线性代数与解析几何__东南大学(29)--2010-2011-2《几何与代数A》试题参考解答

当 k = 2 时, 二次曲面 f(x, y, z) = 1 为椭圆柱面;
当 k > 2 时, 二次曲面 f(x, y, z) = 1 为椭球面.
八. (10 分) 1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A* O, 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 两个不同的解. 证明:
(1) 1-2 为齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
x+2 -3
=
y -1 1
=
z 1
.
注: 也可以由(1, 2, 1)(2, 5, 1) = (-3, 1, 1)求 s.
�1 0 0� �2 6 �
四. (8 分)设 32 矩阵 X 满足 AX = B-X, 其中 A = � � �02
1 0
0 1
� � �, B
=
� � �04
-2 0
� � �, 求
的一个极大线性无关组是__1, 2__或__1, 3__或__2, 3_____.
密
5.
向量空间
V
=
ﾱﾱﾱﾱﾱ� � � �xyz
� � � �
R3
x
-
2y
+
3z
=
0
ﾱ�的一组基为 ﾱ
�2 � � �10
��-3 � � �, � � �10
�或 � � �
其它两个向量 构成的与的之 等价的向量组
3
=
(-2)2(-1).
故
A
的特征值为1
=
2
=
2,
3
=
1.
2. 求 A 的所有特征向量.
�1 0 -1� �1 0 -1�
解: 2E-A = � � �10
1 0
-01� � �ﾱ
� � �00
1 0
0 0
� � �,
可见(2E-A)x = 0 的一个基础解系为1 = (1, 0, 1)T.
d2 (d +1)2
ri - r1
a2 2a +1
(d + 2)2 i = 2,3, 4 4a + 4
b2 2b +1 4b + 4
c2 2c +1 4c + 4
d2 2d +1 4d + 4
(a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2
6a + 9 6b + 9 6c + 9 6d + 9
,
V 的维数 dimV = ______2______.
( ) ( ) ( ) 6. 矩阵 A =
1 0
3 2
,
B
=
1 1
1 2
,C=
1 2
2 2
中,
( ) ( ) B 或
11 12
与
1 0
0 2
合同.
( ) A 或
13 02
( ) 与
1 0
0 2
相似,
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a2
b2
c2
d2
二.
(6
分)计算行列式
证二: 又条件可知, 对于任意的 3 维列向量, 有 TATA = (A)TA = ||A||2 = ||||2 = T = TE,
其中 ATA, E 为实对称矩阵.
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可见 ATA, E 是同一个二次型 xTATAx = xTEx 的矩阵, 因而 ATA = E, 即 A 为正交矩阵. 证三: 设 A = (1, 2, 3), = (x1, x2, x3)T. 由条件可知
�1 � � �00
0 1 0
0 ��u � �1 -11� � �� � �wv � � �, 其中 � � �00
0 1 0
0� -11� � �可逆, 且
f(x, y, z) = u2 + 2v2 + (k-2)w2. 由此可见:
当 k < 2 时, 二次曲面 f(x, y, z) = 1 为单叶双曲面;
2. 设曲面 S 与平面 2x + 2y - z - 2 = 0 的交线为 c. 求曲线 c 到 xOy 平面的投影柱面 S1 和投影曲线 c1 的方程.
解: 将 x2 + y2 - z - 1 = 0 与 2x + 2y - z - 2 = 0 相减并整理得(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1. 这就是投影柱面 S1 的方程. 进而得投影曲线 c 的方程为
�2 1 0 �
3. A 的 Jordan 标准形为
� � �00
2 0
0 1
� � �
.
4. 求实数 a, b, c 使 A-1 = aA2 + bA + cE, 其中 E 为 3 阶单位矩阵.
解: A 的特征多项式 c() = 3 - 52 + 8 - 4. 故 A3 - 5A2 + 8A - 4E = O.
�1 � � �00
2 1 -3
1 -1 a -1
0 1 b
� � � �ru3uu+uu3urur2
�1 � � �00
2 1 0
1 -1 a-4
可见 a - 4 = b + 3 = 0, 即 a = 4, b = -3.
0�
b
1 +
3� � �
2. 求直线 l 的方向向量和对称方程.
�1 2 1
(2) 存在不全为零的数 k1, k2, ..., kn 使得 A* = (k1(1-2), k2(1-2), ..., kn(1-2)).
证明: 由上题知|A| = 0. 于是 AA* = |A|E = O, 可见 A*的列向量都是 Ax = 的解. 又因为 1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系, 且 A* O, 所以存在不全为零的数 k1, k2, ..., kn 使得 A* = (k1(1-2), k2(1-2), ..., kn(1-2)).
此
答 卷
封
( ) 3. 设 A, B 为可逆矩阵, 则
2A O
O AB
-1
=
� � �12
A-1 O
B
O A -1 -1
� � �
.
无 效
�1 � �0� �-1� 4. 设向量组1 = � � �10 � � �, 2 = � � �11 � � �, 3 = � � �a2 � � �线性相关, 则 a = __1__, 这个向量组
的可逆线性变换, 并就参数 k 不同的取值范围, 讨论二次曲面 f(x, y, z) = 1 的类型.
解: f(x, y, z) = x2 + 2y2 + kz2 + 4yz = x2 + 2(y+z)2 + (k-2)z2.
令
ﾱﾱﾱuv
= =
ﾱﾱw =
x, y+ z
z,
则
�x � � �yz
� � � �=
--31� � �.
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注: 也可以先求得(A+E)-1 = � � � �-01212
0
1
02
0�
�1
0
1 2
� � �, 再得
X
=(A+E)-1B
=
� � �10
3� --31� � �.
五.
(8
分)设
S
为曲线
ﾱy2 - z ﾱﾱx = 0
-1
=
0
绕
z
轴旋转一周所得的曲面.
1. 曲面 S 的方程为____x2 + y2 - z - 1 = 0___________.
�1 2 1 � �0�
解: 令 A = � � �12
5 -1
1 a
� � �,

=
� � �b1
� � �.
因为平面1, p2, p3 交于一条直线, 所以 r(A) = r(A, ) = 2.
�1 2 1
故由(A, ) = � � �12
5 -1
1 a
0 1 b
� � � �ru2ru3u--uu2ru1rur1
ﾱ(x -1)2 + ( y -1)2 = 1, ﾱﾱz = 0.
3. 在右边的坐标系中作出曲面 S 和曲线 c1 的图形.
�1 0 1 �
六. (20 分)设 A = � � �-01
1 0
0 3
� � �.
1. 求 A 的特征值.
-1 0 -1
解: |E-A| =
0 1
-1 0

0 -
由此可得
A(A2-5A+8E)
=
4E,
因而
A-1
=
1 4
A2
-
5 4
A
+2E,
即
a
=
1 4
,
b
=
-
5 4
,
c
=
2.
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�x 0 0 �
5. 若 B = � � �00
2 0
3 y
� � �与
A
相似,
求
x,
y.
解: 若 B 与 A 相似, 则 x + 2 + y = 5, 2xy = 4, 故 x = 1, y = 2, 或 x = 2, y = 1.
设平面过点 P(1,
0,
-1)且垂直于直线 l:
ﾱﾱﾱxy
= =
t - 9, -3t +
2,
则平面的方程为
试
ﾱﾱz = 2t,
作
___x - 3y + 2z + 1 = 0__, 直线 l 与平面的交点坐标为___(-8, -1, 2)___.
弊
3. 原点 O 到平面 x + y - z + 3 = 0 的距离为 3 .
� � �00
0 210
0 210
� � �
,
学号
线
场
A 的秩 r(A) = _________1________, A 的行列式|A| = _________0________,
纪 律
与的夹角为
则 =
ﾱ(
-1 3
,
-1 , 3
1)
3
p /3 .
, 若 是垂直于, 的单位向量,
如 考
2.
解: 由 � � �00
1 0
-1 0
0 1 0
� � � �ru1u-uu2uurur2
�1 � � �00
0 1 0
3 -1 0
-2 1 0
� � � �可得
Ax
=

的通解
ﾱﾱﾱxy ﾱﾱz
= = =
-3t t +1, t,
2,
(t
R)
可见直线 l 的方向向量为 s
=
(-3,
1,
1),
对称方程为
(a (a
+ 1)2 + 2)2
(b +1)2 (b + 2)2
(c +1)2 (c + 2)2
(d +1)2 (d + 2)2
.
(a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2
a2
解:
(a +1)2 (a + 2)2
b2 (b +1)2 (b + 2)2
c2 (c +1)2 (c + 2)2
r3 - 2r2 r4 - 3r2
a2 2a +1
2 6
b2 2b +1
2 6
c2 2c +1
2 6
d2
2d +1 2
=
0.
6
三. (8 分)设三个平面1: x + 2y + z = 0; p2: 2x + 5y + z = 1; p3: x - y + az = b 交于一条
直线 l.
1. 求参数 a, b 的值.
当 x = 1, y = 2 时, r(2E-B) = r(2E-A) = 2, B 与 A 有相同的 Jordan 标准形, 故相似;
当 x = 2, y = 1 时, r(2E-B) = 1, r(2E-A) = 2, B 不与 A 相似;
因此 x = 1, y = 2.
七. (10 分) 用配方法把二次型 f(x, y, z) = x2 + 2y2 + kz2 + 4yz 化为标准形. 请写出所用
故 A 的对应于1 = 2 = 2 的特征向量为 k1 (k 0).
�0 0 -1� �1 0 0 �
E-A = � � �10
0 0
0 -2
� � �ﾱ
� � �00
0 0
1 0
� � �, 可见(E-A)x
=
0
的一个基础解系为2
=
(0,
1,
0)T.
故 A 的对应于3 = 1 的特征向量为 k2 (k 0).
X.
解: 由 AX = B-X 得(A+E)X = B.
�2 0 0
由(A+E, B) = � � �02
2 0
0 2
2 0 4
6 -2 0
� � � �初uuu等uuu行uuu变uu换uur
�1 � � �00
0 1 0
0 0 1
1 3 � �1 3 �
0 1
--31� � �得 X = � � �10
2. 设 A 为 3 阶实矩阵, 而且||A|| = ||||对于任意的 3 维列向量都成立. 证明: A 为正 交矩阵.
证一: 设 A = (1, 2, 3), e1 = (1, 0, 0)T, e2 = (0, 1, 0)T, e3 = (0, 0, 1)T. 由条件可知||i|| = ||Aei|| = ||ei|| = 1 (i = 1, 2, 3), 且对于任意的 1 i < j 3, 有 2 = ||ei + ej||2 = ||A(ei + ej)||2 = ||i + j||2 = ||i||2 + 2iTj + ||j||2 = 2 + 2iTj , 可见iTj = 0. 综上所述, A 为正交矩阵.
证明: 因为1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解, 所以 1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的非零解. 因而|A| = 0. 又因为 A* O, 所以 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零, 可见 r(A) = n-1. 因而 Ax = 的基础解系中只有一个解向量. 所以1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）
课程名称ห้องสมุดไป่ตู้适用专业
几何与代数 A
考试学期 2010-2011- 得分
2
吴健雄学院 考试形式
闭卷
考试时间长度 120 分钟
姓名
题目
一
二
三
四
五
六
七
八 总分
得分
批阅人
自 觉
一. 填空(每空 2 分, 共 30 分)
遵
�0 210 210 �
守 考
1. 设向量 = (1, 0, 1), = (0, 2, 2), 矩阵 A = T, 则 A10 =