蒙特卡罗模型
蒙特卡洛模型方法
二、理论和方法
蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题。当管理问题更为复杂时，传统的数学方法就难以进行了。模拟是将一个真实事物模型化，然后对该模型做各种实验，模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程。模拟作为一种有效的数值处理方法，计算量大。以前只是停留在理论探讨上，手工是无法完成的。在管理领域由于规律复杂随机因素多，很多问题难以用线性数学公式分析和解决，用模拟则有效得多。在新式的计算机普及后，用模拟技术来求解管理问题已成为可能。
从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。
阐述建立蒙特卡罗模型的基本步骤
建立蒙特卡罗模型的基本步骤1. 引言蒙特卡罗模型是一种基于统计方法的建模和模拟技术，适用于各种系统、过程和决策分析。
它的主要思想是通过随机抽样和重复试验来近似求解复杂问题。
本文将介绍建立蒙特卡罗模型的基本步骤。
2. 确定模型问题在建立蒙特卡罗模型之前，首先需要明确模型的问题。
这包括系统、过程或决策的目标、条件和限制等。
只有明确了问题，才能有针对性地选择适当的建模方法和技术。
3. 确定模型输入在建立蒙特卡罗模型时，需要确定模型的输入变量和其概率分布。
输入变量是模型中的不确定因素，其值是通过抽样和模拟得到的。
概率分布反映了输入变量的可能取值及其相应的概率。
3.1 确定输入变量确定输入变量需要对问题进行分析，并根据相关数据和经验进行选择。
输入变量可以是数量型或质量型的，可通过观测获得的或是主观估计的。
3.2 确定概率分布选择适当的概率分布是建立蒙特卡罗模型的关键步骤之一。
常见的概率分布包括正态分布、均匀分布、指数分布等。
根据数据和经验，可以使用参数估计方法来确定概率分布的参数。
3.3 获得随机样本确定了输入变量和概率分布后，需要获得一定数量的随机样本。
可以使用随机数发生器生成服从所选概率分布的随机数。
4. 确定模型输出在建立蒙特卡罗模型时，需要确定模型的输出指标和其计算方法。
输出指标是模型对问题的评价或解决方案的结果。
4.1 确定输出指标确定输出指标需要根据问题的要求进行选择，可以是单一指标或多个指标的组合。
4.2 计算模型输出计算模型输出需要根据模型的逻辑和数学公式进行计算。
可以通过编程语言或专业软件来实现模型的计算。
5. 进行模拟实验在模拟实验中，通过重复试验和统计分析来模拟系统、过程或决策的行为和结果。
通过进行大量的模拟实验，可以更好地估计模型输出的分布、得到输出的概率性信息。
5.1 设定实验参数在进行模拟实验时，需要设定实验的规模和重复次数。
合理的参数设定可以保证实验结果的可靠性和有效性。
5.2 运行模拟程序根据模型的逻辑和计算方法，编写相应的模拟程序，并运行实验。
马尔科夫链蒙特卡罗模型的参数估计
马尔科夫链蒙特卡罗模型的参数估计随着大数据时代的到来，数据的分析和建模成为了各行各业所面临的重要任务。
马尔科夫链蒙特卡罗模型（Markov Chain Monte Carlo Model，简称MCMC）作为一种重要的概率计算方法，为我们提供了一种有效的数据建模和参数估计的工具。
MCMC模型的基础是马尔科夫链（Markov Chain），它是一种状态转移模型。
马尔科夫链的特点在于下一时刻的状态只与当前时刻的状态有关，与之前的状态无关。
换句话说，未来的状态仅由当前状态决定。
这种特性使得马尔科夫链在建模时非常适用。
参数估计是一种常见的统计学方法，它通过利用已知数据来估计未知参数的值。
MCMC模型的参数估计就是利用马尔科夫链的特性来估计模型中的参数。
MCMC模型通过蒙特卡罗方法随机生成一系列样本点，使得样本点的分布趋近于预期的参数分布。
通过对这些样本点的统计分析，就可以得到参数的估计值。
MCMC模型的参数估计有几个关键步骤。
首先，需要选取适当的初始状态。
这个初始状态是随机给定的，但是需要保证初始状态满足模型的约束条件。
然后，根据参数的先验分布选择相应的转移概率。
转移概率决定了从当前状态转移到下一状态的概率，通过合理的调整转移概率，可以提高模型的准确性和收敛速度。
接下来，需要进行多次迭代，每次迭代生成一个新的状态。
生成新状态的方法可以通过抽样或变换等方式进行。
最后，根据生成的样本点进行统计分析，得到参数的估计值。
MCMC模型的参数估计具有许多优点。
首先，它可以处理复杂的非线性模型。
传统的参数估计方法在处理非线性模型时往往受限于模型的数学形式，而MCMC模型可以通过随机生成样本点的方式来逼近模型，从而克服了这一问题。
其次，MCMC模型可以考虑参数的先验分布。
传统的参数估计方法通常只考虑数据的分布情况，而MCMC模型可以通过引入先验分布来进一步优化参数的估计结果。
此外，MCMC模型还可以估计模型的不确定性。
通过生成大量的样本点，可以得到参数估计的置信区间，从而量化模型的不确定性。
蒙特卡洛模型方法
蒙特卡洛模型方法蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。
蒙特卡罗方法的提出蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。
数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。
1777年，法国Buffon提出用投针实验的方样调查来确定可能的优胜者。
其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。
比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（Curse of Dimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。
Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。
以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。
为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi －Monte Carlo方法）—近年来也获得迅速发展。
我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。
这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列（数学上称为Low Discrepancy Sequences）代替Monte Carlo方法中的随机数序列。
蒙特卡罗模型
一、概念蒙特卡罗法(MonteC盯10method)是一种应用广泛的系统模拟技术,产生于40年代，也称为统计模拟法(Statistiealsimulationmethod)或随机采样技术(stoehastiesamplingtechnique)。
它是为了求解随机型问题而构造一个与原来问题没有直接关系的概率过程,并利用它产生统计现象的方法。
它的最大优点是收敛速度和问题维数无关,适应性强。
不仅适用于处理随机型问题,如存储系统、排队系统、质量检验问题、市场营销问题、项目进度风险评价、社会救急系统问题、生态竞争问题和传染病蔓延问题等；也可处理确定型问题,如计算多重积分、解积分方程及微分方程、解整数规划(特别是非线形整数规划)等。
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。
这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。
它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。
蒙特卡罗解题三个主要步骤：1）、构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。
即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
2）、实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。
基于蒙特卡罗模拟的资产评估方法研究
基于蒙特卡罗模拟的资产评估方法研究一、引言随着金融市场的不断发展，投资者们对资产价值的评估变得越来越重要。
传统的资产评估方法大多基于统计学模型，而蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）作为一种基于随机模型的数值计算方法，近年来被广泛应用于金融领域的资产定价、风险管理和投资组合构建等方面。
本文将从方法原理、模拟流程、应用前景等方面对基于蒙特卡罗模拟的资产评估方法进行研究。
二、方法原理蒙特卡罗模拟是一种基于随机模型的计算方法，其核心思想是通过多次随机模拟，得到某个事件发生的概率，从而计算出该事件的数学期望、方差等统计指标。
在金融领域，蒙特卡罗模拟通常用于模拟资产价格变动、风险水平等，并通过这些模拟结果得到资产的价值范围和风险水平。
基于蒙特卡罗模拟的资产评估方法，通常是通过构建风险模型、收益模型和投资组合构建模型，进行模拟计算。
其中，风险模型通常是基于历史数据，使用统计方法得到资产价格变动的方差和协方差矩阵；收益模型通常是基于资产基本面分析或技术分析等方法，得到资产收益的数学期望；投资组合构建模型通常是基于资产配置理论或现代投资组合理论，得到投资组合构建的权重分配。
三、模拟流程基于蒙特卡罗模拟的资产评估方法，其模拟流程可以分为以下几个步骤：1.构建风险模型。
根据历史数据，使用统计方法计算得到资产价格变动的方差和协方差矩阵。
2.构建收益模型。
根据资产基本面分析或技术分析等方法，得到资产收益的数学期望。
3.构建投资组合构建模型。
根据资产配置理论或现代投资组合理论，得到投资组合构建的权重分配。
4.进行模拟计算。
以构建好的风险模型、收益模型和投资组合构建模型为基础，进行多次随机模拟。
对于每一次模拟，都会基于一组随机抽样的数据，计算出投资组合的收益率和风险水平。
5.得出模拟结果。
通过多次模拟计算，得到投资组合的收益率和风险水平的分布情况。
进而得到资产价值的估算范围和风险水平。
四、应用前景基于蒙特卡罗模拟的资产评估方法，具有以下的优点：1.能够考虑到资产收益和风险的不确定性和不对称性。
蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数
《蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数》一、引言“蒙特卡罗法”这一词汇，源自于蒙特卡罗赌场，是一种通过随机抽样和统计模拟来解决问题的方法。
而生成服从正态分布的随机数，是在数理统计、金融工程、风险管理等领域中常常遇到的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，从而可以更深入地理解这一方法并应用于实际问题中。
二、蒙特卡罗法的基本原理蒙特卡罗法是一种基于随机抽样的方法，通过对概率模型进行模拟实验来获取近似解。
对于生成服从正态分布的随机数，我们可以利用蒙特卡罗法来模拟正态分布的概率密度函数，从而得到符合正态分布的随机数。
在生成正态分布的随机数时，我们可以采用以下步骤：1. 生成服从均匀分布的随机数2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布三、蒙特卡罗法生成正态分布的随机数的具体步骤1. 生成服从均匀分布的随机数我们可以利用随机数发生器生成服从均匀分布的随机数。
均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1，x∈[0,1]。
我们可以生成若干个0到1之间的随机数作为初始值。
2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数利用反函数法，我们可以将服从均匀分布的随机数转化为服从正态分布的随机数。
正态分布的累积分布函数为Φ(x) = ∫(-∞,x) (1/√(2π) * exp(-t^2/2)dt，而其反函数可以通过查表或近似计算得到。
利用反函数法，我们可以将生成的均匀分布的随机数通过正态分布的反函数转化为符合正态分布的随机数。
3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布在生成的随机数不符合所需的正态分布时，我们可以不断地调整参数、增加模拟实验的次数，直至得到符合所需的正态分布的随机数。
四、总结与回顾通过蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，我们可以发现这一方法的灵活性和强大性。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
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收稿日期: 2004210209
114
数 学 的 实 践 与 认 识
37 卷
3 消费额的估算
Abstract: W e p resen t M on te2ca lro m odels on tem p ra ry sup er2m a rket net of O lim p ic gam es, and get the design a s w ell a s the num bers of m in i sup er2m a rket. Keywords: m on te2ca rlo m odel; random num ber; la rge num ber theo ry
表5
A1
A2A3ຫໍສະໝຸດ A4A5A6
A7
A8
A 9 A 10
大店
6
0
0
1
2
10
1
0
0
0
小店
46
48
50
48
46
40
50
52
46
52
小记
52
48
50
49
48
50
52
52
48
52
B1
B2
B3
B4
B5
B6
C1
C2
C3
C4
大店
2
1
5
1
2
8
0
1
2
5
小店
37
39
36
39
37
44
19
19
16
15
小记
39
40
41
40
39
52
5 用到的其它基本定律
奥运村有三处场馆, 具体考虑到某一场馆, 我们认为每个人买到不同看台的入场券的概 率是相同的. 从大数定律的角度, 我们可以这样认为: 各看台中各种人群的分布是相同的, 即 每个看台的一万人中, 属性相同的人群的数量相等. 已知的数据表中给出了一万多个数据, 符合大数定律.
6 模型的假设与名词解释
2 人流量的预测
我们用“属性”来描述各种不同的人群,“属性”包含五个方面的要素: 性别、年龄段、乘坐 交通工具、餐饮方式和非餐饮消费档次.
该问题中, 我们对商区某天的人流量理解为, 它表示当天经过该商区的总人数, 所以各 商区人流量的多少决定于有多少观众会经过该商区. 因此, 观众选择的路径就决定了他 (她) 所要经过的商区, 影响该商区的人流量. 我们又假设观众是按照最短路径的原则走向各自的 看台, 因此观众的看台与他坐车和用餐点的距离决定了他 (她) 要选择的路径. 究竟哪条路径 是最短的, 我们将在问题的解答中一一分析.
表4
E3 44. 04%
E4 9. 27%
E5 1. 48%
E6 0. 97%
37 卷
9 运用M on te-ca lro 模拟模型求商店的数目
为了得到最大利润, 就要满足所有人的消费需求, 并且使供大于求的值最小. 这样就要 使M S 的供应量很小. 要满足均衡原则, 就要使各个区的M S 数量大致相当,M S 的供应量应
第 37 卷第 10 期
数学的实践与认识
V o l137 N o 110
2007 年 5 月 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y M ay, 2007
奥运会临时超市网点设计的蒙特卡罗模型
周华任1, 褚事德2, 王力群3, 夏 宏3
(1. 解放军理工大学 理学院, 江苏 南京 211101) (2. 73611 部队 587 分队, 福建 仙游 351251) (3. 解放军理工大学 气象学院, 江苏 南京 211101)
100
平均消费分数 (% )
1. 588549 2. 3549053 2. 7626214 4. 766905 4. 5822314 4. 0730292 6. 614349 4. 063549 4. 5704902 9. 3518468 8. 1377078 4. 1676652 4. 3453867 4. 8506135 5. 3518072 10. 4008455 5. 0380074 4. 5345179 3. 9443937 4. 5050016
10 期
周华任, 等: 奥运会临时超市网点设计的蒙特卡罗模型
115
点的观众行走路线是确定的, 有唯一的可能或在经过环形商业区的情况下有两条相同的最 短路. 我们再生成一个随机的二项变量来确定其行走路线. 需要注意的是, 在从A 1、A 2、C3、 C4 到地铁西的时候, 图上不能直观看出如下图的路线①②③, 哪个最短再由离散均匀分布 取[ 1 2 3 ]的变量来决定.
从上述分析我们知道了商区的人流量决定于出行、用餐时选择某一路径的人次数, 选择 该路径的控制因素就是看台与车站、用餐点的距离. 但是某种属性的观众究竟有多少人, 如 何计算?这可以通过对某些大型运动会的调查资料分析得出. 题中已知了收回的某三次大型 运动会的调查问卷, 据此我们可以统计得出各种属性的人群所占有的比例. 当然, 奥运会作 为最大的世界性运动会, 其观众的各项属性肯定与一般的运动会有所不同, 不过我们可以这 样做一较粗略的分析.
116
数 学 的 实 践 与 认 识
商业区
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 总计
表1
平均人流分数 (% )
1. 5937037 2. 3536426 2. 7713423
4. 78095 4. 5651221 4. 071368 6. 639803 4. 067807 4. 5586208 9. 2984548 8. 2413687 4. 1973397 4. 3514495 4. 841607 5. 3350899 10. 3177421 5. 004224 4. 5155973 3. 9577631 4. 537002
4 解决该问题的基本思路
我们首先选定观众的路径, 根据图论的一些基本原理逐层分析, 得出各商区的人流量分 布. 用某商区的人流量乘以人均消费额作为该商区观众总的消费额, 每个商区提供的消费额 不能少于这个值, 但所有商区提供消费额的总和应该尽量最小. 按照此思想, 采用M on te2 Ca rlo 方法进行计算机模拟计算.
19
20
18
20
共计大店 47, 小店 779, 总店数 526.
10 模型的优缺点分析与推广
利用M on te2Ca rlo 模拟, 产生了较多的随机数, 考虑的变量及影响因素较多, 结果比较 精确, 但计算量很大, 可以通过计算机编程实现, 可行性较强.
参考文献:
[ 1 ] 王可定. 计算机模拟及其应用[M ]. 东南大学出版社, 1997. [ 2 ] 钱颂迪. 运筹学[M ]. 清华大学出版社, 2005. [ 3 ] 周华任. 运筹学解题指导[M ]. 清华大学出版社, 2006.
100
即出行方式满足 (表 2)
T1 16. 74%
T2 17. 25%
表2
T3 18. 96%
T4 9. 04%
T5 18. 92%
T6 19. 09%
饮食方面满足 (表 3)
F1 22. 47◊
表3
F2 52. 52◊
F3 25. 01◊
消费方面满足 (表 4)
E1 19. 43%
E2 24. 80%
图1
程序记录下的每个人走过的商业区和消费额, 来求出每个商业区的人流量及表征总购 物欲望. 通过编程, 进行 10 次模拟得到的统计数据见表 1.
8 蒙特卡罗模型的扩展
此方法虽然能够保证满足题设的分布, 但在实际情况中难以实现, 可操作性不强. 实际 上, 决策层在决定M S 点的分布时不会考虑如此众多的因素, 例如性别与年龄的关系. 关注 所有因素只会降低主要因素的重要程度. 由于此题主要是消费量的问题, 性别、年龄不要考 虑, 出行、饮食影响消费量的分布. 这里我们只考虑观众出行、饮食和消费量的关系, 并认为 这三者是相互独立的.
题目中给出的数据, 只是在每次运动会中取一小部分, 没有能覆盖全体. 但我们能够跟 据这一小部分的情况运用随机数生成的原理, 生成在图二中的 200000 人, 补充这个集合.
该模型从地图上选择了 180 条路径, 每条路径都进行一次计算. 题目中给出的数据可以看作是由大量随机事件构成的, 只具有统计规律. 可以采取计算 机模拟的方法实现, 鉴于题给数据的分布关系牵连复杂, 难以用简洁的数学语言表达. 这里 我们采取直接在总表内取值, 保证其满足题给分布. 因为题给数据量大, 调查问卷回收率高, 可以认为其满足大数定理, 同样的人出现的比 例, 就是其出现的概率. 在编程中, 我们首先将题给数据表转化为计算机可识别的形式, 再以一个服从离散平均 分布的随机数来随机抽取其中的某一项, 来实现满足表格中的概率分布, 把 10600 个数据扩 充为 200000. 在图二的每一个看台均抽取 10000 人, 基于最短路径假设, 从一个点到另一个
1. 假设三场预演的运动会是适宜作分析的. 2. 各运动场馆的人流量是相互独立的, 且各场馆的观众总数均达到饱和. 3. 定义“目标点”为观众选择出行、用餐方式的车站和用餐点. 4. 定义“属性”为观众的性别, 年龄段, 出行、用餐方式, 消费额档次. 5. 示意图上的距离与真实距离比例吻合.
7 M on te-carlo 模拟模型