线性代数与解析几何__东南大学(4)--07-08-3线性代数期末考试试卷A
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
东南大学线性代数几何代数历年试题
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)
共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）一. 填空题1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .2. 幂级数()()1112ln 1nn nn x n ∞=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()122001d ,d d ,d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰ .二. 单项选择题1.曲面24e 3zxy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线12112x y z --==-的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2π(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1sin d d 2d d DD xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()sin d d 0Dxy y xy x y +=⎰⎰3．设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 [ ]（A ）4π （B ）165π （C ）163π （D ）83π共 5 页 第 2 页4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1．设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y∂∂+∂∂ .2．将函数()()2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。
线性代数与解析几何__东南大学(19)--07-08-2几何与代数B-A
课程名称 适用专业
几何与代数
考试学期 0 7 - 0 8 - 2 得分
工科电类专业 考 试 形 式
闭卷
考 试 时 间 长 度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
自
觉
得分
遵
1． （21%）填空题
守 考
1.
若矩阵
A
=
�1 ��l
0 1
���，
n
是正整数，则
An
=
试
中的单叶双曲面，则参数 t 满足条件
；
学号
线
作
7. 设 n > s ，若 A 是 s ﾴ n 矩阵，则 n 阶方阵 AT A 的行列式 AT A =
。
弊
2． （9%）选择题
此 答
1.
假设矩阵
A
=
�a ��c
b 1
���，若对任意
2
阶方阵
B
都有
AB
=
BA
，则
(a,
b, c)
=
；
Ａ． (1,1,1) ； B. (1,0,0) ； Ｃ． (0,1,0) ； Ｄ． (0,0,1)
3. 若 A2 x + Ax - 6x = 0 ，求 A 的特征值，并问： A 是否相似于对角阵？为什么？
8． （4%）证明：对于任意 s ﾴ n 实矩阵 B ， n 阶方阵 A = I + BT B 的特征值全大于零。
共
页
第
页
卷 无
2.
假设矩阵
A
=
�1 ��0
线性代数与解析几何__东南大学(5)--08-09-3线性代数期末考试试卷A
2. 假 设 A = (aij )nﾴn 是 n ﾴ n 实 对 称 矩 阵 ， li (1 ﾣ i ﾣ n) 是 A 的 特 征 值 。 证 明 ：
n
nn
� �� li2 =
ai2j 。
i =1
i=1 j=1
共 4页
第
页
秩相同，并且， b3 可以由a1,a2 线性表示。求参数 m, n 的值。
共 4页
第
页
1. 当参数 a 满足什么条件时，齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解？ 2. 当 Ax = 0 有非零解时，求其基础解系。
2. （10%）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 - 4x1x2 + 3x22 + 4x2 x3 + kx32 ， g(z1, z2 , z3 ) = z1z3 。 1. 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f 化成标准型。 2. 问：当参数 k 满足什么条件时，存在可逆线性变换将 f 变成 g ？
弊
；
7. 如果 2 阶矩阵 A 的特征值是 2 和 3，则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值是
；
此 答 卷
�1 -1 1 �
8.
若 2 是 A = ����-x3
4 -3
y 5
����的二重特征值，且
A
相似于对角阵，则
(
x,
y)
=
；
无
9. 如果二次型 x12 + tx22 + 4tx1x2 是正定的，则参数 t 满足条件
满足条件
；
场
2.
设
k
>
0
，向量 a
=
(k, 0,
k )T
《线性代数与空间解析几何》期末考试 试卷A
考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）适用专业：全院理、工科各专业本试卷共九大题，100分一、单项选择题 (每小题3分, 共18分)1.设A ，B均是n 阶可逆矩阵，且1=A ，2=B ，则1-AB 等于（ ）．)(A21)(B 2 )(C 1 )(D 42.设A 、B 是n 阶方阵，下列式子中正确的是( ) ．)(A T A A = )(B A k kA = )(C TT T B A AB =)( )(D kk k B A AB =)(3.设非齐次线性方程组b x A n m =⨯的系数矩阵的秩m A R =)(，则（ ）．)(A b x A n m =⨯一定有解 )(B b x A n m =⨯可能无解)(C 0=⨯x A n m 只有零解 )(D 0=⨯x A n m 有非零解4.已知11Tk α=（，，）是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211121112A 的特征向量，则 k = ( )．)(A 1或2 )(B -1或-2 )(C 1或-2 )(D -1或25.设A 是n 阶实对称矩阵，则下列哪个选项不是A 为正定矩阵的充要条件（ ）.)(A A 的特征值全大于0 )(B A 的二次型是正定二次型)(C ()n A r = )(D A 的顺序主子式全大于06.对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）.)(A 方程2232y x z +=表示椭圆抛物面 )(B 方程132222=++z y x 表示椭球面 )(C 方程x y =2表示抛物柱面)(D 方程19141222=-+z y x 表示双叶双曲面二 、填空题(每小题3分, 共18分)1.若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=421321B ,则=+B A 2 ．3.设向量组321,,ααα线性相关，而向量组432,,ααα线性无关，则向量组321,,ααα的 一个极大线性无关组是_____．4.设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是b Ax = 的解，则=+++s k k k 21_____．5.设二次型322123222144465x x x x x x x f --++=，则其矩阵A 为 ． 6.直线⎩⎨⎧=---=+++08330432z y x z y x 在xoy 面上的投影直线的方程为： ．线订装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷A 卷专业年级及班级 姓名 学号三、（10分）计算行列式2111121*********=D ．四、(10分) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120021111A 的逆矩阵．五、(10分)问四个点)10,8,0(),7,5,1(),8,0,4(),6,1,3(D C B A 是否共面？ 若共面，求出该平面方程．六、(10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20114α的秩及其一个极大线性无关组．七、(10分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角矩阵．八、（10分）求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+.32235,122,54321432121x x x x x x x x x x九、（4分）若1ξ,2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，211ξξη+=,212ξξη-=，试证明1η,2η也是0=Ax 的基础解系．线订 装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷专业年级及班级 姓名 学号。
大学线性代数与解析几何习题
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
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=
�2 � �0
0 1
� �，若 �
AB
是对称矩阵，则
x
=
2．
矩阵
A
=
�4 � �3
7 5
� �的逆矩阵 �
A-1
=
； ；
纪
3． 若 3ﾴ 3 矩阵 A 的特征值是1, 2, -1 ，则 A 的伴随矩阵 A* 的行列式 A* =
；
律
4． 齐次线性方程组 x + 2 y - 5z = 0 的一个基础解系是
2． 假 设 A, B 都 是 s ﾴ n 矩 阵 。 若 A + B 的 秩 r( A + B) = n ， 证 明 ： 矩 阵 M = AT A + BT B 的特征值均大于零。
共
页
第
页
（C）
�-2 � �0
-01� � �；
（D）
�0 � �3
1� 2 � �
效
封
3．
假设
A,
B
分别是
s
ﾴ
s
和
n
ﾴ
n
矩阵，则分块矩阵
�O ��B
A O
��的行列式是（ �
）
（A） A B ； （B） - A B ； （C） (-1)s+n A B ； （D） (-1)sn A B 。
密
共
页
第
页
3． 得分：
）
作
（A） X = A-1B-1C ；
（B） X = CA-1B-1 ；
弊
（C） X = A-1CB-1 ；
（D） X = B-1CA-1 。
学号
线
此 答
2．
下列矩阵中，与矩阵
A
=
�1 ��0
0 -2
��合同的矩阵是（ �
）
卷 无
（A）
�1 � �0
0 2
� �； �
（B）
�2 ��0
-01���；
1
� �
共
页
第
页
�2 0 0 �
5． （16%）已知 2 是对称矩阵 A = ����00
3 1
1 x
����的二重特征值。
1. 求参数 x 的值，并求 A 的另一个特征值
2. 求 A 的所有特征向量；
3. 求一个正交矩阵 Q 及对角阵 L ，使得 QT AQ = L 。
共
页
第
页
1． 得分： （14%）假设 a, b 是实数，二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + x22 + 2ax1x3 + 2bx2 x3
1． 求二次型 f (x1, x2 , x3 ) 的矩阵 A ；
2． 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f (x1, x2 , x3 ) 化成标准形；
3． 若 f 的秩等于 2，求参数 a, b 的值。
共
页
第
页
2． 得分：
�1� �-1� �1 �
�1 � �0 �
（16%）设向量组 b1 = ����11����, b2 = ����12 ����, b3 = ����1a ����与a1 = ����b0 ����,a2 = ����1c ����等价。
1+ x 1 1 1
（8%）计算行列式 D =
1 1
1- x 1 1 1+ x
1 1 的值。
1 1 1 1- x
4． 得 分 ：
f ( A) 。
�1 1 1 1 �
（ 6% ） 假 设 多 项 式
f (x)
=
x8
- 255 ，矩阵
A
=
��1 �1
1 -1
-1 1
--11���。 求
��1 -1 -1
1. 求向量组 b1, b2 , b3 的秩；
2. 求参数 a,b, c 的值；
3. 记 A = (a1,a2 ), B = (b1, b2 , b3) ，求矩阵 X ，使得 AX = B 。
共
页
第
页
3． 得分： （10%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：
1． 假设 A 是 n ﾴ n 矩阵， x 是 A 的属于特征值 a 的特征向量， y 是 AT 的属于特征值 b 的特征向量。若 a ﾹ b ，证明： x 与 y 正交。
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）
课程名称 适用专业
线性代数 非电类工科专业
考试学期 0 7 - 0 8 - 3 得分
考试形式
闭卷
考试时间长度 120 分钟
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
自
觉
得分
遵
1． 得分： (18%)填空题（ E 表示单位矩阵）
守 考 场
1．
设
A
=
�1 � �x
13� � �, B
；
5． 若二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x22 + x32 + tx1x3 是正定的，则参数 t 满足条件
；
如 考
6．
若矩阵
�1 ��2
a 2
��不与对角阵相似，则参数 �
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
。
试
2． 得分： （12%）选择题
1． 假设 A, B 都是可逆矩阵，则矩阵方程 AXB = C 的解为（