线性代数与解析几何 序言

) ij ) τ (LjiL =τ (L L ±1
(2)不相邻对换 (2)不相邻对换
L 1L s jL→Ljk1L siL ik k k
需要进行 2s+1 次相邻对换. 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性. 所以对换改变排列的奇偶性.
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定理2 定理2 全部 n(≥2)阶排列中奇偶排列 ( 2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 各占一半. 排列中有 个奇( 个 证 设 n! n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s + t = n!
奇排列 s 个
(1,2)对换 (1,2)对换 (1,2)对换 (1,2)对换
s≤t s≥t
偶排列 t 个
n! ⇒s=t = 2
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1.1.3 n 阶行列式的定义
用排列观点总结三阶行列式: 用排列观点总结三阶行列式:
a11 a12 a 13 τ ( j1 j2 j3 ) a21 a22 a23 = ∑(−1 ) a j1a2 j2 a3 j3 1 a31 a32 a33 j1 j2 j3
(每章结束后一周内以班为单位上交） 每章结束后一周内以班为单位上交） 使用作业本, 写上学号!!! 使用作业本, 写上学号!!!
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《线性代数与空间解析几何》 线性代数与空间解析几何》
第一章
n 阶行列式
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室 2007.9
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本章主要内容 行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 Cramer法则 Cramer法则
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n阶行列式定义: 阶行列式定义: 阶行列式定义 定义
a 11 a 21 M a1 n a L an 12 1 a22 L a n 2 M M a2 L a n nn
τ ( j1 j2Ljn )
=
∑ (−1)
j j2Ljn 1
a j1 a2 j2 L njn a 1
此行列式可简记 ∆(aij ) 或 D = aij n ,det(aij ). 记一阶行列式 a = a , −2 = −2. 11 11
D3 D D2 1 x1 = , x2 = , x2 = D D D
3 0 4 例2 1 1 2 = 4 × 1 × 1 − 4 × 1 × 2 − 3 × 2 × 1 2 1 0 = −10
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问题1 问题1：怎样定义n阶行列式? 阶行列式? 1.1.2 全排列的逆序数、对换 全排列的逆序数、
定义 由1,2, …, n 组成的有序数组称 为一个 n阶 ( 全) 排列, 一般记为: n阶 排列, 一般记为: 排列共有 种 n 阶排列共有 n! 例如 自然数 ,2 ,3 的排列共有六种. 自然数1 的排列共有六种. 例如 12 … n 是一个 阶排列,叫自然排列. 是一个n阶排列 叫自然排列. 阶排列,
ai1k1 ai2k2 L inkn = a j1 a2 j2 L njn a a 1
(−1 )
i k τ (i1i2Ln )+τ (k1k2L n )
= (−1 )
τ ( j1 j2Ljn )
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根据这个结论,也可以把行列式表示为: 根据这个结论,也可以把行列式表示为:
a 11 a 21 M a1 n a L an 12 1 a L an 22 2 M M a2 L a n nn
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归纳如下： 归纳如下：
由 n 个元素组成; 个元素组成; 项代数和; 为 n!项代数和; 项代数和 每项为取自不同行列的n个元素之积 个元素之积; 每项为取自不同行列的 个元素之积; 行按自然顺序取时, 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式. 用定义只能计算一些简单的行列式.
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j1 j2 Ljn
定义 在一个排列 j1 j2 Ljn中,如果一个大 数排在小数的前面, 数排在小数的前面,则称这两个数构 成一个逆序 成一个逆序.一个排列的逆序总数称 逆序. 逆序数, 为逆序数,表示为τ ( j1 j2 Ljn ). 如果 τ ( j1 j2 Ljn )为偶数,则称为偶排列. 为偶数,则称为偶排列 偶排列. 如果 τ ( j1 j2 Ljn )为奇数,则称为奇排列. 为奇数,则称为奇排列 奇排列.
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b 1 a21x1 + a22x2 + a23 x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b 3 在系数行列式 D ≠0 时,
方程组有唯一解,其解可表示为: 方程组有唯一解,其解可表示为:
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其中 b1 a12 a13 a11 b a13 a11 a12 b1 1 D = b2 a22 a23 , D = a21 b2 a23 , D3 = a21 a22 b2 1 2 b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3
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五、教学要求
1.上课关手机，不迟到 !!! 上课关手机， 2.答疑时间: 每周二、四 11:50 —— 13:30. 答疑时间: 答疑时间 每周二、 答疑地点: 答疑地点: BX215. 3.交作业时间: 周一至周五 9:00 —— 16:00. 交作业时间: 交作业时间 交作业地点: BX215( 程老师). 交作业地点: BX215( 程老师).
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如果定义三阶行列式如下(对角线法则） 如果定义三阶行列式如下(对角线法则） ： a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 = a a22a33 + a a23a31 + a a21a32 11 12 13 a31 a32 a33 −a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 那么对三元一次方程组
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例1 求解方程组
{
3 x1 + 5 x2 = 1 − x1 + 2 x2 = 2
3 5= 解 由于 D = 3 × 2 − 5 × (−1) = 11 ≠ 0 −1 2
D1 −8 x1 = D = 11 则方程组的解为 D2 7 x2 = = D 11
1 5 = −8 D1 = 2 2 3 1 =7 D2 = −1 2
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四、教学参考书
1.《线性代数与空间解析几何》 1.《线性代数与空间解析几何》习题解答 哈工大数学系编（偏工）教材科有. 哈工大数学系编（偏工）教材科有. 2.《线性代数与空间解析几何学习指导》 2.《线性代数与空间解析几何学习指导》 清华) 等编，科学出版社. 俞正光 ( 清华) 等编，科学出版社. 3.《线性代数复习指导》恩波组编， 3.《线性代数复习指导》恩波组编，胡金 清华) 国家行政学院出版社. 德 ( 清华) 国家行政学院出版社. 4.《代数与几何考研辅导》答疑室BX215 4.《代数与几何考研辅导》答疑室BX215 .
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注意 这个行列式的值一般并不等于 −a a2 L n a 1 当 n=4,5 时: D = aa2a3a4, D = aa2a3a4a5 4 1 5 1
a a 当 n=6,7 时: D =−a L 6, D =−a L 7 6 1 7 1
问题 2: 如何决定下面一般项的符号? 如何决定下面一般项的符号?
i τ (i1i2Ln )
=
∑ (−1)
i i2Ln i 1
ai11ai2 2 L inn a
注
行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值
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1.2 n 阶行列式的性质
定义 设 D = aij ，称 n a11 a21 ⋅⋅⋅ an1 a a22 ⋅⋅⋅ an2 为 D 的 转 置 行 列 T D = 12 M M M 式． a a ⋅⋅⋅ a
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2
证明对角形行列式, 例5 证明对角形行列式,上(下)三角形行 列式都等于其主对角元素的乘积, 列式都等于其主对角元素的乘积, 即
a11
a22
a11 a12 L a1n a22 L a2 n = O O M ann ann
a11 n a21 a22 = = ∏ aii = a11a22 L ann M M O i =1 an1 an 2 L ann
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例3 例4
因为τ (23541 =4 + 1 = 5 ) 所以 23541 是一个奇排列. 是一个奇排列.
n τ (12L ) =0
1 = n(n − 1) 2
τ (n(n −1)L21) =(n − 1) + (n − 2) + L + 1
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对换: 在一个排列中互换两个数位置的 对换: 在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动). 变动(其它数不动). 定理1 对换改变排列的奇偶性. 定理1 对换改变排列的奇偶性. 证 (1)相邻对换 (1)相邻对换
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二、课程特点
内容抽象 概念多， 概念多，符号多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 应用广泛
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三、学习方法
• 掌握三基——基本概念 ( 定义、符号) 掌握三基——基本概念 定义、符号) 定理、公式) 基本理论 ( 定理、公式 基本方法 ( 计算、证明) 计算、证明 • 提前预习——体会思路 提前预习——体会思路 • 多动手，勤思考——深入体会思想方法 多动手，勤思考——深入体会思想方法 • 培养——自学能力，独立分析问题能力 培养——自学能力，独立分析问题能力 自学能力 和独立解决问题的能力 和独立解决问题的能力
a11 a12 a a − a a ≠ 0 D= = 11 22 12 21 a21 a22
11
b a12 = ba22 −a12b2 D= 1 1 b2 a22 1
a11 b1 = a11b2 − b1a21 D2 = a21 b2
当系数行列式 D ≠ 0时,则方程组有 时 唯一解,其解可表示为: 唯一解,其解可表示为: D D2 1 x1 = , x2 = D D
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例6
a1 a2
N
an−1
an =
a1
an −1 N M a2 L * * L *
an * M * *
* * L * an n ( n −1) * * L an −1 = M M N = ( −1) 2 a1a2 L an −1an * a2 a1
其中 * 表示此处元素可以是任意的数. 表示此处元素可以是任意的数.
{
其中
a x + a x2 = b 11 1 12 1 a21x + a22x2 = b2 1 a11a22 − a12 a21 ≠ 0
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对方程组用加减消元法求出解: 对方程组用加减消元法求出解: ba22 − a b 12 2 x = 1 1 a a −a a 11 22 12 21 a b −ba21 1 x2 = 11 2 a a22 − a a21 11 12 此解不易记忆， 此解不易记忆，因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解． 符号“行列式”来表示解． 如果定义二阶行列式如下(对角线法则）： 如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：
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证 以下三角行列式为例来证明. 以下三角行列式为例来证明. 先决定所有可能的非零项 a1 j1 a2 j2 Lan jn = a11a22 Lann
( j1 =1 j2 = 2,L jn = n) Q , ,
其次决定非零项的符号
a 11 a21 a22 τ (12L ) n = (−1 ) a a22 L nn a 11 M M O an1 an2 L ann = a a L a 11 22 nn
线性代数与空间解析几何
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室 2007.9
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《线性代数与解析几何》序言 线性代数与解析几何》
学时
60学时, 4 学分,共15 周课 60学时 学分, 学时,
成绩
平时: 20%,期中: 平时: 20%,期中: 30 %，期末: 50 %. %，期末:
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一、教学内容
线性代数 ( 抽象) —为了解决多变量问题 抽象) 相 相 形成的学科. 形成的学科. 互 互 （代数为几何提供了便利 支 促 撑 进 , 几何为代数 的悁 解 几何 ( 提供了 ) 象的 ).
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1.1 n阶行列式 阶行列式
行列式是一种算式, 行列式是一种算式,是根据线性方程 组求解的需要Baidu Nhomakorabea进的. 组求解的需要引进的.也是一个基本的数 学工具,有很多工程技术和科学研究 工程技术和科学研究问题 学工具,有很多工程技术和科学研究问题 的解决都离不开行列式. 的解决都离不开行列式. 1.1.1 二阶和三阶行列式 设二元线性方程组为