平面四边形有向面积的两个定理及其应用
与四边形有关的定理：
与四边形有关的定理：48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕-?84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值与圆有关的定理101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:定理1：若直线l 不经过 ABC 的顶点，并且与的延长线分别交于 P 、Q 、R,贝U BP CQ AR 1 PC QA RB证：设h A 、h B 、h C 分别是A 、B 、C 到直线l 的垂线的长度，贝u ：BP CQ AR h B h C hu 』 1PC QA RB h C h A h B注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;例1：若直角 ABC 中，CK 是斜边上的高， 在AK 上，D 是AC 的中点， F 是DE 与CK的交点，证明:KF BK ——=—— FC BE KF BK ——=一 KC KE FKB CKE BF //CECE 是 ACK 的平分线， E 点BF // CE 。
证：在 则：EBC 中，作 B"分线BH EBC ACK HBC ACEHBC HCB ACE HCB 90即：BH CEEBC 为等腰三角形作BC 上的高EP,则:对丁 ACK 和三点D 、 CK EPE 、F 依梅涅劳斯定理有:CD AE KF , 1 DA EK FC匚曰KF EK CK 『是——=一 一FC AE ACEP BP BK AC BC BE依分比定理有: ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们【练习1从点K 引四条直线，另两条直 -一 一 、…AC和 A 1、B 1、C 1、D 1,试证： ------- 1 1 1BC线分别交这四条直线丁 A 、B 、C 、DAD BD定理2：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上或它们的延长线上的 P 、Q 、R 三点中，位于 ABC 边上的点的个数为 0或2,这时若 既 PC 三点，并且 CQ AR QA RB 1, 求证：P 、Q 、R 三点共线; 证：设直线PQ 与直线AB 交丁 R ', 丁是由定理 BP CQ AR _ __ ' PC QA R B乂 BP CQ AR PC QA RB 由丁在同一直线上的 _ ' ____ AR AR1,则：^―=—— R B RB P 、Q 、R '三点中，位丁 ABC 边上的点的个数也为 0或2,因此R 与R '或者同在AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上； 若R 与R '同在AB 线段上，则R 与R '必定重合，不然的话， 设AR AR ', AR AR BR BR 这时AB AR AB AR ',即BR BR ',丁是可得 _ ____ ' 这与AR =竺 矛盾 BR BR 类似地可证得当 R 与R '同在AB 的延长线上时,综上可得：P 、Q 、R 三点共线； 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 R 与R '也重合再相乘;例2点P 位丁 ABC 的外接圆上；A 1、B 1、C 1是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足, 证明点A 1、B 1、 BA 1BP cos PBC CA 1 CP cos PCB CB 1 CP cos PCA AB 1 AP cos PAC AC 1AP cos PABBC 1 PB cos PBAC i 共线; 证：易得: 将上面三条式子相乘， 且 PAC PBC , PAB PCB , 十曰 BA 1 CB 1 AC 1可得 一111= 1 ,CA 1 AB 1 BC 1依梅涅劳斯定理可知 A 1、B 1、C 1三点共线;PCA PBA 180A 1C 1 A 1D 1B 1C ； :BD【练习2设不等腰 ABC 的内切圆在三边 BC 、CA 、AB 上的切点分别为 D 、E 、F,则EF 与BC , FD 与CA , DE与AB 的交点 X 、Y 、Z 在同一条 直线上；【练习&已知直线 AA i, BB i, CC i 相交于O,直线AB 和A 1B 1的交点为C 2,直线 BC 与B 1C 1的交点是 A 2,直 线AC 与A i C i 的交点是B 2,试证：A 2、B 2、C 2三点共线;【练习M 在一条直线上取点 E 、C 、A,在另一条上取点 B 、F 、D,记直线AB 和ED , CD 和AF ,CD 和AF , EF 和BC 的交点依次为 L 、M 、N,证明：L 、M 、N 共线练习i 的证明练习2的证明乂 AE AF 代人上式可得：BXXC FB =—— CE CY DC AZ EA同理口」彳寸： — —YA AFZB BD将上面三条式子相乘可 得：乳CY J i XC YA ZB 乂 X 、Y 、Z 都不在 ABC 的边上，由定理 2可得X 、Y 、 证： ABC 被直线XFE 所截，由定理 Z 三点共线 证：若AD // A i D^,结论显然成立;若AD 与A i D i 相交与点 AD LD LD BD LD 〔 A i K A i D i AK BK BQ B i K LDi L,则把梅涅劳斯定理分 LC AK A 。
平行四边形的认识
平行四边形的认识平行四边形是基本几何图形之一，由于其独特的性质和广泛的应用，对于平行四边形的认识具有重要意义。
本文将从定义、性质、判定条件以及相关应用等方面对平行四边形进行详细介绍。
定义平行四边形是指具有两组相对平行的边的四边形。
具体来说，平行四边形的定义如下：定义1：如果一个四边形的对边互相平行，则该四边形被称为平行四边形。
在平行四边形中，相邻的两条边和对角线都具有特殊的关系和性质。
性质平行四边形具有一些独特的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用平行四边形。
1. 边与角性质•对边性质：平行四边形的对边长度相等。
•相邻边性质：平行四边形的相邻边互余角（对应两个相邻边的内角和为180度）。
•同位角性质：平行四边形的同位角相等（指同位于两组平行边的对应角）。
2. 对角线性质•对角线性质1：平行四边形的对角线互相平分。
•对角线性质2：平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。
3. 面积性质•面积性质：平行四边形的面积等于底边长度乘以高（即平行四边形的底边高）。
•面积计算公式：若平行四边形的底边长为b，高为h，则平行四边形的面积S = b * h。
4. 判定条件平行四边形的存在和判定有一些特殊的条件，其中常用的包括：•条件1：两组对边分别平行。
•条件2：从一组对边的任意一点向两边作垂线，垂线的长度相等。
•条件3：从一组对边的任意一点向两边作垂线，垂线的夹角相等。
•条件4：从一组对边的任意一点作平行于两边的线段，该线段与另一组对边交点的连线平分该线段。
相关应用平行四边形的特殊性质和性质的应用广泛存在于各种数学问题和实际生活中。
以下是一些常见的应用场景：1.建筑工程中：平行四边形的应用在建筑工程中非常常见，例如砖块的摆放、墙壁的装饰等。
2.几何证明中：平行四边形作为几何证明的基础形状，常常被用来证明一些定理和性质。
3.向量运算中：平行四边形的性质和向量之间有密切的联系，在向量运算中经常会用到平行四边形的概念。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∵,,,＝＝＝AFE DBEAEF DEB AE DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AF=DC，∴BD=DC，∴D是BC的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．【答案】解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC 于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【巩固练习】一.选择题1.（雁江区模拟）点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. （商水县期末）如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．（龙安区月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s 的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．（黎川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．（河南模拟）如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.（长春模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．二.填空题7.【答案】BE=DF；【解析】添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．共18个．故答案为：18．9.【答案】3；【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，CD=AB=AD=BD ，∴∠B=∠DCE ，∵∠FEC=∠B ，∴∠FEC=∠DCE ，∴DC ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理2223CD CE DE -=∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中，由勾股定理22213AB AC BC +=． ∵D 是BC 的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。
四边形
n边形的对角线：共有n（n－3）/2条。 边形的对角线：共有n /2条。 说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计 说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计 算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形 的对角线的条数求出它的边数。 多边形内角和定理： 边形内角和等于（n 多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2） 180° 180°。 多边形内角和定理的推论： 多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于 360° 360°。 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无 关），利用它解决有关计算题比利用多边形内 角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个 公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。
2、正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 ①正方形的四个角都是直角； ②四条边都相等； ③正方形的对角线相等且互相垂直平分； ④每一条对角线平分一组对角； ⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是 对角线所在直线和对边中点所在直线，同时又是 中心对称图形，对称中心是对角线交点
1、菱形的定理
性质定理1 性质定理1 菱形的四条边都相等 性质定理2 性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角 面积=对角线乘积的一半，即S=（ 面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b） ÷2 判定定理1 判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 判定定理2 判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是 菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内 角同时运动时，又能使平行四边形的一个 内角为直角且邻边相等，这样就形成了正 方形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形。
1、正方形的定理
正方形性质定理1 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角， 四条边都相等。 正方形性质定理2 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等， 并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形判定定理1 正方形判定定理1：两条对角线互相垂直的矩形 是正方形。 正方形判定定理2 正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正 方形。
空间向量与空间平行四边形的关系
空间向量与空间平行四边形的关系空间向量与空间平行四边形之间存在密切的关系。
本文将探讨空间向量的定义及其特性，并介绍空间平行四边形的性质和相关定理。
一、空间向量的定义和性质空间向量是表示空间中有大小和方向的物理量，通常用有向线段表示。
设有两点A和B，空间向量可表示为A B⃗或者⃗AB（读作“矢量AB”）。
空间向量具有以下重要性质：1. 大小：空间向量的大小等于有向线段的长度。
记作|⃗AB|或者|A B⃗ |。
大小为0的空间向量称为零向量。
2. 方向：空间向量的方向由有向线段的方向确定。
空间向量的方向可用角度、方向余弦等方式表示。
3. 相等关系：两个空间向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
4. 负向量：对于任意空间向量⃗AB，存在一个相反的向量⃗BA，其大小与⃗AB相等，方向相反。
5. 平行向量：如果两个空间向量⃗AB 和⃗CD 的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
二、空间平行四边形的定义和性质空间平行四边形是由平行四边形的两对对边共面而得到的。
它具有以下特点：1. 对角线：平行四边形的对角线是连接两个非邻边顶点的线段。
对角线的交点称为对角线交点。
2. 对角线互补：一条平行四边形的对角线互补，即两条对角线的和等于180度。
3. 对角线重合：如果平行四边形的两条对角线互相重合，则该平行四边形是一个平行四边形的对角线。
4. 对角线平分：平行四边形的一条对角线平分另一条对角线。
5. 平行四边形的面积：平行四边形的面积等于对角线长乘以对角线中线的长度。
三、空间向量与空间平行四边形的关系可以通过以下定理来描述：定理1：如果两个空间向量⃗AB 和⃗CD 相等，则四边形ABCD 是一个平行四边形。
定理2：如果四边形ABCD 是一个平行四边形，那么以A 和B 为首点的空间向量⃗AB 和以C 和D 为首点的空间向量⃗CD 是平行向量。
通过以上定理可以看出，如果我们知道空间向量之间的关系，就能判断与之对应的平行四边形的性质。
Brahmagupta定理及其几何证明方式
Brahmagupta定理及其几何证明方式Brahmagupta定理是数学中一个重要的定理，描述了四边形的面积如何与其四边长之间的关系。
这个定理是由印度数学家Brahmagupta在7世纪提出的，并以他的名字命名。
首先，让我们了解一下Brahmagupta定理的表述：在任意给定四边形中，如果能够找到一组连续的点，使得这些点的连接边与对角线相等，那么这个四边形的面积可以通过以下公式计算得出：面积= √(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)，其中s是四边形的半周长，而a、b、c、d则是四边形的各个边长。
接下来，我们将探讨Brahmagupta定理的几何证明方式。
这里介绍两种常见的证明方法：一种基于平行四边形的证明方法，另一种基于正方形的证明方法。
首先，我们来看基于平行四边形的证明方式。
假设我们有一个任意的四边形ABCD，并设其连续的边所对应的对角线交于点E。
观察四边形ABCD和平行四边形AEDC，我们可以发现这两个四边形的底边相等，高也相等，因此它们的面积相等。
我们知道平行四边形的面积可以通过底边长度乘以高得到，因此四边形ABCD的面积也可以通过DE边长乘以对应的高得到。
同样，我们可以以其他连续边所对应的对角线为基准计算四边形的面积。
最后，将得到的四部分面积相加，即可得到整个四边形的面积。
根据Brahmagupta定理的公式，我们可以发现，四边形的面积可以通过四个边长和半周长计算得出。
接下来，我们来看基于正方形的证明方式。
假设我们有一个任意的四边形ABCD，并选择将这个四边形划分为四个三角形。
通过将四个对角线连接起来，我们可以得到一个正方形，记为EFGH。
观察这个正方形，我们可以发现它的边长等于四边形ABCD的半周长。
根据正方形的面积公式，我们知道正方形的面积等于边长的平方。
因此，四边形ABCD的面积可以表示为四个三角形面积之和，即[ABC]+[BCD]+[CDA]+[DAB]。
又由于每个三角形的面积可以通过底边乘以高得到，这就意味着四边形的面积可以通过四个边长和半周长计算得出，即满足Brahmagupta定理的公式。
《四边形》复习课件
特殊四边形的面积与周长计算
菱形面积计算公式：对角线 乘积的一半
总结词：理解特殊四边形的 特点，掌握其面积与周长的
计算方法
01
02
03
正方形面积计算公式：边长 的平方
等腰梯形面积计算公式：上 底加下底后乘高再除以2
04
05
等边三角形面积计算公式： 边长乘高再除以2
04
四边形的应用
四边形在几何证明中的应用
04 菱形的判定定理包括四边相等
的平行四边形、对角线垂直的 平行四边形等。
总结词
掌握面积和周长的计算
05
详细描述
06 掌握菱形的面积和周长的计算
公式，并能灵活运用。
正方形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
正方形的性质包括四边相等、四 个角都是直角等。
总结词
掌握判定定理
详细描述
掌握正方形的面积和周长的计算 公式，并能灵活运用。
总结词
熟练运用判定定理
详细描述
掌握平行四边形的判定定理，如两组 对边分别平行、两组对边分别相等、 一组对边平行且相等等。
总结词
掌握面积和周长的计算
详细描述
掌握平行四边形的面积和周长的计 算公式，并能灵活运用。
矩形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
矩形的性质包括四个角都是直角、对角线相等 且互相平分等。
平行四边形的性质和判定
利用平行四边形的性质和判定定理， 可以证明两条直线是否平行或一个四 边形是否为平行四边形。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定定理在证明直角三 角形和等腰三角形等问题中有着广泛 应用。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定定理在证明等腰三 角形和等边三角形等问题中有着广泛 应用。
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平面四边形有向面积的两个定理及其应用喻德生(南昌航空工业学院应用工程系,江西南昌 330034)摘 要:本文给出平面四边形有向面积的两个定理,并利用这两个定理得到四边形的若干新结果和四边形的两个著名的定理.关键词:四边形;(有向)面积;定值中图分类号:O18 文献标识码:A 文章编号:1004 8332(2000)03 0018 04本文约定四边形是指边不自交的平面四边形,S P 1P 2P 3P 4、D P 1P 2P 3P 4分别表示四边形P 1P 2P 3P 4的面积和有向面积[1].在本文中,我们研究了四边形有向面积的一类问题,得到定理1、定理2.同时,作为这两个定理的应用,我们还得出了与定理相关的若干的结果,其中包括四边形的两个著名的定理.定理1 设P 是四边形P 1P 2P 3P 4所在平面上任意一点,M 、N 分别是对角线P 1P 3、P 2P 4的中点,则D PP 1P 2+D PP 3P 4-2D PMN =12D P 1P 2P 3P 4(为定值)(1)D PP 2P 3+D PP 4P 1+2D PMN =12D P 1P 2P 3P 4(为定值)(2)证 设任意点的坐标为P (x 、y ),各顶点的坐标分别为P i (x i ,y i )(i =1,2,3,4),则对角线中点的坐标分别为M (x 1+x 32,y 1+y 32)、N (x 2+x 42,y 2+y 42).根据多边形有向面积公式[1],得D PP 1P 2=12[(xy 1-x 1y )+(x 1y 2-x 2y 1)+(x 2y -xy 2)](3)D PP 3P 4=12[(xy 3-x 3y )+(x 3y 4-x 4y 3)+(x 4y -xy 4)](4)D PMN =12[(x y 1+y 32-x 1+x 32 y )+(x 1+x 32 y 2+y 42-x 2+x 42 y 1+y 32)+(x 2+x 42 y -x y 2+y 42)]=14[(xy 1-x 1y )+(x 2y -xy 2)+(x y 3-x 3y )+(x 4y -xy 4)]+18[(x 1y 2-x 2y 1)+(x 3y 2-x 2y 3)+(x 3y 4-x 4y 3)+(x 1y 4-x 4y 1)(5)(3)+(4)-2 (5),得2000年第三期赣南师范学院学报Journal of Gannan Teachers College!.3June.2000收稿日期:2000-01-10作者简介:喻德生(1959∀),男,江西高安人,副教授,主要从事数学教育等方面的研究.D PP1P2+D PP3P4-2D PMN=14[(x1y2-x2y1)+(x2y3-x3y2)+(x3y4-x4y3)+(x4y1-x1y4)]=12D P1P2P3P4同理可证 D PP2P3+D PP4P1+2D PMN=12D P1P2P3P4推论1 设Q1、Q2、Q3、Q4依次为四边形P1P2P3P4各边P1P2、P2P3、P3P4、P4P1所直线上任意一点,M、N分别是对角线P1P3、P2P4的中点,则D Q1P3P4-2D Q1MN=D Q3P1P2-2D Q3MN=12D P1P2P3P4(为定值)(6)D Q2P4P1+2D Q2MN=D Q4P2P3+2D Q4MN=12D P1P2P3P4(为定值)(7)证 将D Q1P1P2=D QP2P3==D Q3P3P4=D Q4P4P1=0分别代入(1)、(2)即得(6)、(7).推论2 设M、N分别是四边形P1P2P3P4对角线P1P3、P2P4的中点,则D P1P3P4-D P1P2P3=4D P1MN(8)D P1P2P4-D P2P3P4=-4D P2MN(9)证 在定理1中取任意点为P1,得D P1P3P4-2D P1MN=12D P1P2P3P4(10)D P1P2P3+2D P1MN=12D P1P2P3P4(11)(10)-(11)得 D P1P3P4-D P1P2P3=4D P1MN同理可证 D P1P2P4-D P2P3P4=-4D P2MN特别,当P1P2P3P4为凸四边形时,由于三角形P1P3P4、P1P2P3、P1P2P4、P2P3P4与四边形P1P2P3P4都是同向的,故有|S P1P3P4-S P1P2P3|=4S P1MN,|S P1P2P4-S P2P3P4|=4S P2MN.推论3[2] 设M、N分别是四边形P1P2P3P4对角线P1P3、P2P4的中点,V1是对边P1P2、P3P4所在直线的交点,则S V1MN=14S P1P2P3P4.证 将D V1P1P2=D V1P3P4=0代入(1)式,得D V1MN=-14D P1P2P3P4,从而S V1MN=1 4S P1P2P3P4.推论4 对边不平行的任意四边形的两组对边的交点分别与两对角线的中点所组成的两个三角形的面积相等.证 由推论3易得.推论5 设M、N分别是四边形P1P2P3P4对角线P1P3、P2P4的中点,P是M、N所在直线上任意一点,则D PP1P2+D PP3P4=D PP2P3+D PP4P1=12D P1P2P3P4(为定值)(12)19第3期 喻德生 平面四边形有向面积的两个定理及其应用证 将D PMN=0代入(1)、(2)两式即得.特别,当P1P2P3P4为凸四边形,P在直线MN上位于四边形内的部分时,三角形PP1P2、PP3P4、PP2P3、PP4P1与四边形P1P2P3P4都是同向的,故有S PP1P2+S PP3P4=S PP2P3+S P P4P1=12S P1P2P3P4(为定值).即凸四边形两对角线中点所在直线位于四边形内的部分上的任意一点与各顶点的连线把四边形分成四个三角线,其中两个相对的三角形的面积和等于另两个相对的三角形的面积和.推论6 四边形两对角线中点所直线与四边形任意一边所在直线的交点与这边的对边所成的三角形的面积等于原四边形面积的一半.证 不妨设MN所在直线与P1P2所在直线相交于点0,由推论5得D OP3P4=12D P1P2P3P4,从而S OP3P4=12S P1P2P3P4.推论7 平面上任意一点到四边形一组相等对边所在直线的有向距离的和为定值.证 在四边形P1P2P3P4中,不妨设|P1P2|=|P3P4|=a,平面上任意一点P到P1P2、P3P4所在直线的有向距离分别为d12、d34,由中文[1]定义4及(12)式得1 2a d12+12a d34=12D P1P2P3P4所以d12+d34=D P1P2P3P4/a(为定值).定理2 设M、N分别是四边形P1P2P3P4对角线P1P3、P2P4的中点,V1、V2分别为两组对边P1P2、P3P4和P2P3、P4P1所在直线的交点,V在直线V1V2上且V1V/V V2= ,则D V MN=-14(1+ )D P1P2P3P4证 设对角线中点的坐标及对边交点的坐标分别为M(x1#,y1#),N(x2#,y2#);V1(x3#,y3#)、V2(x4#,y4#).于是V1V2的分点坐标为V(x3#+ x4#1+,y3#+ y4#1+).由多边形有向面积公式及定理1,得D V MN=12[(x3#+ x4#1+y1#-x1# y3#+ y4#1+)(x1#y2#-x2#y1#)+(x2#y#3+ y#41+-x#3+ x4#1+y2#)]=12(1+ )[(x3#y1#-x1#y3#)+(x1#y2#-x2#y#1)+(x2#y3#-x3#y2#)]+2(1+ )[(x4#y1#-x1#y4#)+(x1#y2#-x2#y1#)+(x2#y4#-x4#y2#)]=11+D V1MN+1+D V2MN=-14(1+ )D P1P2P3P4+4(1+ )D P1P2P3P4=-14(1+ )D P1P2P3P4 推论8 在定理2中,三角形VMN中与四边形P1P2P3P4等积的充分必要条件是 = -3/5或-5/3.证 S V MN=S P1P2P3P4-14(1+ )=∃1 =-3/5或-5/3.推论9[3] (高斯定理)对边不平行的任意四边形二对角线的两个中点与端点为两组对边交点的线段的中点共线.证 在定理2中令 =1,即得D V MN=0,从而推论9结论成立.20赣南师范学院学报 2000年注:推论9中的三个中点所在的直线称为牛顿线,这个定理亦即完全四线形的牛顿线定理.参考文献:[1] 喻德生.关于平面多边形有向面积的一些定理[J].赣南师范学院学报,1993,3:11∀14.[2] (美)H.S.M.考克塞特,S.L.格雷策.陈维恒.几何学的新探索[M ].北京:北京大学出版社,1986.57 63.[3] (苏)B.T.巴兹列夫.李质朴译.几何等及拓扑学习题集[M ].北京:北京师范大学出版社,1985.20.[4] 梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M ].北京:北京高等教育出版社,1983.67 72.TWO Theorems of Directed Areas for PlanarQuadrilaterals and Their ApplicationsYU De-sheng(D ep t.of A p plied Engineer ing ,N anchang I nst.of A er o .T ech.330034,China)Abstract:In this papet,tw o theor ems of directed areas for planar quadrilaterals are given.U sing these theorems,w e can obtain some new results and two famous theor ems for planar quadrilaterals easily.Key Words:quadr ilateral;(dir ected)aera;fix ed value21第3期 喻德生 平面四边形有向面积的两个定理及其应用。