2020届四川省成都石室中学一诊数学理科试题
2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一．选择题：1．（5分）已知集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<，则(A B = )A ．{|15}x x <<B ．{|1}x x >C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数(z = )A ．1i +B ．1i -CD ．1i --3．（5分）若等边ABC ∆的边长为4，则(AB AC = )A ．8B ．8-C ．D ．-4．（5分）在6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为( ) A ．50B ．20C ．15D ．20-5．（5分）若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为() A ．2-B ．2C ．2±D ．126．（5分）若实数a ，b 满足||||a b >，则( ) A ．a b e e > B ．sin sin a b >C ．11a ba be e e e +>+D ．))ln a ln b >7．（5分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交8．（5分）设函数21()92f x x alnx =-，若()f x 在点(3，f （3）)的切线与x 轴平行，且在区间[1m -，1]m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．2m …B ．4m …C ．12m <…D ．03m <…9．（5分）国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21赢下比赛的概率为( ) A ．18B ．320C ．950D ．72010．（5分）函数11()x f x e x-=-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．（5分）设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为( )A B ．C ．4D ．12．（5分）设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[0，2]π上有3个零点． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．②③④二．填空题：13．（5分）若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a = ．14．（5分）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 ．15．（5分）已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于A ，B 两点，若120F B F B =，1F A AB λ=，则λ= ．16．（5分）若函数2,1()(2)(),1x e a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩…恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题：17．（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 的分布列和数学期望()E X ．18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2)cos 2B AC +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围．19．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=︒，11AA CD ==，1AD =（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值．。
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
石室中学高2020届一诊模拟考试(理科)
石室中学高2020届一诊模拟考试（理科数学）一．选择题：1.已知集合{}|1A x N x =∈>，{}|5B x x =<，则A B =（A ）{}|15x x <<（B ）{}|1x x >（C ）{}2,3,4（D ）{}1,2,3,4,52.设i 为虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭．．复数为 （A ）1i -（B ）1i --（C ）1i -+（D ）1i +3.若等边ABC ∆的边长为4，则AB AC ⋅=（A ）8（B ）8-（C ）D ）-4.在()()621x x y --的展开式中33x y 的系数为（A ）50（B ）20（C ）15（D ）20-5.若等比数列{}n a 满足：1531231,4,7a a a a a a ==++=，则该数列的公比为 （A ）2-（B ）2（C ）2±（D ）126.若实数,a b 满足a b >，则（A ）e e a b >（B ）sin sin a b >（C ）11e e e ea ba b+>+（D ）))a b >7.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB ==，点,E F 分别为棱11,BB CC 上两点，且1111,42BE BB CF CC ==，则 （A ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 异面（B ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 相交 （C ）1D E AF =，且直线1,D E AF 异面（D ）1D E AF =，且直线1,D E AF 相交8.设函数()219ln 2f x x a x =-，若()f x 在点(3,(3))f 的切线与x 轴平行，且在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是（A ）2m ≤（B ）4m ≥（C ）12m <≤（D ）03m <≤9.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为 （A ）18（B ）320（C ）950（D ）72010.函数11()e x f x x-=-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）11.设圆C ：22230x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（A ）10B ）3C ）4（D ）612.设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ○1()f x 是偶函数；○2()f x 的最小正周期为π； ○3()f x 的最小值为0；○4()f x 在[0,2]π上有3个零点. 其中所有正确结论的编号是（A ）○1○2（B ）○1○2○3（C ）○1○3○4（D ）○2○3○4二．填空题：13.若等差数列{}n a 满足：1231,5a a a =+=，则n a =．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为．15.已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于,A B 两点，若1210,F B F B F A AB λ⋅==，则λ=．16.若函数()()()2e 121x a xf x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥‚‚‚恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题：17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次消费次第 第1次第2次 第3次 第4次 5≥次 收费比率10.95 0.900.850.80该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计,: （Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润； （Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元, 求X 的分布列和数学期望()E X .18.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2)cos 2B AC +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围. 19.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且060ADC ∠=，11AA CD ==1AD =（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值.20.（12分）设椭圆22:182x y C +=，过点(21)A ，的直线,AP AQ 分别交C 于不同的两点,P Q ，直线PQ 恒过点(4,0)B ．（Ⅰ）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线,AP AQ 分别与x 轴相交于,M N 两点,在x 轴上是否存在定点G ,使得GM GN ⋅为定值？若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由．21.（12分）设函数2()sin f x x x =-π，[0,]2x π∈，22()cos (),()22x m g x x x m R π=++-∈π．（Ⅰ）证明：()0f x ≤；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，不等式()4g x π≥恒成立，求m 的取值范围.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线22:2x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）相交于不同的两点,A B ．（Ⅰ）当4απ=时,求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若2MA MB MA MB =-,其中M ,求直线l 的倾斜角．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()11f x x ax =++-.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）当1x ≥时，不等式()3f x x b ≤+成立，证明：0a b +≥.。
成都石室中学高2020届高考适应性考试(一)理科数学简答
成都石室中学高2020届高考适应性考试（一）理科数学简答C AD C D A B D C A B C 13. 4914. 1 15.4π 16. 8 17. 解：（Ⅰ）抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ………………3分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 4分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，25285(X=2)14C P C == ……………… 10分()0122828144E X =⋅+⋅+⋅= ……………… 12分 18. 解：（Ⅰ）由12n n S a a =-，当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得12n n a a -=，…………3分因为14n n nb S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分（Ⅱ）由1221n n n S a a =-=-，得11232n n n b -=++，……7分 即()()11122121n n n n b --=++1112121n n -=-++，………………9分 所以011211111111212121212121n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112212n =-<+. ……………………12分19. 解：（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，得BD =分 则222AD DB AB +=，即AD DB ⊥， ……………4分而11,AD DD BD DD D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD ． ………6分（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD ⊥，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．由等腰梯形可得CB DC =，则CO BD ⊥. ……………8分以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()()13,2,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,0,1A B C D D ---， 则()()()1123,2,0,3,0,1,3,1,0AB BB DD BC ====-u u u r u u u u r u 设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r ，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，3030x y x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3,3y z ==-，有()1,3,3n =-r ，所以，21cos ,7n AB n AB n AB ⋅<>==⋅r r u u u r r u u u r ， 即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217．……………12分 20. 解：（Ⅰ）()222144(0)a ax x a f x a x x x x-+-'=--=> 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增；……………1分当0a >时，若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()0f x '≤，()f x 在()0,∞+单调递减；……………2分 若21160a ∆=->，即104a <<时，240ax x a -+-=，2111160a x --=>，2211160a x +-=> 当10x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当12x x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；……………4分综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减； 当104a <<时，()f x 在211160,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和21116,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x 在2211161116,22a a a a ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤或14a ≥时，()f x 在()0,∞+是单调函数，不可能有三个不同的零点；……………6分当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()20f =，又124x x =，有122x x <<()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=……………7分23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()34820h a a -'=<, 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >……………10分 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点004,2,x x ……………12分 21. 解：（Ⅰ）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a = 所以椭圆方程为：22184x y +=.……………4分 （Ⅱ）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++ ()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，……………6分 由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=， 所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，…………8分 又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，……………11分 4OP OM ⋅=u u u r u u u u r ……………12分22. 解：（Ⅰ） 2y kx x y k =--=⎧⎪⎨⎪⎩(k 为参数，0k ¹)，……………… 2分 消去参数k ，得曲线C 的普通方程为()22y y x -=-……………… 4分整理得()()22110x y x +-=?……………… 5分 （Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为2sin r q =，02<<r ……………… 8分 由4sin 5q =，得点Q 的极径85r =.……………… 10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，……………1分 平方得224489x x -+<， 则4241740x x -+<，得2144x <<，…………4分 即122x -<<-或122x <<， 所求不等式的解集112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……………5分 （Ⅱ）因为()()111121a a f x ax x ax x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=-+≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………8分 又()()()222212x g a x x x a x a ≤----==---，所以()()f x g x ≥．……………10分。
【附28套精选模拟试卷】四川省成都石室中学2020届高三上学期“一诊”模拟数学(理)试题及答案
四川省成都石室中学2020届高三上学期“一诊”模拟数学（理）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1)B．(1,1)-C．(1,1)-D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4-B．41-C．4D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i==B．12,4a i==C．8,3a i==D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=xxf的图像关于直线32π=x对称,它的周期是π,则（）A．)(xf的图象过点)21,0(B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a ρ、b ρ满足(1,0),(2,4)a b ==r r，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-u r,(2,0)n =r ，且m u r 与n r 所成角为3π.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.学根据上表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．20. (本小题满分13分)已知()||,=-+∈R f x x x a b x . （Ⅰ）当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由； （Ⅱ）当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值； （Ⅲ）若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分14分)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f （Ⅰ）a e =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1=a 时，设函数xx f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证：42121)(x x x x +<一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6[ 7 8[ 9 10 答案CACBDBABC[A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 5 ； 12. -5 ；13. -1 ；14. 3 ； 15. ①③④ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）……………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯Q 2cos22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分所以123n n n a b n --=-，故()()()011234323n n S n -=-+-++-L()2213213n n n +-=--211322n n n =++-⋅………………………………………………12分 17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）Θ (sin ,cos )m b A a a B =-u r 与向量(2,0)n =r 所成角为3π，∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴21)6sin(=+πB又Θπ<<B 0，∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B …………6分 （Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +πΘ30π<<A ，∴3233πππ<+<A 所以C A sin sin +的范围为3(,1]2. ……… …12分18. (本小题满分12分)解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=………………………………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，54121(0)(1)(1),2348P ξ==--=g1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-=g g g g 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=g g g g g33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=g g g g g g4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=g g g g4121(5)(),2324P ξ===g ……………………………………………………………10分所以随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3 4 5P14818 724 13 316 124 故117131801234548824316243E ξ=+++++=g g g g g g ………………………12分19. (本小题满分12分)解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . …………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. …………5分Θ2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . …………………… …6分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………7分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v .……………8分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r，1(1,0,1)DC =u u u u r . ………………………9分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………………10分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ……………………11分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………………12分 20. (本小题满分13分)解（Ⅰ）当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 ………………………………………………3分 （Ⅱ）当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ 解得12121222222xx x +-===或（舍），或 所以2212log log (12)12x +==+-或1x =- ………………………………………………8分 （Ⅲ）当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||b x a x --<；即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1bb x a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+; 对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +- ②当10b -≤<,在(]0,1上,()2bh x x b x=-≥-, 当x b =-时,min ()2bx b x-=-,此时要使a 存在,必须有1210b b b ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩ 即1223b -≤<-,此时a 的取值范围是(1,2)b b +-综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-; 当1223b -≤<-时,a 的取值范围是(1,2)b b +-;当2230b -≤<时,a 的取值范围是∅ ………………………………………………13分 21. (本小题满分14分)解（Ⅰ）32y x =-………………………………………………3分（Ⅱ）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012)('==-=x xx u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增， 所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以20ea ≤<. ………………………………………………8分 （Ⅲ）当1=a 时，x x x x f x g ln )()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1,0(e上是减函数.因为11211<+<<x x x e，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+即)ln(ln 211211x x x x x x ++<,同理)ln(ln 212212x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421221≥++x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1(,2121<+∈x x ex x ，0)ln(21<+x x ,所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++,所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+，所以：42121)(x x x x +<. ………………………………………………14分高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合20x A xx ⎧-⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2,3B =，则A B I =（ ）. A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3} 2.已知21zi i=--，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）.A ．132 B ．164 C ．364 D ．3324.命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．03a <<B ．0a <或3a ≥ C. 0a <或3a > D. 0a ≤或3a ≥ 5.函数lg xy x=的图像大致是（ ）.A ．B ． C. D ． 6.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）.A ．17-B ．7 C. 17D ．-7 7.已知向量满足a r 、b r ，满足2a =r ，1b =r ，()0a b b -•=r r r，那么向量a r 、b r 的夹角为（ ）.A ．30°B ．45° C.60° D ．90°8.已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率为（ ）.A ．3B ．51+ C. 2 D ．23+ 9.函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移4T个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）.A ．最大值为1，图像关于直线2x π=对称 B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 C.在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则线段CM 的长为（ ）. A ．2 B ．3 C.32 D ．2211.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A B 、两点若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF =（ ）.A ．1B ．2 C.3 D ．412.在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且满足=b c ，1cos cos bBa A-=，若点O 是ABC∆外一点，(0)AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）.A ．4534+ B ．8534+ C.3 D ．452+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图所示的程序框图，输出的S = ．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．15.若非负实数,x y 满足：125y x x y ≥-⎧⎨+≤⎩，（2,1）是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优解，则a 的取值范围为 ．16.若直角坐标系内A B 、两点满足：（1）点A B 、都在()f x 的图像上；（2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有 个． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，12n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT .18. 如图，在三棱柱111ABC AB C -中，AB ⊥平面11BB C C .且四边形11BB C C 是菱形，160BCC ∠=︒.（1）求证：1AC B C ⊥；（2）若1AC AB ⊥,三棱锥1A BB C -的体积为63，求ABC ∆的面积. 19. 二手经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手汽车当使用年数为9年时售价大约为多少？（b$、ˆa 小数点后保留两位有效数字）.（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑.参考数据：61187.4i ii x y==∑，6147.64i i i x z ==∑，621139i i x ==∑，621() 4.18i i x x =-=∑，621()13.96i i y y =-=∑，621()1.53ii z z =-=∑，ln1.460.38≈，ln0.71180.34≈-.20. 已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的焦点分别为12B B 、，直线1B P 和2B P 分别与x 轴相交于C D 、两点，请问线段长之积OC OD •是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 坐标为（-1,0），设过点C 的直线l 与E 相交于A B 、两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数，2()ln f x x a x =-+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当4a =时，记函数()()g x f x kx =+，设1212()x x x x <、是方程()0g x =的两个根，0x 是12x x 、的等差中项. ()g x '为函数()g x 的导函数，求证：()0g x '<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是6cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且27AB =，求直线的倾斜角α的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x =+-.（1）求关于x 的不等式()3f x <的解集；（2）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.文科数学答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案AACBDCCABCAB二、填空题：13．88； 14．64+4π； 15．[6,)+∞； 16．2 三、解答题：17.解：（1）∵12n n a S +=+∴12(2)n n a S n =-+≥.两式作差得：11n n n n n a a S S a +--=-=， 所以：12n n a a +=，即12(2)n n na a n a +=≥. 又当1n =时：2124a S =+=，∴212a a =成立； 所以数列{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，∴1.12()n n n a a q n N -==∈.(2)由（1）可得：2log n n b a n ==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++， ∴111111()()...()12231n T n n =-+-++-+, 1111nn n =-=++. 18.解：（1）证明：连结1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥. 因为四边形11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥, 又因为1AB BC B =I ，所以1B C ⊥平面1ABC . 因为1AC ⊂平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）由AB ⊥平面11BB C C ，1BC BB =可知1AC AB =. 设菱形11BB C C 的边长为a ，因为160BCC ∠=︒，所以22221112cos1203B C BC BB BC BB a =+-••︒=.因为1AC AB ⊥，所以222113AC AB B C a +==，所以162AC AB a ==. 因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂侧面11BB C C ，所以AB ⊥BC , 所以在Rt ABC ∆中，2222AB AC BC a =-=. 因为1111126sin12033223A BBC BB C V S AB a a a -∆==---︒-=, 解得：2a =，所以222AB a ==，2BC a ==. 所以1122222ABC S BC AB ∆=•=⨯⨯=. 19.解：（1）由已知： 4.5x =,2z =,6147.64i ii x z==∑，621()4.18ii x x =-=∑，621()1.53ii z z =-=∑，所以12211()()47.646 4.52 6.36 6.36()0.994.18 1.53 6.3954 6.40()()niii n niii i x x z z r x x z z ===---⨯⨯===-≈⨯--∑∑∑.z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高.（2）11222211()()47.646 4.52 6.36ˆ0.361396 4.517.5()nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====----⨯⨯====-≈--⨯--∑∑∑∑.ˆˆ20.36 4.5 3.62ay bx =-=+⨯=. 所以z 关于x 的线性回归直线方程为ˆ0.36 3.62ln z x y =-+=. 所以y 关于x 的回归方程为：0.36 3.62ˆx y a -+=，当9x =时，0.38ˆ 1.46ya =≈，所以预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价大约为1.46万元.（3）令ˆ0.7118y≥，即0.36 3.63ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥== ,所以0.36 3.620.34x -+≥-，解得：1x ≤ .因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.20.解：（1）依题意可得：圆M 的圆心坐标为(1,0)M -半径为4r =，QN QF =,则4QN QM QF QM R MF +=+==> .根据椭圆定义，E 是以(1,0)M -,(1,0)F 为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为：22221(0)x y a b a b+=>>,∴24,22,a c ==即2,1a c ==，∴223b a c =-=.∴E 的方程为：22143x y +=. （2）证明：设00(,)P x y 直线1B P 方程为：0033y y x x +=-， 令0y =得：0033C x x y =+，同理可得：0033D x x y =-，所以200200333333C D x x x OC OD x x y y y •=•=•=-+-. 因为点P 是E 上且不在坐标轴上的任意一点，所以2200143x y += 即22200031244(3)x y y =-=-,所以2200220034(3)433x y OC OD y y -•===--，因此OC OD •的定值为4. （3）当点C 的坐标为（-1,0）时，点(4,0)D -，3CD =, 设直线l 的方程为：1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ,联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 并整理得：22(34)690m y my +--=.解得：221222361361,3434m m m m y y m m -+++==++, 所以212212134m y y m +-=+.所以ABD ∆的面积,2212222213121181181223434311m m S CD y y m m m m ++=•-=-==+++++.∵20m ≥，211m +≥，∴13y x x=+在[1,)+∞上为增函数, ∴22113131411m m ++≥⨯+=+，所以∴18942S ≤=，所以当0m =即直线AB 的方程为：1x =-时，ABD ∆面积的最大值是92. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,又22()2a x af x x x x-=-=- ,当0a ≤时；在()0,+∞上()f x 为减函数； 当0a >时；()0f x '=得：12a x =或22ax =-（舍）. 在(0,)2a 上()0f x '>，()f x 是增函数；在()2a+∞，上()0f x '<，()f x 是减函数； （2）∵2()4ln g x x x kx =-+，∴4()2g x x k x'=-+. 又1202x x x +=,2111122222()4ln 0()4ln 0g x x x kx g x x x kx ⎧=-+=⎨=-+=⎩. 两式相减得：121212124(ln ln )()()()0x x x x x x k x x --+-+-=,1212124(ln ln )()x x k x x x x -=+- .004()020g x x k x '<⇔-+<, 1212124(ln ln )80x x x x x x -⇔-<+-,11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --⇔<=++令12xt x =，即(0,1)t ∈,即证2(1)4ln 211t t t t -⇔<=-++. 令4()ln 2(01)1h t t t t =+-<<+,∴22214(1)()(1)(1)t h t t t t t -'=-=++. 当(0,1)t ∈时，()0h t '>，()h t 为增函数，∴()(1)0h t h <=. ∴4ln 21t t <-+成立，所以原不等式成立. 22.解析：（1）由6cos ρθ=得26cos ρθ=． ∵222x y ρ+=，cos x ρθ=,cos y ρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即223=9x y -+（）； （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 2)(sin )9t t αα-+=.化简得24cos 50t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、，则12124cos ,5.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =- ,221212()416cos 2027t t t t α=+-=+=.∴2216cos 8,cos 2αα==±, ∵[0,)απ∈∴4πα=或34π． 23.解：（1）()2f x <，即23x x +-<，原不等式可化为：0223x x ≤⎧⎨-+<⎩或0223x <<⎧⎨<⎩或2223x x ≥⎧⎨-<⎩，解得：102x -<≤或02x <<或522x ≤<， ∴不等式的解集为：1522x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）()2(2)2f x x x x x =+-≥-=,故若关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，则2a >， ∴a 的范围是(2,)+∞.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．函数23log (21)y x =-的定义域是A ．[1，2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]22．“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如右图所示，则(2)y f x =--的图象为4．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为，设抛物线上任意一点P 到直线的距离为m ，则||PC m +的最小值为A ．5 B.41 C.41-2 D.4 5．2020年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2 所名校录取，则不同的录取方法有A ．68种B ．84种C ．168种D ．224种 6．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是A ．5>kB ．5<kC ．5≥kD ．6≤k7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有A ．201320140,0S S ><且B ．201320140,0S S <>且C ．201320140,0a a ><且D ．201320140,0a a <>且8．已知O,A,M,B 为平面上四点，且(1)OM OB OA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，实数(1,2)λ∈，则A. 点M 在线段AB 上B. 点B 在线段AM 上C. 点A 在线段BM 上D. O,A,M,B 一定共线9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==o ，且ABC ∆面积为3,则sin sin a bA B+=+A ．21B ．2393C ．221 D. 2710．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：① 使[]31=+x 成立的x 的取值范围是23x ≤<； ② 函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③ 23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭L 1007；④ 设函数(){}()010x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩ ，则函数()1144y f x x =--的不同零点有3个.其中正确的命题有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置） 11．复数3i+41+2i的虚部是__ ___．12．若 11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是__ ___．13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A Λ21中，不等式12111nA A A ++L +≥__ ___成立.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为2,2212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (为参数)，圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线的距离为_________．B ．（几何证明选讲）如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211,(1),1,2,.2n n a S n a n n n ==--=L (Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S nn 1是等差数列，并求n S ； （Ⅱ）设233nn S b nn +=，求证：125.12n b b b ++L +< 18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．(Ⅰ) 若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅱ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中 (Ⅰ)恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望.20．（本小题满分13分）已知函数()x e f x x=的定义域为(0,)+∞.（I ）求函数()f x 在[]1(0)m m m +>，上的最小值；（Ⅱ）对(0,)x ∈+∞任意，不等式2()1xf x x x λ>-+-恒成立，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形.（I ）求椭圆方程；（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OP OM •为定值；（III ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.数学（理科） 参考答案与评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CABBCAABDC二、填空题11．-1； 12．2； 13．23； 14．; 15．A. 322； B ．512； C ．[3,1]-．三、解答题16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+-- 311+sin 2cos 21+sin(2)226x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ………6分 （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A Θ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1 ………12分17. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)证明：由)1(2--=n n a n S n n 知，当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ，即)1()1(122-=---n n S n S n n n ，∴1111=--+-n n S n nS n n ，对2≥n 成立.又⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列. 1)1(11⋅-+=+n S n n n ，∴12+=n n S n . ………6分 （Ⅱ）)3111(21)3)(1(1323+-+=++=+=n n n n nn S b n n ，………8分 ∴)311121151314121(2121+-+++-+⋯+-+-=+⋯⋯++n n n n b b b n =125)312165(21<+-+-n n . ………12分 18．（本小题满分12分）解 (Ⅰ) 证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE// AC 1．因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ．……… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ． 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 4, 4)，B 1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（0a >，0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =，即13BD BA =u u u r u u u r ．所以2a =，43b =，4(1,,0)3BD =-u u u r ，1(3,0,4)CB =u u u r, ,4(2,,0)3CD =u u u r ．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =u u r ． 设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =u u r，由120CB n ⋅=u u u r u u r，20CD n ⋅=u u u r u u r ， 得 3404203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以 43x =-，2y =，24(,2,1)3n =-u u r .所以 12123cos 61n n n n θ⋅==u u r u u r u u r u u r ． 所以二面角1B CD B --的余弦值为36161．……… 12分19. （本小题满分12分）解 (Ⅰ)所有可能的申请方式有43种, 恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242•C 种,从而恰有2人申请A 片区房源的概率为278324224=•C ， ……… 5分 （Ⅱ）ξ的所有可能值为321，，， 27133)1(4===ξP ,27143)()2(42224341223=+==C C C C C P ξ，943)3(4122413===C C C P ξ，综上知, ξ的分布列为从而有2765943271422711=⨯+⨯+⨯=ξE . ……… 12分20. （本小题满分13分）……… 1分……… 3分（I ）, ……… 5分……… 7分……… 9分，……… 13分21．（本小题满分14分）解：（I ）222,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+y x ,………4分（Ⅱ）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→→,直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x y y +=，代入椭圆4222=+y x 得042121)81(2020220=-+++y x y x y ,8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x Θ，882001+=∴y y y ，)88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ，48324888)8(42020********=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值）,………10分 （III ）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥,, ………14分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
广西南宁二中、成都石室中学2020届一诊考试理科数学
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 的周长为8，求 的面积的取值范围.
19.（12分）如图，在四棱柱 中，底面 是边长为2的菱形，且 ， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
20.（12分）设椭圆 ，过点 的直线 分别交 于不同的两点 ，直线 恒过点 ．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，直线 （ 为参数）与曲线 （ 为参数）相交于不同的两点 ．
（Ⅰ）当 时,求直线 与曲线 的普通方程；
（Ⅱ）若 ,其中 ,求直线 的倾斜角．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）当 时，不等式 成立，证明： .
成都石室中学2020届一诊考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
Hale Waihona Puke 1.已知集合 ， ，则（A） （B） （C） （D）
2.设 为虚数单位，若复数 满足 ，则 的共轭复数为
（A） （B） （C） （D）
3.若等边 的边长为4，则
（A） （B） （C） （D）
消费次第
第 次
第 次
第 次
第 次
次
收费比率
该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中, 随机抽取了 位进行统计, 得到统计数据如下:
消费次数
次
次
次
次
次
人数
假设汽车美容一次, 公司成本为 元, 根据所给数据, 解答下列问题:
（Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；
2020届四川省成都市一诊数学(理科)试卷及答案
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
第 6页（共 19页）
A．72.5
B．75
C．77.5
D．80
【解答】解：由频率分布直方图得：
[50 ， 70) 的频率为： (0.010 0.030) 10 0.4 ，
[70 ， 80) 的频率为： 0.040 10 0.4 ，
③ x 的取值范围为 (0, 4 2 2) ；
④三棱锥 P ABC 体积的最大值为 1 ． 3
第 2页（共 19页）
则正确的结论的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
x y 40
13．（5
分）已知实数
x
，
B． 5 3
C． 5 2
D． 5 2
4．（5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名
同学的得分都在[50 ，100] 内，按得分分成 5 组：[50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ，80) ，[80 ，
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
2020 年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若复数 z1 与 z2 3 i(i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1 (
)
A． 3i
B． 3 i
四川省成都市2020届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题及答案word完整版
成都市2020届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 1与z 2＝－3－i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3＋i D ．3－i2．已知集合A ＝{－1，0，m }，B ＝{1，2}。
若A ∪B ＝{－1，0，1，2}，则实数m 的值为( ) A ．－1或0 B ．0或1 C ．－1或2 D ．1或2 3．若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan2θ＝( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.524．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果显示这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A ．72.5B ．75C ．77.5D ．805．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3a 3，则S 9S 5＝( )A.95B.59C.53D.2756．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n D ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为( )A ．25B ．－25C ．5D ．－58．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图像向左平移π6个单位长度，得到函数f (x )的图像，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫8x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫8x －π3 9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点。
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2020届四川省成都石室中学一诊数学理科试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）. A．B．C．D．
2. 若复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A．B．C．D．
3. 若等边的边长为4，则（）
A．8 B．C．D．
4. 在的展开式中的系数为（）
A．50 B．20 C．15 D．
5. 若等比数列满足：，，，则该数列的公比为（）
A．B．2 C．
D．
6. 若实数，满足，则（）
A．B．
C．D．
7. 在正四棱柱中，，，点，分别为棱
，上两点，且，，则（）
A．，且直线，异面 B．，且直线，相交
C．，且直线，异面D．，且直线，相交8. 设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平
行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．
9. 国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为
时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏
球的概率为，则在比分为，且甲发球的情况下，甲以赢下比赛的概率为（）
A．B．C．D．
10. 函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
11. 设圆，若等边的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值为（）
A．B．C．4 D．
12. 设函数，下述四个结论：
①是偶函数；
②的最小正周期为；
③的最小值为0；
④在上有3个零点
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①②③C．①③④D．②③④
二、填空题
13. 若等差数列满足：，，则______.
14. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
15. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则______.
16. 若函数f（x），恰有2个零点，则实数的取值范围是_____.
三、解答题
17. 某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:
消费次
第次第次第次第次次第
收费比
率
该公司注册的会员中没有消费超过次的,从注册的会员中,随机抽取了100位
消费次
次次次次次数
人数
假设汽车美容一次,公司成本为元,根据所给数据,解答下列问题:
（1）某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;
（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为元,求的分布列和数学期望.
18. 的内角，，的对边分别为，，，设
.
（1）求；
（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.
19. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且
，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点
（1）证明：直线，的斜率之和为定值；
（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
21. 设函数，，，
.
（1）证明：；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
22. 在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线
（为参数）相交于不同的两点，.
（1）当时，求直线与曲线的普通方程；
（2）若，其中，求直线的倾斜角.
23. 已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，不等式成立，证明：。