几何概型的概率
考点五十 几何概型学生
考点五十 几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 14解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A. π2B. π4C. π6D. π8变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. 16B. 14C. 38D. 12解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解． 题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A. π12 B ．1－π12 C. π6 D ．1－π6变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A. 34＋12π B. 12＋1π C. 14－12π D. 12－1π2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. 4π81B. 81－4π81C. 127D. 8273. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A. 13 B. 2π C. 12 D. 234．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )A. 25B. 14C. 35D. 455．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________．课后作业一、 选择题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为( )A. 25 B ．15、 C. 45 D ．3102．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A. 13 B ．17 C. 310 D ．7103．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A. 16 B ．13 C. 23 D ．454．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )A. 235 B ．215 C. 195 D ．1655．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率( )A. 334π B ．2π C. 4π D ．33π46．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为( )A ．22B ．23C ．2－ 3D ．2－ 2 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 二、填空题8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________．9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．三、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．。
几何概型的概率及其求解策略
几何概型的概率及其求解策略作者：马公仕来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第11期摘要:本文主要阐述了几何概型的意义、特点以及几何概型应用中的求解策略,希望对各位同仁、学生有所帮助.关键词:几何概型;概率;求解几何概型的定义(北师大版P155)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1?哿G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即P(点M落在G1内)=,则称这种模型为几何概型.几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度之比.几何概型的特点(1)无限性:在每次试验中,可能出现的结果有无穷多个,即基本事件有无限多个.(2)等可能性:在每次试验中,每个结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是等可能的.几何概率的基本性质(1)0≤P(A)≤1.(2)P(G)=1,P(?准)=0.(3)有限可加性:设A1,A2,…An是n个两两互斥的事件,则有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(4)互补性:P(A)=1-P().用几何概型概率公式计算概率问题时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题,可以快捷地找到解决办法.例题详解例1 公交车每隔10分钟来一辆. 假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站,试求乘客候车时间不超过3分钟的概率.解析从前一辆公交车开出起计算时间,乘客到达车站的时刻t可以是[0,10)中的任何一点,即G={t0≤t例2 (会面问题)甲、乙两人相约在0到T这段时间内在预定地点会面. 先到的人等候另一个人,经过时间t(t解析从0点开始计时,设两人到达的时刻分别为x,y,则G={(x,y)0≤x≤T,0≤y≤T｝. 假定两人到达时刻是随机的,则问题归结为几何概型. 设A表示“两人能会面”事件,则G1={(x,y)0≤x≤T,0≤y≤T,x-y≤t｝(图中的阴影部分),则P(A)===1-1-.点评例1和例2题目的意思简单明了,但如何转化为数学模型进行求解却比较困难,需要我们先从实际问题中分析得到几何概型,并适当地引入变量(例1引入一个变量,例2引入两个变量). 然后把变量满足的条件写成集合形式,并把所研究事件A的集合也分析出来. 把变量集合用区间长度(例1)或区域面积(例2)表示,特别注意二元一次不等式所表示的区域. 要表示y>ax+b的平面区域,按两步解决:(1)作出直线y=ax+b;(2)取直线y=ax+b上方部分区域(若y根据以上的解法和分析,可以总结得到求解几何概型概率问题的以下五步:(1)选择适当的观察角度(从等可能性的角度观察).(2)引入变量,通常情况下一个变量对应为区间长度,两个变量对应为区域面积,三个变量对应为空间体积.(3)集合表示,用相应的集合分别表示出试验的全部结果G和事件A所包含的试验结果,一般来说,两个集合都是一元二次不等式的交集.(4)作出区域,并分别求出两个区域的测度.(5)计算求解,代入公式P(A)=.例3如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC内作射线AM交BC于M 点,求BM误解在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD=,∠B=60°,∠C=45°,所以BD==×=1,DC=.所以P(BM误解分析题中M点是由∠BAC内作射线AM与BC相交得到,因此,本题中的基本事件是∠BAC内的射线(每一条射线的产生都是等可能的),而由此得到的M点在BC上并不是等可能的.正解以A点为起点作射线AM是随机的,且射线AM落在∠BAC内的任何位置都是等可能的,故BM在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD=,∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°,∠BAD=30°,P(A)==.思维拓展例4某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析收音机每小时报时一次,某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的,且醒来的时刻有无限多个,因而适合几何概型.设A={等待的时间不多于10分钟｝,事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内发生.解法1(利用[50,60]时间段所占的弧长):P(A)==.解法2 (利用[50,60]时间段所占的圆心角):P(A)===.解法3 (利用[50,60]时间段所占的面积):P(A)==.解法4将时间转化成长60的线段,研究事件A位于[50,60]之间的线段的概率.所以P(A)==.点评几何概型问题不仅指与几何图形有关的概率问题,还包括可以抽象成几何概型的概率问题,如关于时间、实数等的随机问题.几何概型的应用例5(蒲丰投针试验)1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题. 平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(b解析以x表示针投到半平面上,针的中点M到最近的一条平行直线的距离. φ表示针与该平行直线的夹角,那么针落在平面上的位置可由(x,φ)完全确定. 投针试验的所有可能结果与矩形区域G=(x,φ)0≤x≤,0≤φ≤π?摇中的所有点一一对应.由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题,所关心的事件A={针与任一平行直线相交｝发生的充分必要条件为G中的点满足0≤x≤sinφ,0≤φ≤π.所以P(A)=====.蒲丰投针试验的应用及意义:P(A)=.根据频率的稳定性,当投针试验次数n很大时,算出针与平行直线相交的次数m,则频率值即可作为P(A)的近似值代入上式,那么≈,所以π≈. 利用上式可以计算圆周率π的近似值.。
几何概型概率的研究
几 何 概 型 概 率 的 研 究
■吴 志峰
几何 概型是普通高 中课程人教版必 修 ３的 内容 ，
是继古典概型之后的一个新 的概率模型 ．是新课标新
称这样 的概率模型为几何概率模型 ． 简称几何概 型． 在 几何概型 中， 事件 Ａ 的概率的计算公式如下 ：
Ｐ （ Ａ） ＝
．
综上 ， 由①② ， 可得△ ｏ Ａ 曰 面积的最大值为
．
【 上
设Ｑ （ ｘ ， ｙ ） 为 直 线ｚ 上 任 意 一点， 则 ｊ ＿ 葡， 即
． ：
（ 作者单位 江苏省太仓高级 中学 ）
责任 编 校 徐 国坚
０．
离中 ２ ０ １ ３年第 １ ０期
数 学有数
＋
ｆ
１０ ｙ ｏ ｙ 一 ，
＝
１ ，
得
１ ， ≥０ ） 的离 心 率 为
，
（ ２ ｘ ￣ ＋ ｙ ｏ Ｅ ） ｘ 一 ４ ０ ＋ ２ — ２ ｙ ｏ ２ ＝ ０ ，Ｂ 口 （ ｘ ｏ ２ ＋ １ ） ｘ ２ － ４ ｘ ｃ ｘ ＋ ２ ｘ ｏ ２ ＝ Ｏ ．
Ｄ
与长度有关 的几何 概型是最基础 的问题 ， 线 段上
表 示 ， 的 区 域 为 Ｑ ．
取点和 区间上 取值 是常见类 型 ， 这一类 问题 常常结合 不等式 、 平 面几何等知识点进行考查 ． 例２ ． （ ２ ０ １ ３年高考 山东卷 ） 在 区间 ［ 一 ３ ， ３ ］ 上 随机
析吧．
、
准确 把握 概 念 本 质 ． 分 清 概 率模 型
几何概型 的概念如下 ：如果每个事件发生 的概率 只与构成该事件 区域 的长 度（ 面积或体积 ） 成 比例 。 则
几何概型的常见类型
1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3、几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等、
4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的
概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
高三概率(文)
概率专题【知识脉络】【知识点总结】 一、随机事件 1、事件的分类： （1）随机事件（2）确定性事件：必然事件和不可能事件2、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈， 3、概率的基本性质：（1）对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P（2）用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件，则有()1=ΩP ，()0=ΦP （3）如果事件A 和事件B 互斥，则有()()()B P A P B A P +=+ 二、古典概型与几何概型 1、古典概型（1）古典概型的定义：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等。
我们将满足这两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。
（2）古典概型的概率公式：总的基本事件个数包含的基本事件数A A P =)(2、几何概型 （1）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
（2）几何概型的概率公式：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成的长度（面积或体积）构成事件A A P =)(【随机事件】1、在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，下列事件中的必然事件是（ ）A ．有3件正品B ．至少有一件次品C ．3件都是次品D ．至少有一件正品2、下列说法正确的是（ ）A ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B ．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C ．一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D ．若P （A+B ）=1，则事件A 与B 为对立事件3、下列叙述错误的是（ ）A ．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B.若随机事件发生的概率为，则 C.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D ．张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同4、下列说法正确的是（ ）①必然事件的概率等于1； ②互斥事件一定是对立事件；③球的体积与半径的关系是正相关； ④汽车的重量和百公里耗油量成正相关． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④5、下列说法正确的是（ ）A ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B ．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C ．一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D ．若P （A+B ）=1，则事件A 与B 为对立事件 6、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 .①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球 ③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球A ()A p ()10≤≤A p 5【古典概型】1、从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是.A 41 .B 21 .C 81 .D 322、在1、2、3、4四个数中，任选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是（ ）A32 B 21 C 31 D 813、在4张卡片上分别写有数字4321、、、，然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的四位数能被2整除的概率是.A 41 .B 32 .C 21 .D 314、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在2522=+y x 内的概率是（ ） A187 B 367 C 1813 D36135、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________.6、从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________.7、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则 mn等于__________.【几何概型】1、若x 可以在13x +≤的条件下任意取值，则x 是负数的概率是 .2、在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为______.3、如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________.4、在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为___________.5、如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________.6、甲乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜内任意时刻到达，甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．【综合演练】1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A.83 B.32 C.31 D.411-1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．341-2、将一枚硬币连掷3次，则恰有连续2次出现正面向上的概率为____________1-3、（上海卷7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）2、在面积为S 的三角形ABC 的边AC 上任取一点P ，“使三角形PBC 的面积大于3S”的概率为（ ） A 、31 B 、32 C 、94 D 、91 2-1、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ．2-2、甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（ ） A ．103 B ．107 C ．10049 D ．10051 3、（2010年山东高考）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4 （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率（2）先从袋中随机去一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n<m+2的概率3-1、（2009年山东高考）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）（1） 求z 的值（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2。
几何概型的概率计算公式
几何概型的概率计算公式
几何概型是指在随机试验中，样本空间中的事件是由几何图形表示的情况。
比如投掷一枚硬币，其几何概型为一个二元组成的集合{正面，反面}，用几何图形表示就是一个圆，圆内分别标有正面和反面。
对于几何概型，我们可以使用概率计算公式来计算事件发生的概率。
下面介绍两种常见的几何概型及其概率计算公式。
一、均匀分布的几何概型
均匀分布的几何概型是指样本空间中所有可能的事件发生概率相等的情况。
比如扔一个骰子，其几何概型为{1,2,3,4,5,6}，每个数字出现的概率都是1/6。
对于均匀分布的几何概型中的某个事件A，其概率计算公式为：
P(A) = 面积(A) / 面积(样本空间)
其中，面积(A)是事件A所对应的几何图形的面积，面积(样本空间)是样本空间所对应的几何图形的面积，两者都必须是可测量的。
二、正态分布的几何概型
正态分布的几何概型是指事件在一个连续的区间内发生的概率，符合正态分布的概率密度函数。
比如身高和体重等连续型随机变量的分布，常常使用正态分布的几何概型进行概率计算。
对于正态分布的几何概型，设事件A在区间[a,b]内发生的概率为P(A)，则其概率计算公式为：
P(A) = ∫a~b f(x) dx
其中，f(x)是正态分布的概率密度函数，a和b分别是区间的上下界，∫a~b代表对x从a到b的积分。
通过以上公式，我们可以对几何概型中的事件概率进行准确计算。
几何概型概率
几何概型概率（实用版）目录1.几何概型概率的定义与性质2.几何概型概率的计算方法3.几何概型概率的应用举例正文一、几何概型概率的定义与性质几何概型概率是概率论中的一种概率类型，它是研究随机现象在几何空间中的分布规律。
几何概型概率具有以下性质：1.有限性：试验结果的数量是有限的。
2.等可能性：每个试验结果发生的可能性相等。
二、几何概型概率的计算方法几何概型概率的计算方法通常使用概率公式：P(A) = 满足条件 A 的试验结果数 / 所有可能的试验结果数。
例如，从 n 个不同元素中任选 2 个进行组合，可以得到的组合数为C(n, 2)，那么组合的概率为 P(C(n, 2)) = C(n, 2) / C(n, n) = (n*(n-1)) / (2*1) = n*(n-1) / 2。
三、几何概型概率的应用举例几何概型概率在实际应用中有很多例子，下面举两个常见的例子：1.投针问题：在平面上随机投掷一根针，求针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率。
解答：假设针的长度为 1，投针点距离 x 轴正半轴的距离为 d，则根据三角函数的性质，有 d = 2 * sin(θ/2)。
因为针的长度为 1，所以投针点在以原点为圆心、半径为 1 的圆内。
因此，针与 x 轴正半轴的夹角小于等于θ的概率为θ/2。
2.随机分割问题：将一个边长为 1 的正方形随机分割成两个三角形，求分割后两个三角形的面积比值小于等于 k 的概率。
解答：假设分割线段的长度为 x，其中一个三角形的面积为 S1 = (1-x)^2/2，另一个三角形的面积为 S2 = x^2/2。
因此，S1/S2 = (1-x)^2 / x^2 = (1-2x+x^2) / x^2 = 1 - 2x/x^2 + x^2/x^2 = 1 - 2/x + 1/x^2。
要求S1/S2 <= k，即 1 - 2/x + 1/x^2 <= k，解得 x >= 2/sqrt(k) 或x <= -2/sqrt(k)。
几何概型的概率公式
几何概型的概率公式
几何概率公式是统计学中一种重要的概率模型，它用来描述一个事件中重复发生的概率。
几何概率公式可以用来计算一个事件的重复发生次数，以及在多次尝试后发生的频率。
几何概率公式可以用来分析一个事件的概率分布，也可以用于预测一个事件的发生概率。
几何概率公式是一种概率模型，它可以用来计算一个事件发生的概率，假设该事件在每次尝试中只有两种结果：成功或失败。
几何概率公式可以用来确定一个事件具备多少次成功的概率，它可以用来计算一次尝试中成功的概率，也可以用来计算一次尝试中失败的概率。
几何概率公式的具体表达式如下：P(S) = 1 - (1 - p)^n，其中S表示成功的概率，p表示每次尝试中成功的概率，n表示尝试的次数。
几何概率公式的意义在于，如果每次尝试中成功的概率都相同，那么在多次尝试后，总成功概率就可以用几何概率公式来计算。
几何概率公式可以应用于许多不同的领域，例如抽奖、娱乐场游戏、网络投票、社会调查等。
几何概率公式还可以用来计算一个企业在某段时间内产品故障发生的概率，以及一个投资者获得收益的概率等。
几何概率公式是一种重要的概率模型，它可以用来预测一个事件的
重复发生的概率，也可以用来分析一个事件的发生概率分布，为解决各种实际问题提供重要的参考依据。
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几何概型的概率
几何概型的概率：
一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D
的测度的测度
. 说明：
(1)D 的测度不为0；
(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.
(3)区域为＂开区域＂；
(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.
要点诠释：
几种常见的几何概型
(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：
P=l 的长度/L 的长度
(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：
P=g 的面积/G 的面积
(3)设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：
P=v的体积/V的体积。