华南理工大学 线性代数与解析几何 试卷
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华南理工大学期末考试（A 卷）
《 2007线性代数 》试卷
20分） （1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件
是：
（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθ
θ-⎛⎫=
⎪-⎝⎭
，则12007
P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =
（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1n
i i E A λ=-∑ =
选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ：
A ， 乘一个m 阶初等矩阵，
B ，右乘一个m 阶初等矩阵
C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵
（2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,}
r A r m n
=<。集合{:,}n
M X AX B X R
==∈则
A，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间
C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对
（3）若n阶方阵A，B满足，22
A B
=，则以下命题哪一个成立
A，A B
=±，B，()()
r A r B
=
C，det det
A B
=±，D，()()
r A B r A B n
++-≤
（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：
A，矩阵1A-为正交矩阵，B，矩阵-1A-为正交矩阵
C，矩阵*A为正交矩阵，D，矩阵-*A为正交矩阵
（5）4n阶行列式
111
110
100
-⋅⋅⋅--
-⋅⋅⋅-
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅
的值为：
A，1，B，-1 C，n D，-n
三、解下列各题（共30分）
1．求向量
5
1
3
β
⎛⎫
⎪
=- ⎪
⎪
⎝⎭
，在基
123
111
0,1,1
101
ααα
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的坐标。
2．设1020200,
001A AB A B -⎛⎫ ⎪
==- ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵1B --A
3．计算行列式1
3
3
5
19
92512727125
181
81
625
--
4.计算矩阵13
4
9
2
66310396933
94120A -⎛⎫ ⎪
----
⎪
= ⎪---- ⎪
-⎝⎭
列向量组生成的空间的一个基。
5. 设120201012...
...
...
.........n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
计算det A
四、证明题（10分） 设12,,
,r ξξξ是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一
个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
22
123122313(,,)42f x x x x x x x x x =++-
六、（8分）a 取何值时，方程组
1231231
232325106
x x x a x x x a x x x +-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩ 有无数多个解？并求通解
七、（4分）设矩阵A
，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。
《2007年线性代数A 》参考答案
一 填空题 每个四分
(0) rankA (1) cos 2007sin 2007sin 2007cos 2007θ θθθ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2) t= 43 ± (3) 1± (4) 0 二 选择题 . (1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A 三 解答题 (1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则 112323(,,)x x x αααβ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎩⎪ ⎨⎧=+-=+=++3 1531 32321x x x x x x x （4分） ⎪⎩⎪ ⎨⎧-===326 3 21x x x （6分） (2) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==+∴=+=+∴-=------100042024200012021100002020)()()(1 11111E A A B B E A A B A E A A B E A B A AB 则 （2分） （6分） (3) 13824023 811 9 480238101 901115)96(310 423951 1 1063 2242620847801202424020126 5331 -=-⨯ -=--⨯⨯-=-⨯⨯⨯=--