二维代数几何原理
数学中的代数与几何的结合
数学中的代数与几何的结合代数和几何是数学中不可分割的两个分支。
代数研究数与符号之间的关系，通过运算和方程式来描述和解决问题；而几何则关注空间和形状的性质，研究点、线、面等几何对象的性质和关系。
然而，在实际问题中，代数和几何往往相互交融，相互借鉴，共同推动数学的发展。
一、代数与几何的融合：代数几何代数几何是代数学和几何学交叉研究的一个分支，其中，代数方法被用来研究几何对象的性质和结构。
代数几何将代数中的代数方程和几何中的图形进行了对应，通过代数方程来描述几何图形的性质。
代数几何的一个典型例子是圆的方程。
在几何中，圆可以通过其圆心和半径来描述；而在代数中，圆可以用一个方程式x² + y² = r²来表示。
这个方程将几何中的圆与代数中的方程联系起来，使得我们能够通过代数的方法来研究圆的性质。
二、代数与几何的相互促进1.几何指导代数：在几何问题中，代数方法可以为几何问题提供解决思路和方法。
例如，在求解几何图形的面积或体积时，可以运用代数中的计算方法，将几何问题转化为代数问题进行求解。
2.代数引导几何：代数方法可以通过方程和变量的引入，将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解和解决几何问题。
例如，通过引入变量x和y，可以在二维平面上描述和研究点、线、面等几何对象的性质和关系，从而更加深入地理解和探索几何学。
三、代数与几何的结合案例1.向量代数：向量是代数和几何相结合的一个典型例子。
在代数中，向量可以用坐标表示；而在几何中，向量可以表示空间中的位移或方向。
向量代数将两者结合起来，可以通过代数的方法解决几何问题，例如向量的相加、乘法等。
2.平面几何中的方程：在平面几何中，代数的方程可以用来描述直线、圆、椭圆等图形。
通过方程，可以更加深入地研究这些图形的性质和关系。
3.立体几何中的体积：在立体几何中，代数的方法可以用来计算和求解各种形状的体积，例如长方体、圆柱体、球体等。
通过代数的方法，可以更加方便和准确地计算立体图形的体积。
复代数曲线的几何理论
复代数曲线的几何理论复代数曲线是代数几何学中一类具有重要地位的对象。
它们的研究涉及了代数学、几何学、复数域的性质等多个领域的理论和方法。
本文将介绍复代数曲线的几何理论，包括定义、性质和相关概念的讨论。
复代数曲线可以被定义为一个二维复数数域上的多项式方程。
一般来说，一条复代数曲线可以表示为一个复数二次方程的形式。
比如，一个一次复代数曲线的方程可以写作：\( ax + by + c = 0 \)其中a、b、c为复数常数。
对于二次曲线，其一般方程形式为：\( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \)同样，其中a、b、c、d、e、f为复数常数。
复代数曲线的几何理论主要围绕着对曲线的性质和结构的研究展开。
其中一项重要的研究内容是对复代数曲线的拓扑性质的分析。
通过对复代数曲线的奇点和分支点的分析，可以得到曲线的拓扑不变量，比如欧拉数、亏格等。
这些拓扑不变量揭示了复代数曲线的几何结构和性质。
另一个重要的研究内容是对复代数曲线的参数方程的研究。
复代数曲线一般可以被参数化为一族复数函数，这些函数描述了曲线上的点的位置。
通过对参数方程的研究，可以得到曲线的弧长、切线和法线以及其他几何性质。
参数方程的研究不仅有助于理解曲线的局部几何性质，还能够用来解决复代数曲线的相交问题和曲线上点的计算等实际问题。
此外，对复代数曲线的亏格和奇点进行分类和研究也是复代数曲线几何理论中的重要内容。
亏格可以被视为曲线的拓扑性质的一种度量，它与曲线的剪接数和奇点的个数相关。
复代数曲线的奇点包括普通奇点和特殊奇点，如多重点和尖点等。
通过对亏格和奇点的分类，可以对复代数曲线进行进一步的分类和描述，揭示了不同类型曲线的特殊几何性质和结构。
综上所述，复代数曲线的几何理论是一个重要而广泛的研究领域。
通过对复代数曲线的定义、性质和相关概念的讨论，我希望能够让读者对复代数曲线的几何理论有一个初步的了解。
复代数曲线几何理论的研究不仅有助于发展代数几何学的理论框架，还能够应用于其他领域，如计算机图形学、物理学等。
二维曲面的几个定理
二维曲面的几个定理
在几何学当中，二维曲面是一个对于它的特征、几何性质的综合的研究的
主要内容。
二维曲面的研究已经进行了许多年，其中有许多定理从中得出。
在
这里，让我们来认识一下其中的几个定理：
首先，格尔里定理是关于二维曲面的一个非常有用的定理，它指明了二维
曲面上所有点到给定曲线的距离有一个最小值是一个神奇的特性。
这种特性使
得格里定理变得非常有用，它可以用来研究所有曲面的几何性质，以及相关的
性质。
其次，维罗尼茨定理也称为狭缝定理，它确立了一个曲面局部可以去拟合
一个平面，也就是说，曲面上任意一点都有一个最近的圆，它是涉及曲面计算
及研究特征凸度的重要定理。
最后，高斯-代数定理称为二维曲线定理，它是由高斯和代数家共同得出，它提出了一个有趣的想法：任一条以给定的曲线为极‘的椭圆，就是由交替的
曲线组成的。
所以，这条椭圆中的每一条曲线都是同一个曲线曲率的，因此，
对于二维曲线研究而言，这是一个重要的定理。
以上就是这几个定理在二维曲面研究中的作用，它们不仅能够提供重要的
结论，同时还提供了定量的参考，从而使得研究者可以进行更精细的曲面研究
及应用。
尽管这些定理有着广泛的应用，但是它们仍在不断地研究和运用，以
及更多关于二维曲面的定理。
代数几何中的射影空间与曲线研究
代数几何中的射影空间与曲线研究在代数几何领域，射影空间与曲线是两个非常重要的概念。
射影空间被广泛应用于多项式环的理论中，而曲线则是射影空间中的一类特殊对象。
本文将介绍射影空间和曲线的基本概念、性质以及它们在代数几何中的重要应用。
一、射影空间的定义和性质射影空间是代数几何中的一个基本概念，它是对欧几里得空间的一种推广。
在二维欧几里得平面上，一条直线可以通过斜率和截距表示。
然而，在更高维空间中，直线无法通过这种方式进行表示。
因此，我们引入了射影空间的概念。
射影$n$维空间$P^n$可以用坐标$(x_0:x_1:\cdots:x_n)$表示，其中$x_i$为齐次坐标，而不是传统的笛卡尔坐标。
齐次坐标$(x_0:x_1:\cdots:x_n)$与$(kx_0:kx_1:\cdots:kx_n)$表示同一个点，其中$k$为非零常数。
通过引入齐次坐标，我们可以处理垂直于坐标轴的直线，并且能够更好地描述射影空间的性质。
在射影空间中，存在着一个特殊的子集，称为射影超平面。
在$P^n$中，一个射影超平面是由一个齐次线性方程$F(x_0,x_1,\cdots,x_n)=0$给出的集合。
射影超平面将射影空间划分为两个互补的部分，每个部分都是一个$n-1$维的射影空间。
射影超平面在代数几何中起着重要的作用，在研究曲线和曲面时经常会用到。
二、曲线的定义和性质曲线是代数几何中的一个重要研究对象，它可以用多项式方程组来表示。
在射影平面$P^2$中，一条曲线可以由一个齐次方程$F(x_0,x_1,x_2)=0$给出。
曲线上的点满足方程$F(x_0,x_1,x_2)=0$，并且由于齐次性质，曲线上的任意一点的坐标乘以相同的非零常数仍然满足方程。
这种性质使得我们能够处理曲线上的点，并研究它们的性质。
曲线的次数是刻画曲线复杂性的一个重要指标。
一条曲线的次数是指定义曲线的齐次方程中最高次的项的次数。
例如，次数为2的曲线是一个二次曲线，可以是一个抛物线、椭圆、双曲线等。
代数几何原理griffiths
代数几何原理griffiths
《代数几何原理》（Principles of Algebraic Geometry）是一部关于代数几何的经典教材，作者是英国数学家David A. Griffiths。
该书首次出版于1978年，后来进行了多次修订。
这本书的目标是向读者介绍代数几何的基本概念、理论和方法，并为后续研究奠定基础。
Griffiths的《代数几何原理》分为两个部分：
1. 第一部分主要关注代数几何的基本概念，包括代数品种、概形、态射、上同调等。
作者从最基本的概念开始，逐步深入地介绍了一些重要的代数几何性质和定理，例如代数基本定理、赫克思霍尔姆（Hochschild）同调、艾尔米特（Eilenberg-Zilber）定理等。
2. 第二部分涉及代数几何的一些应用领域，如代数拓扑、代数数论、复分析等。
这部分内容主要包括奇点理论、代数曲线、代数曲面、复流形等。
作者通过具体例子和案例，展示了代数几何在这些问题中的重要作用。
Griffiths的《代数几何原理》是一部适合本科生和研究生学习的教材，对于研究数学、物理和计算机科学等领域的人员也具有重要参考价值。
该书清晰、严谨的叙述方式，使得读者能够更好地理解代数几何的本
质和魅力。
需要注意的是，虽然本书是一本经典教材，但涉及的主题较为深入，读者需要在具备一定数学基础的情况下阅读。
此外，国内有出版社推出了该书的中译本，方便国内读者学习。
代数曲面奇点的分析与分类
代数曲面奇点的分析与分类代数曲面是代数几何学中的重要研究对象，而奇点则是代数曲面中特殊的点。
通过对代数曲面奇点的分析与分类，我们可以更好地理解代数几何学的基本概念和性质。
本文将首先介绍代数曲面奇点的概念，然后探讨其分析与分类方法。
一、代数曲面奇点的概念在代数几何学中，代数曲面是一个二维射影空间中的子集，可以用一个或多个方程来定义。
代数曲面奇点即为代数曲面上的特殊点，这些点在曲面局部附近的性质与整个曲面相比具有特殊性。
对于代数曲面奇点的研究，可以帮助我们揭示代数曲面的结构和性质。
二、代数曲面奇点的分析方法对于代数曲面奇点的分析，常用的方法是局部坐标表示和切空间理论。
局部坐标表示可以将代数曲面附近的点抽象为平面上的点，并通过坐标函数来描述曲面的性质。
切空间理论则是利用切向量和切平面的概念，来研究代数曲面奇点的切空间结构和性质。
在进行代数曲面奇点的分析时，我们通常会关注以下几个方面：1. 奇点的类型：根据代数曲面奇点的性质和分类情况，可以将奇点分为尖点、节点、重点等不同类型。
每种类型的奇点都有其独特的几何形态和性质，通过对其分类研究，我们可以更好地理解代数曲面结构中的奇点分布规律。
2. 切空间的结构：切空间是描述代数曲面奇点局部性质的关键概念。
通过分析切向量和切平面的结构，我们可以得到代数曲面奇点的几何特征和形变性质。
切空间的结构也与奇点的分类密切相关。
3. 奇点的数目与位置：代数曲面奇点的数目和位置对于研究整个曲面的性质至关重要。
通过分析奇点的数目和位置，我们可以推断代数曲面的拓扑性质和局部形状。
三、代数曲面奇点的分类方法代数曲面奇点的分类是代数几何学中的重要研究内容。
基于局部坐标表示和切空间理论，我们可以采用如下方法对代数曲面奇点进行分类：1. 点奇点分类：根据奇点处的切空间维数和类型，将点奇点分为零维奇点、一维奇点等不同类型。
2. 曲线奇点分类：对于代数曲线上的奇点，可以通过曲线的切向量和切平面来分类，常见的类型包括尖点、节点等。
两点坐标确定坐标系
两点坐标确定坐标系在代数几何中，坐标系是一种用于描述和定位点位置的数学工具。
它是基于一组轴和原点的概念构建的。
常见的坐标系包括二维直角坐标系和三维直角坐标系。
在这两种常见的坐标系中，我们可以通过两个点的坐标来确定一个坐标系。
一、二维直角坐标系二维直角坐标系是最简单和最常用的坐标系之一，它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
这两条轴相交于原点(0,0)。
我们可以使用两个点的坐标来确定一个二维直角坐标系。
例如，假设我们有两个点A和B，它们的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
我们可以使用以下步骤来确定一个二维直角坐标系：1.确定x轴的方向：通过计算点A和点B在x轴上的差值，我们可以确定x轴的方向。
如果x轴从左向右延伸，差值为正；如果x轴从右向左延伸，差值为负。
2.确定y轴的方向：通过计算点A和点B在y轴上的差值，我们可以确定y轴的方向。
如果y轴从下向上延伸，差值为正；如果y轴从上向下延伸，差值为负。
3.确定原点的位置：原点是x轴和y轴的交点，即坐标为(0,0)。
4.确定单位长度：我们可以选择以任意长度作为单位长度来表示坐标轴上的距离。
这个单位长度可以是厘米、米、英尺等等。
通过以上步骤，我们可以确定一个二维直角坐标系。
在这个坐标系中，我们可以表示其他点的位置，并进行相关的几何运算。
二、三维直角坐标系三维直角坐标系是在二维直角坐标系的基础上扩展而来的。
它包含了三个相互垂直的坐标轴，通常称为x轴、y轴和z轴。
这三条轴相交于原点(0,0,0)。
我们可以使用两个点的坐标来确定一个三维直角坐标系。
例如，假设我们有两个点A和B，它们的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)。
我们可以使用以下步骤来确定一个三维直角坐标系：1.确定x轴的方向：通过计算点A和点B在x轴上的差值，我们可以确定x轴的方向。
如果x轴从左向右延伸，差值为正；如果x轴从右向左延伸，差值为负。
2.确定y轴的方向：通过计算点A和点B在y轴上的差值，我们可以确定y轴的方向。
代数几何中的曲线与曲面理论
代数几何中的曲线与曲面理论代数几何是数学中研究代数和几何关系的一个分支领域。
在代数几何中，曲线与曲面理论是其中的核心内容之一。
在本文中，我们将探讨代数几何中的曲线与曲面理论的基本概念、性质以及相关应用。
一、曲线的定义与性质曲线是平面或空间中的一条具有特定数学性质的曲线。
在代数几何中，曲线通常由一个或多个多项式方程定义。
例如，二次曲线是由二次多项式方程定义的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
曲线的性质可以通过其方程的各种代数和几何性质来描述，例如曲线的度、奇点、幂等性等。
曲线的度是指曲线方程中最高次项的次数。
曲线的度决定了曲线的复杂程度，例如二次曲线的度为2，三次曲线的度为3。
曲线的奇点是指曲线上某点的坐标在曲线方程中不可定义的点，奇点的性质与曲线的拓扑结构密切相关。
曲线的幂等性是指曲线方程中的所有次数达到命题表达式时，该曲线的次数与原曲线的相交数相等。
二、曲面的定义与性质曲面是三维空间中的一个二维对象。
在代数几何中，曲面通常由多个多项式方程联立定义。
例如，球面是由一个二次多项式方程定义的曲面。
曲面的性质可以通过其方程的各种代数和几何性质来描述，例如曲面的次数、奇点、平面切割等。
曲面的次数是指曲面方程中最高次项的次数。
曲面的次数决定了曲面的复杂程度，例如二次曲面的次数为2，三次曲面的次数为3。
曲面的奇点是指曲面上某点的坐标在曲面方程中不可定义的点，奇点与曲面的光滑性密切相关。
平面切割是指通过曲面与一个平面的交线得到的曲线，平面切割具有研究曲面性质的重要意义。
三、曲线与曲面的关系曲线与曲面之间存在着紧密的联系与相互作用。
通过曲线可以刻画曲面的性质，通过曲面可以生成曲线的集合。
在曲线与曲面的理论中，我们可以研究曲线在曲面上的投影、切线、法线等相关性质。
同时，曲面的切割与曲线的交点也是研究二者关系的重要内容。
曲线与曲面的关系不仅仅局限于几何性质的研究，还涉及到代数方程和多项式的应用。
通过使用代数工具，我们可以刻画和研究曲线与曲面之间的代数关系，进一步揭示二者的深层次内在联系。
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目录第一章矢量代数 (3)1.1 二维矢量 (3)1.1.1 矢量表示 (3)1.1.2 矢量长度 (3)1.1.3 单位矢量 (3)1.1.4 矢量数乘 (3)1.1.5 矢量点乘 (3)1.1.6 矢量叉乘 (3)1.1.7 正交矢量 (4)1.1.8 矢量角度 (4)1.2 矢量点乘和叉乘的应用 (4)1.2.1 矢量夹角 (4)1.2.2 矢量旋转方向 (4)1.2.3 判断平行 (5)1.2.4 判断同向 (5)1.2.5 判断反向 (5)1.2.6 判断垂直 (5)1.2.7 正交投影 (6)1.2.8 矢量分解 (6)1.3 二维点 (6)1.3.1 点的表示 (6)1.3.2 矢量运算 (7)1.3.3 距离和角度 (7)1.3.4 极坐标 (7)1.3.5 移动直尺法 (7)1.4 二维齐次变换 (7)1.4.1 齐次变换矩阵 (7)1.4.2 坐标变换 (7)1.4.3 矢量变换 (8)1.4.4 角度变换 (8)1.4.5 平移变换 (8)1.4.6 比例变换 (8)1.4.7 旋转变换 (9)1.4.8 对称变换 (10)1.4.9 行列式值 (11)1.4.10 矩阵求逆 (11)1.4.11 正投影变换的分解 (11)1.5 仿射坐标系 (12)1.5.1 仿射坐标 (12)1.5.2 仿射坐标系的矩阵表示 (12)1.5.3 坐标变换 (12)1.5.4 坐标系映射 (12)第二章参数化曲线 (13)2.1 直线 (13)2.1.1 无穷直线 (13)2.1.2 直线段 (13)2.1.3 射线 (13)2.1.4 中垂线 (13)2.1.5 直线的一般式方程 (14)2.2 圆弧 (14)2.2.1 圆弧方程 (14)2.2.2 圆的切线 (14)2.3 椭圆 (14)2.3.1 椭圆弧方程 (14)2.3.2 椭圆的二次曲线方程形式 (15)2.3.3 椭圆的切线 (15)2.4 折线 (16)2.5 三次参数样条曲线 (16)2.5.1 三次参数曲线方程 (16)2.5.2 三次参数样条函数的连续方程组 (17)2.5.3 端点条件 (17)2.5.4 累加弦长三次参数样条曲线 (18)2.6 二次参数样条曲线 (18)二维代数几何原理作者：张云贵 2004年4月本文说明数学几何库中用到的二维代数几何计算原理。
第一章矢量代数1.1 二维矢量1.1.1 矢量表示矢量的坐标表示为V= (x, y)，其中x和y为坐标分量。
1.1.2 矢量长度|V| = sqrt(x*x + y*y)1.1.3 单位矢量E = V / |V|1.1.4 矢量数乘矢量V(x, y)和实数n的数量积为：n*V = V*n = ( x * n, y * n )V / n = ( x / n, y / n )1.1.5 矢量点乘两个矢量A(x1, y1)和B(x2, y2)的点积为：A·B = x1 * x2 + y1 * y2性质：A·B = B·AA·(B+C) = A·B + A·C几何意义：A·B可以看作|A|乘以B在A上的投影的长度。
若A和B为非零矢量，（1）如果A·B＞0，则A和B同在一侧，夹角小于90度；（2）如果A·B＜0，则A和B夹角大于90度；（3）如果A·B=0，则A⊥B。
1.1.6 矢量叉乘两个三维矢量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的叉积为：A×B = (y1*z2 – z1*y2, z1*x2 – x1*z2, x1*y2 – y1*x2)取z=0可得到二维矢量A(x1, y1)和B(x2, y2)的叉积(0, 0, z)的Z分量为：(A×B)z = x1 * y2 – y1 * x2性质：A×B = -B×A(A+B)×C = A×C + B×C几何意义：A×B垂直于A和B，且A，B，A×B构成右手系，A×B的矢量长度为以A和B为邻边的平行四边形的面积。
(A×B)z可以看作|A|乘以B在A上的垂直投影的长度。
若A和B为非零矢量，（1）如果(A×B)z＞0，则B在A的逆时针方向；（2）如果(A×B)z＜0，则B在A的顺时针方向；（3）如果(A×B)z=0，则A∥B。
1.1.7 正交矢量沿逆时针方向旋转90度得到矢量V(x, y)的正交矢量：(-y, x)。
沿顺时针方向旋转90度得到的正交矢量为(y, -x)。
1.1.8 矢量角度矢量V(x, y)的角度定义为从坐标系X轴正向旋转到矢量V所转过的角度，逆时针时为正，顺时针为负。
矢量角度为：angle = acos(x / |V|)，得到的角度范围为0到πangle = asin(y / |V|)，得到的角度范围为-π/2到π/2angle = atan(y / x)，得到的角度范围为-π/2到π/2angle = atan2(y, x)，得到的角度范围为-π到π规定零矢量的角度为0。
1.2 矢量点乘和叉乘的应用1.2.1 矢量夹角矢量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角定义为从矢量A旋转到矢量B所转过的角度，逆时针时为正，顺时针为负。
矢量夹角的计算如下：sin(angle) = (A×B)z / (|A|*|B|)cos(angle) = (A·B) / (|A|*|B|)tan(angle) = (A×B)z / (A·B)得到：angle = acos((x1 * x2 + y1 * y2) / (|A|*|B|))angle = asin((x1 * y2 – y1 * x2) / (|A|*|B|))angle = atan2(x1 * y2 – y1 * x2, x1 * x2 + y1 * y2)规定零矢量和其它矢量的夹角为0度。
1.2.2 矢量旋转方向要判断矢量A旋转到矢量B旋转角最小时，是逆时针转还是顺时针转，可以这样判断：如果(A×B)z＞0则是逆时针转，如果(A×B)z＜0则是顺时针转。
1.2.3 判断平行判断两个矢量是否平行就是判断两个矢量的夹角在某个很小的范围内。
例如满足下面条件时两个矢量就平行：tan(夹角) = (A×B)z / (A·B) ≤ eps其中eps=tan(角度公差)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
或者满足下面条件也平行：| A/|A| ±B/|B| | ＜ eps其中eps=2sin(角度公差/2)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
规定零矢量平行于任何矢量。
1.2.4 判断同向满足下面条件时两个矢量就同向：(A×B)z / (A·B) ≤ eps 且 (A·B) ≥ 0其中eps=tan(角度公差)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
平行时可能同向也可能反向，因为cos(夹角) = (A·B) / (|A|*|B|)，同向时cos(夹角)接近于1.0，反向时接近于-1.0，考虑到零矢量和任何矢量同向，所以取(A·B) ≥ 0。
或者满足下面条件也同向：| A/|A| －B/|B| | ＜ eps其中eps=2sin(角度公差/2)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
1.2.5 判断反向满足下面条件时两个矢量就反向：(A×B)z / (A·B) ≤ eps 且 (A·B) ＜ 0其中eps=tan(角度公差)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
平行时可能同向也可能反向，因为cos(夹角) = (A·B) / (|A|*|B|)，同向时cos(夹角)接近于1.0，反向时接近于-1.0，所以取(A·B) ＜ 0。
或者满足下面条件也反向：| A/|A| ＋B/|B| | ＜ eps其中eps=2sin(角度公差/2)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
1.2.6 判断垂直满足下面条件时两个矢量就垂直：|A·B| ＞ 0 且 (A·B) / (A×B)z≤ eps其中eps=tan(角度公差)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
或者满足下面条件也垂直：|cos(夹角)| = |A·B| / (|A|*|B|) ＜ eps其中eps=sin(角度公差)，例如0.0001表示角度公差约为0.0057度。
1.2.7 正交投影矢量B (x2, y2)在矢量A (x1, y1)上的投影矢量为OP ，垂直距离为|BP |。
计算如下： proj = (A ·B ) / (A ·A )OP = proj * A = A * (A ·B )/(A ·A ) PB = OB – OPproj > 0 则投影矢量OP 和A 同向, 否则反向。
B = OP + PB ，OP ⊥PB OP = A *(A ·B )/(A ·A)O (0,0)B(x2,y2)OB(x2,y2)正交投影 矢量分解1.2.8 矢量分解对于两个非零且非共线矢量A (x1, y1)和B (x2, y2)，矢量C (x, y)对A 和B 的分解如下： C = M + N = m*A + n*B可以将A 和B 看作仿射坐标系的坐标轴，(x, y)对应于仿射坐标系下的坐标(m, n)。
计算如下（仿射坐标系见后说明）：[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯=1002y 2x 01y 1x 1nm1yx[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⨯=1000det/1x det/2x 0det /1y det/2y 1yx1nm其中：det = x1*y2 - y1*x2m = (x*y2 - y*x2)/det ， n = (x1*y – y1*x)/det即m = (C ×B )z / (A ×B )z ， n = (A ×C )z / (A ×B )z M = m * A ， N = n * B1.3 二维点1.3.1 点的表示点的坐标表示为P = (x, y)，其中x 和y 为坐标分量。
1.3.2 矢量运算点 + 矢量 = 点 点 – 矢量 = 点 点 – 点 = 矢量 矢量 + 矢量 = 矢量 矢量 – 矢量 = 矢量1.3.3 距离和角度两点P 1(x1, y1)和P 2(x2, y2)的距离|P 1P 2| = hypot(x2-x1, y2-y1) P 1P 2的角度等于矢量P 2 - P 1的角度。