自动控制原理20.ppt

在复平面上，点出各对应点的根点，把它 们连接起来，再用箭头表示它们的变化趋 向，就得到二阶系统的根轨迹图
k→∞
-4
-2
0
k→∞
有了根轨迹图，就可对系统的动态 性能进行分析：
1、当K=0→∞时，根轨迹均在[S]平面 的左半部，因此，系统对所有的K值都 是稳定的。
2、当0 <K< 4时，闭环特征根为实根。 系统呈过阻尼状态。
当 n > m 时，只有 m 条根轨迹趋向于零 点，还有 （ n – m ）条根轨迹趋向如何？
# 4 — 2 根轨迹的绘制
一、根轨迹的分支数
根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特 征方程的阶数 n ，也就是分支数与闭环极点 的数目相等。
这是因为 n 阶特征方程对应有 n 个特
征根，当开环增益 K = 0 →∞时，这 n 个特
征根随 K 变化，必然会出现 n 条根轨迹。
二、根轨迹对称于实轴
j 1
i 1
式中，若已知Zi，Pj，并给定 一个K*，必可得出方程的一组解
Sj（j=1、2…….n）
如果变动K*，则所有Sj都要发生 变化。令K*由0→∞变化，则n个特 征根都将连续变化，在根（复）平 面上各有一条变化轨迹，即有n条特 征根的轨迹，这些轨迹称为系统的 根轨迹。
根轨迹图示例（一） 如图所示的二阶系统，
则如果：1 (1 2 3) (2K 1)
(K 0,1,2,........)
成立，那么S1就是根轨迹上的点
例二、单位反馈系统的开环传递函数为
Gk
(s)
K S(2S
1)
问复平面上点 S1 是否为根轨迹上的点。
# 4 — 2 根轨迹的绘制
一、根轨迹的分支数 二、根轨迹对称于实轴 三、根轨迹的起点、终点 四、实轴上的根轨迹 五、根轨迹渐近线 六、根轨迹的起始角与终止角 七、分离点坐标 八、根轨迹与虚轴的交点 九、根之和 练习：
解：将上式改写为零极点形式
K *(S 1 )
Gk (s)
S(S
1
1 )(S
1
)
T1
T2
K* 1 K
T1T2
1
Z1
1
P1
0, P2
1 T1
, P3
1 T2
S1
3 1 2
1 T2
1
1
1
T1
1
0
1、在复平面上画出开环的零极点。一般用 X 表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点 0 、P1 、P2 ;用小圆圈 ° 表示开环零点的位置, 此系统有一个开环零点 Z1 2、在复平面上任取一点 S1 ，然后画出从各开环 零极点到 S1 点的各矢量。
自动控制原理
第四章
（根轨迹法）
# 4 — 1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹： 根轨迹法仍属于时域分析法，是
一种图解法，它可用于控制系统的分 析和设计。
所谓根轨迹是指当系统某个参数(如 开环增益或时间常数)由零到无穷大变化 时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。
反馈系统开环传递函数的一般形式：
今令 K = 0→∞ 范围内变化，利用解的公 式计算对应的特征根的值，通过连接这些 根点，就可以在复平面上得到根轨迹曲线。
K = 0 , S1 = 0 , S2 = – 4 K = 4 , S1 = S2 = – 2 K = 5 , S1 = – 2 + j , S2 = – 2 – j K = 8 , S1 = – 2 + 2j , S2 = – 2 – 2j K → ∞ 时 , S1 → – 2+j∞ , S2→ – 2 –j∞
3、K=4时，系统为临界阻尼状态。
4、K > 4时，闭环特征根为一对共轭复 根，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为衰 减振荡过程。
5、开环传递函数有一个位于坐标原 点的极点，所以系统为 I 型系统， 阶跃作用下的稳态误差为0。
二、根轨迹方程
绘制根轨迹实质上是寻找闭环特 征方程 1+ G(s) H(s)=0 的根
模值和相角方程为：
m
K * S Zi
i 1 n
1
S Pj
j 1
m
n
(S Zi ) (S Pj ) (2k 1)
i 1
j 1
式中： k 0,1,2.........
例一、设系统开环传递函数为
GK(s)=
——K(—τ1s—+1—) ——
S(T1S+1)(T2S+1)
如何应用根轨迹方程在 S 平面上找到 闭环极点？
R（s）
K
C（s）
S（S+4）
解：
Gk(S)= —S(—sK+—4)—
K*=K
开环极点：P1=0, P2= – 4 无开环零点 (S)= ——G—k(S—) = ——K——
1+Gk(S) S 2+4s+K
∴特征方程为：S2 +4S +K=0
特பைடு நூலகம்根：S1 2 4 k
S2 2 4 K
1 K*
j 1
根轨迹的起点，即 K* = 0 时的闭环极点， 当 K* = 0 时，上式右边为无穷大，而左边只有 当 S → Pj 时， 才为无穷大，所以 K = 0 时，根 轨迹分别从开环 n 个极点开始。即根轨迹起始 于开环极点。
根轨迹的终点，即 K* → ∞ 时的闭环极点。 上式可知当 K* → ∞ 时，右边为 0 ，而等式左 边只有当 S → Zi 时，才为 0 。所以 K → ∞ 时， 根轨迹终止于各零点。
因此满足方程式 G(s)H(s)= –1 的s 的值，都必定是根轨迹上的点， 故称上式为根轨迹方程。
利用开环传递函数的通式，即：
m
K *(S Zi)
G(s)H (s) Gk (s)
i 1 n
1
(S Pj )
j 1
G(S)H(s) = –1 为复变量，所以上式为 一矢量方程，可表示为模值方程和相角方 程。
m
K * (S Zi )
Gk (s)
i 1 n
(S Pj )
j 1
式中：Zi（i=1、2…..m）为开环传递函数零点 Pj（j=1、2…..n）为开环传递函数极点 K*为开环传递函数的根轨迹增益
系统的闭环特征方程：
1 Gk (s) 0
n
m
(S Pj ) K * (S Zi ) 0
闭环极点若为实数，则必位于实轴上， 若为复数，则一定是共轭成对出现，所 以根轨迹必对称于实轴。
三、根轨迹的起点、终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零 点，如果开环零点数 m 小于开环极点数 n ， 则有 （ n – m ）条根轨迹终止于无穷远处。
根据根轨迹方程：
m
i1 n
(S (S
Zi) Pj )