高考数学 考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
高考数学复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
136定积分概念与微积分定理--知识点总结
《定积分的概念与微积分基本定理》知识点总结一.定积分的概念: ㈠定积分的背景:1.求曲边梯形的面积:区别“曲边梯形”与“直边梯形”:前者有一边是曲线段;后者所有的边都是直线段。
采用“分割,近似代替,求和,取极限”的步骤和办法,求出其面积。
2.求变速直线运动的路程:3.连续函数的概念:一般地,若函数)(x f y =在某个区间I 上的图象是一条连续 不断的曲线,则称它是区间I 上的连续函数。
㈡定积分的概念:若函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区 间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作 和式1()nn ii I f x ξ==∆∑()∑=-=ni if nab 1.ξ(其中x ∆为小区间长度), 当n →∞即0x ∆→时,和式n I 无限接近于某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区 间[,]a b 上的定积分,记作⎰bax d x f )(即=⎰bax d x f )(1lim ()ni n i f x ξ→∞=∆∑()∑=∞→-=ni i n f n ab 1.lim ξ这里,a 与b 分别叫做积 分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()f x dx 叫做被积式。
㈢定积分的几何意义:若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且恒有0)(≥x f 时,定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是:它表示由直线0,,===y b x a x 和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
㈣定积分的性质: ①⎰⎰=ba badx x f k dxx kf )()(（k 为常数）;②⎰⎰⎰±=±ba ba ba dx x g dxx f dx x g x f )()()()(;③⎰⎰⎰+=ba ca bc dx x f dxx f dxx f )()()((其中a c b <<)㈤难点及疑惑点:1.定积分与曲边梯形的面积的关系:定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来:设阴影部分面积为S .(1)S ＝ʃb a f (x )d x ; (2)S ＝－ʃba f (x )d x ；(3)S ＝ʃc a f (x )d x －ʃb c f (x )d x ; (4)S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .2.定积分ʃb a f (x )d x 的实质:(1)当f (x )在区间[a ，b ]上大于0时，ʃb a f (x )d x 表示由直线0,,===y b x a x和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理 含解析
高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理 含解析【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i ＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx ＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作f(x)dx ，即f(x)dx ＝f(ξi).1n i =∑1n i =∑lim n →∞1n i =∑在f(x)dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x) ，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)(cos x＋1)dx＝________.(2)|x2－2x|dx＝________.(3)(2x＋)dx＝________.[答案] (1) π(2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π.(2)|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝＋4＋4－＝8.(3)dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，∴dx＝.又∵ 2xdx＝x2＝1，∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝1＋.。
高三定积分知识点总结
高三定积分知识点总结高三阶段，定积分是数学学科中重要的一部分，掌握定积分的知识点对学生来说至关重要。
在这篇文章中，我将对高三阶段定积分的知识点进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地复习和掌握这一部分内容。
一、定积分的概念定积分是微积分的重要概念之一，它可以理解为曲线与坐标轴之间的有界区域的面积。
定积分的基本概念包括定积分的上下限、积分区间的分割以及极限等。
二、定积分的计算方法1. 函数的原函数在计算定积分的过程中，首先需要找到被积函数的原函数，也就是导函数。
通过求导反过来求解原函数，即可得到被积函数的原函数。
2. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法包括积分的线性性质、定积分的区间可加性、换元积分法等。
这些方法能够简化定积分的计算过程，使得计算更加方便快捷。
3. 特殊函数的定积分计算对于一些特殊函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，需要掌握相应的定积分计算公式和技巧，以便能够快速准确地计算出定积分的结果。
三、定积分的应用1. 几何应用定积分在几何中有着广泛的应用。
通过定积分，可以计算曲线和坐标轴之间的面积、曲线的弧长以及曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理应用定积分在物理学中也有着重要的应用。
例如，通过定积分可以计算物体的质量、质心位置、重心位置以及力学和流体力学中的有关问题。
3. 经济和金融应用定积分在经济学和金融学中也有广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算收益曲线下的总收益、消费曲线下的总消费等经济和金融问题。
四、定积分的性质1. 积分的性质定积分具有线性性质、区间可加性、保号性等性质。
这些性质在定积分的计算过程中起到了重要的作用，可以帮助我们更好地理解和运用定积分。
2. 无穷定积分无穷定积分是定积分的一种特殊形式，其中上下限存在无穷大的情况。
掌握无穷定积分的计算方法和性质，可以更好地解决一些复杂的数学问题。
五、定积分的应用举例在高三阶段，定积分的应用举例如下：1. 计算曲线下的面积，如椭圆的面积、抛物线的面积等；2. 计算曲线的弧长，如圆的弧长、正弦曲线的弧长等；3. 计算平面图形的重心位置和质心位置，如矩形的质心位置、三角形的重心位置等；4. 计算物体的质量和质量分布情况，如线密度、面密度和体密度的计算等。
2013年高考真题分类汇编：考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 Word版含解析
考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题1.（2013·湖北高考理科·Ｔ7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7―3t+t125+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止。
在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A.1+25㏑5 B.8+25㏑311C.4+25㏑5 D4+50㏑2 【解题指南】先求行驶至停止时所用时间.再求积分. 【解析】选C. 25731t t-++=0，解得t ＝4或t ＝38-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为 4025(73t )dt 1t-++⎰=＝5ln 254+.2. （2013·江西高考理科·Ｔ6）若 2211s x dx =⎰，2211s dx x=⎰,2x 31s e dx =⎰则s 1,s 2,s 3的大小关系为( ) A. s 1＜s 2＜s 3B.s 2＜s 1＜s 3C.s 2＜s 3＜s 1D. s 3＜s 2＜s 1【解题指南】根据微积分基本定理，分别求出123s ,s ,s 的值，进行比较即可. 【解析】选B.因为 s 132331117x |(21)3333==-=<；s 221ln x |ln 2ln1ln 21==-=<；s 3x 221e |e e 3==->.所以s 2＜s 1＜s 3.二、填空题3. （2013·湖南高考理科·Ｔ12）若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 . 【解题指南】本题结合公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()(，其中)()(x f x F ='，来计算积分上限值.【解析】3,931|)31(30302====⎰T T x dx x T T所以 【答案】34.（2013·福建高考理科·Ｔ15）当1,<∈x R x 时，有如下表达式： x x x x n -=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112两边同时积分得： ⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++210210212210210111dx xdx x dx x xdx dx n，从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n nn n n n C n C C C【解题指南】依托新情境材料，考查考生阅读理解、提取相关信息的能力，考查考生的学习潜能；【解析】()nn n n n n x C x C C x +++=+ (110)两边同时积分得()0.50.50.50.50101...nn nn nn x dx C dx C xdx C x dx +=+++⎰⎰⎰⎰ 01112113(1)[()1]112左边++=+=-++n n x n n ， 右边2n 10111111...222n 12nnn n C C C +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯++⨯⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】113[()1]12n n +-+。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
高考定积分知识点总结
高考定积分知识点总结定积分是高等数学中的重要内容之一，也是高考数学考试中常见的题型。
本文将对高考中常见的定积分知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地准备考试。
一、定积分的基本概念定积分是对一个区间上的函数进行求和的过程。
区间可以是有限区间，也可以是无限区间。
定积分的计算可以看作是曲线下的面积，也可以理解为函数的反导数。
二、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和性质分析中起到了重要作用。
三、定积分的计算方法在高考中，求定积分通常通过几种基本的计算方法来完成，包括换元法、分部积分法、定积分的性质等。
不同的计算方法适用于不同的函数和题目类型，需要根据具体情况选择合适的方法。
四、定积分的应用定积分在数学中有广泛的应用。
在高考中，常见的应用包括计算面积、求曲线的弧长、求平均值等。
理解和掌握这些应用可以帮助我们更好地解决与定积分相关的题目。
五、典型题目解析以下是一些高考中常见的定积分题目及其解析，供同学们参考和练习：例题一：计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3/3] (0 to 1) = 1/3例题二：计算不定积分∫(2 to 5) (2x+1) dx解析：根据定积分的计算公式，我们有∫(2 to 5) (2x+1) dx = [x^2+x] (2 to 5) = (5^2+5) - (2^2+2) = 24例题三：求函数f(x)=2x在区间[0，3]上的平均值。
解析：函数的平均值可以通过定积分来计算，平均值=1/(b-a) * ∫(a to b) f(x) dx = 1/(3-0) * ∫(0 to 3) 2x d x = 1/3 * [x^2] (0 to 3) = 1/3 * (3^2-0^2) = 3通过以上例题解析，我们可以看到定积分的计算方法和应用的具体过程，希望同学们通过练习更加熟练掌握这些知识点。
【推荐下载】高考数学总复习定积分和微积分基本定理知识梳理
区间 [ a, b] 上的定积分
. 记作
b
f ( x)dx ，即
a
b a
f (x)dx ＝ lim n
nb a f(
i1 n
i ) ，这里，
a 与 b 分别叫做积分
下限与积分上限，区间 [ a, b] 叫做积分区间，函数 f (x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量， f (x)dx 叫做被
积式 .
x b (a b) ，那么变力 F (x) 所作的功 W
【典型例题】 类型一：运用微积分定理求定积分 例 1. 运用微积分定理求定积分
b
F ( x) dx .
a
（ 1） (sin x cosx)dx ； 0
2
21
（ 2） (x x
)dx ；
1
x
【解析】（ 1）∵ ( cos x sin x) sin x cos x ，
f ( x) dx 2 f (x)dx .
b
0
要点三、微积分基本定理
b
如果 F '( x) f ( x) ，且 f ( x) 在 a,b 上连续， 则 f ( x) dx a
F (b)
F (a) , 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一
个原函数 . 由于 F (x) c ' f ( x), F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数 .
xi 1 xi
xn b 将
区 间 [a ,b ]等 分 成 n 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 [ xi 1, xi ] 上 任 取 一 点 i (i 1,2, , n) ， 作 和 式
In
n
f ( i) x
nb
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考点12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
一、选择题
1.（2012·湖北高考理科·Ｔ3）已知二次函数y =f(x)的图象如图所示 ，则它与X 轴所围图形的面积为（ ）
A.25π
B.43
C.32
D.2π
【解题指南】解答本题可先求出函数表达式,再利用积分的性质求解.
【解析】选B. 由于: 2()1f x x =-,
123111114(1)()(1)(1)13333s x dx x x -∴=-=-=---+=-⎰.
2.（2012·福建高考理科·Ｔ6）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为
A.14
B. 15
C. 16
D. 1
7
【解题指南】本题考查微积分基本原理，定积分．同时考察学生正确运算微积分的能力，正确写出原函数，是解决本题的关键．
【解析】选
C .
322
101211)()302326
2x x S x dx '==-=-=⎰， 点P 恰好取自阴影部分的概率16S p S '=
=.
二、填空题
3.（2012·山东高考理科·Ｔ15）设0a >.
若曲线y =
,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =
【解题指南】
本题考查利用定积分求封闭图象的面积，求出y =
. 【解析】
求曲线y =,0x a y ==所围成封闭图形的面积， 即：223230032032a a a x dx x a =-==⎰，解得
94=a . 【答案】94
.
4.（2012·江西高考理科·Ｔ11）计算定积分()121sin x x dx -+⎰＝
【解题指南】利用微积分基本定理求得定积分的值.
【解析】()1
231112sin cos 133x x dx x x -⎛⎫+=-= ⎪-⎝⎭⎰. 【答案】2
3.
5.（2012·湖南高考理科·Ｔ15）函数f （x ）=sin ( )的导函数y=f(x)的比分图象如图4所示，其中，P 为图象与轴的交点，A,C 为图象与图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点.
（1）若，点P 的坐标为（0
，2），则 .
（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
.
【解题指南】本题考查三角函数的图象与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图象上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.
【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0
，2）时
cos 36π
ωω=∴=；
（2）由图知
222T AC π
πωω===，122ABC S AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC
与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2b
b
a a S f x dx f x a
b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ===. 【答案】3, p
4.。