c. 此时ba max ＝7.得a ＝4c e ＋1，b ＝4cee ＋1.此时ba min ＝4cee ＋14c e ＋1＝e.所以ba ∈[e,7]．。
2014高考数学专题提升训练 数学思想方法和常用的解题技巧
《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则 ( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析 取a ＝100，b ＝10，此时P ＝ 2，Q ＝32＝lg 1 000，R ＝lg 55＝lg 3 025，比较可知P <Q <R . 答案 B2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )．A ．8B ．10C ．12D ．2＋log 35解析 用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B 正确． 答案 B3．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >02x ＋1，x ≤0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 当x >0时，可作出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图所示．由图示可得函数f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)有两个零点．当x <0时，f (x )＝2x ＋1有零点x ＝－12.综上，可得f (x )有3个零点． 答案 D4．设0<x<π2，则“x sin2x<1”是“x sin x<1”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由0<x<π2，得0<sin x<1，故由x sin x<1，可得x sin2x<x sin x<1，即“x sin2x<1”是“x sin x<1”的必要条件；而若x sin2x<1，则x sin x<1sin x，但1sin x>1，故不能得到x sin x<1，所以“x sin2x<1”是“x sin x<1”的必要而不充分条件．答案 B5．函数y＝e x＋e－xe x－e－x的图象大致为()．解析函数有意义，需使e x－e－x≠0，故得其定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故排除C，D；又因为y＝e x＋e－xe x－e－x＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，所以，当x>0时，函数为减函数，故选A. 答案 A6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝512πD ．x ＝π3解析 由2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，代入验证可知使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝±1，只有x ＝512π，选C. 答案 C7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析 令m ＝0，由f (x )＝0，得x ＝13，适合，排除A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0，得x ＝1；适合，排除C. 答案 D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )．A ．①或②B ．①或③C ．只有②D ．②或③解析 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A ，C ，D ，选B.答案 B9．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于( )．A.203B.234C.125D.415解析 选一个特殊位置(如图)，令OP ，OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9，得OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C 正确． 答案 C10．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．3 解析 如图阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域．而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a ＝1时，封闭区域的面积是1；当a ＝2时，封闭区域的面积是32；当a ＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案 D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的周期是4π，所以排除A ；对于函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而cos （2×π3＋π3）＝－1，故x ＝π3是此函数的对称轴，但此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，所以排除B ；对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为π，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，故x ＝π3是此函数的对称轴，又由2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，知此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数，故选C. 答案 C12．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )．A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 取a ＝±12，代入原不等式得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x <23b 或x >2b ，不符合条件，从而排除A ，B.取a ＝4代入原不等式得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x <b5，0<b <5，解集中的整数解少于3个，从而排除D ，故选C. 答案 C 二、填空题13．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．答案①②④14．已知函数f(x)＝ln x－ax.若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．解析∵f(x)<x2，∴ln x－ax<x2，又x>1，∴a>x ln x－x3，令g(x)＝x ln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0恒成立，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)<h(1)＝－2<0.∴即g′(x)<0∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)<g(1)＝－1.∴a>－1.答案(－1，＋∞)15．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则1p＋1q为________．解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝12a，∴1p＋1q＝4a.答案4a16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________．解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，而函数f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.根据函数f (x )在[－1,0]上为增函数及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1,0]上的图象，然后根据f (x )为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的． 答案 ①②⑤ 三、解答题17．设函数f (x )＝x －2x －a ln x (a ∈R ) (1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x 2＝(x －1)(x －2)x 2.令f ′(x )＝0，解得x＝1或2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞) 上，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． 综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． 18．已知各项均为正数的等差数列{a n }的公差d 不等于0. a 1＝2，设a 1，a 3，a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2)将数列{a n }中与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1(n ≥2，n ∈N *)的值．解 因为a 1，a 3，a 7成等比数列，{a n }是公差d ≠0的等差数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d .又a 1＝2，所以d ＝1，b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1·q n －1＝2n ，所以a n b n ＝(n ＋1)·2n . (1)用错位相减法，可求得{a n b n }的前n 项和T n ＝n ·2n ＋1.(2)新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n －1项和减去数列{b n }的前n 项和，所以S 2n －n －1＝(2n －1)(2＋2n )2－2(1－2n )1－2＝(2n －1)(2n －1－1)，所以S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.19．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x (a ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求正数a 的值，并求出f (x )在[0,4]上的最值； (2)若f (x )在区间(0,2)上不单调，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， 由题意，f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2.当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， 令f ′(x )>0，解得x <1或x >3；令f ′(x )<0， 解得1<x <3.f (x )的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．于是f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]上单调递增， 因此f (x )在[0,4]上的最大值为max{f (1)，f (4)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，43＝43；f (x )在[0,4]上的最小值为min{f (0)，f (3)}＝min {}0，0＝0.(2)函数f (x )在区间(0,2)上不单调⇔函数f ′(x )在(0,2)内存在零点，而f ′(x )＝0的两根为a －1，a ＋1，所以0<a －1<2，或0<a ＋1<2，即1<a <3或－1<a <1，所以实数a 的取值范围是(1,3)∪(－1,1)．20．如图所示，已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝a 2上的射影依次为点D ，K ，E .(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程； (2)连接AE ，BD ，证明：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于一定点． 解 (1)由题意，易知b ＝3，椭圆C 的右焦点F (1,0)， 则c ＝1，所以a ＝2.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意，知F (1,0)，K (a 2,0)．先探索：当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，此时四边形ABED 为矩形，由对称性，知AE ，BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.猜想：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (a 2，y 1)，E (a 2，y 2)． 首先证明当m 变化时，直线AE 过定点N .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消掉x ，得(a 2＋b 2m 2)y 2＋2mb 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.则Δ＝4a 2b 2(a 2＋m 2b 2－1)>0(a >1)，且y 1＋y 2＝－2mb 2a 2＋b 2m 2，y 1y 2＝b 2(1－a 2)a 2＋b 2m 2.又k AN ＝－y 1a 2－12－my 1，k EN＝－y 21－a 22， 所以k AN －k EN ＝－y 1a 2－12－my 1－－y 21－a 22＝a 2－12(y 1＋y 2)－my 1y 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝a 2－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mb 2a 2＋b 2m 2－m ·b 2(1－a 2)a 2＋b 2m 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝2m (1－a 2)b 2－2m (1－a 2)b 2(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1(a 2＋b 2m 2)＝0. 所以k AN ＝k EN .所以A ，E ，N 三点共线．同理可证B ，D ，N 三点共线．所以当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.。