2019高考数学从课本到高考之集合与函数专题03函数的定义域学案201808166137

专题3 函数的定义域【典例解析】1. （必修1第17页例1）已知函数1()2f x x =+. （1）求函数的定义域; （2）求(3)f -，2()3f 的值； （3）当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值.【解析】（1）x 的集合是{}3x x ≥-，使分式12x +有意义的实数x 的集合是{}2x x ≠-.所以，这个函数的定义域就是{}3x x ≥-I {}2x x ≠-={}32x x x ≥-≠-且.（2）1(3)132f -==--+；213()238323f ==++（3）因为0a >，所以()f a ，(1)f a -有意义.1()2f a a =+; 11(1)121f a a a -==-++.【反思回顾】（1）知识反思；函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合； （2）解题反思；由解析式，则y ＝f (x )0x ⇒≥，另：10x x⇒≠ 两个条件在同一个解析式中，要同时满足，取交集得定义域。

提示：解决函数问题始终要坚持定义域优先的原则；函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见的基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}.(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .【知识背囊】 1.函数与映射的概念(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 【变式训练】 变式1. 函数2232y x x =--的定义域为( ) A.(－∞，1]B. 11(,),122⎛⎤-∞-⋃-⎥⎝⎦C.[1，2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1【答案】B【解析】由题意，得2101122320x x x x x 且-≥⎧⇒≤≠-⎨--≠⎩，故选B变式2.函数22log ()y x x =-的定义域为（ ）A ．（0, 1）B ．（-1,0）C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞ 【答案】A【解析】由20x x ->，得01x <<,所以函数22log ()y x x =-的定义域为()0,1，故选A.变式3.函数()()ln f x x =-的定义域为（ ）A ．{x|x ＜0}B ．{x|x≤﹣1}∪{0}C ．{x|x≤﹣1}D ．{x|x≥﹣1} 【答案】C【解析】由函数，得：(1)010x x x x +≥⎧⇒≤-⎨->⎩，所以函数的定义域为{}1x x ≤-，故选C.变式4.函数()()1ln 1f x x =+ ）A ．[)(]2,00,2- B ．()(]1,00,2-C ．[]2,2-D ．(]1,2- 【答案】B【解析】由题意得()240101002ln 10x x x x x 或⎧-≥⎪+>⇒-<<<≤⎨⎪+≠⎩，选B.变式5.若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 【答案】[]1,0-【解析】因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.变式6. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 【答案】[0,1)【解析】由题函数定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域为；022,0110x x x ≤≤⎧≤<⎨-≠⎩变式7.用长为L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与关于x 的函数解析式 （写出定义域）【答案】242y x Lx π+=-+，定义域为(0,)2L π+ 【解析】如图，设2AB x =，则CD = x π,于是22L x xAD π--=因此22222L x x x y x ππ--=⨯+；即242y x Lx π+=-+ 再由题得20202x L x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩；解之得02L x π<<+所以函数解析式是242y x Lx π+=-+，函数的定义域是 (0,)2Lπ+. 反思：（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即20202x L x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩， 不能遗漏. 【高考链接】1.【2013年高考广东卷】函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【答案】C【解析】要使原式有意义需要满足1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得(1,1)(1,)x ∈-+∞2.【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A .)1,0(B . ]1,0[C . ),1()0,(+∞-∞D . ),1[]0,(+∞-∞【答案】C【解析】由题意得：x 2－x > 0，接的x > 1，或x < 0，所以选C ． 3.【2014山东理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D. ),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C .4.【2013年高考山东卷（文）】函数()f x =的定义域为（ ） A ．(-3,0] B ．(-3,1] C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--【答案】A【解析】要使原式有意义需要满足12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得(3,0]x ∈-，故选A.5.【2015湖北高考】函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6]【答案】C【解析】要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3，所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]. 6.【2013高考大纲卷】已知函数()()-1,0f x 的定义域为，()21f x +则函数的定义域为（） A.()1,1- B.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()-1,0 D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()()-1,0f x 的定义域为，Q ()21f x -函数有意义,则1210x -<+<,即112x -<<-，故选B.7.【2016全国高考课标2】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x【答案】D 【解析】函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D.7.【2016高考江苏卷】函数y 的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故填：[]3,1-8.【2018________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.9.【2013年高考安徽】函数1ln(1)y x=++的定义域为_____________. 【答案】(]0,111. 【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【答案】3 2。