【解析】陕西省咸阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

咸阳市2019～2020学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（理科）试题一、选择题1.一元二次不等式(1)(2)0x x -+<的解集为（ ） A. {|2x x <-或1}x > B. {|1x x <-或2}x > C. {|21}x x -<< D. {|12}x x -<<【答案】C 【分析】根据二次函数得图像，可得结果. 【详解】令()(1)(2)f x x x =-+，如图由()0f x <，所以图形在x 轴下方， 所以21x -<< 故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的的解法，属基础题.2.已知等比数列{}n a 中，427a =，公比3q =-，则1a =（ ） A. 1 B. 1-C. 3D. 3-【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式可得结果》【详解】由数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=则34127a a q ==，又3q =-，所以11a =- 故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属基础题.3.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4B π=，a =，则b =（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A 【分析】利用正弦定理sin sin a b A B=，可直接求出b 的值. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 4sin sin3a Bb A ππ⋅===故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题．4.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（ ） A. 216x y =B. 28x y =C. 216x y =-D.28x y =-【答案】D 【分析】根据题意，由抛物线的准线方程可得其焦点在y 轴负半轴上，且224p=-，由抛物线的标准方程可得答案．【详解】解：根据题意，抛物线的准线方程为2y =， 即其焦点在y 轴负半轴上，且224p=-，得4p =-， 故其标准方程为：28x y =-． 故选D ．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线的标准方程的四种形式．5.命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是（ ） A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+， B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，【答案】C 【分析】按规则写出存在性命题的否定即可.【详解】命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，”， 故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 6.已知a b >，0c ≠，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22a b >B. 11a b>C. ac bc >D.22a b c c> 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，可得结果. 【详解】因为0c ≠，所以210c>，又a b >， 所以22a b c c> 故选：D【点睛】本题考查不等式的性质，熟练记住一些结论，如：不等式两边同乘或同除以一个正数，不改变不等号的方向，属基础题.7.若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =r ，平面αu r 的法向量为(2,0,4)n =--r，则（ ） A. //l α B. l α⊥ C. l α⊂ D. l 与α斜交【答案】B 【分析】通过(1,0,2)a =r ，(2,0,4)n =--r 可以得出2n a =-r r，所以可以判断直线,l α之间的关系. 【详解】∵(1,0,2)a =r ，(2,0,4)n =--r，∴2n a =-r r ，即//a n r r. ∴l α⊥.【点睛】本题考查了利用空间向量的关系，判断线面垂直.8.如图，在空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在线段OA 上，且3OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =u u u u r（ ）A. 121232a b c -+r r rB. 321432a b c +-r r rC. 111222a b c +-r r rD. 311422a b c -++r r r【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】由题,()()11114242MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA ==++=+-+-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u u u u r u u u u r u u u r u u u r r u u u r 311311422422OA OB OC a b c =-++=-++u u u r u u u r u u u r r r r故选：D【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,属于基础题型.9.数列{}n a 满足232n a n n =++，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A.13B.512 C.12D.712【答案】B 【分析】根据裂项相消法求和.【详解】因为21111132(1)(2)12n a n n n n n n ===-++++++， 所以1n a 禳镲睚镲铪的前10项和为111111115+++2334111221212---=-=L ，选B. 【点睛】本题考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题. 10.已知{}n a 是等比数列，则“24a a <”是“{}n a 是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列{}n a 是等比数列，可假设12,2a q =-=-， 则12342,4,8,16a a a a =-==-=， 可知24a a <，但数列{}n a 不是递增数列， 若数列{}n a 是递增数列，由定义可知，24a a <，故 “24a a <”是“{}n a 是递增数列”的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题考查充分、必要条件的定义，同时还考查了等比数列的单调性，巧取特殊值，快速解决问题，属基础题.11.有下列四个命题：①若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若1x =，则1x =”的否命题为“若1x =，则1x ≠”；③命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；④设a b R +∈、，命题“>a b >”的逆命题是真命题；其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【分析】根据四个命题和逻辑连接词的性质逐个分析即可.【详解】对①, 若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题.故①正确.对②, 题“若1x =,则1x =”的否命题为“若1x ≠,则1x ≠”；故②错误.对③, 命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”；故③正确.对④, 设a b R +∈、,命题“>则a b >”的逆命题是“>则a b >”,为假命题；故④错误. 综上,①③正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判断与四个命题间的基本关系,属于基础题型.12.已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心的圆过坐标原点O ，且圆F 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A B 、两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B. 2C. 3D. 3【答案】A 【分析】根据菱形的定义以及圆的半径，可得渐近线的斜率，结合,,a b c 的关系和离心率的表示，可得结果. 【详解】如图，圆F 的半径为c ，且四边形OAFB 是菱形， 所以OF OA AF c ===，可知60AOF ∠=o ， 所以tan 603ba==o 3b a = 所以223b a =，又222b c a =-， 则2223c a a -=，由ce a=，且1e > 所以2e = 故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率，高考常考题，正确分析题干，理清思路，属基础题.二、填空题13.不等式202x x -≤+的解集是________.【答案】(]2,2- 【分析】根据分式不等式的方法求解即可.【详解】()()2202022220x x x x x x ⎧-+≤-≤⇒⇒-<≤⎨++≠⎩. 故答案为：(]2,2-【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础题型.14.已知ABC V 的顶点A 是椭圆2213x y +=的一个焦点，顶点B 、C 在椭圆上，且BC 边经过椭圆的另一个焦点，则ABC V 的周长为________.【答案】【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】易得ABC V 的周长为B 、C 两点到两个焦点间的距离之和为224a a a +==. 故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用,属于基础题型.15.已知191(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为________. 【答案】16 【分析】 因为191(0,0)x y x y +=>>,故()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开用基本不等式求最小值即可.【详解】()199********y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭.当且仅当9,3y xy x x y==时等号成立. 故答案为：16【点睛】本题主要考查了基本不等式求最小值的问题,属于基础题型.16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，200S >，210S <，则当n S 取最大值时，n 的值为________. 【答案】10 【分析】根据等差数列求和的公式分析即可.【详解】由题有10a >且公差0d <.故等差数列{}n a 为首项大于0,且逐项递减的等差数列. 因为200S >所以()120101120002a a a a +>⇒+>.又()1211121002a a a +<⇒<.故10110,0a a ><.当n S 取最大值时,n 的值为10 故答案为：10【点睛】本题主要考查了递减等差数列的运用,需要根据等差数列前n 项和的性质确定由正变负交替的两项进行分析.属于中等题型.三、解答题17.设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，11a =，2a 为14,a a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =（2）()(1)2212n n n n T +=+- 【分析】（1）根据等比中项的概念求出公差d ，结合等差数列的通项公式，可得结果. （2）根据（1）的结论，结合分组求和的方法，可得结果.【详解】解：（1）11a =Q ，2a 为1a 与4a 的等比中项，2214a a a ∴=⋅，即2(1)1(13)d d +=⨯+，由0d ≠，所以1d =，∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=.（2）由（1）得n a n =，2nn b n ∴=+，()()212(1)(12)221122n n n n n T n -+∴=++++=+--L . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及分组求和，掌握求和的基本题型，比如：分组求和，裂项相消，错位相减等，属基础题.18.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中E ，F 分别为AB ，1A C 的中点.（1）求EF ；（2）求证：//EF 平面11AA D D 【答案】（12；（2）证明见解+析 【分析】(1)根据空间坐标中的距离公式求解即可.(2)根据空间向量12AD EF =u u u u r u u u r即可证明//AD EF 进而有//EF 平面11AA D D .【详解】解：（1）由题知,(2,1,0)E ,(1,1,1)F ,∴(1,0,1)EF =-u u u r,∴||EF ==u u u r（2）由题知,(2,0,0)A ,1(0,0,2)D ,∴1(2,0,2)AD =-u u u u r, ∴12AD EF =u u u u r u u u r ,故//AD EF ,又1AD ⊂平面11AA D D ,EF ⊄平面11AA D D∴EF ∥平面11AA D D .【点睛】本题主要考查了空间向量求点到点距离和线面平行的证明.属于中等题型.19.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-（1）求角C 的大小；（2）若7c =，8a b +=，求ABC V 的面积.【答案】（1）23π；（2【分析】(1)根据正弦定理将角转换为边,再利用余弦定理求解即可.(2)根据余弦定理可求得15ab =,再根据面积公式求解即可.【详解】解：（1）222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-,∴由正弦定理可得,222a b c ab +-=-, 由余弦定理有,2221cos 22a b c C ab +-==- ∵0C π<<,∴23C π= （2）由（1）可得,222a b c ab +-=-,即22()a b c ab +-=,又7c =,8a b +=,15ab =∴ABC V 的面积11sin 152224S ab C ==⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式解三角形的问题,属于中等题型. 20.已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点()4,2A为抛物线C 内一定点，点P 为抛物线C 上一动点，且PA PF +的最小值为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线30x y --=与抛物线C 交于()11,B x y 、()22,D x y 两点，求BD 的长.【答案】（1）216y x =；（2）【分析】(1)根据抛物线的定义可知分析PA PF +取得最小值时的情况列出关于p 的方程求解即可.(2)联立直线30x y --=与抛物线C ,求出对应的二次方程的韦达定理,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）设d 为点P 到2p x =-的距离,则由抛物线定义知,PF d = ∴当点P 为过点A 且垂直于准线的直线与抛物线的交点时,PA PF +取得最小值, 即482p +=,解得8p =, ∴抛物线C 的方程为216y x =. （2）联立23016x y y x--=⎧⎨=⎩,得216480y y --=, 显然0>V ,1216y y +=,1248y y =-, ∴12y y -===,∴12||BD y -=【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义与根据直线与抛物线相交的问题求解弦长的公式,属于中等题型.21.如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且1SA =，点M 是SD 的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：（1）求证：SC AM ⊥；（2）求平面SAB 与平面SCD 夹角的大小.【答案】（1）证明见解+析；（2）45°【分析】(1) 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AS 为z 轴,建立空间直角坐标系,再证明0SC AM ⋅=u u u r u u u u r即可.(2)分别求出平面SAB 与平面SCD 的法向量,再利用空间向量的公式求解二面角即可.【详解】解：（1）证明：以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AS 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,1)S ,(1,1,0)C ,(0,0,0)A ,110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴(1,1,1)SC =-u u u r ,110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu r ∴11022SC AM ⋅=-=u u u r u u u u r ,∴SC AM ⊥（2）易知,平面SAB 的一个法向量为(0,1,0)n =r,由图知(0,0,1)S ,(1,1,0)C ,(0,1,0)D , ∴(1,1,1)SC =-u u u r ,(0,1,1)SD =-u u u r ,设平面SCD 的法向量为(,,)m x y z =u r ,则00m SC x y z m SD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ,取1y =,得平面SCD 的一个法向量为(0,1,1)m =u r ,设平面SAB 与平面SCD 的夹角为θ,则cos 2||||m n m n θ⋅==u r r u r r ,故45θ=︒ ∴平面SAB 与平面SCD 夹角的大小为45°【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线垂直与二面角的空间向量求法,属于中等题型.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为1(2,0)F -，直线21:2a l x =-与x 轴交于点()3,0N -，过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A ，B 两点（1）求直线l 和椭圆E 的方程；（2）求证：点()12,0F -在以线段AB 为直径的圆上.【答案】（1） l：3)y x =+，E ：22162x y +=；（2）证明见解+析【分析】(1)根据点斜式与椭圆的基本量求法求解即可.(2)联立直线l 椭圆, 设()11,A x y ,()22,B x y 利用韦达定理证明11F A F B ⋅u u u r u u u r 即可.【详解】解：（1）由题知,直线l的方程为3)3y x =+由232a -=-,得26a =, 又2c =,∴2222b ac =-=,∴椭圆E 的方程为22162x y += （2）联立方程组221623)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得22630x x ++=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则123x x +=-,1232x x =, ∵1(2,0)F -,∴()1112,F A x y =+u u u r ,()1222,F B x y =+u u u r ,∴()()()()()11121212121212224333F A F B x x y y x x x x x x ⋅=+++=++++++u u u r u u u r ()1212443373(3)70332x x x x =+++=⨯+⨯-+= ∴1(2,0)F -点在以线段AB 为直径的圆上.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理与向量的方法求解圆过定点的问题.属于中等题型.。