普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷2 文

2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷2）数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式：S=24R π，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1．已知全集},2|{},2|{,N n n x x B N n x x A R U n ∈==∈===与集合，则正确表示集合B A 、关系的韦恩（Venn ）图是2．在复平面内，复数21i-对应的点到直线1y x =+的距离是A.B. 23．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题.B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∃，使得210x x +-≥.4. 若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为A ．3B ．3-C ．3±D ．33-5宽为2的 矩形，则它的外接球的表面积等于 A ．π16 B ．π12C ．π8D ．π46．已知实数,x y 满足153x y+≤，则2z x y =+的最小值是 A.10 B.3 C. 3- D.10- 7. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++， 则01211a a a a ++++的值为Ａ．2Ｂ．1Ｃ．2-Ｄ.1-328．从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图 所示的6个不同区域(用数字表示)中拼盘，每个区域只放一种，且 水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有A.2 880种B.2 160种C.1 440种D.720种 9．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，x x f x x f 32cos )(,32sin)(ππ==，,34tan )(x x f π=则可以 输出的函数是)(x f =A ．x x f 32sin )(π=B ．x x f 32cos )(π=C ．x x f 34tan )(π=D ．非上述函数 10.在空间中，下列四个命题①若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面②若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m③若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β ④若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥ 其中正确命题的个数是A ．3 B.2 C.1 D.011.过抛物线x y 42=的焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，则||||CD AB +的最小值是 A .58 B .16 C. 8 D . 712.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上恒成立的是A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x 0x 1)(x f ，则关于x 的不等式 0)1()()]1()([2≤-+-++x f x f x x f x f x 的解集为_______________.14．在ABC ∆中，,120,=∠=ABC AB BC 则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 .13．某大学艺术系表演专业的报考人数连创新高，报名刚结束，某考生想知道这次报考该 专业的人数。

已知该专业考生的考号是从0001，0002，…这样从小到大顺序依次排列的， 他随机了解了50个考生的考号，经计算，这50个考号的和是25025，估计2010年报考这 所大学艺术表演专业的考生大约为 人. 16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有 两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .456三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（I ）求ω的值；（II ）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC .18．（本小题满分12分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量。

例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数⨯0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数⨯0.785等。

东北育才中学高一某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查。

若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。

这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：（I ）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（II ）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列.如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E ξ.19．（本小题满分12分）如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线BD '上，60PDA ∠=︒． （Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小； （Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小．A B CD P A 'B 'C 'D '20．（本小题满分12分）已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(21)(2． （Ⅰ）若23=a ，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知两点(2,3)M ，(2,3)N -在椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线MN 两侧），且四边形MANB 面积的最大值为w（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若点N 到直线AM ，BM 距离的和为M AB ∆的形状．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝EF ．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为 )4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲学科网已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2. （Ⅰ）求整数m 的值;（Ⅱ）在（I ）的条件下，解不等式：m x x ≥-+-31.参考答案二、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.A2.D3. B4.B5.C6.D7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. }1{- 14. 213+ 15. 1000 16. 83a三、 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω． ……………4分而)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=πω22，解之，得1=ω． ………………………6分 （2）由（1）得)32sin()(π-=x x f ．若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解之，得4π=x 或127π=x ． ………………………8分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ∴6π=--π=B A C ． ……………10分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ………12分 18．解：（I ）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ，P(A)=100335454212151542121451512121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯……………4分 （II ）设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率258)511(221=-=a a p ，……6分 2周后低碳族的概率p =25172581=-， ……………………………………8分依题意ξ~B(25，2517)，所以E ξ=25⨯2517=17 ………………………………12分 19解：方法一：如图，以D 为原点，DA则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由><=⋅DH DA DH DA DH DA ,cos ||||cos DA DH DA DH DA DH =<>，可得2m =2m =，所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，． ………4分 （Ⅰ）因为0011cos 2DH CC +⨯'<>==，， 所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45． ………8分 （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． ………12分方法二：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标 系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，，)1,1,1('--=BD 设),,(z y x P 则'BD BP λ=，),,(),1,1(λλλ--=--∴z y x⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=∴λλλz y x 11，则),1,1(λλλ--=DP ，由已知，,<DA DP 0242=+-∴λλ，解得22-=λ，)22,12,12(---=∴ ………4分（Ⅰ）因为22)12(222,cos '=-->=<CC ， 所以45,'>=<CC ．即DP 与CC '所成的角为45． ………8分（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为21)12(212,cos =-->=<， 所以 60,>=<． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． ………12分方法三：用三面角（折叠角公式）求与DP DB 所成的角，再求DP 长或P 点坐标也可酌情给分.20. 解：（I ）()x x x x x x f 22522512+-=-+='，()0='x f ，得11=x ，或22=x ，列表：函数)(x f 在21=x 处取得极大值2ln 87)21(-=f ，函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………4分（II ）方法1：())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)310,2(1∈+x x ，………5分 （i ）当21≤+a ，即1≤a 时，()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………7分（ii ）当3101≥+a ，即37≥a 时，()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数()3,1∈∀x ，()()01=<f x f 恒成立，不合题意 …………9分（iii ）当31012<+<a ，即371<<a 时，()3,1∈x 时，()x f '先取负，再取，最后取正，函数)(x f 在()3,1先递减，再递增，而()01=f ，∴()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 不能恒成立； ……11分 综上，a 的取值范围是1≤a . …………12分方法2：∵2121=⋅≥+x x x x ，∴()a a xx x f -≥--+='111……6分 （i ）当1≤a 时，()01≥-≥'a x f ，而()a xx x f --+='11不恒为0，∴函数)(x f 是单调递增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立；………8分（ii ）当1>a 时，令()xx a x x f 1)1(2++-='，设01)1(2=++-x a x 两根是)(,2121x x x x <， ∵2121>+=+a x x ，121=x x ，∴2110x x <<<当∈x ),(21x x 时，()0<'x f ，()x f 是减函数，∴)()1()(21x f f x f <<，而()01=f ，∴)(0)(21x f x f << …………10分 若32≤x ，∵()3,1∈∀x ，()0>x f ，∴0)1()(2=>f x f ，不可能， 若32>x ，函数)(x f 在()3,1是减函数，()0)1(3=<f f ，也不可能，综上，a 的取值范围是1≤a . …………12分方法3：()()41,1)1(22-+=∆++-='a xx a x x f （i ）当0≤∆，即13≤≤-a 时，函数()x f y =在()3,1上为增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………6分 （ii ）当0>∆，即3-<a ，或1>a 时，①若3-<a ，∵()3,1∈x ，∴()01)1(2>++-='xx a x x f ()x f 在()3,1增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………8分②若1>a ，由()0='x f ，得()()024112>-+±+=a a x设()()()()411,4112221-+++=-+-+=a a x a a x ，列表：∵任意的，0>x f 恒成立，而01=f ，∴⎩⎨⎧≥>0)3(11f x ，或12<x ， …………10分()()()11411241122<⇒-<-+⇒>-+-+a a a a a 与1>a 矛盾，()()124112<-+++a a ，也与1>a 矛盾，以上两式都与1>a 矛盾，对任意的()3,1∈x ，()0>x f 不能恒成立，综上，a 的取值范围是1≤a . …………12分21.解：（I ）设直线l 的方程为12y x m =+()m R ∈并代入222222b x a y a b +=得:22222222()04a b x ma x a m a b +++-=设11(,)A x y ,22(,)B x y 1,21,2(,)x y R ∈则212224ma x x a b +=-+,422222221a b b a a m x x +-= ww ………2分 又1211||||||22MANB S MN x x MN =⋅-==444||21222222442ab m b a b a b a MN +-+ 显然当0m =时, MANB S =444||21222222442ab m b a b a b a MN +-+=…4分 由题意｜MN ｜=6 (2)222249b a a b += (3) 联立(1)、(2)、(3)解得：216a =，212b =即椭圆C 的方程为：2211612x y += （4） ………6分 （II ）设直线MA 、MB 的方程分别为1(2)3y k x =-+ （5） 2(2)3y k x =-+（1,2k R ∈）将（5）代入（4）得：222211111(1612)(9664)64192480k x k k x k k ++-+--=则211121641924821612k k x k --=+ ∴211121824643k k x k --=+ ………8分∴2211112211824612129(,)4343k k k k A k k ----+++ 同理：2222222222824612129(,)4343k k k k B k k ----+++ 2211222212122211221222121212912129434318246824624343ABk k k k y y k k k k k k k x x k k --+--+--++===------++ ………10分化简得：2212k k =12k k ≠ ∴12k k =-即直线MA 与MB 关于直线MN 对称 ∴AMN BMN ∠=∠∴N 到直线MA 与MB距离均为 又｜MN ｜=6 ∴AMN BMN ∠=∠4π=∴2AMB π∠=故M AB ∆直角三角形. …………12分 22.解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABACAC PC =∴， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………5分 （II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． …………10分23.解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴，02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， 即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………5分 （II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是 6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………10分 方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线，圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++， ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………10分24.解：（I ）1|2|≤-m x 由，得 2121+≤≤-m x m 不等式的整数解为2，21221+≤≤-∴m m 53≤≤⇒m 又不等式仅有一个整数解2，4=∴m 4分 （II ）即解不等式4|3||1|≥-+-x x ，.当1x ≤时，不等式1340x x x ⇔-+-≥⇒≤，不等式解集为}0|{≤x x 当13x <≤时，不等式为134x x x -+-≥⇒∈∅，不等式解为∅当3x >时，134x x -+-≥⇒4x ≥ ，不等式解集为}4|{≥x x综上，不等式解为(][),04,-∞⋃+∞ 10分。