北师大版八年级下册1.2直角三角形巩固练习题(word无答案)
北师大版八年级数学下册第三章图形的平移和旋转第一节练习题(无答案)
图形的平移平移的概念1．下列生活现象中，不是平移现象的是（）A．站在运行着的电梯上的人B．左右推动推拉窗C．躺在火车上睡觉的旅客D．正在荡秋千的小明2．在下列图形中，哪组图形中的右图是由左图平移得到的（）A．B．C．D．3．下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（）A．B．C．D．平移的性质4．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°5．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（）A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF6．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝．7．如图，△A′B′C′是由△ABC平移而得到的．已知AB＝6，CC′＝12，∠BAC＝95°，∠ACB＝45°，则∠A′B′C′＝，A′B′＝，BB′＝．8．如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A′．（1）画出平移后的三角形A'B'C'；（2）AA′和BB′的位置关系和数量关系是．练习1．如图所示，线段b向右平移3格，再向上平移格，能与线段重合．2．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若四边形ABFD的周长为22cm，则△ABC的周长为cm．3．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为800m，且桥宽忽略不计，则小桥的总长为m．4．把直角梯形ABCD沿BA方向平移得到梯形A′B′C′D′，CD与B′C′相交于点E，BC＝20cm，EC ＝5cm，EC′＝4cm，猜想图中阴影部分的面积与哪个四边形的面积相等，并求出阴影部分的面积．5．如图，△ABC，△CEF都是由△BDE平移得到的图形．A、C、F三点在同一条直线上．已知∠D＝70°，∠BED＝45°．（1）BE＝AF成立吗？请说明你的理由；（2）求∠ECF的度数．6．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向平移5个单位，得到长方形A n B n∁n D n（n＞2）．（1）求AB1＝，AB2＝．（2）若AB n的长为56，求n＝．平移的坐标变换沿x（y）轴方向平移的坐标变化1．在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),将点A向右平移3个单位长度后得到A′,则点A′的坐标是( )A.(−2,2)B.(1,5)C.(1,−1)D.(4,2)2．在平面直角坐标系中,将点P(3,6)向下平移8个单位后,得到的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．将三角形各顶点的纵坐标分别加3，横坐标不变，连接三点所成的新三角形图形（）A. 向左平移3个单位得到B. 向右平移3个单位得到C. 向下平移3个单位得到D. 向上平移3个单位得到4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．综合平移与坐标变化5．如图,已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,将△ABC先向下平移5个单位,再向左平移2个单位,则平移后C点的坐标是( )A. (5,−2)B. (1,−2)C. (2,−1)D. (2,−2)6．在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的▱ABCD,点A的坐标是(0,2).现将这张胶片平移,使点A落在点A′(5,−1)处,则此平移可以是( )A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位7．线段CD是由线段AB平移得到的。
2022-2023学年北师大版数学八年级下册 期末模拟检测卷(无答案)
数学八年级下册 期末模拟检测卷一、单选题(共10题；共30分)1．在式子中，分式的个数有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．多项式 因式分解为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若a ＜b ，则下面可能错误的变形是（ ）A ．6a ＜6bB ．a+3＜b+4C ．ac+3＜bc+3D ．﹣ >- 4．由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形的是（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，5．如图，△ABC 中，AC=BC ，点D，E ，F 分别在边AC ，AB ，BC 上，且满足AD=BE ，AE=BF ，∠DEF=40°，则∠C 的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．120°D ．140°6．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）A ．1，2，B ． ，2，C ．3，4，5D ．6，8，127．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）31203510,,,,,9π4678y ab c x y x a x y+++32242x x x -+()221x x -()221x x +()221x x -()221x x +2a 2b 2a =4b =5c =a =b =c =3a =4b =5c =5a =13b =14c =3252A ．6B ．7C ．8D ．98．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．与a 和b 的大小无关9．若 的值为 ,则 的值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，六边形ABCDEF 的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE ，则下列结论成立的个数是（ ）①AB ∥DE ；②EF ∥AD ∥BC ；③AF=CD ；④四边形ACDF 是平行四边形；⑤六边形ABCDEF 既是中心对称图形，又是轴对称图形．A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题(共5题；共15分)11．把多项式 分解因式的结果为 .2a b +21237y y ++1821469y y +-12-117-17-1724x -12． 的解集是 13．如果分式的值为零，那么则x 的值是 ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF ，若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于 ．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，BC ＝8，点 D 是 BC 边的中点，点 E 是边 AC 上一点，过点D 作 ED 的垂线交边 AC 于点 F ，若 AC ＝7CF ，且 DE 恰好平分△ABC 的周长，则△ABC 的面积为 .三、计算题(共1题；共10分)16．（1）解方程： ；（2）解不等式组： 四、解答题(共6题；共65分)17．（6分）如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和边AB 上的高，如果BD ＝CE ．试证明：AB ＝AC ．2335122x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩242x x -+21133x x x-=---212143x x x -≤⎧⎪-⎨<⎪⎩18．（8分）已知实数a ，b ，c 满足 ， ，求 的值.19．（10分）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？20．（10分）如图，∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2，△A ′OB ′可以看作是由△AOB 绕点O 逆时针旋转60°得到的，求点A ′与点B的距离0a b c ++=2221a b c ++=()555a b c abc ++÷21．（15分）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元．（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？22．（16分）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.710（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.②若AC⊥BD，求证：AD=CD.（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.。
北师大版八年级下册第六章：平行四边形专题三【三角形中位线】知识点总结经典例题变式训练(无答案)
第六章 平行四边形三角形的中位线例1：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点.求PQ:BE 的值。
例2：如图，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，假设CF ⊥AD 交AD的延长线于F.求证：MF1ACAB 。
2例3：如图3，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 交AC 的延长线于．且 CE1 ACB=2B 。
ECD.求证：∠2∠例4：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F。
求证：BE1BD。
2挑战自我，勇攀高分稳固根底练1.△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE的周长等于()在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么△PDE面积是△ABC'面积的()A.1B.1C.1D.1 23483.如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，那么EF与AB+CD的关系是()A.2EFAB CDB.2EFABCDC.2EFABCDD.不确定D CE F A B4.如图，∥，、F 分别是、的中点，且,，那么的长为。
AB CDE BC AD AB=aCD=b EF如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，假设∠DAC=200，∠ACB=600，那么∠FEG=。
如图，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为。
7.三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长。
8.如图，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD。
(北师大版)初中英语八年级下册 Unit 1单元测试(一)附答案
Unit 1 Technology and the Future 单元测试听力部分（共20分）一、听长对话及后面的问题，根据对话内容选择每个问题的最佳答案，对话和问题读两遍。
（共5分，每小题1分）1. A. He has a cold. B. He has a fever. C. He has a headache.2. A. Playing computer games. B. Sleeping all day. C. Dreaming all night.3. A. Keeping warm. B. Having a warm bath. C. Drinking more water.4. A. Half an hour a day. B. Three times a day. C. Once a day.5. A. Relax a little. B. Take more pills once. C. Go to bed early.二、听短对话和问题，选择符合每个问题的正确答案，每段对话和问题读两遍。
（共5分，每小题1分）6. A. Football. B. Table tennis. C. Basketball.7. A. Cakes. B. Fish. C. Vegetables.8. A. Cook. B. Teacher. C. Doctor.9. A. Goldfish. B. Elephant. C. Tortoise.10. A. No photos. B. No smoking. C. No parking.三、听下面的短文，短文后有5个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，短文读两遍。
（共5分，每小题1分）11. The speaker first came to ________ in the story.A. EnglandB. the U.S.A.C. Australia12. How many days did the speaker go to the language school per week？A. Five.B. Six.C. Seven.13. When did the speaker ask Kate a question？A. After school.B. In an English class.C. During the break.14. What did the speaker think after Kate said those words？A. Kate was really helpful.B. Kate wanted to eat a cake.C. America was really a country where you had to pay for everything.15. Why did Kate look at the speaker with a big smile？A. Because the speaker was funny.B. Because the speaker mistook her.C. Because Kate was very friendly to her.四、听一段电话留言，根据其内容完成下面的信息卡，每空一词，电话留言读两遍。
北师大版数学八年级上册 三角形解答题单元测试题(Word版 含解析)
北师大版数学八年级上册三角形解答题单元测试题（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题：（1）图中共有三角形个．（2）若 BD，CE 为△ABC 的角平分线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．（3）若 BD，CE 为△ABC 的高线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．【答案】（1）图中共有三角形 8 个；（2）(90+12x ) ；（3）(180－x).【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知∠ABC=180-2x，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知∠CDB=∠BEC=90º，再次利用三角形内角和定理可以求答案【详解】解：（1）图中共有三角形 8 个；（2）∠BHC=(90+ 12x )度．∵BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，∴∠BHC=180º－∠HBC－∠HCB=180º－12(∠ABC+∠ACB)= (90+12x )度．（3）∠BHC=(180－x)度，∵BD，CE 为△ABC 的高线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90º，∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC∴180°－∠A+180°－∠BHC=180°∴∠BHC=(180－x)度【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和定理2．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).(1)求△BCD的面积；(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；【解析】【分析】（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），∴CD=3，且CD//x轴∴△BCD面积=12×3×2=3；（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ（2）∠CPQ ＝∠CQP ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACO ＋∠BCO ＝90°，又∠ACO ＋∠OAC ＝90°∴∠OAC ＝∠BCO ，又BQ 平分∠CBA ，∴∠ABQ ＝∠CBQ ，∵∠CQP ＝∠OAC ＋∠ABQ∠CPQ ＝∠CBQ ＋∠BCO ，∴∠CQP ＝∠CPQ【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.3．（1）在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ∆的周长为______.（2）如图①，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ∆=2cm ，则AEF S ∆等于______2cm .① ② （3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______.【答案】（1）36（2）2（3）16【解析】【分析】(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，从而得14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+，14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案.【详解】 (1)111222ABC S BC AD AC BE AB CF ∆=⋅=⋅=⋅， ∴BC AD AC BE AB CF ⋅=⋅=⋅，即16346AC AB ⨯=⋅=⋅，∴12AC =，8AB =，∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ， 则12ABC S BC h ∆=⋅， ∵E 为BD 中点，∴12ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =， ∴111222EF BD DC BC =+=， ∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ∆∆=⋅=⋅⋅==； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ∆=， ∴14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====， ∴14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+， ∴134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-， 解得112x =， 又14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+， ∴141344y y y y +=--，得112y =， 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．4．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.5．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140【解析】【分析】（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．【详解】(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，又∵∠BDC＝∠A＋∠B，∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.(2)180；180；180(3)140【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．6．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；②若m=50°，求x+y的值．（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.【解析】分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．详解：（1）①如图1，∵PD∥BC，PE∥AC，∴四边形DPEC为平行四边形，∴∠DPE=∠C，∵∠DPE=m，∠C=n=90°，∴m=90°；②∵∠ADP=x，∠PEB=y，∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，∴x+y=140°；（2）分五种情况：①y﹣x=m+n，如图2，理由是：∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，∵x+m+∠DFP=180°，∴x+m+n+180°﹣y=180°，∴y﹣x=m+n；②x﹣y=m﹣n，如图3，理由是：同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；③x+y=m+n，如图4，理由是：由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；④x﹣y=m+n，如图5，理由是：同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，∴x﹣y=m+n；⑤y﹣x=m﹣n，如图6，理由是：同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，∴y﹣x=m﹣n．点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.7．已知，在ABC 中，∠A =60°，（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ；（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则2_________BO C ∠=；（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=︒n BO C ，求n 的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ；（4）n=4 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋12∠ACB =12（∠ABC ＋∠ACB ） =60°∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120°故答案为：120°．（2）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋23∠ACB =23（∠ABC ＋∠ACB ） =80°∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100°故答案为：100°．（3）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1n n -∠ACB =1n n-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-⎛⎫ ⎪⎝⎭n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n 故答案为：60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n ∴6012090+=n n解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．8．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为【答案】见解析.【解析】【分析】试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C；（2）△ABC沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A．试题解析：解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C，理由如下：在△ADE中，∠1+∠2 = 180°- ∠A在△ABC中，∠B+∠C = 180°- ∠A∴∠1+∠2 = ∠B+∠C（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．【详解】请在此输入详解！9．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.【详解】解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D．【点睛】考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.10．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得∠P的度数；（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.。
2019-2020年北师大版八年级下册第一章直角三角形专题练习精选汇编(无答案)
第一章三角形的证明直角三角形(1)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB＝( )A．50° B．45° C．40° D．25°例11.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为( )A．140° B．160° C．170° D．150°第1题【例2】已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( ) A．只有② B．①② C．①③ D．②③2.如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC边上的中线AD＝4 cm，则∠ADC的度数是度．【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．第2题3.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.求证：CD⊥AB.【例4】下列说法中，正确的是( )A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题也是真命题C．任何一个定理都有逆定理 D．任何一个定理都没有逆定理4.以下命题的逆命题属于假命题的是( )A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形两锐角互余第6题5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数是( )A．66° B．36° C．56 D．46°6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则图中相等的锐角的对数有( )A．4对 B．3对 C．2对 D．1对7．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是( )A．35° B．55° C．60° D．70°第7题8．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4.则AD为( )A．48 B．24 C．10 D．129．若△ABC中，a＝b＝5，c＝5 2，则△ABC为三角形．10．直角三角形三边长为6,8,10，则它斜边上的高为 . 第8题11．命题“如果ab＝0，那么a＝0，b＝0”的逆命题是12．如图，在△ABC中，AD＝BD，AD⊥BC于点D，∠C＝55°，求∠BAC的度数．13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点F，试说明AE＝AF.14．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，CD＝13.(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．直角三角形(2)【例1】下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( )A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等1.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等 C．一条边和一锐角对应相等 D．一条边和一个角对应相等【例2】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.求证：△OAB是等腰三角形．2.如图，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别为D和B，AB＝AD.求证：CD＝CB.【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且DE⊥AB于点E，CD＝ED.求证：AD是∠BAC的角平分线．3.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC上一点，AB＝AD.求证：EB＝ED.4．要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是( )A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′5．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件合适的是( )A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD6．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( ) A．40° B．50° C．60° D．75°7．如图，AB＝CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE＝BF，∠D＝60°，则∠A＝°.8．如图，BE，CF为△ABC的高，且BE＝CF，BE，CF交于点H，若BC＝10，FC＝8，则EC＝ .9．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于点O，则有△≌△，其判定依据是，还有△≌△，其判定依据是 .第5题第6题第7题第8题第9题10．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.11．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若B，C在DE的同侧(如图1)且AD＝CE.求证：AB⊥AC；(2)若B，C在DE的两侧(如图2)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。
北师大版中考数学第三轮复习 解直角三角形实际应用专项训练(word 无答案)
第三轮复习解直角三角形的实际应用1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．2.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．3.新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm 的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）4.阅读材料：关于三角函数有如下的公式：cos（a+β）＝cos a cosβ﹣sin a sinβ；cos（a﹣β）＝cos a cosβ+sin a sinβtan（a+β）＝；tan（α﹣β）＝．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝﹣2＝．根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：cos15°；（2）如图1，小明想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小明站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小明的眼睛离地面的距离DC为1.7米，请帮助小明求出铁塔的高度．解直角三角形的实际应用1．如图，小莉的家在锦江河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测量大厦的高度，小莉在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知电梯公寓高82米，请你帮助小莉计算出大厦的高度BC及大厦与电梯公寓间的距离AC．2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m处的C点，测得旗杆顶端B 的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB＝2米，若梯子底端C的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是多少米？（结果保留根号）4.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝36°，求长方形卡片的周长.（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）5.某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一辆货车从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设货车的噪声污染半径为130m，则教室A是否在货车的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受噪声污染的时间有几秒？（参考数据：sin 53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）。
北师大版八年级数学下册 每日一练(pdf版,无答案)
1、在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ． 求证：BP DQ =．2．（江苏连云港）在矩形ABCD 中，将点A 翻折到对角线BD 上的点M 处，折痕BE 交AD 于点E ．将点C 翻折到对角线BD 上的点N 处，折痕DF 交BC 于点F ． （1）求证：四边形BFDE 为平行四边形；（2）若四边形BFDE 为菱形，且AB ＝2，求BC 的长．3.（湖北襄樊）如图11所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？4、（湖北咸宁）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．AQ DEBP CODADFCEGBCADA 'C 'D '5． 如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于F ．若AB=2，DP ：PB=1：2，且PA ⊥BF ，则对角线BD 的长为________．6．平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，∠FBM=∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 秒时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．7、如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=AD n1（n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点F ，G. FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG ． （1）试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；（4分） （2）当AB=a （a 为常数），n=3时，求FG 的长；（3分） （3）记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当301721=s s 时，求n 的值．可以直接写出答案。
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1.2直角三角形巩固练习
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是（）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
BADBCDABCBBADBCD的理由是（）≌△＝90°，＝．如图，∠2，可以证明△＝∠
AASASASASHL DC．A．．B．
BDCDABCACBAAB＝（是高，∠）＝30°，＝8，则3．如图，在△中，∠°，＝90
6
．C3 ．4 D2 A．B．BAB）4．直角三角形的一个锐角∠是另一个锐角∠3的倍，那么∠的度
数是（
°．67.5C°．22.5A．°B45 ．°D135BOCAOD）的大小为（°，则∠20＝．将一副直角三角尺如图放置，若∠
5．
°D．150C．170°160A．140°B．°
）∠6．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+2的度数是
（
°．12090°D6030°B．°C．A．ACMNBCACBABMMABCCM于点交∥于点平分∠作△7．如图，在Rt，过点中，交BCAMCANNMN）平分∠的长为（，若＝1，且，则
8
．．4 B．6 CDA．ABCDADBBCABCDAC，则四边形1，2＝∠＝90°，∠＝＝60°，8．如图，
四边形中，∠＝）的面积是
（
4
．3 B．CD．A ．二、填空题DADCBABC°，请你添加一个条件（不添加字＝∠90．如图，在Rt△与Rt△中，已知∠＝9DCBABC．，你添加的条件是△Rt≌△Rt母和辅助线），使
CDPABPPACBDAPCP（不能添加⊥于点≌△，，请增加一个条件，使△＝．如图，已知10 ．辅助线），你增加的条件是
ABCDABCADCEACBE，为对角线＝∠90＝11．如图，在四边形°，中，∠的中点，连接
EDBDBADEBD的度数为，度．．若∠°，则∠＝58
ABCEABABCE＝，则10 ．如图，在12Rt△中，．是斜边的中点，若＝
三、解答题
ADABBCDE垂直的中点，13．如图是屋架设计图的一部分，其中∠＝30°，点是斜梁、ACABcmBCDE要多长？8于横梁，＝，则立柱，
ABCCAABABDAC，交30．如图，在△的垂直平分线交中，∠°，边＝90°，∠于点＝14E．于点AECE．2求证：＝
ABCCADEAC．°，30 ＝90°，∠垂直平分线段＝15．如图，△中，∠BCE是等边三角形．（1）求证：△BCDE的长．3，求（2）若＝
ABCBABCBABMNACD，的垂直平分线中，于点＝交，∠＝120°，线段16．如图，在△ADcm．求：8且＝ADG的度数；（1）∠DC的长度．2）线段
（
ABCBACADBCEDBCDBA延边上的中线，⊥，交于°，△．如图，在17Rt中，∠＝90是EEBDA 的度数．°，求∠35＝，若∠长线于
点．
ABCDCADDBEABDEBC．∥．如图，四边形为中，∠°，＝90的中点，⊥，点18BDABC；平分∠（1）求证：
ECDCECA的长．，若∠＝＝30°，）连接（2，求
ABCACBMABAMANCAN∠°，，∠是斜边的中点，+＝90Rt19．如图，在△中，∠＝N MNAC．°．求证：＝180＝。