北大电磁学2011期末-试题+答案

北京大学信息科学技术学院考试试卷考试科目：电磁学姓名：学号：
考试时间：2011 年6 月23 日任课教师:
以下为试题和答题纸，共8 页。

一、（30分）
1．(10分) 请写出以下定律或概念的数学表达式：
（1）毕奥-萨伐尔定律： 2
0ˆ
4r
r l Id B d ⨯=
πμ （2）安培力公式：B l Id F d
⨯=
（3）由电势计算电场强度的公式： U E -∇=
（4）传导电流密度与载流子漂移速度间的关系式： v nq j
=
（5）分别写出电感L 、电容C 的复阻抗的e 指数形式：
2
π
ωj
Le ；21π
ωj
e C
- 2. (6分)如下图所示，原本不带电的空心金属球壳内偏离球心的一个位置放置一个点电荷，该点电荷为正电荷，在图上画出电场线的示意图。

（要求：电场线的关键特征画得要明显，可使用文字注释说明其关键特征。

）
3. (4分)如下图所示，在外磁场 0B
中有顺磁质的圆棒1，抗磁质的圆
棒2，请在1、2棒的侧面画上磁化电流方向的示意图。

4. （10分）填空：有电阻R 、电容C 和电感L 构成的串联电路， （1）该电路的固有频率 10LC
=ω （2）该电路的时间常数R
L =
τ （3） 假设t=0时的初条件是电容上有一定电荷量Q ，然后接通电路开关，接通串联的R 和L ，则t=0时电阻上的电压的大小 = ___0____ （4） 假设如上（3）所述，接通开关后，电流方向始终不变，则电路的
R 、L 、C 必然满足的条件为：
5.01
≤R
C L （5） 如果电路不满足（4）中的条件，则电路中的电流随时间如何变化（文字描述即可）: _阻尼振荡，__________
1
2
B
二、(20分) 如图所示，平行板电容器两极板上的自由电荷面密度分别为σ0和-σ0(其中σ0是常数)，两极板间距为d ，在两个极板之间充满了各向同性线性非均匀电介质，而且电介质的电
极化率χe (x)为0()(1)e x x χχα=+其中χ0和α为常数。

求(1)电介质两个表面上的极化面电荷密度σ’(0)和σ’(d)；(2)电介质内极化体电荷密度的分布
ρ’(x)。

解：由高斯定理可得0D σ=，000
()()[1()]r e D
E x x x σεεχε=
=
+，00()
()()1()
e e e x P x x E x χχεσχ==
+。

因此，
'
0000
(0)(0)(0)1(0)1e e P n P χχ
σσσχχ=⋅=-=-=-++ ，
'
0000()(1)
()()1()1(1)
e e d d d P n P d d d χχασσσχχα+=⋅===+++ ，
'
0000
2
0()11
()[1]1()1()[1(1)]e e dP x d d x P dx dx x dx x x αχρσσσχχχα=-∇⋅=-=--==-++++
三．(15分) 一半径为R 0的无穷长圆柱形导体，其对称轴与z 轴重合。

在此导体中钻出一无穷长圆柱形孔洞，其轴也与z 轴平行，所形成的截面如图所示。

孔洞的中心位于x=a 处、半径
为b ，假设沿+z 方向的直流电流I 0在此已钻孔洞的导体上均匀分布，求此孔洞内任一点的磁感应强度矢量。

根据对称性可知，孔洞中任一点的磁感应强度矢量与z 方向无关。

因此，研究与z 轴垂直的任一截面的磁感应强度。

设导体中直流电流的密度为j ，采用补偿法，在孔洞中假设有电流密度为j 的电流沿+z 方向流动，同时有电流密度为j 的电流沿-z 方向流动。

根据对称性和安培环路定理，
可知202B r j r πμπ=，即02
jr
B μ=。

因此，沿+z 方向流动的电流在孔洞中
心产生的磁感应强度矢量为0ˆ2
j
B ay μ= ，而沿-z 方向流动的电流在孔洞中心产生的磁感应强度矢量为零，二者相加仍为0ˆ2
j
B ay μ= 。

在孔洞中的任一点的位置矢量为1ˆr ax
r =+ ，其中1r
为相对孔洞中心的矢量，则沿+z 方向流动的电流这点产生的磁感应强度矢量为0ˆ2
j B k r μ=⨯ ，而沿-z
方向流动的电流这点产生的磁感应强度矢量为01ˆ2
j B k r μ=-⨯
，二者相加得00001ˆˆˆˆˆ2222
j j j j B k r k r k ax ay μμμμ=
⨯-⨯=⨯= 。

可见，在整个孔洞内磁感应强度矢量为一常数。

0
22
0()
I j R b π=
-
四．（15分）下图为两个互相平行、间距为d 的无限大电流面
的横截面图，电流面密度大小相等方向相反，电流方向如图所
示。

在两个平面之间有一根长度为a 的金属棒MN ，该棒与电
流面平行且与左侧电流面间距为d/6。

已知面电流密度大小为j=kt ，t 为时间，k 为常数。

计算金属棒两端的电势差MN U
解，电流面之间存在均匀磁场，kt j B
00μμ==，方向为垂直纸面向外。

根据对称性，取如图的虚线方框，根据⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅s d t B l d E L
v
，有：
3220d
l k l E v ⋅
∆⋅-=∆μ，30kd E v μ-=， 3
0kda U MN μ=
j
j
五. (20分) 如图所示，一同轴电缆由半径为a 的长直导线和与它共轴的导体薄圆筒构成，圆筒的半径为b 。

导线与圆筒间充满电容率为ε、磁导率为μ的均匀介质。

将电缆的一端接上
负载电阻R ，另一端加上电池(端电压为U )。

忽略电缆自身的电阻和边缘效应。

(1) 求：导线与圆筒之间，距导线中心为r 处（a r b <<）的电场能量密度表达式；
（2）求：导线与圆筒之间，距导线中心为r 处（a r b <<）的磁场能量密度表达式。

(3) 求： 当导线与圆筒间同一点处的电场能量密度与磁场能量密度相等时的负载电阻R 取值。

解：（1）不妨设内导体表面自由电荷密度为σ，根据对称性的电位移为：
σr a D =则体内的电场为r a E εσ=，a
b a Edr U b a ln εσ==⎰，则a
b r U
E ln
=；a b r U ED w e 222
ln 221ε== （2）根据对称性 rR
U r I
H ππ22==；2222821R r U BH w m πμ==
（3）2
222
2
22
8ln 2R
r U a
b r U πμε= => ε
μπa b R ln 21=。