2019届高考数学一轮复习第十章概率10-3几何概型课件文
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高考数学总复习配套课件：第10章《概率》10-3几何概型
为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行
过程中始终保持与正方体6个表面的距离
均A.2大47 于1，称其为“安全B.19飞行”，则蜜蜂
“4安全飞行”的概率为( 1 )
C.9
D.27
解析：蜜蜂如果能“安全飞行”，则蜜蜂飞行过程中应在一个中心
与原正方体中心重合，且在棱长为 1 的正方体内，该正方体的体积 V1＝ 13＝1，而原正方体的体积 V＝33＝27，故所求概率 P＝VV1＝217.
【思想方法】 转化与化归思想在几何概 型中的应用
【典例】 (2012年高考辽宁卷)在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形， 邻A.16边长分别等于线段ABC.13 ，CB的长，则该
矩2形面积大于20 cm2的概4 率为( )
C.3
D.5
【解析】 设 AC＝x，则 BC＝12－x，所以 x(12－x)＝20，解得 x
电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小 波周末不在家看书的概率为________．
[解析] 设 A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则 P(D) ＝1－π122－π π142＝1136.
[答案]
13 16
1．(2013 年太原模拟)若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程
x2－ax＋34b2＝0 有实数根的概率是(
)
1
1
A.6
B.4
1 C.3
D．1
解析：由原方程有实根得a2－3b2≥0⇔(a－ b)(a＋b)≥0，则整个基本事件空间可用点 (a，b)所在图形的面积来度量，为以原点 为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有 实根”可用不等式组对应平面区域的面积
高考数学总复习第十章概率10.3几何概型课件文新人教A版
第十章
概率
第3节 几何概型
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节
1.了解随机数的意义，能运用 模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义.
是高考中的热点．预测 2020 年 高考将考查与长度或面积有关 的几何概型的求解问题．试题 以客观题的形式呈现，难度不
大，属中低档题.
课堂探究 考点突破
(2)(2019·广东化州模拟)如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽 车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分
π 的概率是 8 .
解析：设正方形边长为 2，则正方形面积为 4，正方形内切
圆中的黑色部分的面积 S＝12×π×12＝π2，∴在正方形内随机取一 π
(1)几何概型与平面几何的交汇问题，其解题思路为：利用平 面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰 当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；
(2)几何概型与线性规划的交汇问题，其解题思路为：先根据 约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式 求概率．
(1)在区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn， 构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为
(2)(2019·西安调研)在区间[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直
3 线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为 4 .
解析：直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心 (5,0)到直线 y＝kx 的距离小于 3.
概率
第3节 几何概型
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节
1.了解随机数的意义，能运用 模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义.
是高考中的热点．预测 2020 年 高考将考查与长度或面积有关 的几何概型的求解问题．试题 以客观题的形式呈现，难度不
大，属中低档题.
课堂探究 考点突破
(2)(2019·广东化州模拟)如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽 车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分
π 的概率是 8 .
解析：设正方形边长为 2，则正方形面积为 4，正方形内切
圆中的黑色部分的面积 S＝12×π×12＝π2，∴在正方形内随机取一 π
(1)几何概型与平面几何的交汇问题，其解题思路为：利用平 面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰 当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；
(2)几何概型与线性规划的交汇问题，其解题思路为：先根据 约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式 求概率．
(1)在区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn， 构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为
(2)(2019·西安调研)在区间[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直
3 线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为 4 .
解析：直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心 (5,0)到直线 y＝kx 的距离小于 3.
高三数学一轮复习 第10章第3节 几何概型课件 文 (广东专用)
个．
1．(教材改编题)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线 段 AM 为边作正方形，则正方形面积介于 36 cm2 和 81 cm2 之间的概 率为( A. 1 2 ) B. 3 4 C. 1 4 D. 2 3
【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为 12，所求事件的 区域长度为 9－6＝3，故所求概率为 P＝ 3 1 ＝ . 12 4
1 · |AB|· |AD| S△ABE 2 1 得 P(M)＝ ＝ ＝ . |AD| 2 S矩形ABCD |AB|·
【答案】 C
3． (2012· 广州质检)一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞 行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个面的距离均大于 1， 称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 1 A.8 1 B.16 1 C.27 3 D.8 )
能的，因此，根据几何概型可分别求出小波周末看电影与打篮球的
概率，进而利用互斥事件概率加法公式可解．
【尝试解答】 记“小波周末去看电影”为事件 A， “小波周末 打篮球”为事件 B，依题意，事件 A，B 互斥，且 A＋B 表示“小波 周末不在家看书”． 又全部试验区域的面积为 π·12＝π，事件 A，B 发生所在区域面 1 3 1 π 积分别为 S1＝π－( )2π＝ π，S2＝( )2π＝ ， 2 4 4 16 3 π π 4 3 16 1 ∴P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ， π 4 π 16 3 1 13 则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝ ， 4 16 16 13 因此小波周末不在家看书的概率为 . 16
【解析】 由 f(x0)≥0，得 log2x0≥0，
∴x0≥1，即使 f(x0)≥0 的区域为[1,2]， 2－ 1 2 故所求概率为 P＝ ＝ . 1 3 2－ 2
高考数学大一轮复习第十章概率第3讲几何概型课件文
第二页，共四十六页。
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( √ ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形．( √ )
正方形 ABCD 内有一曲线 L 围成的不规
则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共 m
颗)．落在曲线 L 围成的区域内的豆子有 n
颗(n<m)，则 L 围成的区域面积(阴影部分)为( )
A.2mn
B．4mn
C.2nm
D．4nm
第九页，共四十六页。
解析：选 B．SS正阴方影形＝落落在在L围正成方的形区中域的的豆豆子子数数m n， 所以 S 阴影＝mn ×22＝4mn.
第七页，共四十六页。
(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，
黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时
看见的是红灯的概率是( )
A.15
B．25
C.35
D．45
解析：选 B．P＝30＋350＋40＝25，故选 B．
第八页，共四十六页。
(教材习题改编)如图，在一边长为 2 的
A.4mn
B．2mn
C.4nm
D．2nm
第二十四页，共四十六页。
(3)一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上空飞过， 其中 AD＝ 2，DC＝2，BC＝1，它可能随机落在草原上任何 一处(点)．若落在扇形沼泽区域 ADE 以外丹顶鹤能生还，则 该丹顶鹤生还的概率是( )
A.12－1π5 C．1－π6
2 【答案】 (1)A (2)C (3)B
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( √ ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形．( √ )
正方形 ABCD 内有一曲线 L 围成的不规
则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共 m
颗)．落在曲线 L 围成的区域内的豆子有 n
颗(n<m)，则 L 围成的区域面积(阴影部分)为( )
A.2mn
B．4mn
C.2nm
D．4nm
第九页，共四十六页。
解析：选 B．SS正阴方影形＝落落在在L围正成方的形区中域的的豆豆子子数数m n， 所以 S 阴影＝mn ×22＝4mn.
第七页，共四十六页。
(教材习题改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，
黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时
看见的是红灯的概率是( )
A.15
B．25
C.35
D．45
解析：选 B．P＝30＋350＋40＝25，故选 B．
第八页，共四十六页。
(教材习题改编)如图，在一边长为 2 的
A.4mn
B．2mn
C.4nm
D．2nm
第二十四页，共四十六页。
(3)一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上空飞过， 其中 AD＝ 2，DC＝2，BC＝1，它可能随机落在草原上任何 一处(点)．若落在扇形沼泽区域 ADE 以外丹顶鹤能生还，则 该丹顶鹤生还的概率是( )
A.12－1π5 C．1－π6
2 【答案】 (1)A (2)C (3)B
2019版高考数学一轮复习第10章概率10.3几何概型课件文
4π 81－4π 1
8
A.81 B. 81 C.27 D.27
解析 由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正 方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率 为 P＝1333＝217.故选 C.
典例2 已知正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 4，高
为
3，则在正三棱锥内任取一点 7
P，则点
解析 ∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以 M(1,0)为圆心，1 为半径的圆及其内部，该圆的面积为 π.易知直线 y＝x 与圆 (x－1)2＋y2＝1 相交于 O(0,0)，A(1,1)两点，如图： ∵∠OMA＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12. 故所求的概率 P＝SS⊙阴M影＝π4－π 12＝14－21π.故选 B.
构成事件A的区域长度面积或体积
P(A)＝_试__验__的__全__部__结_果__所__构__成__的__区__域__长__度__面__积__或__体__积__ .
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有 关．( × ) (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几 何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( √ ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、 立体图形．( √ )
2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以 角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代 替，这是两种不同的度量手段．见冲关针对训练 2.
冲关针对训练
1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和
绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
2019届高三数学一轮复习 第十章《统计与概率》105精品课件.ppt
• 2．“概率为0的事件”与“不可能事件”是两个不同 的概念，应区别．
• 3．计算古典概型和几何概型的概率时，一定要把握基 本事件的等可能性．
• 4．抽样方法要区分有无放回抽样，是否与顺序有关．
• 一、如何将实际问题转化为对应的概率模型
• 将实际问题转化为对应的概率模型是重要的基本功，要 通过练习学会选择恰当的数学模型(如编号、用平面直 角坐标系中的点及平面区域表示等)来实现实际问题向 数学问题的转化．
• x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，共3 种．
• 答∴案所：求C概率为P＝336＝112. • [点评] 注意细微差别，若把题目中的条件log2xy＝1改
为log2xy>1，则所求概率为________．
• 答案：A • 解析：抛掷两枚骰子共有62＝36种不同结果， • ∵log2xy>1，∴y>2x. • 当x＝1时，y有4种取法；当x＝2时，y有2种取法；当x
几何概型的概率P(A)＝
μA μΩ
，其中μA表示构成事件A的
区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区
域的长度(面积或体积)．
• 误区警示
• 1．弄清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异
• “互斥事件”和“等可能事件”是意思不同的两个概念. 在一次试验中，由于某种对称性条件，使得若干个随机 事件中每一事件产生的可能性是完全相同的，则称这些 事件为等可能事件，在数目上，它可为2个或多个；而 互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事件. 有些 等可能事件可能也是互斥事件，有些互斥事件也可能是 等可能事件. 例如：①粉笔盒有8支红粉笔，6支绿粉笔， 4支黄粉笔，现从中任取1支. “抽得红粉笔”，“抽得 绿粉笔”，
2019届高考数学一轮复习第十章概率10-2古典概型课件文
[答案] C
5．(2015·全国卷Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三 条边的长，则称这 3 个数为一组勾股数．从 1,2,3,4,5 中任取 3 个 不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
A.130 B.15 C.110 D.210
[解析] 基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 个．可构成勾股 数的基本事件为(3,4,5)，故所求概率为110，选 C.
[答案] B
3．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色 的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花 坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13 B.12 C.23 D.56
[解析] 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在 一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法．红 色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据古典概型的概率 计算公式，所求的概率为46＝23.故选 C.
第
十
概率
章
第二节
古典概型
高考概览 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所 含的基本事件数及事件发生的概率.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 互斥 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和．
[解析] (1)设两道题分别为 A，B 题，所以抽取情况共有： AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第 1 个，第 2 个分别是两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽 取的题目，一共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的 事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共 4 种．故所求事件的概率 为12.故选 C.
5．(2015·全国卷Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三 条边的长，则称这 3 个数为一组勾股数．从 1,2,3,4,5 中任取 3 个 不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
A.130 B.15 C.110 D.210
[解析] 基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)， (1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 个．可构成勾股 数的基本事件为(3,4,5)，故所求概率为110，选 C.
[答案] B
3．(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色 的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花 坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.13 B.12 C.23 D.56
[解析] 从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在 一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法．红 色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据古典概型的概率 计算公式，所求的概率为46＝23.故选 C.
第
十
概率
章
第二节
古典概型
高考概览 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所 含的基本事件数及事件发生的概率.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 互斥 的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的和．
[解析] (1)设两道题分别为 A，B 题，所以抽取情况共有： AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第 1 个，第 2 个分别是两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽 取的题目，一共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的 事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共 4 种．故所求事件的概率 为12.故选 C.
高考数学一轮复习第十章概率10_3几何概型课件文新人教A版
C．1156
D．78
解析 由图可知，事件“x＋y≤1”发生的概率 为12×2×1×2 1＝18。故选B。
答案 B
3．(方向2)某日，甲、乙两人随机选择早上6：00至7：00的某个时刻
到达七星公园进行锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )
A．97
B．92
C．23
D．13
解析 在平面直角坐标系中，设x，y分别表示乙、甲两人的到达时 刻，当x－y>20时满足题意，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达 超过20分钟的概率为12×604×0×6040＝29。故选B。
A．4mn C．4nm
B．2mn D．2nm
解析 设由00≤≤xynn≤≤11，， 构成的正方形的面积为S，由x2n＋y2n<1构成的
1 图形的面积为S′，所以SS′＝41π＝mn ，所以π＝4nm。故选C。
答案 C
三、走出误区 微提醒：几何概型类型不清致误。 6．在长为6 m的木棒AB上任取一点P，则点P到木棒两端点的距离都大 于2 m的概率是________。
解析 如图，直角三角形的斜边长为 82＋152 ＝17，设其内切圆的半 径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，所以内切圆的面积为πr2＝9π，所 以豆子落在内切圆外的概率P＝1－12×98× π 15＝1－32π0。故选D。
答案 D
1．根据题意确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型。 2．分别求出全部事件和所求事件对应的区域面积。 3．利用几何概型概率计算公式正确计算，需要注意计算的测度是否 一致。
等。若此时四棱锥M－ABCD的体积等于
1 6
，只要M在截面RS以下即可小于
1 6
，当VM－
ABCD＝
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[答案] D
5．在不等式组xx－＋yy＋－12≥≤00， y≥0
，所表示的平面区域内随机
地取一点 P，则点 P 恰好落在第二象限的概率为__________．
[解析]
画出不等式组xx－＋yy＋－12≥≤00，， y≥2
表示的平面区域(如
图中阴影部分所示)，因为 S△ABC＝12×3×32＝94，S△AOD＝12×1×1
34<k<34.又 k∈[－1,1]，所以由几何概型概率公式可知，所求概率为 3
P＝22＝34.
[答案]
5 (1)9
3 (2)4
求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面 积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示 的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示 所确定的线段的长度．
第
十
概率
章
第三节
几何概型
高考概览 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何 概型的意义.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 几何概型 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率 模型，简称为几何概型． (2)几何概型的概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A的构区成域的长区度域长面度积或面体积积或体积
11 1
1
A.4π B.4 C.16π D.16
[解析] 依题意得，所求的概率为π×1222＝41π，选 A. [答案] A
4．(2018·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数 x，则 事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( )
3211 A.4 B.3 C.3 D.4
[解析] 因为 log0.5(4x－3)≥0，所以 0<4x－3≤1，即34<x≤1， 所以所求概率 P＝11－－340＝14，故选 D.
(2)一个关键：几何概型概率求解
解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应
的几何图形．利用图形的几何度量来求随机事件的概率．如：已
知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取一点，则这 一点不在球内的概率为 1－π6 .
提示：由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球＝43π，正方体的
[答案] A
2．在区间[0,4]内随机取一个数 a，则使得函数 f(x)＝x2＋ax ＋1 有零点的概率为________．
[解析] 由函数 f(x)有零点，得 a2－4≥0， 故 2≤a≤4，故所求概率 P＝44－－20＝12.
[答案]
1 2
考点二 与面积有关的几何概型——热考点 (1)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来
[温馨提示] (1)几何概型与古典概型的区别与联系 ①共同点：基本事件都是等可能的． ②不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基 本事件的个数是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据等 可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该 区域的位置和形状无关．
4π
体积为
V
正方体＝23＝8，则这一点不在球内的概率
P＝1－
3 8
＝1－π6.
[小题速练] 1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交 替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A.170 B.58 C.38 D.130
3．(2017·宝鸡市高三一检)欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)
乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为 4 cm
的圆，它中间有边长为 1 cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴
油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为( )
自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关 于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一பைடு நூலகம்，则此点取 自黑色部分的概率是( )
1π1π A.4 B.8 C.2 D.4
(2)(2015·陕西卷)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
[跟踪演练] 1．(2017·陕西黄陵中学调研)某学生从学校到家的 500 米路程 中要经过一条宽为 5 米的河，一次回家路上，他不慎将成绩单丢 失，若丢失在陆地上，就可以找回，若丢失在河里，就无法找回．那 么该生能找回成绩单的概率为( ) A．0.99 B．0.9 C．0.01 D．0.1
[解析] 该生能找回成绩单的概率 P＝50500－0 5＝0.99，故选 A.
线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为__________． [思路引导] 分析事件的测度 → 求概率
[解析] (1)由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2,3]， 则所求概率为35－－－－24＝59.
(2)由直线 kx－y＝0 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交可知，圆心(5,0) 到直线 kx－y＝0 的距离小于半径 3，即 1|5＋k|k2<3，整理并解得－
[解析] 记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)＝2450＝58.
[答案] B
2．如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴 影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率 为23，则阴影区域的面积为( )
4
8
A.3
B.3
2 C.3
D．无法计算
[解析] 由几何概型知，SS正阴方形＝23，故 S 阴＝23×22＝83. [答案] B
1
＝12，所以点 P 恰好落在第二象限的概率为SS△△AAOBCD＝29＝29.
[答案]
2 9
4
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 与长度有关的几何概型——偶考点 (1)(2017·江苏)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为
D.在区间[－4,5]上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率是__________． (2)(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直
5．在不等式组xx－＋yy＋－12≥≤00， y≥0
，所表示的平面区域内随机
地取一点 P，则点 P 恰好落在第二象限的概率为__________．
[解析]
画出不等式组xx－＋yy＋－12≥≤00，， y≥2
表示的平面区域(如
图中阴影部分所示)，因为 S△ABC＝12×3×32＝94，S△AOD＝12×1×1
34<k<34.又 k∈[－1,1]，所以由几何概型概率公式可知，所求概率为 3
P＝22＝34.
[答案]
5 (1)9
3 (2)4
求解与长度有关的几何概型的两点注意 (1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面 积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示 的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示 所确定的线段的长度．
第
十
概率
章
第三节
几何概型
高考概览 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何 概型的意义.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 几何概型 (1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率 模型，简称为几何概型． (2)几何概型的概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A的构区成域的长区度域长面度积或面体积积或体积
11 1
1
A.4π B.4 C.16π D.16
[解析] 依题意得，所求的概率为π×1222＝41π，选 A. [答案] A
4．(2018·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数 x，则 事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( )
3211 A.4 B.3 C.3 D.4
[解析] 因为 log0.5(4x－3)≥0，所以 0<4x－3≤1，即34<x≤1， 所以所求概率 P＝11－－340＝14，故选 D.
(2)一个关键：几何概型概率求解
解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件对应
的几何图形．利用图形的几何度量来求随机事件的概率．如：已
知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取一点，则这 一点不在球内的概率为 1－π6 .
提示：由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球＝43π，正方体的
[答案] A
2．在区间[0,4]内随机取一个数 a，则使得函数 f(x)＝x2＋ax ＋1 有零点的概率为________．
[解析] 由函数 f(x)有零点，得 a2－4≥0， 故 2≤a≤4，故所求概率 P＝44－－20＝12.
[答案]
1 2
考点二 与面积有关的几何概型——热考点 (1)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来
[温馨提示] (1)几何概型与古典概型的区别与联系 ①共同点：基本事件都是等可能的． ②不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基 本事件的个数是有限的．基本事件可以抽象为点，对于几何概型， 这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据等 可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该 区域的位置和形状无关．
4π
体积为
V
正方体＝23＝8，则这一点不在球内的概率
P＝1－
3 8
＝1－π6.
[小题速练] 1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交 替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A.170 B.58 C.38 D.130
3．(2017·宝鸡市高三一检)欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)
乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为 4 cm
的圆，它中间有边长为 1 cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴
油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为( )
自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关 于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一பைடு நூலகம்，则此点取 自黑色部分的概率是( )
1π1π A.4 B.8 C.2 D.4
(2)(2015·陕西卷)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
[跟踪演练] 1．(2017·陕西黄陵中学调研)某学生从学校到家的 500 米路程 中要经过一条宽为 5 米的河，一次回家路上，他不慎将成绩单丢 失，若丢失在陆地上，就可以找回，若丢失在河里，就无法找回．那 么该生能找回成绩单的概率为( ) A．0.99 B．0.9 C．0.01 D．0.1
[解析] 该生能找回成绩单的概率 P＝50500－0 5＝0.99，故选 A.
线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为__________． [思路引导] 分析事件的测度 → 求概率
[解析] (1)由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2,3]， 则所求概率为35－－－－24＝59.
(2)由直线 kx－y＝0 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交可知，圆心(5,0) 到直线 kx－y＝0 的距离小于半径 3，即 1|5＋k|k2<3，整理并解得－
[解析] 记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)＝2450＝58.
[答案] B
2．如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴 影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率 为23，则阴影区域的面积为( )
4
8
A.3
B.3
2 C.3
D．无法计算
[解析] 由几何概型知，SS正阴方形＝23，故 S 阴＝23×22＝83. [答案] B
1
＝12，所以点 P 恰好落在第二象限的概率为SS△△AAOBCD＝29＝29.
[答案]
2 9
4
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 与长度有关的几何概型——偶考点 (1)(2017·江苏)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为
D.在区间[－4,5]上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率是__________． (2)(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直