05蒙特卡洛仿真
蒙特卡罗仿真原理
蒙特卡罗仿真原理
蒙特卡罗(MonteCarlo)方法，又称随机抽样或统计模拟方法，泛指所有基于统计采样进行数值计算的方法。
在第二次世界大战期间，美国参与“曼哈顿计划’’的几位科学家Stanislaw Ulam，John Von Neumann 和N．Metropolis等首先将这种方法用于解决原子弹研制中的一个关键问题。
后来N．Metropolis用驰名世界的赌城－－－摩纳哥的MonteCarlo一来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
随着现代计算机技术的飞速发展，蒙特卡罗方法已经在统计物理、经济学、社会学甚至气象学等方面的科学研究中发挥了极其重要的作用，将蒙特卡罗方法用于仿真即为蒙特卡罗仿真。
蒙特卡罗方法适用于两类问题，第一类是本身就具有随机性的问题，第二类是能够转化为概率模型进行求解的确定性问题。
※蒙特卡罗方法求解问题的一般步骤
用蒙特卡罗方法求解问题一般包括构造或描述概率过程、从已知概率分布抽样和建立估计量三个步骤。
构造或描述概率过程实际上就是建立随机试验模型，构造概率过程是对确定性问题而言的，描述概率过程是对随机性问题而言的，不同的问题所需要建立的随机试验模型各不相同。
所谓的从已知概率分布抽样指的是随机试验过程，随机模型中必要包含某些已知概率分布的随机变量或随机过程作为输入，进行随机试验的过程就是对这些随机变量的样本或随机过程的样本函数作为输入产生相应输出的过程，因此通常被称为对已知概率分布的抽样。
如何产生已知分布的随机变量或随机过程是蒙特卡罗方法中的一个关键问题。
最后一个步骤是获得估计量，蒙特卡罗方法所得到的问题的解总是对真实解的一个估计，本身也是一个随机变量，这个随机变量是由随机试验模型输出通过统计处理得到的。
蒙特卡洛模拟步骤
蒙特卡洛模拟步骤介绍蒙特卡洛模拟是一种基于概率的仿真方法，通过随机抽样和统计分析来解决复杂问题。
它得名于著名赌城蒙特卡洛，因为在蒙特卡洛赌场中使用了类似的概率方法。
蒙特卡洛模拟广泛应用于众多领域，如金融、物理学、工程学等，用于评估风险、预测结果等。
蒙特卡洛模拟步骤步骤一：定义问题在进行蒙特卡洛模拟之前，需要明确所要解决的问题。
问题应该具体明确，包括问题背景、目标和需要考虑的变量。
步骤二：建立模型在蒙特卡洛模拟中，需要建立一个模型来描述问题。
模型可以是数学模型、统计模型或者计算机模型。
模型应该能够描述问题中的各个变量之间的关系。
步骤三：确定参数分布在蒙特卡洛模拟中，需要确定模型中各个参数的概率分布。
参数分布可以根据实际数据来确定，也可以根据经验或专家知识来确定。
常见的参数分布包括正态分布、均匀分布等。
步骤四：生成随机样本蒙特卡洛模拟的核心是生成符合参数分布的随机样本。
可以使用随机数生成器来生成随机样本，确保样本的分布与参数分布一致。
步骤五：运行模拟在蒙特卡洛模拟中，需要运行模拟多次，以获取足够多的样本。
每次运行模拟时，根据随机样本和模型计算得到一个结果。
多次运行模拟的结果可以用于统计分析，得出问题的解。
步骤六：统计分析在蒙特卡洛模拟的最后，需要对多次模拟的结果进行统计分析。
可以计算均值、方差、置信区间等统计指标，以评估模拟结果的可靠性和稳定性。
步骤七：结果解读根据统计分析得到的结果，可以解读问题的答案。
可以得出问题的预测结果、风险评估等。
同时，还可以通过对结果的敏感性分析，评估不同变量对结果的影响。
蒙特卡洛模拟的应用举例例一：投资组合优化在金融领域，蒙特卡洛模拟可以用于投资组合优化。
通过随机生成不同资产的收益率，可以评估不同的投资组合的风险和收益。
通过多次模拟和统计分析，可以找到最佳的投资组合。
例二：工程设计在工程学中，蒙特卡洛模拟可以用于评估工程设计的可靠性。
通过随机生成不同变量的取值，可以模拟工程设计在不同条件下的性能。
monte carlo仿真
1、设置仿真应用模型
Add：mc，stat，stat_mis模型并disable掉tt模型，这三个模型用于仿真monte carlo的统计学和失配特性，库模型设置完成；
注：关于model library 有时间可以点进Edit File中读一下，会有收获。
例如想要仿真monte carlo可以进去搜monte carlo的关键字。
其示例中会提示需要用到哪些模型文件，但有时不够直观，但是会提供一个参考。
想要得到全面的内容，需要继续以你搜到的关键字进行检索。
2、修改管子模型；
然后进入电路图，将管子类型进行相应修改，以加入mismatch。
例如tsmc90工艺下，仿真的管子模型是nch_mac和pch_mac；而smic工艺下为标准管子名称加_mis的管子。
也可另外新建电路图，专门仿真monte carlo；
3、ADE仿真窗口中，设置好仿真环境，在tools中选择monte carlo仿真。
Number of Runs设置仿真次数，一般情况下越多越准确，但注意仿真时间；Analysis variation 可以设置仿真类型，包含process和mismatch两项。
注意勾选Save Data Between Runs to Allow Family Plots。
第三章 蒙特卡罗仿真
蒙特卡罗模拟及随机数产生
一.蒙特卡罗模拟 二.随机数的产生
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法， 是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的 “曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯· 诺伊曼用 驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法， 为它蒙上了一层神秘色彩。
x2
60
20
20 -20<=X1-X2<=20
60
x1
(60*60-40*40)/(60*60)=5/9
模拟技术在经营管理系统的应用
风险分析问题 存储订货问题
排队问题（ATM机设置）
其他问题
风险分析：
风险分析是在不确定条件下预测某项决策后果的 过程。
例子：某电脑公司开发新型打印机，初步的市场调 查和财务分析给出了如下的相关数据： 零 售 价：249美元/台 第一年管理费用：400000美元 第一年广告费用：600000美元
相似性——模型研究基础 相似性是模型概念和模型建立的基础。这里所说的模 型与对象（系统）之间的相似性是广义的，它可以是外形上 、行为上或结构上的。相似性的概念适用于非常广泛的一类 物质对象，包括物理的、生物的，工程的、非工程的。
当一个对象相似于另一个对象，它们之间就具有了原 型和模型间的关系。如果对象A是对象B的模型，则A相似于B ，可写为A～B。按照相似原理，相似性是相互的，因此B～A 同样是存在和正确的。
随机数的产生：
EXCEL中关于模拟的函数的简介：
1、Rand(); 产生（0 1）上的均匀分布的随机数 （a b）上均匀分布的随机数： (b-a)*rand()+a
数字调制系统的Monte Carlo仿真和性能分析
数字调制系统的Monte Carlo仿真和性能分析数字调制系统是通过数字信号处理技术实现的一种现代通信系统，普遍应用于广播、移动通信、卫星通信、互联网等领域。
在数字调制系统的设计过程中，通过Monte Carlo仿真和性能分析可以对系统的性能进行评估和优化，下面就数字调制系统的Monte Carlo仿真和性能分析进行介绍。
一、Monte Carlo仿真Monte Carlo方法是通过随机抽样的方式进行试验，通过试验结果的统计分析得出所求问题的数值解。
在数字调制系统中，Monte Carlo方法可以用于评估系统的误码率、功率谱等性能指标。
其步骤如下：1. 确定系统的模型和信道模型2. 定义误码率、功率谱等性能指标3. 确定仿真参数，如信噪比、码率、符号周期等4. 进行多次随机仿真，并统计所求性能指标5. 根据仿真结果对系统进行分析和优化。
二、性能分析性能分析是通过数学解析的方式来分析系统的性能指标。
在数字调制系统中，常用的性能分析方法有极限分析、误差分析和波形分析等。
其主要特点是可以有效地分析系统的性能和优化设计，但需要对系统具有较深的理解和掌握。
1. 极限分析极限分析是通过系统的数学模型和信道模型，使用极限条件来分析系统的性能极限。
例如，在高斯信道中，通过无穷小误差的假设，可以推导出系统的误码率上限，对系统的性能进行分析和优化。
2. 误差分析误差分析是通过对系统中各参数误差的分析，来分析系统的误差传递和影响。
例如，在数字调制系统中，由于声学振荡器（VCO）的频率稳定度存在限制，会对系统的调制误差率产生影响，通过对VCO的误差进行分析和优化，可以提高系统的性能。
3. 波形分析波形分析是通过对传输波形的解析，来分析系统的性能。
例如，在OFDM系统中，通过对多个子载波的功率谱分析，可以优化系统的频带利用率和错误率性能。
总之，数字调制系统的Monte Carlo仿真和性能分析是对系统性能评估和优化的重要手段，在系统设计过程中应该充分运用这些方法，对系统进行全面深入的分析，提高系统的性能和稳定性。
MonteCarlo仿真 仿真实验法
100 所求连通率为：81%
81 19
应用举例
• 例2：用Monte-Carlo仿真，完成基于链路 可靠性的广域网连通性分析，要求输入拓 扑结构，其中链路总数为n，和各链路的可 靠性pi，输出连通性
• ξ=xi x1
x2 ……
xn
• Pξ=xi
p1 p2 ……
pn
– 将区间[0,1]分成n个不相交的子区间
• Δ1[0,p1), Δ2[p1,p1+p2),… Δi[p1+…+pi-1, p1+…+pi), ……[p1+p2+…+pn-1, p1+p2+…&则 对应ξ的取值为xi
• 解：令 pa=0.8, pb=0.85, pc=0.9
– 用解析方法，三部件故障/连通的组合状态为8 组，其中可连通的有3组，根据全概率公式， 所求连通概率:
– P＝papbpc+(1-pa)pbpc+pa(1-pb)pc ＝
应用举例－例1
• 仿真方法：
N=100 r1 r2 r3 A B C 系统 正常 故障
第九章 统计试验法
（Monte-Carlo仿真）
第一节 基本思想
• 不同的随机试验有可能对应相同的随机变 量，这样它们就具有相同的分析特征，因 此当所关注的结果为这样的分析特征（数 值）时，可以用相对容易实现的一个试验 来代替另一个。
• 这个思路可以括展到更复杂试验和系统 （随机变量的组合）
蒙特卡洛仿真
如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在 ［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为：
1/a, 0xa f1(x)0, 其他 类似地，θ的分布密度函数为：
f2()10/,,
0
其他
因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ) 抽样θ的过程了。由此得到：
系统仿真的步骤：
(1)．问题的描述、定义和分析； (2)．建立仿真模型； (3)．数据采集和筛选； (4)．仿真模型的确认； (5)．仿真模型的编程实现与验证； (6)．仿真试验设计； (7)．仿真模型的运行； (8)．仿真结果的输出、记录； (9)．分析数据，得出结论。
系统仿真的分类
➢ 连续系统仿真(Continuous System Simulation) ➢ 系统状态变量随时间连续变化，通常用常微分方程、
早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。
如果 divisor 为零，函数 MOD 返回错误值 #DIV/0!。
现模拟今后10批货物到达的平均天数
第一步，加载数据分析工具 。
模拟所得平均销售量是每天96台；
公共管理的对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不能通过真实的实验来进行分析、研究。
管理系统仿真
公共管理的对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不 能通过真实的实验来进行分析、研究。因此，系统模拟技术就 成为十分重要甚至必不可少的工具。本讲在介绍管理系统模拟 的概念以及一般原理、方法和步骤的基础上，主要介绍四种基 本的模拟方法及其模型，即蒙特卡洛模拟方法、排队模型、系 统动力学模拟、多AGENT系统模拟。通过蒙特卡洛模拟可以具 体了解管理系统模拟的基本原理及方法，排队模型与多AGENT 系统体现了离散事件系统模拟的特点与规律，而系统动力学模 拟则是一种可以广泛应用于公共管理决策及 分析的连续系统 模拟方法。
蒙特卡洛仿真方法
蒙特卡洛仿真方法
蒙特卡洛仿真方法（Monte Carlo simulation）是一种基于统计
学原理的数值计算方法，用于模拟和预测复杂系统或过程的行为表现。
它通过随机抽样和统计分析，利用随机数生成的方法来模拟系统的随机变量，从而得出系统的不确定性和风险。
蒙特卡洛仿真方法的基本原理是通过对系统的随机变量进行多次抽样和模拟，计算出每次模拟中系统的输出结果，然后对这些结果进行统计分析，得到系统的平均值、方差、概率分布等信息。
通过大量的模拟实验，可以在系统的输入和输出之间建立起准确的数学模型，从而可以对系统的未来行为进行预测和分析。
蒙特卡洛仿真方法广泛应用于金融、工程、物理、生物、环境、医学等领域。
在金融领域中，它可以用于模拟股票价格、期权价格、债券收益率等金融资产的变动情况，从而进行风险评估和投资决策；在工程领域中，它可以用于模拟材料的疲劳寿命、结构的可靠性等工程问题；在物理领域中，它可以用于模拟粒子运动、量子力学过程等物理现象。
总之，蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机抽样和统计分析的数值计算方法，可以用于模拟复杂系统的行为表现，预测系统的未来行为，并进行风险评估和决策分析。
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3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
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常用随机数的生成算法
随机序列的产生
MC仿真的应用
杨扬 SISE@GUCAS
高斯白噪声
在整个频域内具有恒定的功率谱密度（PSD） 实际系统常是带限的，常考察带限高斯噪声对系 统的影响。 对于带宽为B的系统，其采样频率为2B，在通带 内的噪声PSD 得采样方差为 维纳-辛钦定理
产生泊松分布的随机变量 产生均值和方差为λ的泊松分布变量X的 步骤: （解析变换） 设定A=1,k=0; 产生U[k]，服从[0,1]上均匀分布 设定A=U[k]A 如果A< ，X=k，返回步骤1，否则： 设定k=k+1，返回步骤3
1. 2. 3. 4. 5.
27
杨扬 SISE@GUCAS
指数分布
滑动部分系数为0，则产生了自回归模型 （AR(p)）模型，AR过程也称马尔科夫过程
46
杨扬 SISE@GUCAS
马尔科夫链的功率
输入序列 均值为0，方差为 的一个不相关 高斯序列，则p阶马尔科夫序列的相关函数为：
根据上式，可得
与
的关系
根据Yule-Walker方程可获得了AP(p)过程的参数
47 杨扬 SISE@GUCAS
高斯白噪声序列可以由N(0,1)的高斯随机数生成 器输出乘以 N 0 f S / 2 仿真实现。
38 杨扬 SISE@GUCAS
二进制随机序列与二进制随机波形
二进制随机序列{ }, = 0或1，可通过一个均匀 分布序列 来实现，其中
二进制随机波形：
采样率是N倍比特速率， 样值
是单位幅度脉冲采
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杨扬 SISE@GUCAS
Gamma分布
Gamma分布
其中： a为整数时： 均值和方差
应用：等待时间的通用模型。
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杨扬 SISE@GUCAS
产生Gamma分布的随机变量 产生参数为α、β的服从Gamma分布的随 机变量X的步骤： （解析变换） 设X=0； 生成参数为λ，服从指数分布的变量V 设定X=X+V 如果α=1，返回X= β X，然后返回步骤 1，否则： 设定α= α -1，返回到步骤2.
杨扬 SISE@GUCAS
离散随机变量的变换方法 离散型随机变量Z： 有限型Z值生成算法：
1. 2. 3. 4.
，
设定k=1； 产生[0,1]上均匀分布的U； 如果 ，输出 ，返回步骤1，否则： 令 ，返回步骤3。
21
杨扬 SISE@GUCAS
1. 2. 3. 4.
无限型Z值的生成算法： 令 产生在[0,1]上均匀分布的U 如果 ，输出 ，返回步骤 1，否则： C 令 ， = AkC (Ak = pk / pk −1 ) ， ， 返回步骤3。
相关的随机序列有着重要的应用，如仿真 语音信号源、时变的通信信道等。 相关高斯序列模型在仿真中应用广泛。 生成相关高斯序列的方法： 1. 基于相关函数的时域方法 2. 基于功率谱密度的频域方法
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杨扬 SISE@GUCAS
ARMA模型方法
滑动自回归（ARMA）模型，利用一个不相关的 高斯序列得到相关的高斯序列
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杨扬 SISE@GUCAS
解析变换法
设随机变量Z的概率密度函数为 今有 ， 是Z的累积分布函数， 显然Y在[0,1]上均匀分布。 结合以上事实，利用 则可以产生 Z。 解析变换法的条件： 1. Z的累积分布函数能闭式表达 2. Z的累积分布函数的逆函数能闭式表达
18 杨扬 SISE@GUCAS
5
杨扬 SISE@GUCAS
提纲
1 2 MC仿真背景
随机数的产生
3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
6
常用随机数的生成算法 随机序列的产生 MC仿真的应用
杨扬 SISE@GUCAS
随机数生成器的作用和意义
7
杨扬 SISE@GUCAS
随机数生成器的指标 代数特性：结构、周期 统计特性：输出的分布特性 运算复杂度
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杨扬 SISE@GUCAS
随机数产生器汇总
pdf是闭式？ 是 是 cdf是闭式？ 否 否 量化pdf，计算经 验cdf，使用经验 逆变换
逆cdf是闭式？ 是
否
是
是否有限支 撑？
否
解析反变换
经验的反变 换
A/R方法
CAS
提纲
1 2 MC仿真背景 随机数的生成
N1 和 N 2 互素，则：
Wichman-Hill算法比同余算法计算更复杂
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杨扬 SISE@GUCAS
一种常用的方法 用同余算法生成周期较短的随机数序列
可得出U(n)的周期：
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杨扬 SISE@GUCAS
Marsaglia-Zaman算法
Marsaglia-Zaman算法：线性递归算法，能生成 周期更长的均与分布的随机数 在递归过程中使用了带进位的加法或者带借位的 减法。
15 杨扬 SISE@GUCAS
提纲
1 2 MC仿真背景 随机数的生成
3 任意概率密度的随机数产生 4 5 6
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常用随机数的生成算法 随机序列的产生 MC仿真的应用
杨扬 SISE@GUCAS
产生任意概率密度随机数的方法 基本思路： 已有服从[0,1]内均匀分布的随机变量U， 为生成服从某概率分布的随机变量Y，建 立U与Y的关系，利用U来产生Y。 1. 解析变换方法 2. 经验搜索算法 3. 离散随机变量的变换方法
蒙特卡洛仿真
提纲
1 2
MC仿真背景
随机数的产生
3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
2
常用随机数的生成算法 随机序列的产生 MC仿真的应用
杨扬 SISE@GUCAS
蒙特卡洛 蒙特卡洛（Monte Carlo ） 蒙特卡洛是摩纳哥公国第一大城市，与澳 门、美国拉斯维加斯并称世界三大赌城。
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二进制伪随机序列
二进制序列由统计独立等概率出现的0和1组成。 伪随机序列也称伪噪声（PN）序列，周期性的二 进制序列，自相关函数类似于二进制随机序列的 自相关函数。 常用用反馈的移位寄存器来PN序列。
M级移位寄存器有 个不同的状态，序列的周期 不会超过 。 如移位寄存器状态为全0，寄存器会进入“死锁”
例
用均匀分布的随机变量U生产具有单边指数的随机变量X
px (x ) = a exp( −ax )u (x )
求出x的CDF:
a >0
Fx (x ) = ∫ a exp( −ay )u (y )d y = 1 − exp( −ax )
x −∞
由于U在(0,1]内均匀分布，令：
U = 1 − exp( −ax )
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杨扬 SISE@GUCAS
均匀分布随机数生成
程序语言一般自带了生成随机数的函 数，如c++中的rand()。 经常不能满足MC仿真的需求 常用的算法： 1. 同余算法 2. Wichman-Hill算法 3. Marsaglia-Zaman算法
9 杨扬 SISE@GUCAS
均匀分布随机数生成 简单高效的递归算法实现：同余算法
蒙特卡洛最著名的是其赌场。 Las vegas的Monte Carlo赌场
蒙特卡洛(MC)仿真，是一种基于“随机数” 的仿真方法。
4 杨扬 SISE@GUCAS
准解析MC仿真-分层 仿真中并不是所有的随机过程和随机变量 都采用MC仿真，而是对一些随机过程可以 用解析方法处理。 系统中一部分随机过程被直接仿真，而其 他的影响则利用解析的方法来处理，叫做 局部MC仿真或者准解析（QA）仿真 QA仿真比纯MC仿真需要更少的采样点， 但能产生同样准确度的估计
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杨扬 SISE@GUCAS
GF( )有很多种表达方式，以GF(8) 为例
1. 多项式表达法 2. 二进制K维数组表达法 3. 本原值的n次幂表达法
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杨扬 SISE@GUCAS
生成M进制PN序列
利用一个系数是GF(q)上的本原多项式 获得递归序列
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杨扬 SISE@GUCAS
相关随机序列的产生
高斯分布 高斯分布：
均值、方差：
应用：热噪声的幅度分布、大量独立随机 情况决定的随机变量 中心极限定理
34 杨扬 SISE@GUCAS
产生高斯分布的随机变量 产生标准正态分布的随机数Y的方法： 12求和法：依据中心极限定理
注意：以上方法获得的Y值仅能分布在[-6.6]之间 取值12是效率和准确的折中，不是限定的
1. 2. 3. 4. 5.
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Rayleigh分布 Rayleigh分布
均值和方差
应用：信道衰落， 窄带高斯变量的包络
32 杨扬 SISE@GUCAS
产生Rayleigh分布的随机变量 思考题： 如何生成均值和方差分别是
服从Rayleigh分布的随机变量R?
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杨扬 SISE@GUCAS
40 杨扬 SISE@GUCAS
PN序列的性质 1. 一个周期内，1的个数总比0的个数多1个 2. 自相关函数是周期函数。 3. 游程规律：1/(2^m)的游程时间长度是 m。 4. 一个周期中具有所有的m位组合方式，除 m个0。最长的0值序列是m-1个0。
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杨扬 SISE@GUCAS
M进制伪噪声序列 许多系统都用到了M进制波形 有限个（q个）元素组成的域叫做伽罗华域 （Galois field）GF(q)。 一个GF(q)域内的m阶多项式，如果可以整 除 （ ≥ ），此多项式叫做本原 多项式。 本原多项式的根称为本原值。 在电子、通信和计算机系统，常有M=
谱分析法
独立的高斯序列通过一个滤波器，输出的高斯序 列功率谱函数为 如果 则有 应用拉普拉斯变换，把 分解为 式，获得可实现的平稳的滤波器。