2014年高考语文文二轮专题复习与测试选修4-5不等式选讲练习卷J
不等式选讲(选修4-5)典型题及答案
不等式选讲 选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。
7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以， 解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤． 【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。
高考数学二轮复习第2部分专题7第2讲不等式选讲教案文选修4_5
第2讲 选修4－5 不等式选讲[做小题——激活思维]1．已知正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为________． [答案] 132．不等式|3x －1|≤2的解集为________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 3．若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集不是空集，则参数a 的取值范围是________．[答案] (1，＋∞) 4．已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ＋n c －a≥0恒成立，则n 的取值范围是________． [答案] (－∞，4]5．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． [答案] 63[扣要点——查缺补漏]1．|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．如T 2. (2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．不等式的证明 (1)绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.如T 3. (2)算术—几何平均不等式 如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．如T 1，T 4.(3)证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点．含绝对值不等式的解法(5年8考)[高考解读] 绝对值不等式的解法是每年高考的热点内容，主要为含两个绝对值的不等式的求解，难度适中.[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 切入点：将g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|的解析式化为分段函数的形式． 关键点：正确求出f (x )≥g (x )的解集，然后利用集合间的包含关系求解．[解] (1)法一：当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. 法二：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，2，－1≤x ＜1，－2x ，x ＜－1，当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，在同一平面直角坐标系中，画出g (x )与f (x )的图象如图，易求得A (－1,2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋172，－1＋17，所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172.(2)法一：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．法二：当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2，即－x 2＋ax ＋4≥2.当x ＝0时，－x 2＋ax ＋4≥2成立．当x ∈(0,1]时，－x 2＋ax ＋4≥2化为a ≥x －2x.而y ＝x －2x在(0,1]上单调递增，所以最大值为－1，所以a ≥－1.当x ∈[－1,0)时，－x 2＋ax ＋4≥2化为a ≤x －2x.而y ＝x －2x在[－1,0)上单调递增，所以最小值为1，所以a ≤1.综上，a 的取值范围为[－1,1]． [教师备选题]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5.|x －a |＋|x －b |≥c 或≤cc ，|x －a |－|x －b |≥c 或≤c c 型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.利用绝对值的几何意义解题由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c c 或|x －a |－|x －b |≥c c的不等式，用绝对值的几何意义求解更直观.1．(绝对值不等式的解法、恒成立问题)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)若不等式f (x )≤|a ＋1|恒成立，求a 的取值范围； (2)求不等式|f (x )－|x ＋2||>3的解集．[解] (1)f (x )＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3，由f (x )≤|a ＋1|恒成立得|a ＋1|≥3，即a ＋1≥3或a ＋1≤－3，得a ≥2或a ≤－4. ∴a 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞)．(2)不等式|f (x )－|x ＋2||＝||x －1|－2|x ＋2||>3等价于|x －1|－2|x ＋2|>3或|x －1|－2|x ＋2|<－3，令g (x )＝|x －1|－2|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≥1，－3x －3，－2≤x <1，x ＋5，x <－2，由x ＋5＝－3得x ＝－8， 由－3x －3＝－3得x ＝0， 作出g (x )的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为{x |x <－8或x >0}．2．(绝对值不等式的解法、有解问题)已知函数f (x )＝|a －3x |，若不等式f (x )＜2的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0.(1)解不等式f (x )≤|x －2|＋4；(2)若不等式f (x )＋3|2＋x |≤t －4有解，求实数t 的取值范围． [解] (1)f (x )＜2即|a －3x |＜2，解得a －23＜x ＜a ＋23，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －23＝－43，a ＋23＝0，得a ＝－2.∴f (x )≤|x －2|＋4可化为|3x ＋2|－|x －2|≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23，－x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧－23≤x ≤2，x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＋－x －，解得－4≤x ≤1，∴不等式f (x )≤|x －2|＋4的解集为{x |－4≤x ≤1}．(2)不等式f (x )＋3|2＋x |≤t －4等价于|3x ＋2|＋|3x ＋6|≤t －4. ∵|3x ＋2|＋|3x ＋6|≥|(3x ＋2)－(3x ＋6)|＝4， ∴由题意，知t －4≥4，解得t ≥8， 故实数t 的取值范围是[8，＋∞)．不等式的证明(5年5考)[高考解读] 不等式的证明也是高考考查的重点，主要考查作差法和基本不等式法的应用，难度适中，考查学生的逻辑推理核心素养.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 切入点：abc ＝1.关键点：①“1”的代换；②将(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3改编为3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )． [证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋caabc＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |. 切入点：M 为不等式f (x )<2的解集． 关键点：平方后作差比较．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．[解] (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.2．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明不等式的方法和技巧如果已知条件与待证明的结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出，或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法和证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式组求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.1．(利用基本不等式证明)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4.[解] (1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解； 当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥43或x ≤－23. (2)∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ， b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4. 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．2．(作差法和分析法证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |. 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab＋1|2>|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1>0，即证(a2－1)(b2－1)>0.因为a，b∈M，所以a2>1，b2>1.所以(a2－1)(b2－1)>0成立，所以原不等式成立．含绝对值不等式的恒成立问题(5年4考)[高考解读]与绝对值不等式有关的恒成立问题也是每年高考的热点，其实质还是考查绝对值不等式的解法，难度适中.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．切入点：去绝对值号．关键点：正确确立f(x)的值域．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；当x≥1时，f(x)≥0，所以，不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．[教师备选题](2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上成立，因此a ＋b 的最小值为5.解决含绝对值不等式的恒成立问题，用等价转化思想利用三角不等式求出最值进行转化；利用分类讨论思想，转化成求函数值域；数形结合转化.1．(2019·贵阳模拟)已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若x ∈R 时，不等式f (x )≤a ＋x 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x <－1，3x ，－1≤x ≤12，－x ＋2，x >12. 当x <－1时，由x －2>0得x >2，即解集为∅；当－1≤x ≤12时，由3x >0得x >0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x ≤12； 当x >12时，由－x ＋2>0得x <2，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. 综上所述，f (x )>0的解集为{x |0<x <2}．(2)不等式f (x )≤a ＋x 恒成立等价于f (x )－x ≤a 恒成立，则a ≥[f (x )－x ]max ，令g (x )＝f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x <－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x >12，则g (x )max ＝1， 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．[一题多解](2019·福州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋3a ，a ∈R . (1)若对于任意x ∈R ，总有f (x )＝f (4－x )成立，求a 的值； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，求a 的取值范围． [解] (1)法一：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ， 所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 又f (x )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a 2＋3a 的图象关于直线x ＝－a 2对称， 所以－a 2＝2，所以a ＝－4. 法二：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以|2x ＋a |＋3a ＝|2(4－x )＋a |＋3a ，所以|2x ＋a |＝|8－2x ＋a |，即2x ＋a ＝－(8－2x ＋a )或2x ＋a ＝8－2x ＋a (舍去)， 所以a ＝－4.(2)法一：存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，等价于存在x ∈R ， 使得|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ≤0成立，等价于(|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a )min ≤0.令g (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ，则g (x )min ＝|(2x ＋a )－(2x －1)|＋2a ＝|a ＋1|＋2a . 所以|a ＋1|＋2a ≤0.当a ≥－1时，a ＋1＋2a ≤0，a ≤－13，所以－1≤a ≤－13； 当a <－1时，－a －1＋2a ≤0，a ≤1，所以a <－1.综上，a ≤－13. 法二：由f (x )≤－|2x －1|＋a 得，|2x ＋a |＋|2x －1|≤－2a ， 而|2x ＋a |＋|2x －1|≥|a ＋1|，由题意知，只需满足|a ＋1|≤－2a ，即2a ≤a ＋1≤－2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋1，a ＋1≤－2a ，所以a ≤－13.。
2014高考数学(文)二轮专题复习与测试练习题：选修4-5不等式选讲(全国卷)含解析
选修4－5不等式选讲1．(2013·江苏卷)已知a≥b〉0,求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．（2013·福建卷）设不等式|x－2|<a（a∈N*）的解集为A，且错误!∈A，错误!∉A.（1)求a的值;（2)求函数f(x）＝｜x＋a｜＋｜x－2|的最小值．3．设函数f（x)＝|x－1｜＋|x－2|。
（1)画出函数y＝f(x）的图象；(2）若不等式|a＋b｜＋|a－b｜≥｜a|f（x）(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．4．(2013·昆明市调研测试）已知函数f(x)＝｜x＋3|＋|x－a|(a>0)．（1)当a＝4时，已知f（x）＝7，求x的取值范围；(2)若f(x）≥6的解集为{x｜x≤－4或x≥2}，求a的值．5．已知a，b为正实数．(1)求证：错误!＋错误!≥a＋b；(2)利用（1)的结论求函数y＝错误!＋错误!（0〈x〈1）的最小值．6．已知函数f(x)＝2错误!＋错误!.（1)求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；(2)若关于x的不等式f（x)≤｜m－2｜恒成立，求实数m的取值范围．7．（2013·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝|2x－1｜＋|2x＋a｜，g(x）＝x＋3。
(1)当a＝－2时，求不等式f（x）<g(x)的解集；(2)设a>－1时,且当x∈错误!时，f(x）≤g(x）,求a的取值范围．8．已知函数f(x）和g（x)的图象关于原点对称，且f（x)＝x2＋2x.（1）解关于x的不等式g(x）≥f(x)－|x－1｜；(2)如果对∀x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1｜恒成立，求实数c的取值范围．9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤错误!＋错误!＋xy;（2）1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c。
高中数学选修4-5《不等式选讲》练习题(含详解)
数学选修4-5 不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是（ )A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++， 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是( ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈,且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ )A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ )A ．2B ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ )A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>,则b a , a b , m a m b ++， nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________.4．设1010101111112212221A =++++++-,则A 与1的大小关系是_____________。
5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________.三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证:221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<+<数学选修4—5 不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2． 若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =，Q =R =，则,,P Q R 的大小顺序是（ )A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有( )A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥6．若,a b R +∈，且,a b M≠=, N =，则M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x =--的最大值是__________。
高中数学选修4-5不等式选讲同步测试(有解析)p
不 等 式 选 讲A 组1．若,a b 是任意的实数,且a b >,则( )(A)22b a > (B)1<a b (C) lg()0a b -> (D)b a )21()21(< 2．不等式32->x的解集是( ) (A ) )32,(--∞ (B) )32,(--∞),0(+∞ (C) )0,32(-),0(+∞ (D) )0,32(- 3．不等式125x x -++≥的解集为( )(A) (][)+∞-∞-,22, (B) (][)+∞-∞-,21, (C) (][)+∞-∞-,32, (D) (][)+∞-∞-,23,4．若0n >,则232n n +的最小值为 ( ) (A) 2(B) 4 (C) 6 (D) 8 5．若A=(3)(7)x x ++，B=(4)(6)x x ++，则A ，B 的大小关系为__________.6．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：1）()()()8a b b c c a abc +++>；2）a b c ++>7.．已知x ，y R ∈，求证222x y +≥2()2x y + 8．如图1，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？9．已知a ，b ，0c >，且不全相等，求证222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.10． 已知1a ，2a ，…，+∈R a n ，且121=n a a a ，求证n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++ .B 组11.已知x ，0>y ，且2>+y x .试证：y x +1，xy +1中至少有一个小于2.12.求函数x x y 21015-+-=的最大值.14. 已知12=+y x ，求22y x +的最小值.15. 已知10432=++z y x ，求222z y x ++的最小值.16. 已知a ，b ，c 是正数，求证2229a b b c c a a b c ++≥+++++.18. 设,,a b c R +∈,求证：32a b c b c c a a b ++≥+++.。
2014年高考全程复习构想高三4-5不等式选讲4-5-2
8．放缩法的常用技巧：(1)舍去一些正项或负项如 a2＋a 12 3 12 ＋1＝a＋2 ＋4＞a＋2 等；(2)在和或积中换大(或换小)某些 a a＋m 项；(3)扩大(或缩小)分式的分子或分母，如b＜ (a，b，m b＋m 1 1 1 2 ＋ ∈R 且 a＞b)，k2＜ ， ＜ 等；(4)绝对值不 kk－1 k k＋ k＋1 等式的性质，如|a＋b|≤|a|＋|b|等.
考点自测 1.设 t＝a＋2b， s＝a＋b2＋1， s 与 t 的大小关系是( 则 A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t
)
答案：A
2．若 a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1 成立的一个充分不必要条 件是( ) 1 1 A．|a＋b|≥1 B．|a|≥2且|b|≥2 C．b＜－1 D．a≥1
5．放缩法 29 (1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值○ 30 __________或○__________，简化不等式，从而达到证明的目 的，我们把这种方法称为放缩法． (2)理论依据 a＞b，b＞c⇒a＞c.
答案：①a－b ②a－b＜0 ③a－b＝0 ④变形 ⑤判断 符号 ⑥a＞b ⑦a＜b ⑧变形 ⑨判断与 1 的大小关系 ⑩ 已知条件 ⑪定义 ⑫公理 ⑬定理 ⑭性质 ⑮推理 ⑯ 论证 ⑰顺推证法 ⑱由因导果法 ⑲要证的结论 ⑳充分 21 22 23 条件 ○ 已知条件 ○ 一个明显成立的事实 ○ 执果索因 24 25 26 ○要证的命题不成立 ○公理、定义、定理、性质 ○命题的 27 28 29 30 条件 ○原命题成立 ○归谬 ○放大 ○缩小
4．反证法 24 (1)假设○________________，以此为出发点，结合已知条 25 26 件，应用○ ______________等，进行正确的推理，得到和○ __________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾 27 的结论，以说明假设不正确，从而证明○__________，我们把 它称为反证法． 28 (2)证明步骤：反设→○__________→肯定原结论．
选修4-5 不等式选讲 (3)
1．在△ABC中，设其各边长边a，b，c，外接圆半径为R， 求证： 证明：由柯西不等式知：
2．若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求证： 证明：
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反序 时最小，即
a1bn＋a2bn－1＋„＋anb1 ，等号当
(3)平均不等式 定理：若a1，a2，…，an为正数，则 ，等号
当且仅当a1＝a2＝„＝an时成立．这个不等式通常称为算术—几何平均不 等式． 思考：在应用算术—几何平均不等式时要注意什么问题？ 提示：一是要注意定理成立的条件是各项必须全是正数；二是要注意等 号成立的条件． 2．利用不等式求最大(小)值 (1)利用平均不等式求最大(小)值．(2)利用柯西不等式求最大(小)值．
【答题模板】
解法一：用均值不等式
解法二：用柯西不等式
即所求的最大值为
【状元笔记】
重要不等式，均值不等式： (a1>0，a2>0，…，an>0)，当
且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；柯西不等式：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a＋a＋… ＋a)(b＋b＋…＋b)(aibi∈R，i＝1,2，…，n)，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai 时(k为常数，i＝1,2，…，n)等号成立．这两个不等式是证明其他不等式和求多元函 数最值的有力工具，使用时要注意等号成立的条件．使用柯西不等式的重要技巧就 是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件.
变式2：设a1，a2，…，an为正数，求证： 证明：不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则 由排序不等式知 即
利用不等式求最值时，应观察条件能否满足不等式的条件，如要条件满足还要看等
号能否成立，能满足等号成立说明能取得最值，否则没有取得最值．
2014年高考高三理科选修4-5不等式选讲选修4-5-1
点评：①研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定 义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数 形结合解决， 是常用的思想方法． ②f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a； f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a.
变式探究 3 设函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a＞0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋2 的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．
2．解绝对值不等式的基本方法有： (1)利用绝对值的定义， 通过分类讨论转化为解不含绝对值 符号的普通不等式； (2)当不等式的两端均为正号时，可通过两边平方的方法， 转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 3．解绝对值不等式时要综合考虑，选择最简捷的解法.
)
解 析 ： |2x － 1| ＜ 2 － 3x ⇔ 3x － 2 ＜ 2x － 1 ＜ 2 － 3x ⇔
3x－2＜2x－1 2x－1＜2－3x
x＜1 3 3 ⇔x＜ . ⇔ 5 x＜5
答案：C
4．若不等式|3x－b|＜4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3， 则 b 的取值范围为__________．
选修4－5－1 绝对值不等式
考纲点击 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋ b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题； 能够利用基本不等式求一些特定函数的最值.
方法二：根据绝对值的几何意义，|x－2|＋|x＋3|表示数轴 上的点到 2 和－3 的距离之和， 而数轴上－4 和 3 对应的点到 2 和－3 对应的点的距离之和为 7(如图)，故{x|x＜－4 或 x＞3}．
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1.补写出下列名句的上句或下句(四选三）。
(3分)①关关雎鸠，__________________。
_________________君子好逑。
(《诗经·关雎》)②黑云压城城欲摧，。
角声满天秋色里，。
(李贺《雁门太守行》)③生，亦我所欲也；义，亦我所欲也。
__________，。
（《鱼我所欲也》）④__________，出则无敌国外患者，国恒亡，然后知__________也。
(《<孟子>两章》)2.填空。
（5分）（1）四面边声连角起，__________，！（2）孔子说“__________，。
”我们要学习与思考并重，不能人云亦云。
（3）李贺《雁门太守行》中的“__________，”借“燕昭王筑台”的典故把这首歌唱得慷慨激昂。
（4）李清照喜以“瘦”字入词，来形容花容人貌，并创造了三个因“瘦”而名传千古的动人词句，请写出一例：__________，。
（5）“荷”因其风姿绰约、品格高洁，历来为人们所喜爱，请写出有关“荷”的两句古诗文：“__________，。
”3.古诗文名句填空（8分）⑪__________，草色遥看近却无。
⑫海内存知己，。
⑬《酬乐天扬州初逢席上见赠》中，揭示新事物必将取代旧事物的千古名句是“__________，”。
⑭《水调歌头明月几时有》中抒写对远方亲人的美好祝愿的诗句是“__________，”。
⑮《过零丁洋》中的诗句“__________，”表达了文天祥舍生取义的崇高精神。
1.阅读下面的文字，回答小题。
（12分）寒冷的冬夜那是一个冬日的夜晚，我们几个人从茶店里出来，顿时感到寒气袭人，马上把衣领拉了起来。
还不到十点钟，行人已经很稀少了，路上静悄悄的。
风稍小了些，天却冷得更加厉害了。
路上结成的冰，反射着点点灯光；一踏上去，就可能使人跌倒。
入冬就冻了起来的路，在人的脚下，发出清亮的声音。
“我们回家去吧。
”两个同伴向南走了，我们三个人该向北去。
因为还有一段颇远的路程，我们只好叫人力车。
原以为街上是冷静的，可是一声呼唤之后，许多辆车子都朝我们这里赶来。
车夫们争着说：“您到哪儿？我拉您去。
”刚要把要去的地名说出，他们就开始讨价，还没有等我们还价，他们自己就一直把价钱少了下去。
“一毛钱。
”“四十枚。
”“三十六枚吧！”“三十枚我送您回去。
”听到这样的价钱，我就说：“三十枚就三十枚，要三辆。
”要加最低的那个车夫，立刻就嚷着是他们先讲好了的，另外两个车夫也争着附和，这样就说定了。
我走进那个车夫，分明地看到那只是一个十四五岁的孩子。
他放下车把，我并没有坐上去。
他说：“请您坐上去吧。
”我没有回答，脚也没有动。
他似乎明白了什么，就对我说：“您放心，保准送您平安到家。
”“我，我倒没有什么，只是你……”“我今年十九岁啦，已经拉了两年半的车。
”显然这是不确实的，他那样子最多也不过十六岁。
“你知道到那里还得爬一座桥，路又不近……”“我常走，您就上车吧。
”也许是因为天气寒冷，他的声音有点儿发颤。
在昏暗的灯光下，我看见他的脸是那么瘦小，他的身子是那么单薄，好像还生着病的样子。
“我还是换一辆吧！我怕……”话还没有说完，就有一辆车跑到我眼前，可是我并没有马上坐上去，我从衣袋内掏出一些钱，给那个失望了的小车夫。
“你不用拉我了，这点钱给你。
”他坚决地摇着头，俯下身拾起了车把，眼睛里冒着愤怒的光。
“你的年纪太小，你不该拉车，太劳苦了会伤害你的身体……”“我的年纪一点也不小，家里人说我该养家了。
”“拿去这点钱吧。
”“凭什么要你的钱？我要靠卖力气赚钱的！”说完，他径自掉头走掉了。
跟我同行的两个人的车子早已走了，只有我呆呆地站在那里。
我感到十分孤独，觉得自己好像是生活在一个陌生的世界中。
我一点儿也不懂得别人，别人也不懂得我。
小车夫也许是对的，难道是我错了吗？握着铜元伸在冷空气中的手有一点儿僵住了，我只得缩回去。
我的心也冻结了，在这寒冷的冬夜，在那怨恨的眼光里。
我终于坐上了车，一任车夫送我到任何地方去。
【小题1】选文多次写天气的寒冷，这样写有什么作用？（3分）【小题2】“我还是换一辆吧！我怕……”中省略号省去的内容是什么？（3分）【小题3】请简要赏析选文中加横线的句子。
（3分）【小题4】结合选文中加着重号句子的内容，谈谈你于都后的感悟。
（3分）2.阅读下文，回答小题。
（16分）在冬夜里歌唱的鱼查一路①天空是一片灰蒙蒙的苍茫，鸟儿离开了岑寂的北方。
火烧云沉到山那一边。
山岗上，风一阵冷过一阵，蒿草在风中萧瑟。
目光越过一道道山梁，一个人的影子就会在昏暗中挟裹着晚风，逐渐清晰。
我和妹妹就在这样的黄昏，在这样的山梁上等待父亲，还有父亲手中的鱼。
②父亲手中提着一尾胖头鱼，这种鱼头重尾轻，是乡村廉价的鱼，很适合我父亲的购买能力。
父亲微薄的工资，要养活一家六口，只能偶尔买这种鱼。
他很少笑，只在递给我们拴鱼的草索时“嘿嘿”几声。
在夜色中，牙齿很白，这是他留给我最深的印象。
③我飞跑着，把鱼交给母亲。
妹妹在身后摇摇晃晃地追赶。
母亲接过鱼，刮鳞、剔腮、破肚，把整条的鱼分成小块，娴熟而又忙乱。
当菜籽油的香味混合着松枝腾起的浓烟弥敞开来的时侯，厨房成了温暖的心脏，召集一家人围拢到一起，催促着母亲往炉膛添柴。
火舌从灶口舔出来，母亲的影子贴上后墙，忽大忽小，斑驳摇曳。
罡风缠绕窗棂发出呜咽，屋里的温度升起来，热量向着寒冷四散突围。
④锅中的水，沸腾起来了。
咕噜咕噜，鱼开始在水中歌唱，由一个声部转入另一个声部。
这是世间最美的音乐，传递口福的信息。
大姐在这时也不忘记做弟妹们的表率，装模作样地伏在灶台做作业；二姐用桃木梳梳她又黑又粗的长辫，眼睛随着腾起的蒸汽升高；妹妹和我，绕着灶台打架，虚张声势，有别于平日里泄愤的争斗，而是在幸福的预感中，矫揉造作，故作娇嗔。
父亲黝黑、冷峻的脸上露出慈爱和笑容，虽然沉默独坐，而他内心必然掠过一阵阵瞬间的喜悦，眼前的景象是他的成就。
⑤不知道时间过了多久，母亲撮起嘴，吹锅盖上的蒸汽。
揭开锅盖，如同揭开一个谜底。
鱼怎么样了？母亲撒下大把翠绿的葱丝，鲜红的辣椒。
锅盖合上时，她用毛巾环绕住锅与盖的缝隙，让蒸汽闷在锅里，但仍挡不住渗出异香。
⑥鱼熟了，母亲只吃鱼汤泡饭。
她拨开我们几个孩子贪婪的交叉着的筷子，挑出一块大而少刺的鱼肉，放在一只小碗中。
在我们茫然的眼神里走出异香氤氲的房间。
⑦寒冷跟随着温暖的小碗，跟随着母亲推开那间草屋的门。
温暖的鱼让瞎老爷爷的冰冷的小屋同样获得了温度。
老人边吃边有泪水涌出，不知道是不是太辣的缘故？⑧同样是一个冬天的夜晚，这位孤寡老人孤单地走了。
临终前，他告诉在场的人，他庆幸的时刻是那个冬夜，因为他吃到了我母亲送给他的鱼。
他用手摸着胸口，说：“这里，很暖!”⑨另一个冬天。
黄昏，我们不再去那个山岗张望。
我父亲在这年的秋天去世了。
妹妹的黄发已经扎成了小辫，我们渐渐长大成人。
但我们常常想念那样的冬夜，温暖只会在寒冷中感知，冬夜是我人生最初的一门课程。
⑩严寒来袭时，需要取暖，并且不让一个人孤单。
（选自《读者》，有删节）【小题1】简要概括文中“父亲”的形象特点，并举例分析。
（4分）【小题2】“鱼”在文章结构和表现主题上，分别有什么作用？（4分）【小题3】结合上下文品析语言。
（4分）（1）咕噜咕噜，鱼开始在水中歌唱，由一个声部转入另一个声部。
（2分）（这句话在用词、修辞上都很有特点，请简要赏析。
）（2）眼前的景象是他的成就。
（2分）（“成就”的含义是什么？）【小题4】“冬夜是我人生最初的一门课程”，“这门课程”教会了作者什么？对此你有怎样的感悟和思考？（4分）1.林尽水源，便得一山，山有小口，仿佛若有光。
便舍船，从口入。
初极狭，才通人。
复行数十步，豁然开朗。
土地平旷，屋舍2.琢冰（10分）【清】唐甄昔京师有琢冰为人物之形者，被以衣裳，缀以丹碧，神色如生，形制如真。
京师天寒，置之堂背，逾日不变；变则修饰之。
往观者日数百人皆叹其巧惊其神。
一日，语众曰：“孰能与我三斗粟，吾授之以吾技。
”人无应者。
乃问之曰：“子之技诚巧矣。
子何不范金①琢玉，为夏、殷、周、汉之器，可以宝②而不坏？今乃琢冰为玩物，其形虽有，不日而化矣！吾甚惜事之技巧而非真③，心劳而无用，可以娱目前而不可以传之远也。
”（选自《潜书》）【注释】①范金：把金属浇在模子里。
范：模子，用作动词。
②宝：珍藏。
③真：实际。
【小题1】用“”给文中画波浪线的部分断句。
（限断两处）（2分）往观者日数百人皆叹其巧惊其神【小题2】解释下列加点词语的意思（4分）①被以衣裳②语众曰③置之堂背④为夏、殷、周、汉之器【小题3】用现代汉语写出文中画单横线句子的意思。
（2分）孰能与我三斗粟，吾授之以吾技。
【小题4】文中有人认为琢冰者这种技艺“心劳而无用”，你赞成这种看法吗？为什么？（2分）1.阅读下面两首词，然后回答问题。
（9分）渔家傲李清照天接云涛连晓雾，星河欲转千帆舞。
仿佛梦魂归帝所，闻天语，殷勤问我归何处。
我报路长嗟日暮，学诗谩有惊人句。
九万里风鹏正举。
风休住，蓬舟吹取三山去。
破阵子?为陈同甫赋壮词以寄之辛弃疾醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。
八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声，沙场秋点兵。
马作的卢飞快，弓如霹雳弦惊。
了却君王天下事，赢得生前身后名。
可怜白发生！①上面两首词中加点词语的解释，不正确的一项是（）A．帆：船，这里喻指星星。
B．殷勤：情意恳切的样子。
C．沙场：战场。
D．霹雳：本指雷声，这里比喻射箭时箭雨发出的响声。
②《破阵子》中“梦回吹角连营”一句的意思是：③判断下面对这两首词分析的正误，正确的打“√”，错误的打“×”A．《渔家傲》中“学诗谩有惊人句”流露出词人对自己创作的不满之情。
（）B．《渔家傲》末尾“九万里风鹏正举。
风休住，蓬舟吹取三山去”。
意境壮阔，想象丰富，充满浓厚的浪漫主义色彩。
（）C．《破阵子》是一首寄赠之作，辛弃疾自称“壮词”，全篇以“壮”语贯穿始终。
（）D．《破阵子》末句“可怜白发生”，词意急转直下。
“可怜”两字至为沉痛，为壮志难酬表示出极大的惋惜和哀伤。
（）2.诉衷情（4分）陆游当年万里觅封侯，匹马戍梁州。
关河梦断何处？尘暗旧貂裘。
胡未灭，鬓先秋，泪空流。
此生谁料，心在天山，身老沧洲。
【小题1】下面对《诉衷情》一词的赏析，不正确的一项是（）（2分）A．这首词情感真挚，用典自然，悲壮处见沉郁，愤懑却不消沉，感人至深。
B．“尘暗”句借用了苏秦说秦王的典故，表达自己不受重用，未能施展抱负的失落。
C．“谁料”二字写出了往日的天真与今日的失望，流露出对南宋投降派的不满。
D．“未”“先”“空”三个字说明敌寇依旧，作者虽然已是暮年，但仍然壮心不已，充满豪情壮志。
【小题2】“觅封侯”用了什么典故？它抒发了作者怎样的思想感情？（2分）3.阅读下面的文字，完成（1）～（4）题。
（9分）清晨我漫步在山坡谷地，晨光宣泄着永恒的秘密，山涧里流倘出一条小溪，她在歌、在唤、在吐露心曲：生活并非安逸，它是思念和希冀。