NA-3-1线性方程组

回代求得
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x 3 3 / 3 1 x2 ( 3 2 x3 ) ( 3 2 1) 1 x1 6 2 x2 3 x3 6 2 1 3 1 1 故所求解为 x1 1, x2 1, x3 1
3 6 1 2 0 1 2 3 0 1 1 0
A
( 3)
x1 2 x 2 3 x 3 6 3 6 1 2 0 1 2 3 x 2 2 x 3 3 3 x 3 3 0 0 3 3
求解一个三角形方程组需n次除法与 1 1 2 （ i 1) 2 n(n 1) 2 n 次乘法。 i 1
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n
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数值计算方法
下三角方程组的一般形式为： b1 a11 x1 b2 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 其中aii 0, i 1, 2, , n
H1 F12 F14 cos 0, F24 sin F25 sin 100, F12 F23 F24 cos F25 cos 0, V3 F35 sin 0, F23 F35 cos 0, F14 sin F24 sin 0, F14 cos F24 cos F45 0, F25 sin F35 sin 0, F25 cos F35 cos F45 0。
6 9 6
n 3, a11 1 0 m 21 a 21 / a11 2 / 1 2 m 31 a 31 / a11 1 / 1 1 1 ,L Ax L b完成第一步消元, 得 : L 1 = 2 1 1 1 1 1
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数值计算方法
A
( 2)
a22( 2) 1 0, m32 a32( 2) / a22( 2) 1 /( 1) 1 1 ,L L Ax L L b完成第二步消元, 得 L2 = 1 2 1 2 1 1 1
g
a a
(1) 12 ( 2) 22

a
a
(1) 1n ( 2) 2n


(n a nn )
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b ( n) bn b
(1) 1 ( 2) 2
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数值计算方法
一、三角形方程组的解法
三角形方程组包括上三角形方程组和下三角 形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角 方程组的一般形式是：
数值计算方法
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数值计算方法
第3章 线性方程组的直接解法
在科学与工程计算中，大量的问题归结为求解线性代数方 程组Ax=b，其中 A (aij ) Rnn , b (b1b2 ,, bn )T Rn , x ( x1x2 ,, xn )T Rn ，分别称为方程组的系数矩阵，右端向量和解向量，若A可逆， 则方程组存在唯一解。 例如，三角形结构具有稳定性好的特性，考虑到如图4-1所 示的三角结构。
可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限
次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
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数值计算方法
第一节 高斯消元法及其计算机实现
求 解 Ax b
A R nn Ux g
下三角形方程组可以参照上三角形方程组的解法来求解， 下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按从上到下 的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为： x1 b1 / a11 i 1 xi (bi aik xk ) / aii ( i 2, 3, , n) k 1 如上解三角形方程组的方法称为回代法.
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b1 b2 bm nm0931@
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数值计算方法
定理1 （线性代数方程组有解判别定理）线性方程组 Ax b有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A）
定理2 线性方程组Ax b有解（即相容）时， (1)秩( A) 秩( A) r n, 则方程组Ax b存在唯一解。
a11 x1 a12 x 2 .......... .......... .......... a1n x n b1 a 22 x 2 .......... .......... ......... a 2 n x n b2 .......... .......... .......... ......... .. a n 1n 1 x n 1 a n1n x n bn1 a nn x n bn 其 中a ii 0 ( i 1,2,......,n)
将 原 方 程 组 Ax b 化 为 同 解 的 上 三 角 方 组 Ux g 程 初 等 变 换 Ax b 同解 用增广矩阵表示为
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数值计算方法
例3 用Gauss消元法求解方程组 x1 2 x2 3 x3 6 2 x1 3 x2 4 x3 9 x 3x 2x 6 2 3 1
解： 增 广 矩 阵 ：A
(1)
1 [ A b] 2 1
2 3 3
3 4 2
数值计算方法
A
(1 (1 a11) a12) (1) (1) a 22 a 21 (1) (1) a n1 a n 2 ( a11) n
b
a a
(1) 2n

(1) nn
( b11) (1) b2 (1) bn
U
(1 a11 )
(2)r ( A) r ( A) r n, 方程组Ax b有无穷多解。 通解 原方程组一个特解 对应齐次方程组的基 础解系的线性组合。
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数值计算方法
数值求解方法有以下途径
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算
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x2 x2 x3 3 x3
x4 5 x4 13 x4 13 x4

4 7 13 13
数值计算方法
为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先 解出 xn=bn/ann, 然后按方程由后向前的顺序，从方 程中依次解出xn-1,xn-2,…,x1。这样就完成了上三角方 程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步 骤如下：
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n
数值计算方法
例2、 用回代法求解线性方程组 2 2 x1 2 x1 x2 3 x 2 x 4 x 9 2 3 1
解:
x1 2 / 2 1 x2 (2 1) / 1 1 x3 (9 3 1 2 1) / 4 1 所以，解为（x1 , x2 , x3 ) (1 ,1 , 1)
xn bn / ann xi (bi i n 1,,1
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k i 1
a
n
ik
xk ) / aii
数值计算方法
返回变量 函数名 参数表
function X=backsub(A,b) %Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix %Output—X is the solution to the system AX=b xn bn / ann n=length(b);
5
F45
F24
4
F14
H1
F25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

F35

1
V1

3 2 F12 F23 兰州交通大学数理与软件工程学院常迎香 nm0931@
－2－
数值计算方法
假设该结构的重量（100kg）集中于节点2（图形底部的中点）， 在各节点处的垂直和水平方向受力的平衡条件可依次表示为如下的 方程
V1 F14 sin 0,
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数值计算方法
二、高斯消元法
高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到 的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵 方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性 方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题。 高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段: 首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消 元”过程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原 方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过程. 高斯“消元”过程可通过矩阵运算来实现。具 体过程如下： －16－ 兰州交通大学数理与软件工程学院常迎香 nm0931@
X=zeros(n,1); xi (bi aik xk ) / aii X(n)=b(n)/A(n,n); k i 1 for i=n-1:-1:1 i n 1, ,1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end