河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考数学(文)试题 Word版含答案

数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|x 320A x x =-+=，集合{}|log 42x B x ==，则A B = （ ）A ．{}2,1,2-B ．{}2,2-C ．{}1,2D ．{}22.若复数z 满足()112i z i =-+ ，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i - B ．12i C ．12- D ．123.下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．29B ．31C ．33D ．365.若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +的取最小值时y 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．56.若,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-7D ．77.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n-前5项的和C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和8. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()1152392102a a a b b b b ++=++（ ） A ．1941 B ．1737C ．715D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知38733,9a a a s ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求1nn T a +的最大值． 18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n = ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0//,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE a =，点M 在线段EF ．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论． 20.（本小题满分12分） 已知函数()()f x x aea R π=+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0,1x a <≤时，证明：()()21x a x f x '++>．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥ 恒成立，求m n +的最小值．参考答案一、选择题二、填空题13. a b < 14．0 15．2 16．172,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意知()()()1111243632392a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得103d a =⎧⎨=⎩（舍去）或112d a =⎧⎨=⎩，∴()2111n a n n =+-⨯=+．．．．．．．．．．4分（2）∵()()111111212n n a a n n n n +==-++++，∴12231111n n n T a a a a a a -=+++当且仅当4n n=，即2n =时“=”成立， 即当2n =时，1nn T a +取得最大值116．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（1）()2111cos cos cos sin 44422222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭ ，由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=， 所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则22,33A C A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（1）证明：在梯形ABCD 中，∵0//,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=， 四边形ABCD 是等腰梯形，且0030,120DCA DAC DCB ∠=∠=∠=，∴090ACB DCB DCA ∠=∠-∠=，∴AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ， ∴BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当EM =时，//AM 平面BDF ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分在梯形ABCD 中，设AC BD N = ，连接FN ，则:1:2CN NA =，∵EM =，而EF AC ==，∴:1:2EM MF =，∴//MF AN ，∴四边形ANFM 是平行四边形，∴//AM NF 又∵NF ⊂平面,BDF AM ⊄平面BDF ，∴//AM 平面BDF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由()xf x x ae =+可得()1xf x ae '=+．当0a ≥时，()0f x '>，则函数()f x 在(),-∞+∞上为增函数， 当0a <时，()0f x '>可得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，由()0f x '<可得1ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭；则函数()f x 在1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为增函数，在1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证明：令()()()21F x x a x xf x '=++-，则()()()()221x xF x x a x xf x x ax axe x x a ae '=++-=+-=+-，令()x H x x a ae =+-，则()1x H x ae '=-，∵0x <，∴01x e <<，又1a ≤，∴110x xae e -≥->，∴()H x 在(),0-∞上为增函数，则()()00H x H <=，即0xx a ae +-<，由0x <可得()()0xF x x x a ae =+->，所以()()21x a x xf x '++>．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）∵()()()322ln g x a a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()11g a '=-，．．．．．．．．2分 又()11g =，∴121110a --==--，得2a =．．．．．．．．．．．．．4分 由()22320x g x x x-'=---<，得02x <<， ∴函数()g x 单调减区间为()0,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'=-=--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 则()()221220x m x x x x--'=-+=<， 故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞． 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在ABD ∆中，则AB ADBM DM=，因此AB MD AD BM = ；．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由CP MD CB BM = ，可知CP BM CB MD =，又由（1）可知BM ABMD AD=， 则CP ABCB AD=，由题意BAD PCB ∠=∠，可得BAD PCB ∆∆ ， 则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠， 又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠，即AB AC =．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-．则m =-l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立， 得2220t t --=，则122FA FB t t == ．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C上的定点(),2sin P θθ， 则以P为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．解：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ≥ ，根据基本不等式33log log 2m n +≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号， 所以m n +的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。