【文档】东南大学 线性代数与空间解析几何 考题及答案(整理)
线性代数与解析几何__东南大学(4)--07-08-3线性代数期末考试试卷A
=
�2 � �0
0 1
� �，若 �
AB
是对称矩阵，则
x
=
2．
矩阵
A
=
�4 � �3
7 5
� �的逆矩阵 �
A-1
=
； ；
纪
3． 若 3ﾴ 3 矩阵 A 的特征值是1, 2, -1 ，则 A 的伴随矩阵 A* 的行列式 A* =
；
律
4． 齐次线性方程组 x + 2 y - 5z = 0 的一个基础解系是
2． 假 设 A, B 都 是 s ﾴ n 矩 阵 。 若 A + B 的 秩 r( A + B) = n ， 证 明 ： 矩 阵 M = AT A + BT B 的特征值均大于零。
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（C）
�-2 � �0
-01� � �；
（D）
�0 � �3
1� 2 � �
效
封
3．
假设
A,
B
分别是
s
ﾴ
s
和
n
ﾴ
n
矩阵，则分块矩阵
�O ��B
A O
��的行列式是（ �
）
（A） A B ； （B） - A B ； （C） (-1)s+n A B ； （D） (-1)sn A B 。
密
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3． 得分：
）
作
（A） X = A-1B-1C ；
（B） X = CA-1B-1 ；
弊
（C） X = A-1CB-1 ；
（D） X = B-1CA-1 。
学号
线
此 答
2．
线性代数与解析几何__东南大学(22)--08-09-2几何与代数B-A
；
6. R3 的子空间V = {(x, y, z) | x - y + z = 0} 的一组基为
；
学号
线
如 考
7.
直线
￬ ￭ ￮
y
+ x
z =
= 0
3
绕
z
轴旋转所得旋转面的方程为
；
试
8. 如果方程 x2 - 2 y2 + z2 + 2kxz = 1 表示双叶双曲面，则参数 k 满足条件
；
作 弊
9.
若矩阵
1 0
2 1
��， �
求
矩
阵
X， 使
得
XA = 2X + B 。
3. （10%）假设向量组 a1,a2 ,a3 线性无关，问：参数 a, b, c 满足什么条件时，向量组 b1 = aa1 - a2 , b2 = ba2 - a3, b3 = ca3 -a1 线性相关？
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�1+ a 1
1
1 � �1 � �x1 �
2. 当参数 a 满足什么条件时，线性方程组 Ax = b 没有解？
3. 当参数 a 满足什么条件时，线性方程组 Ax = b 有无穷多解？有无穷多解时，求
方程组的通解。
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�1 0 1 �
�1�
2.
（14%）假设矩阵 A = ����10
a 0
b 1
����，
h
= ����11����。
1. 问：参数 a,b 满足什么条件时，h 是 A 的特征向量？若h 是 A 的特征向量，求
A,
B
满足
BAT
线性代数与空间解析几何试题
20XX 年线性代数与空间解析几何试题（A ）一. 填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B ，则行列式=AB .2．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t A 23402211，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t .3．已知3阶方阵A 的行列式3||=A ，则行列式=--|2|1A4．设3阶方阵A 的三个特征值分别为1、2、3，又方阵E A A B +-=22，则方阵B 的特征值为.5．若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 0001012为正定矩阵，则a 的取值范围是.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1． 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件【 】(A)A 的行向量组线性相关; (B) A 的列向量组线性相关;(C) A 的行向量中有一个为零向量; (D)A 为方阵且其行列式为零.2． 设n 维行向量)21,0,,0,21( =α，矩阵ααT -=I A ，ααT 2+=I B ，其中I 为 n 阶单位阵，则=AB 【 】(A) 0； (B)I -； (C)I ； (D) ααT +I .3． 设321,,ααα是齐次方程组0=Ax 的基础解系，则下列向量组中也可作为0=Ax 的基础解系的是【 】(A)32132212,,ααααααα++++; (B) 133221,,αααααα-++;(C) ;(D) .4． 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】 (A) 2； (B) ； (C) 1； (D).5． 设矩阵的秩，下述结论中正确的是.【 】(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.321211,,αααααα+++3221,0,αααα--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a =a 2-1-n m A ⨯n m A r <=)(A m A m 0=Ax b Ax =三. (10分)已知方阵，试求行列式及逆矩阵. 四.（10分）设方阵，已知，求.五. (12分)讨论为何值时，方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.六.(10分)设向量组：，，，，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.七. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型.八. (8分)已知3阶方阵满足：，，其中为元素的代数余子式，求九.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：向量组的秩为3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000011202310216A ||A 1-A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310120002A BA A ABA +=26B λ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x T 1)1,1,1(-=αT 2)2,4,3(-=αT 3)0,4,2(=αT 4)1,1,0(=α322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=f )(ij a A =ij ij A a =011≠a ij A ij a .||A 321,,)I (ααα421,,)II (ααα3)II (,2)I (==r r 4321,,αααα+20XX 年线性代数与空间解析几何试题（B ）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵，，则行列式.2．设，若3阶非零方阵满足，则.3．齐次线性方程组的基础解系为_. 4．曲线绕轴旋转一周所得旋转面的方程为. 5．若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1． 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是【 】(A)的行向量组线性相关; (B) 的列向量组线性相关;(C) 的行向量中有一个为零向量; (D)为方阵且其行列式为零.2． 设维行向量，矩阵，，其中为阶单位阵，则【 】(A) 0； (B)；(C)； (D) .3． 设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【 】(A); (B) ;(C) ;(D) .6． 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】(A) 2； (B) ； (C) 1； (D).7． 设矩阵的秩，下述结论中正确的是【 】(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B =AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t A 23402211B 0=AB =t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000201421321x x x ⎩⎨⎧≤≤==)31( 0x z e x yox ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 0001012a 0=Ax A A A A n )21,0,,0,21( =αααT -=I A ααT 2+=I B I n =AB I -I ααT +I 321,,ααα0=Ax 0=Ax 32132212,,ααααααα++++133221,,αααααα-++133221,,αααααα+++3221,0,αααα--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a =a 2-1-n m A ⨯n m A r <=)(A m A m 0=Ax b Ax =三. (10分)已知3阶方阵可逆且，试求的伴随矩阵的逆矩阵.四.（12分）证明直线与直线在同一平面上，并求与交点的坐标，及平面的方程.五. (12分)设向量，，，，，问取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式.六.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：向量组的秩为3.七. (10分)已知方阵的特征值为（1） 求的值；（2） 是否可以对角化？若可以，求可逆矩阵及对角矩阵，使得.一. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型九. 证明题（6分）（两题中选做一题）1． 设3维欧几里德有两个标准正交基，.已知可由线性表示为，试证：矩阵为正交矩阵. 2． 设为阶方阵，表示矩阵的秩，试证：A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3330221011A A 112131:1+=+=+z y x L 243514:2-=-+=-z y x L π1L 2L πT 1)4 ,2 ,1 ,1(-=αT 2)2 ,3 ,1 ,0(=αT 3)14 ,10 ,2 ,3(+-=a αT 4)5 ,2 ,1 ,1(+-=a αT )10 ,6 ,1 ,2(+-=b βb a ,β4321,,,αααα321,,)I (ααα421,,)II (ααα3)II (,2)I (==r r 4321,,αααα+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3000201a b A .0,3321===λλλb a ,A P D D AP P =-1323121232221321828878),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=f V 321,,)I (ααα321,,)II (βββ)II ()I (⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=333223113333222211223312211111αααβαααβαααβa a a a a a a a a 33)(⨯=ij a A A n )(A R A ).()(1+=n n A R A R20XX 年线性代数与空间解析几何试题（C ）一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 已知3阶方阵的行列式，则行列式.2. 已知3阶方阵，其中为的列向量组，若行 列式，则行列式.3. 已知阶方阵，满足，为单位阵，则.4．设矩阵，为的伴随阵，则_____.5．设，若3阶非零方阵满足，则____.6. 设向量组：，，线性相关，则___.7.设是维向量，令，，，则 向量组的线性相关性是.8. 设为的矩阵且秩为2，又3维向量是方程组的两个 不等的解，则对应的齐次方程组的通解为.9. 设3阶可逆方阵有特征值2，则方阵必有一个特征值为.10. 若二次型为正定二次型，则的取值范围是______________.二. (8分)已知方阵，试求行列式. 三.(12分)设方阵，又已知，求以及.四. (12分)讨论为何值时，方程组(1) 有唯一解？(2) 无解？(3) 有无穷多解？并在此时求出其通解. 五.(10分)设向量组：，，，，试求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.六. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型.A 0||≠=a A =-|2|A ),,(321βββ=B 321,,βββB 2||-=B =-|,3,2|1213ββββn A 02=--E A A E =-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A *A A =-*1)(A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A B 0=AB =t T 1)0,0,1(=αT 2)4,2,0(=αT 3),3,1(t -=α=t 21,ααn 1212ααβ-=211ααβ+=211ααβ-=321,,βββA 34⨯21,ηηb Ax =0=Ax A 12)(-A 212322213212)1(2),,(x x x x x x x x f --++=λλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=y x x x x x y x x x x x y x x x x x y x A 322||A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200010002,100011021B A BA AX =X A ,1-5X λ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x T 1)1,1,1(-=αT 2)2,4,3(-=αT 3)0,4,2(=αT 4)1,1,0(=α32232221321222),,(x x x x x x x x f +++=f七. (8分)设方阵为阶正交阵且，为阶单位阵，试求行列式八.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：可由向量组线性表出.A n 0||<A E n .||E A +321,,)I (ααα4321,,,)II (αααα3)II ()I (==r r 4α321,,ααα20XX 年线性代数与空间解析几何试题（A ）符号说明：)det(A 指方阵A 的行列式；*A 指方阵A 的伴随矩阵；TA 指矩阵A 的转置矩阵；r )(A 指矩阵A 的秩；I 为单位矩阵；n x ]F[指次数不超过n 的一元多项式全体构成的线性空间. 一、填空题 (每小题3分，共12分)(1) 若3阶方阵A 、B 的行列式分别为3)det(,2)det(==B A ，则=--)2det(*1B A __________.(2) 设4阶可逆方阵A 按列分块为][4321αααα =A ，方阵][2314αααα =B ，已知线性方程组b Bx =有唯一解为T ) , , 753,1(=x ，则方程组b Ax =的解为x =__________ .(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,221-===3 λλλ，T )3,2,1(1=α及T )4,3,2(2=α均为A 的对应于特征值2的特征向量，则A 的对应于特征值1-的特征值向量为_________________.(4) 设矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301,22310321b t p ，已知线性方程组b Ax =无解，则常数p 与t 满足的关系式是____________.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1) 设m 阶方阵A 的秩为m ，n m ⨯矩阵B 的秩为s ，则(A) (r AB s <). (B) (r AB s >).(C) (r AB s =). (D) (r AB n >). 【 】(2) 设方阵A 与B 相似，即存在可逆方阵P ，使B AP P =-1，已知ξ为A 的对应于特征值λ的特征向量，则B 的对应于特征值λ的特征向量为(A) ξP . (B) ξT P . (C) ξ. (D)ξ1-P . 【 】 (3) 设A 为实对称矩阵，则0)det(>A 是A 为正定矩阵的(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设321 , ,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则向量组(A) 133221 , , αααααα+++不能作为0=Ax 的基础解系.(B) 133221 , ,αααααα++-可作为0=Ax 的基础解系.(C) 133221 , , αααααα--+可作为0=Ax 的基础解系.(D) 132121 , , αααααα++-不能作为0=Ax 的基础解系. 【 】三、(12分) 已知方阵=A 33)(⨯ij a 的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=524735947*A ，求)det(A 及A . 四、（12分）设有向量组(I)：T 1)5 ,3 ,1 ,2(-=α，T 2)4,3 ,2 ,3(-=α，T 3)3,1,3 ,4(-=α，T 4)17 ,15 ,1 ,4(-=α.问向量T )0 ,7 ,6 ,7(-=β能否表示成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.五、（12分）求直线L ：z y x -==-11在平面π：12=+-z y x 上的投影直线0l （即L 上各点在π上的垂足点全体所形成的直线）的方程.六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a b 32132143214321相似于对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010D . (1) 求常数a 、b 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使D AP P =-1.七、（13分）求一个正交变换，将二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=化成标准形，并指出二次曲面0),,(321=x x x f 的名称.八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.1. 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=101013A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=62734A . 证明：元素组321,,A A A 线性无关，而4321,,,A A A A 线性相关，并指出数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为() )()1()(x f x f x f T -+=,3]F[)( x x f ∈∀ 求T 在3]F[x 的基：32 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度.九、（6分）设n 阶方阵A 的秩为1-n . 证明：A 的伴随矩阵*A 相似于对角矩阵的充要条件是02211≠+++nn A A A ，其中ii A 为)det(A 的),(i i 元素的代数余子式.20XX 年线性代数与空间解析几何试题（B ）符号说明：)det(A 指方阵A 的行列式；*A 指方阵A 的伴随矩阵；TA 指矩阵A 的转置矩阵；r )(A 指矩阵A 的秩；I 为单位矩阵；n x ]F[指次数不超过n 的一元多项式全体构成的线性空间. 一、填空题 (每小题3分，共12分)(1) 若3阶方阵A 的行列式为2)det(=A ，则1*det(2)A A --=________.(2) 设A 为43⨯的矩阵，秩3)(=A r ，已知方程组b Ax =有两个不等的特解21,ηη，则方程组0=Ax 的通解为x =__________ .(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为2,1321===λλλ，又T )0,0,2(1=α为A 的对应于特征值1的特征向量，则A 为_________________.(4) 设A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t 22310321，已知非零矩阵B 满足0=AB ，则t =_________.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1) 设m 阶方阵A 的秩为2-m ，则矩阵*A 的秩为(A) 2-m . (B)2. (C) 1. (D) 0. 【 】(2) 设三阶方阵A 可逆，且各行元素之和均为2，则A 必有特征值(A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】(3) 2=a 是T 3T 2T 1),2,2,1( ,,0)(1,0, ,(1,1,-1,1)a a ===ααα线性无关的(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设A 为n m ⨯矩阵且n m <，则下述结论正确的是(A) )0(≠=b b Ax 必有解. (B) 0=Ax 必有无穷多组解.(C) 0=Ax 只有零解. (D) )0(≠=b b Ax 必无解. 【 】三、(12分) 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000001,410530602B A ，又三阶方阵X 满足X AB B XA +=+，求101X .四、（12分）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+++=+++122242432143214321x x x x ax x x x b x x x x ，讨论b a ,为何值时方程组（1） 有解？（2）无解？并在有解时求出其通解.五、（12分）求过点(1,2,3)且与直线L ：z y x -==-11垂直相交的直线方程.六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡210012003204321t 可以相似于对角矩阵， (1) 求常数t 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.七、（13分）求一个正交变换，将二次型31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=化成标准形，并指出二次曲面1),,(321=x x x f 的名称.八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.1.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=70113A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=12314A . 试求数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.。
线性代数与解析几何__东南大学(19)--07-08-2几何与代数B-A
课程名称 适用专业
几何与代数
考试学期 0 7 - 0 8 - 2 得分
工科电类专业 考 试 形 式
闭卷
考 试 时 间 长 度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
自
觉
得分
遵
1． （21%）填空题
守 考
1.
若矩阵
A
=
�1 ��l
0 1
���，
n
是正整数，则
An
=
试
中的单叶双曲面，则参数 t 满足条件
；
学号
线
作
7. 设 n > s ，若 A 是 s ﾴ n 矩阵，则 n 阶方阵 AT A 的行列式 AT A =
。
弊
2． （9%）选择题
此 答
1.
假设矩阵
A
=
�a ��c
b 1
���，若对任意
2
阶方阵
B
都有
AB
=
BA
，则
(a,
b, c)
=
；
Ａ． (1,1,1) ； B. (1,0,0) ； Ｃ． (0,1,0) ； Ｄ． (0,0,1)
3. 若 A2 x + Ax - 6x = 0 ，求 A 的特征值，并问： A 是否相似于对角阵？为什么？
8． （4%）证明：对于任意 s ﾴ n 实矩阵 B ， n 阶方阵 A = I + BT B 的特征值全大于零。
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页
第
页
卷 无
2.
假设矩阵
A
=
�1 ��0
线性代数与解析几何__东南大学(5)--08-09-3线性代数期末考试试卷A
2. 假 设 A = (aij )nﾴn 是 n ﾴ n 实 对 称 矩 阵 ， li (1 ﾣ i ﾣ n) 是 A 的 特 征 值 。 证 明 ：
n
nn
� �� li2 =
ai2j 。
i =1
i=1 j=1
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秩相同，并且， b3 可以由a1,a2 线性表示。求参数 m, n 的值。
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第
页
1. 当参数 a 满足什么条件时，齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解？ 2. 当 Ax = 0 有非零解时，求其基础解系。
2. （10%）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 - 4x1x2 + 3x22 + 4x2 x3 + kx32 ， g(z1, z2 , z3 ) = z1z3 。 1. 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f 化成标准型。 2. 问：当参数 k 满足什么条件时，存在可逆线性变换将 f 变成 g ？
弊
；
7. 如果 2 阶矩阵 A 的特征值是 2 和 3，则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值是
；
此 答 卷
�1 -1 1 �
8.
若 2 是 A = ����-x3
4 -3
y 5
����的二重特征值，且
A
相似于对角阵，则
(
x,
y)
=
；
无
9. 如果二次型 x12 + tx22 + 4tx1x2 是正定的，则参数 t 满足条件
满足条件
；
场
2.
设
k
>
0
，向量 a
=
(k, 0,
k )T
《线性代数与空间解析几何》期末考试 试卷A
考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）适用专业：全院理、工科各专业本试卷共九大题，100分一、单项选择题 (每小题3分, 共18分)1.设A ，B均是n 阶可逆矩阵，且1=A ，2=B ，则1-AB 等于（ ）．)(A21)(B 2 )(C 1 )(D 42.设A 、B 是n 阶方阵，下列式子中正确的是( ) ．)(A T A A = )(B A k kA = )(C TT T B A AB =)( )(D kk k B A AB =)(3.设非齐次线性方程组b x A n m =⨯的系数矩阵的秩m A R =)(，则（ ）．)(A b x A n m =⨯一定有解 )(B b x A n m =⨯可能无解)(C 0=⨯x A n m 只有零解 )(D 0=⨯x A n m 有非零解4.已知11Tk α=（，，）是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211121112A 的特征向量，则 k = ( )．)(A 1或2 )(B -1或-2 )(C 1或-2 )(D -1或25.设A 是n 阶实对称矩阵，则下列哪个选项不是A 为正定矩阵的充要条件（ ）.)(A A 的特征值全大于0 )(B A 的二次型是正定二次型)(C ()n A r = )(D A 的顺序主子式全大于06.对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）.)(A 方程2232y x z +=表示椭圆抛物面 )(B 方程132222=++z y x 表示椭球面 )(C 方程x y =2表示抛物柱面)(D 方程19141222=-+z y x 表示双叶双曲面二 、填空题(每小题3分, 共18分)1.若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=421321B ,则=+B A 2 ．3.设向量组321,,ααα线性相关，而向量组432,,ααα线性无关，则向量组321,,ααα的 一个极大线性无关组是_____．4.设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是b Ax = 的解，则=+++s k k k 21_____．5.设二次型322123222144465x x x x x x x f --++=，则其矩阵A 为 ． 6.直线⎩⎨⎧=---=+++08330432z y x z y x 在xoy 面上的投影直线的方程为： ．线订装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷A 卷专业年级及班级 姓名 学号三、（10分）计算行列式2111121*********=D ．四、(10分) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120021111A 的逆矩阵．五、(10分)问四个点)10,8,0(),7,5,1(),8,0,4(),6,1,3(D C B A 是否共面？ 若共面，求出该平面方程．六、(10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20114α的秩及其一个极大线性无关组．七、(10分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角矩阵．八、（10分）求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+.32235,122,54321432121x x x x x x x x x x九、（4分）若1ξ,2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，211ξξη+=,212ξξη-=，试证明1η,2η也是0=Ax 的基础解系．线订 装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷专业年级及班级 姓名 学号。
线性代数与解析几何__东南大学(21)--09-10-2几何与代数B-A
)2
=
A2B2 ，则 a, b
满足条件
；
2. 设 2 阶 方 阵 A = (a , b ) ， B = ( 2a - b ,a + 3b ) ， 若 B = AC ， 则 矩 阵 C =
；
场 纪
3.
直线
￬x
￭ ￮
x
+ -
y 2
- 3z y+z
= =
2 1
的一个方向向量为
；
律
4. 点 P(1,1,1) 到平面 x - 2 y + 2z = 3 的距离是
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2. 求 f 的矩阵 A ，问：当参数 a 取什么值时， A 的特征值都大于零？
3. 如果二次曲面 f (x, y, z) = 1 表示单叶双曲面，问：参数 a 应满足什么条件？
6. （10%）证明题
1. 假设 A 是 n ﾴ n 正定矩阵， B 是 s ﾴ n 实矩阵，证明： BABT 是正定矩阵的充分必要 条件是 B 的秩 r(B) = s 。
；
效
封
10. 若
A = ( a1,a2,L,an ) 是
nﾴn正 交 矩 阵 ， 则
B
= a1a1T
+
a
2a
T 2
+
L
+
a
ra
T r
(1 ﾣ r ﾣ n) 的特征多项式是
。
1.
�2 （10%）设 A = ����11
1 0 1
1� 11����，
B
=
�已知 �
XA
=
B
+
；
学号
线
线性代数与解析几何__东南大学(1)--线性代数测验题1
④ 1, 3, , 2 = (2, 2)T, 3 = (1, 2)T, 4 = (3, 4)T 的一个极大线性无关组是[ ].
① 1, 2.
② 2, 3, 4.
③ 1, 2, 3. ④ 1, 3.
5.设1, 2, 3 为 3 维列向量, A = (1, 2, 3), 则下列条件中除了[
四. (20 分)用 Schimidt 正交化方法求与1 = (0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 2)T 等价的标准正交向量组.
二. 选择(每题 3 分)
1.设 A, B 为 n 阶方阵, 则下列结论一定正确的是[ ]. ① A + B = B + A. ② AB = BA. ③ |A + B| = |A| + |B|.
④ |3A| = 3|A|.
2.设 A, B 为 n 阶方阵, O 为 n 阶零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵, 则下列结论正确的是[ ].
2013-2014 学年第 3 学期《线性代数》期中测验
学号______________姓名_______________得分______________
一. 填空(每空 3 分)
1.设 = (1, 0, 1)T, = (2, 3, 1)T, 则T =_____________, T = _____________, ( )T 2014 =_______________.
① 秩(1, 2, 3) = 3.
② 矩阵 A 可逆.
③ 向量组1, 2, 3 线性相关. ④ 行列式|A| 0.
]以外, 其它三个条件相互等价.
�1 0 2 � �1 0 �
三. (20 分)设 A = � � �00
0 1