2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科)(有答案解析)
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，其中i为虚数单位，则A. B. C. 2 D.2.函数的定义域为A，集合，则A. B.C. D.3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为A. 1B. 2C. 3D. 44.函数在的图象大致为A. B.C. D.5.要得到函数的图象，只须将函数的图象A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移6.已知，A. B. C. D.7.已知l为抛物线的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为，则的最小值是A. B. 4 C. 2 D.8.不等式组表示的平面区域为，则A. ，B. ，C. D.9.平行四边形ABCD中，已知，，点E、F分别满足，且则向量在上的投影为A. 2B.C.D.10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，AD为BC边上的中线，若，则的面积为A. B. C. D.11.已知实数，，函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.是边长为的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，，沿EF把折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥的体积的最大值为A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数的图象在点处的切线与直线l：垂直，则实数a的值为______14.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是______ 15.已知已知a、b为正实数，直线截圆所得的弦长为，则ab的最小值为______16.在中，B、C的坐标分别为，且满足，O为坐标原点，若点P的坐标为，则的取值范围为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足：对一切成立．求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.如图，四棱锥的底面ABCD中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面ABCD，M为PA中点．求证：平面PBC；若，，求三棱锥的体积．19.贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售．经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内．生产210吨该产品，以单位：吨，表示下一个销售周期市场的需求量，单位：万元表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．求实数a的值；将Y表示成x的函数，并求出解析式；估计销售利润不少于910万元的概率．20.已知椭圆C：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点F．求椭圆C的标准方程；为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为．求证：的面积为定值．21.已知函数e为自然对数的底数．若有两个零点，求实数a的取值范围；若有两个零点、，且，求证：．22.已知点A为圆C：上的动点，O为坐标原点，过作直线OA的垂线当A、O重合时，直线OA约定为y轴，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求点M的轨迹的极坐标方程；直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．23.已知函数．求不等式的解集；若正数m、n满足，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：．．故选：D．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：集合，，可得，即，则，故选：A．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.答案：C解析：解：由于输出结果，根据跳出循环时条件可知：若，解之得，符合题意；若，解之得，符合题意；所以x可以取7，，故选：C．根据程序框图一步一步倒着进行运算．本题考查程序框图，注意每次循环写出当时所有参数的值，不容易出错，属于基础题．4.答案：A解析：解：，故函数为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B；又，故可排除C；又时，，故，由此可排除D．故选：A．由函数的奇偶性可排除选项B，再由特殊点的函数值可排除C，由函数在时的范围可排除D．本题考查由函数解析式确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．5.答案：C解析：解：令，则，要得到函数的图象，只须将函数的图象向左平移个单位，故选：C．令，则，从而可得答案．本题考查函数的图象变换，掌握图象变化的方向与平移单位是关键，属于中档题．6.答案：A解析：解：，，，最大，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.答案：B解析：解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，所以，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，故选：B．由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且仅当P，F，M三点共线时，且P，M在F的同一侧时取到最小值．本题考查抛物线的性质，三点共线时取到最值，属于中档题．8.答案：D解析：解：不等式组对应的平面区域如图：；；令，平移，则当其过点A时，取最大值：，当其过点O时，取最小值：；即：；故AB都错；设表示平面区域内的点与定点连线的斜率；由图可得：或；错D对；故选：D．画出对应的平面区域，转化为求和的取值范围，数形结合求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合．9.答案：C解析：解：如图；因为，，点E、F分别满足，所以：，，；．；向量在上的投影为：．故选：C．根据其数量积以及已知条件可以求得，再代入投影的定义求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：B解析：解：如图；设；则；；；；，联立得：舍；的面积为：．故选：B．设，利用两次余弦定理求得；再利用角，即可求出c，进而求得结论．本题考查的面积的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．11.答案：B解析：解：根据题意，函数在R上单调递增，当，，若为增函数，则，当，，若为增函数，必有在上恒成立，变形可得：，又由，分析可得，若在上恒成立，则有，若函数在R上单调递增，则有，联立可得：，故选：B．根据题意，对于函数分2段分析：当，，由指数函数的性质分析可得，当，，由导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，变形可得，再结合函数的单调性，分析可得，联立三个式子，分析可得答案．本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质．12.答案：D解析：解：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面平面EFCB时，体积才最大；设；设O为EF的中点，如图：等边中，点E，F分别为AB，AC上一点，且，，为EF的中点，，平面平面EFCB，平面平面，平面EFCB，，四棱锥的体积，，负值舍，，V单调递增，，V单调递减，，四棱锥的体积最大，最大值为：．故选：D．先根据平面平面EFCB时，体积才最大，再设；把所求体积转化为关于a的函数，利用导数，即可求出当a为何值时，四棱锥的体积最大，并求出最大值．本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查四棱锥的体积，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：解析：解：，切线的斜率为，所以，所以，故答案为：．根据切线与已知直线垂直，切线的斜率可求，再利用切点处导数值就是切线斜率列出方程，求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基础知识，属于基础题．14.答案：解析：解：现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括以下四个基本事件：，，，数字没有先后顺序．取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率．故答案为：．现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：，求出取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括的基本事件，即可得出概率．本题考查了古典概率的概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：由直线截圆所得的弦长为，得圆心到直线的距离，即．、b为正实数，，则，当时，ab取得最小值为．故答案为：．由已知利用垂径定理可得，结合a、b为正实数，得，则，再由二次函数求最值．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，是中档题．16.答案：解析：解：设，因为在中，B、C的坐标分别为，且满足，所以：；即；点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上且，；；则；；；的取值范围为；故答案为：．根据，结合正弦定理得到点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上；设出A的坐标，代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用以及轨迹方程的求解，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．17.答案：解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，，当时，也符合上式，，．由知，，．解析：本题第题先将代入题干中表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减，进一步计算可得的表达式，再验证下是否符合表达式，即可得到数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：证明：设AB的中点为N，连结MN，DN，是等边三角形，，，，，，，，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，为的中位线，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，，DN为平面DMN内二相交直线，平面平面PBC，平面DMN，平面PBC．解：设BD中点为O，连结AO，CO，为等边三角形，为等腰三角形，且顶角，，，，C，O共线，，，，PC、平面PCO，平面PCO，平面PCO，，平面平面ABCD，交线为BD，平面PBD，平面ABCD，，，，O为BD中点，，三棱锥的体积为：．解析：设AB的中点为N，连结MN，DN，则，推导出，由，得，从而平面PBC，推导出，从而平面PBC，进而平面平面PBC，由此能证明平面PBC．设BD中点为O，连结AO，CO，推导出平面PCO，三棱锥的体积为：，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由，解之得．当时，，当时，，．当时，，由得：，．估计销售利润不少于910万元的概率为．解析：根据频率之和为1，可解得，根据题意求出每一段的解析式，由算出符合不少于910万元的频率，再算出概率．本题考查频率，以及根据题意求解析式，属于基础题．20.答案：解：由题意可知，，，又，，，椭圆C的标准方程为：；设，，，，当直线MN的斜率不存在时，，，，又，，，；当直线MN的斜率存在时，设，联立方程，消去y得：，，，，，，，又原点到直线MN的距离，，综上所求，的面积为定值．解析：由题意可知，，再结合离心率可求出a的值，再利用求出b的值，即可得到椭圆C的标准方程；设，，由可得，当直线MN的斜率不存在时，易求，当直线MN的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入，可得，利用弦长公式求出，又原点到直线MN的距离，所以，故的面积为定值．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：有两个零点关于x的方程有两个相异实根，由，知，有两个零点有两个相异实根，令，，由，可得，由，可得，在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，当时，，当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为由题意可得，，，，，，，．，要证，只要证，，设，只要证，即证，即证，设，，，在上单调递增，，，即，故．解析：有两个零点有两个相异实根，构造函数，利用导数求出函数的值域，即可确定a的范围；有两个零点、，可得，，要证，只要证，转化为，再构造函数，求出函数最值即可证明．本题考查导数和函数的单调性最值的关系，函数的零点不等式的证明，考查了转化与化归思想，属于难题．22.答案：解：设点M的极坐标为，所以根据题意，在中，有，所以点M的极坐标方程为：．设射线OA：，，圆C的极坐标方程为．由得到．由得：，所以．由于，所以，当，即，故．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价于或或，解得或或，综上，不等式的解集为；证明：，，，，，当且仅当，时取等号，，当且仅当时取等号，．解析：将所求不等式转化为不等式组求解即可；利用基本不等式可知，再利用绝对值不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式绝对值不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。
2020届 四川省 德阳市 高三“二诊”考试数学(文)试题(解析版)
2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（文）试题一、单选题1．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 5B 3C ．2D 2【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.【详解】解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ， 则112z =+.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.2．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A【解析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为3．【考点】程序框图．4．函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，在x π=时函数范围的判断进行排除，即可得答案.【详解】解：由已知()()()()()cos cos ln ln x x x xx x x xf x f x e e e e -----==-=-++，则函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-上是奇函数，故排除B ；又()()()()cos 0,1ln ln ln ln f e e e e e e e πππππππππππππ---==-<->-=-+++，故排除CD ；故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题.5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．6．二项式52x x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】求出二项式52x x ⎫⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果. 【详解】解：二项式52x x ⎫⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr r rr T C x C xx ---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.7．已知122a -=，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 5c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】先分析,,a b c 与1的大小关系,可得0,1a b c <<<,再分析66,a b 的大小即可.【详解】因为102221a -=<=,10311133b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,12221log log 5log 215c ==>=.故c 最大. 又166321228a -⨯-===,16236111339b ⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故66a b >,又,0a b >故a b >.故b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性与计算分析函数值大小的问题.属于基础题.8．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A 17B ．4C ．2D ．117+【答案】B【解析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-，过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号，∴MP d +的最小值为4. 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 【答案】D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1y z x y z x +=+=-，分析12,z z 的几何意义，可得12,z z 的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A ，()1,2B ， 设12z x y =+，则122z x y =-+，1z 的几何意义为直线122zx y =-+在y 轴上的截距的2倍，由图可得：当122z x y =-+过点()1,2B 时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最大，即25x y +≤，当122z x y =-+过点原点时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最小，即20x y +≥， 故AB 错误； 设221y z x +=-，则2z 的几何意义为点(),x y 与点()1,2-连线的斜率，由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确；故选：D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.10．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-【答案】C【解析】将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r ，再利用投影公式AD ABAB⋅u u u r u u u r u u u r 可得答案. 【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=u u ur u u u r ， 得6AD AB ⋅=u u u r u u u r，旗开得胜则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB⋅==u u u r u u u ru u ur . 故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r表示是关键，是基础题.11．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ） A 253B 153C ．154D 353【答案】B【解析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==，在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯=o V故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.12．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=， 若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.13．ABC V 是边长为23E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ）A 53B 33C ．64D 36【答案】D【解析】由题意知当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时球半径最小.且球心O 到四棱锥P BCFE -各顶点的距离相等,再计算此时P 到平面BCFE 的距离求解即可.【详解】由题,取BC 中点O ,连接,,EF EO FO ,因为ABC V 是边长为23的等边三角形,故,,,AEF EBO EOC EFO V V V V 均为边长为3的等边三角形.连接AO 交EF 于G .易得G 为EF 中点,且,AO EF AO BC ⊥⊥.32AG OG ==.又四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时球半径最小,且球心到,,,E F B C 的距离相等.故球心在过O 且与平面BCFE 垂直的直线上.故当球心为O 时,球半径取得最小值3.此时有33,2OP OG PG ===. 在POG V 中由余弦定理可得2222333122cos 3322OGP ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. 因为,GO EF GP EF ⊥⊥,故EF ⊥平面OPG .故P 到平面BCFE 的距离231sin 1223d PG OGP ⎛⎫=⋅∠=-= ⎪⎝⎭又底面(113362332322BCFE S =⨯⨯=故选：D【点睛】本题主要考查了几何体外接球的问题,需要根据题意分析球心的位置,并根据解三角形求解相关的线段长度进而求得体积等.需要一定的空间想象能力与计算能力.属于难题.14．ABC V 是边长为3E 、F 分别在AB 、AC 上滑动，EF BC ∥，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值（ ）为A ．22B 3C ．3D ．2【答案】D【解析】以四边形BCFE 为底面,易得当平面PBC 与平面BCFE 垂直时四棱锥P BCFE -的体积取最大值.再求得底面积与高即可.【详解】以四边形BCFE 为底面,则当P 与平面BCFE 距离最远时四棱锥P BCFE -的体积取最大值.易得此时平面PBC 与平面BCFE 垂直. 作AM BC ⊥于M ,交EF 于N .则易得AN EF ⊥,sin 3AM AC C =⋅=.又因为ABC V 是边长为23的等边三角形, 设NF x =,则2EF x =,3AN x =.则33NM x =-.此时底面(())2122333332BCFE S x x x =+⨯=-. 故四棱锥P BCFE -的体积为)()22133333V x x x x =-=-.其中(3x ∈.设()()23f x x x =-,故()()()22'3233f x x x x x=-+⋅-=-,令()'0f x =有1x =.故()()23f x x x=-在()0,1上单调递增,在()1,3上单调递减.故()f x 的最大值为()()211312f =-=.故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中体积的最值问题,需要根据题意分析取最值时的垂直情况,再设对应的自变量,列出关于体积的表达式,求导分析最值求解即可.属于中档题.二、填空题15．已知函数()2f x x ax =+的图象在点()()1,1A f 处的切线与直线l ：320x y -+=垂直，则实数a 的值为__________．【答案】5-【解析】根据导数的几何意义求解()2f x x ax =+的图象在点()()1,1A f 处的切线斜率,再根据直线垂直列式求解即可.【详解】由题, ()'2f x x a =+,故函数在点()()1,1A f 处的切线斜率为()'12f a =+.又320x y -+=斜率为13,故()12153a a +=-⇒=-. 故答案为：5-【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题.16．在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是__________．【答案】25【解析】利用枚举法将所有可能的情况列出再分析即可.【详解】易得所有可能的情况有()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5共10种情况.其中满足取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有()()()()1,3,1,5,2,4,3,5共4种情况.故概率取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是42105=. 故答案为：25【点睛】本题主要考查了枚举法求解古典概型的方法,属于基础题.17．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为22ab 的最大值为__________．【答案】14【解析】根据垂径定理求得,a b 的关系,【详解】因为直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为22且圆的半径为2.故圆心(),a b 到直线的距离2222222d ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭122a b ++=,因为a 、b 为正实数,故1a b +=,所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当且仅当12a b ==时取等号. 故答案为：14【点睛】本题主要考查了垂径定理的运用以及基本不等式求最值的问题,属于中档题.18．在ABC V 中，B 、C 的坐标分别为()22,0-，()22,0，且满足2sin sin 2B C A -=，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为__________. 【答案】()12,+∞【解析】由正弦定理可得点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则224AO AP x x y ⋅=-+u u u r u u u r ，将224y x =-代入可得()2216AO x AP ⋅-=-u u u r u u u r ，利用二次函数的性质可得范围.【详解】解：由正弦定理得224244222AC AB BC -===< 则点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则221,244x y x -=<-，()()224.4,AO AP x y x y y x x --⋅=⋅--=-+u u u r u u u r，又224y x =-，()22242641AO x AP x x x ∴⋅=--=--+u u u r u u u r ，因为2x <-，则()2221612AO AP ⋅>⨯---=u u u r u u u r ，即AO AP ⋅u u u r u u u r的取值范围为()12,+∞. 故答案为：()12,+∞.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.三、解答题19．已知数列{}n a 满足：()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()()()35412n n n S n n +=++【解析】（1）先通过1n =求得11a =，再由2n ≥得()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得2111122n n a a n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+Q ①，∴当1n =时，1122a ⋅=，11a ∴=，当2n ≥时，()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，①-②得：22n nn a n ⋅=⋅，n a n ∴=，适合11a =，故n a n =；（2）()211111222n na a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，11111111121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()()35412n n n n +=++.【点睛】本题考查n S 法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点．（1）求证：DM //平面PBC ；（2）若23AB =PD PB ⊥，求三棱锥P BDM -的体积．【答案】（1）证明见解析 （2）32【解析】(1)设AB 中点为N ,连接MN 、DN ,再证明平面//DMN 平面PBC ,进而得到DM //平面PBC 即可.(2) 设BD 中点为O ,连接AO 、CO ,根据12P BDM P ABD V V --=,再计算底面ABD △的面积,并证明三棱锥P ABD -的高为PO 计算即可.【详解】（1）证明：设AB 中点为N ,连接MN 、DNQV ABD 为等边三角形DN AB ∴⊥DC CB =Q ,120DCB ∠=︒30CBD ∴∠=︒603090ABC ∴∠=︒+︒=︒即CB AB ⊥DN AB ⊥Q //DN BC ∴BC ⊂Q 平面PBC ,DN ⊄平面PBC //DN ∴平面PBCMN Q 为PAB △的中位线旗开得胜//MN PB ∴PB ⊂Q 平面PBC ,MN ⊄平面PBC//MN ∴平面PBCMN Q 、DN 为平面DMN 内二相交直线∴平面//DMN 平面PBCDM ⊂Q 平面DMN//DM ∴平面PBC ．（2）解：设BD 中点为O ,连接AO 、CO 与POQV ABD 为等边三角形,BCD V 是等腰三角形,且顶角120BCD ∠=︒ AO BD ∴⊥,CO BD ⊥A ∴、C 、O 共线PC BD ⊥Q ,BD CO ⊥,PC CO C =I ,PC ,CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO ．PO ⊂Q 平面PCO BD PO ∴⊥Q 平面PBD ⊥平面ABCD ,交线为BD ,PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD ．设23AB =,3AO ∴=PD PB ⊥Q ,O 为BD 中点132PO BD ∴== 111113223622P BDM P ABD ABD V V S PO AO BD PO --∴==⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了根据面面平行证明线面平行的方法与三棱锥体积的求法,需要根据题意证明线面垂直得到三棱锥的高,再根据平面几何的关系求解面积等.属于中档题.21．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品，以x （单位：吨，180230x ≤≤）表示下一个销售周期市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x 分布在各区间内的频率为相应的概率．（1）求实数a 的值；（2）将Y 表示成x 的函数，并求出解析式；（3）估计销售利润不少于910万元的概率．【答案】（1）0035a =． （2）7420,1802101050,210230x x Y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（3）0.9【解析】(1)根据频率分布直方图的面积之和为1列式求解即可.(2)根据题意,当210x ≥时生产的210吨该产品能全卖完,当210x <时,再利用总收入减去亏损计算即可.(3)根据(2)中的解析式求解910Y ≥时x 的取值范围,再结合频率分布直方图求解概率即可.【详解】解：（1）由()0.010015003001101a ++++⨯=．．．得：0035a =．． (2)当210x ≥时,21051050Y =⨯=当210x <时,()521027420Y x x x =--⨯=-所以7420,1802101050,210230x x Y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（3）当210230x ≤≤时,1050910Y =>由7420910x -≥得：190x ≥1901001)9(100P x ≥=-⨯=．．∴估计销售利润不少于910万元的概率为0.9．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的理解以及根据分段函数求利润的问题,属于中档题.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>5，右焦点为抛物线24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值. 【答案】（1）22154x y +=；（2）见解析 【解析】（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程； （2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()55,0x t t t =-<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通过OM 、ON 斜率之积为45-列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为45-可得22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解.【详解】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，1c ∴=，5e =Q ，5c a ∴=， 5a ∴=，2b =，∴椭圆方程为22154x y +=；（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()55,0x t t t =-<<≠代入22154x y +=得：25,25t M t ⎛- ⎝，25,25t N t ⎛-- ⎝， 222122552245555t t t k k t----∴⋅==-⋅ 2245455t t -∴-⋅=-，解得：252t =，2154525MONt S t -∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+由()2222245105200154y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①1221045km x x k +=-+，212252045m x x k-⋅=+ 4·5OM ON k k =-Q ，121245y y x x ∴⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()()22121254550k x x mk x x m +⋅+++=()2222252010545504545m km k mk m k k-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠()22121214MN k x x x x =++-2222210520144545km m k k k ⎛⎫-⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22225445145k m kk +-=++O 到MN 的距离21m d k=+12MON S MN d ∴=△ 222554m k m +-=22252m m m -=5=综上：5MON S =△.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.23．已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212x x e ⋅>．【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】(1)参变分离可知ln xa x =有两个相异实根,再构造函数()ln x G x x=,分析函数的单调性与最值,进而求得函数的取值范围数形结合求解即可.(2) 由题意得1212ax ax e x e x ⎧=⎨=⎩,再运算求得2121ln ln x x a x x -=-,又要证：212x x e ⋅>,只需证12ln ln 2x x +>,代入2121ln ln x x a x x -=-化简可得212122111ln ln ln 1x x xx x x x x ⎛⎫+ ⎪⎪+=⋅⎪- ⎪⎝⎭,再令21x t x =,构造函数分析单调性与最值证明1ln 21t t t +⎛⎫⋅> ⎪-⎝⎭即可. 【详解】解：（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ,知0x >()f x ∴有两个零点ln xa x⇔=有两个相异实根． 令()ln x G x x =,则()21ln xG x x-'= 由()0G x '>得：0x e <<,由()0G x '<得：x e >()G x ∴在()0,e 单调递增,在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==又()10G =Q∴当01x <<时,()0G x <,当1x >时,()0G x >当x →+∞时,()0G x →()f x ∴有两个零点时,实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）由题意得1212ax ax e x e x ⎧=⎨=⎩10x ∴>,20x >1122ln ln ax x ax x =⎧∴⎨=⎩ ()1212ln ln a x x x x ∴+=+ ①()2121ln ln a x x x x -=-12x x <Q2121ln ln x x a x x -∴=-要证：212x x e ⋅>,只需证12ln ln 2x x +>由①知：()()22112121212221111ln ln ln ln =ln 1x x x x xx x a x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪- ⎪+=+=⋅+⋅-⎪- ⎪⎝⎭120x x <<Q 211x x ∴> 令21x t x =,1t > ∴只需证1ln 21t t t +⎛⎫⋅> ⎪-⎝⎭1t >Q 101t t +∴>-∴只需证：()()21ln 1t t t ->+令()()()()21F ln 11t t t t t -=->+ ()()()()222114011t F t t t t t -'∴=-=>++()F t ∴在()1,+∞递增()()0F t F t ∴>=()()21ln 1t t t -∴>+即12ln ln 2x x +>,即212x x e ⋅>．【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性以及求解零点有关的问题,同时也考查了双变量构造函数证明单调性的方法,需要根据题意将参数a 用零点表达,再构造函数分析单调性证明不等式.属于难题.24．已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA 的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值.【答案】（1）4sin ρθ=；（223+ 【解析】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=，即可得结果； （2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立两个方程，可求出OA ，联立sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得OB ，则计算可得13sin 243OAOB πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2cos 4sin 3OA OBαα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭旗开得胜1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 213sin cos 44ααα=+ )13sin 2cos 218αα=++ 13sin 2438πα⎛⎫=++⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，max23OA OB ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， OA OB∴的最大值为238. 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题. 25．已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.【答案】（1）{}02x x ≤≤；（2）见解析【解析】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩，分别解出，再求并集即可； （2）利用基本不等式及2m n mn +=可得28m n +≥，代入()()21212f m f n m n m n +-=++-+≥+可得最值.【详解】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >Q ，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯，28m n ∴+≥，当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号，()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥，当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.。
2020届四川省德阳市2017级高三“二诊”考试数学(文)试卷及解析
【答案】A
【解析】
根据函数定义域得集合 ,解对数不等式得到集合 ,然后直接利用交集运算求解.
【详解】解：由函数 得 ,解得 ,即 ；
又 ,解得 ,即 ,
则 .
故选：A.
3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数 值的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
因为 ,故 平面 .
故 到平面 的距离 .
又底面 .
故选：D
14. 是边长为 的等边三角形, 、 分别在 、 上滑动, ,沿 把 折起,使点 翻折到点 的位置,连接 、 ,则四棱锥 的体积的最大值（ ）
为
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
以四边形 为底面,易得当平面 与平面 垂直时四棱锥 的体积取最大值.再求得底面积与高即可.
【详解】以四边形 为底面,则当 与平面 距离最远时四棱锥 的体积取最大值.易得此时平面 与平面 垂直.
作 于 ,交 于 .
则易得 , .又因为 是边长为 的等边三角形,
在 中,
则 ,得 ,
.
故选：B.
12.已知实数 , ,函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据题意,对于函数分2段分析：当 ,由指数函数的性质分析可得 ①,当 ,由导数与函数单调性的关系可得 ,在 上恒成立,变形可得 ②,再结合函数的单调性,分析可得 ③,联立三个式子,分析可得答案.
【详解】由题,取 中点 ,连接 ,因为 是边长为 的等边三角形,故 均为边长为 的等边三角形.连接 交 于 .
易得 为 中点,且 . .
又四棱锥 的外接球的表面积最小时球半径最小,且球心到 的距离相等.故球心在过 且与平面 垂直的直线上.故当球心为 时,球半径取得最小值 .
四川省德阳市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
四川省德阳市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116 【答案】C【解析】【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.2．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B I 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞ 【答案】B【解析】【分析】 由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围.由题意知，{}=02A B I ，，则{}02A ⊆，，故2a >， 又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B I 中的元素是解题的关键，属于基础题.3．水平放置的ABC V ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''V ，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+【答案】B【解析】【分析】 根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=.故选:B本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.4．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9 B ．27 C ．81 D ．83 【答案】A【解析】【分析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q.由43231030a a a -+=，得231030q q -+=，解得3q =或13q =. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =.又()4141340133a S -==-，解得113a =， 故341393a =⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】D【解析】【分析】 频数【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）. 故选：D. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形.本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.8．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定z i -，即可得z i -的最大值.【详解】 由1z =知，复数z 对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， z i -表示复数z 对应的点与点()0,1间的距离，所以max 112z i -=+=.故选：B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.9．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()21m n -+的最小值．【详解】Q 数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，求()21m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值. ∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()23115-+=.故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．10．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15± B ．15- C ．15 D ．75- 【答案】B【解析】【分析】 由已知条件利用诱导公式得3tan α=-，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.【详解】由题意得()tan πα-= 3tan 4α=-， 又π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π,πcos 0,sin 02ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-， 所以sin cos αα+ 341555=-=-， 故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题. 11．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323π C ．6423π D ．205π 【答案】C【解析】【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(34642223V π=⨯=. 故选：C本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.12．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则2248z z a bi a b i +=+++=+,可得2248a a b b ⎧⎪++=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则2248z z a bi a b i +=+++=+,2248a ab b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精准解析】四川省德阳市2020届高三“二诊”考试数学(文)试题
当
x
1,
f
(x)
x2
4 x
a ln
x
，由导数与函数单调性的关系可得
f
( x)
2x
4 x2
a x
0
，
在[1, ) 上恒成立，变形可得 a 2 ②，再结合函数的单调性，分析可得 a 1 4 ③，联立三
个式子，分析可得答案.
【详解】解：根据题意，函数
f
x
x
2
ax,x 1 4 a ln x, x
考点：程序框图．
4.函数
f
x
ln
x cos x ex ex
在 , 的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，在 x 时函数范围的判断进行排除，即可得答案.
【 详 解 】 解 ： 由 已 知
f
x
x cos x
ln ex ex
ln
x cos x ex ex
D. 160
【解析】
【分析】
-3-
求出二项式
2 x
x2
5
的展开式的通式，再令
x
的次数为零，可得结果.
【
详
解
】
解
：
二
项
式
2 x
x2
5
展
开
式
的
通
式
为
Tr1
C5r
2 5r x
x2
r
1
r
C5r 25r
5r 2r
x2
，
令
5
2
r
2r
0
四川省德阳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考诊断性考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前四川省德阳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考诊断性考试数学(文)试题(解析版)一、选择题1.已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ）C. 2【答案】D【解析】【分析】 把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z =.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.2.函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ） A. {}12x x <≤ B. {}22x x -≤≤ C. {}23x x -<< D. {}13x x <<【答案】A【解析】【分析】 根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤； 又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算,考查了函数定义域的求法,是基础题.3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 值的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 试题分析：根据题意,当2x ≤时,令213x -=,得2x =±；当2x >时,令2log 3x =,得9x =,故输入的实数值的个数为3．考点：程序框图．4.函数()()cos ln x x x x f x e e -=+在[],ππ-的图象大致为（ ） A. B.。
四川省德阳市2019-2020学年高考数学第二次押题试卷含解析
四川省德阳市2019-2020学年高考数学第二次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【答案】D【解析】【分析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c故111()...(21)2i n i i i i n i a a n c a a a n n i +-++-+=+++==++ 因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】【分析】 根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 3．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．4【答案】D【解析】【分析】 模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论．【详解】234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，3;4,20212S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4. 故选：D ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．4．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A【解析】【分析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 5．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ）A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B ＝{0，1，2，3}，本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．6．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1， 若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m mπ+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a =A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】【详解】方法一：设等差数列{}n a的公差为d，则112 656212a da d+=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，所以51(51)15a=+-⨯=.故选C．方法二：因为166256()3()2a aS a a+==+，所以53(2)21a+=，则55a=.故选C．8．执行如图所示的程序框图若输入12n=，则输出的n的值为（）A．32B．2C．52D．3【答案】C【解析】【分析】由程序语言依次计算，直到a b<时输出即可【详解】程序的运行过程为n12132252a52232112当n=2时，51ln 22n >=；时，15ln 22<，此时输出2n =. 故选：C【点睛】 本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题9．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=u u u r u u u r（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．9 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD =在ADC V 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.10．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．11．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】 根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是11212⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.12．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）A ．5B ．53C ．25D ．35【答案】A【解析】【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可.【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，22115BC CC BC =+=，在111Rt A B C △中，221111111115,cos 5A B AC B C B AC =+=∠=， 在11AC D V 中， 22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，22111113,3AB AA A B BD AB =+=∴==，在1BC D V 中，22211115cos 2565BC BD C D C BD BC BD +-∠===⋅. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省德阳市2022届高三第二次质量监测考试文科数学试题及参考答案
四川省德阳市2022届高三第二次质量监测考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}14A x x =<≤，{}0B x x =<，则下列结论正确的是（ ） A ．A B ⊆B ．{}0R B x x =>C ．{1R A x x =≤或}4x >D ．{}14A B x x ⋃=<<2．若复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．1i -3．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．1-4．设双曲线2214y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，若点P 在双曲线上，且13PF =，则2PF =（ ）A ．1或5B ．1C ．4D ．55．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且2sin b a B =， 则cos sin B C +的取值范围为（ ） A．B．C．32⎫⎪⎪⎝⎭D．12⎛ ⎝⎭6．下列结论错误的是（ ）A ．“2x =”是“2440x x -+=”的充要条件B ．若m ∈R ，则方程20x x m +-=一定有实根是假命题C ．在ABC 中，若“A B >”则“sin sin A B >”D ．命题p ：“0x ∃∈R ，200240x x -+>”，则p ⌝：“x ∀∈R ，2240x x -+<”7．如图所示，平面内有三个向量OA OB OC 、、，其中OA 与OB 的夹角为120，OA 与OC 的夹角为30，且1,3OA OB OC ===，若OC OA OB λμ=+，则(λμ+= )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()()sin 2sin f aa x x x xx =++++，定义城为R 的函数()g x 满足()()4g x g x +-=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y 、()22,x y 、、()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（ ）A ．24B ．12C ．6D ．09．已知,,,P A B C 是球O 面上的四个点，PA ⊥平面ABC ，26PA BC ==，90BAC ∠=︒，则该球的表面积为（ ）A ．28πB ．45πC ．35πD ．25π10．函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．以双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）中心O （坐标原点）为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M 点，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴的垂线，垂足恰为2OF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A 1BC 1D ．212．设2022ln 2020a =，2021ln 2021b =，2020ln 2022c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >>二、填空题13．在ABC 中，若π2C =，则sin sin A B 的最大值是______． 14．若()22lg x x f x a -=+是奇函数，则实数a =_____________．15．已知0>ω，函数()cos()4f x x πω=-在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是_______．16．如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿DE 翻折成1A DE △，若M 为线段1A C 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．①翻折到某个位置，使得1DA EC ⊥ ①翻折到某个位置，使得AC ⊥平面1A DE①四棱锥1A DCBE -①点M 在某个球面上运动三、解答题17．2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电．某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x （千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量x （千瓦时）时，超过部分按议价计费．随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0，50），[50，100），…[400，450]分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）．(1)求直方图中m 的值；(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x （千瓦时）的值；(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取2户，求其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知AB //CD ，AD ①CD ，AB ＝AD ＝1，DC ＝DP ＝2，PD ①平面ABCD ．(1)求证：BC ①平面PBD ；(2)设M ，N 分别为棱P A ，PC 的中点，点T 满足3=DT TP ，求证：B ，N ，T ，M 四点共面．20．在直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，点M 为1C 与2C 在第一象限的交点，且253MF =.（1）求1C 的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线//l MN ，且与1C 交于AB 、两点，若0OA OB ⋅=，求直线l 的方程.21．已知函数()()2x xf x ae x e =-.（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若对于任意的R x ∈，()10f x a+≤恒成立，求a 的最小值. 22．已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 上的点到直线20x y +的距离的最大值；(2)设P ，Q 是曲线C 上的两点，若OP OQ ⊥，求2222OP OQ OP OP+⋅的值．23．已知函数()2|||3|f x x x =--． (1)求函数()2f x ≥-的解集；(2)记函数()f x 的最小值为m ，若实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明2221825a b c ++≥．参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据子集、补集、并集的定义逐一判断即可. 【详解】A ：显然2,2AB ∈∉，所以A B ⊆不成立，因此本选项结论不正确； B ：因为{}0B x x =<，所以{}0R B x x =≥，因此本选项结论不正确；C ：因为{}14A x x =<≤，所以{1R A x x =≤或}4x >，因此本选项结论正确；D ：因为集合{}14A x x =<≤，{}0B x x =<，所以{}{}140A B x x x x ⋃=<≤⋃<，因此本选项结论不正确， 故选：C 2．B 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】解：由1z i i =+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴1z i =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义计算得选项. 【详解】解：画出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由3z x y =+得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，由图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值．由24y x y =⎧⎨+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，故点A 的坐标为A (2, 2)．①min 3228z =⨯+=． 故选：C ． 4．D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】解：由题易知1a =，2b =，c =因为根据双曲线定义有1222PF PF a -==且13PF = 所以21PF =或25PF =，因为21PF c a >-=， 所以25PF =． 故选：D 5．C 【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得sin B 进而求得B 的大小.根据三角恒等变换化简cos sin B C +，由此求得取值范围.【详解】依题意2sin b a B =，由正弦定理得sin 2sin sin B A B =， 所以1sin 2A =，cos A =由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=.由23202A B B B ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩. 所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22B B B B B =+=3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以1sin 32B π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，332B π⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，两角差的正弦公式，属于中档题. 6．D 【解析】 【分析】对于A, 22440x x x =⇔-+=，故A 正确﹔对于B ，①m ∈R 时，14m ∆=+的符号不能确定，故 B 正确；对于C ，利用正弦定理可以判断 C 正确；对于D ，利用存在量词命题的否定可以判断 D 错误. 【详解】解：对于A,①()22442x x x -+=-，①22440x x x =⇔-+=，① A 正确﹔对于B ，①m ∈R 时，14m ∆=+，不能确定方程20x x m +-=是否有根，① B 正确； 对于C ，在ABC 中，①sin sin A B a b A B >⇒>⇒>，① C 正确；对于D ，p ⌝：x ∀∈R ，2240x x -+≤，① D 错误. 故选：D. 7．C 【解析】 【分析】根据条件，可对 OC OA OB λμ=+的两边平方得出，223λλμμ=-+①，对OC OA OB λμ=+两边同时点乘 OA 即可得出22944μλλμ=-+②，联立①①即可解出λμ，的值． 【详解】OA 与OB 的夹角为120，OA 与OC 的夹角为30，且1,3OA OB OC ===∴对OC OA OB λμ=+两边平方得：223λλμμ=-+①；对OC OA OB λμ=+两边同乘OA 得：322μλ=-，两边平方得：22944μλλμ=-+②； -①②得：23344μ=；根据图象知，0μ>，1μ∴=，代入322μλ=-得，2λ=；3λμ∴+=．故选C ． 【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念，向量加法的平行四边形法则． 8．B 【解析】 【分析】分析可知函数()y f x =与()y g x =图象的交点也关于点()0,2对称，利用对称性可求得结果. 【详解】令()sin h x x x =+，其中R x ∈，()1cos 0h x x '=+≥且()h x '恒不为零， 所以，函数()h x 在R 上单调递增，且()00h =， 当0x <时，()()00h x h <=；当0x >时，()()00h x h >=.所以，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠， 因为()()()()sin 2sin 2sin sin a af x a x x a x x x x x x-=+-+-+=--++⎡⎤⎣⎦--+， 所以，函数()()4f x f x +-=，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称， 由题意可知，函数()g x 的图象也关于点()0,2对称，所以，函数()y f x =与()y g x =图象的交点也关于点()0,2对称， 所以，()66611104312i i i i i i i x y x y ===+=+=+⨯=∑∑∑.故选：B. 9．B 【解析】 【分析】根据可证三棱锥P ABC -的三条侧棱,,AB AC AP 两两互相垂直，将三棱锥P ABC -补形成以,,AB AC AP 为长宽高的长方体，又,,,P A B C 是球O 面上的四个点，所以球O 的直径为该长方体的体对角线，再根据题意可求出该长方体的体对角线长，进而求出球O 的表面积. 【详解】由题意，作出三棱锥P ABC -，如图所示，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥，又90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥， 又PA AB A =，所以AC ⊥平面PAB ；同理AB ⊥平面PAC ，则,,AB AC AP 两两互相垂直，将三棱锥P ABC -补形成以,,AB AC AP 为长宽高的长方体，如下图所示，又,,,P A B C 是球O 面上的四个点，所以球O 的直径为该长方体的体对角线， 又26PA BC ==，90BAC ∠=︒， 即球O的直径2R =R 是球O 的半径； 所以球O 的表面积为2445R ππ=. 故选:B. 10．A 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项.【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 为奇函数， 其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项， 2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项．故选：A 11．C 【解析】 【分析】由题意M的坐标为2cM ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得e 的方程，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：由题意可得圆的半径为c ，圆心为O ，依题意可得M 的横坐标为2c，纵坐标为=，即M的坐标为2c M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程可得22223144c c a b-=，即有22213144(1)e e e -=-， 42840e e ∴-+=，24e ∴=+，或24e =-，因为1e >，所以24e =+1e ∴=故选：C 12．D 【解析】 【分析】 分别构造ln ()1xf x x =+、ln ()1x m x x =-，利用导数研究其单调性，进而判断(2021),(2020)f f 、(2022),(2021)m m 的大小关系，即可知,,a b c 的大小关系.【详解】令ln ()1xf x x =+且(0,)x ∈+∞，则211ln ()(1)x xf x x +-'=+， 若1()1lng x x x =+-，则在(0,)x ∈+∞上211()0g x x x '=--<，即()g x 单调递减，又1()0g e e=>，221()10g e e =-<，即201(,)x e e ∃∈使0()0g x =，①在0(,)x +∞上()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；①(2021)(2020)f f <，有ln 2021ln 202020222021<，即a b >， 令ln ()1xm x x =-且(0,1)(1,)x ∈+∞，则211ln ()(1)x xm x x --'=-， 若1()1ln n x x x =--，则11()(1)n x x x '=-，即在(0,1)x ∈上()n x 单调递增，在(1,)x ∈+∞上()n x 单调递减，①()(1)0n x n <=，即()0m x '<，()m x 在(1,)x ∈+∞上递减， ①(2022)(2021)m m <，有ln 2022ln 202120212020<，即b c >， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：通过构造函数，利用导数研究单调性，进而比较函数值的大小. 13．12##0.5 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角正弦公式化简，再根据正弦函数性质求最值 【详解】解：因为在ABC 中，若π2C =， 所以sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以11sin sin sin cos sin 222A B A A A ==≤，即sin sin A B 的最大值是12故答案为：12##0.5 14．110【解析】 【详解】试题分析：依题意可得()00022lg 1lg 0f a a -=+=+=,1lg 1,10a a ∴=-∴=． 考点：奇函数． 15．1524ω≤≤ 【解析】【详解】()cos cos 44f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则222T ππππω⎛⎫=≥-= ⎪⎝⎭，02ω∴<≤，若2x ππ<<，则2x πωωωπ<<，2444x ππππωωωπ-<-<-，02ω<≤，34244ππππω∴-<-<，7,444πππωπ∴-<-<∴若函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则满足0244ππωπωππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，即1254ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即1524ω≤≤，故答案为1524ω≤≤. 【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ① 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．16．①①① 【解析】 【分析】对于①，当1AC 11A D AC ⊥时满足条件；对于①，由于AC DE ⊥不成立，进而可判断；对于①，当平面1A DE ⊥平面ABCD 时，四棱锥1A DCBE -体积的最大，再求解即可；对于①，取DC 中点O ，连接OM ，即可得M 在以点O 为球心的球面上． 【详解】解：对于①，由题知11A D A E ⊥，若存在某个位置使得1DA EC ⊥，由于1A EEC E =，1,A E EC ⊂平面1A EC ，所以1A D ⊥平面1A EC ，又1AC ⊂平面1A EC ，即11A D AC ⊥，由于22AB AD ==，故1AC ，由于在折叠过程中，1A C ∈，所以存在某个位置，使得1AC 故存在某个位置，使得1DA EC ⊥，故①正确；对于①，若存在某个位置，使得AC ⊥平面1A DE ，因为DE ⊂平面1A DE ， 所以AC DE ⊥，另一方面，在矩形ABCD 中，,44AED CAE ππ∠=∠≠，故AC DE ⊥不成立，所以①错误；对于①，四棱锥1A DCBE -体积的最大时，平面1A DE ⊥平面ABCD ，由于1A DE △是等腰直角三角形，所以此时点1A 到平面DCBE ，所以四棱锥1A DCBE -体积的最大值为111(21)1332BCDE V S ==⨯⨯+⨯ 故①正确；对于①，取DC 中点O ，连接OM ，由于M 为线段1A C 的中点， 所以1111//,22OM A D OM A D ==， 所以M 在以点O 为球心的球面上， 故①正确．故答案为：①①①． 17．(1)0.0030 (2)290 (3)815【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出m ．（2）由频率分布直方图求出[)0,250的频率为0.73，[)250,300的频率为0.15，该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，由此能估计每月的用电量标准x 的值． （3）根据频率分布直方图求出用电量不小于350（千瓦时）的居民户数，与不小于400（千瓦时）的居民户数，再用列举方程列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得； (1)解：由频率分布直方图得：(0.00080.00160.00400.00520.00120.00080.0004)501m m ++++++++⨯=．解得0.0030m =． (2)解：[0,250)的频率为(0.00080.00160.0030.0040.0052)500.73++++⨯=， [250,300)的频率为0.003500.15⨯=，该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，∴估计每月的用电量标准0.850.73250502900.15x -=+⨯=． (3)解：用电量不小于350（千瓦时）的居民样本有：100(0.00080.0004)506⨯+⨯=户，其中不小于400（千瓦时）的有1000.0004502⨯⨯=户，记[)350,400的4户为1、2、3、4，[]400,500的2户为a 、b ，从6户中随机抽取2户可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,a 、()1,b 、()2,3、()2,4、()2,a 、()2,b 、()3,4、()3,a 、()3,b 、()4,a 、()4,b 、(),a b 共15个；其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的有()1,a 、()1,b 、()2,a 、()2,b 、()3,a 、()3,b 、()4,a 、()4,b 共8个，故其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率815P =； 18．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-；（2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-，由1k m >>得11m <<+【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-， 又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ①存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）取CD 中点E ，连结BE ，则BE CD ⊥，且1BE =，由勾股定理得BC BD ⊥，由此能证明BC ⊥面PBD .（2）取PD 中点H ，连接BN ，HN ，AH ，MT ，由3=DT TP ，知T 为PH 中点，//MT AH ，再证明//HN AB 且HN AB =，所以四边形ABNH 是平行四边形，进而//MT BN ，故结论成立.(1)PD ⊥面ABCD ，又BC ⊂面ABCD ，BC PD ∴⊥，取CD 中点E ，连结BE ，则BE CD ⊥，且1BE =，在Rt ABD △中，BD Rt BCE 中，BC =2222222BD BC CD +=+==，BC BD ∴⊥，PD BD D ⋂=BC ∴⊥平面PBD ．(2)取PD 中点H ，连接BN ，HN ，AH ，MT ， 由3=DT TP ，所以知T 为PH 中点，又M 是PA 中点， 所以//MT AH ，又N 分别为棱PC 的中点，所以//HN CD 且12HN CD =，又//AB CD ，1AB =，2DC =，所以//HN AB 且HN AB =， 所以四边形ABNH 是平行四边形， 所以//AH BN ，所以//MT BN ， 所以B ，N ，T ，M 四点共面．20．（1），（2）．【解析】 【详解】试题分析：（1）由题为求椭圆方程，则需找出,a b ，可由条件，先求出c ，再利用253MF =，求出两曲线的交点坐标，利用椭圆的定义求出2a ．得出方程.（2）问题为算直线方程，需两个条件．由条件12MN MF MF =+及//l MN 可得：直线的斜率： 6k =，再设出直线的斜截式方程：与椭圆方程联立，结合条件0OA OB ⋅=，建立关于m 的方程，可得所求的直线方程． 试题解析：（1）的焦点F(1，0),253MF =，代入抛物线方程，有，椭圆1C 的方程为（2）点N 满足12MN MF MF =+，所以易知N 与M 关于原点对称，所以设直线l 方程：联立直线和椭圆方程得到：设因为0OA OB ⋅=，所以代入韦达定理有所以直线l 方程为考点：（1）椭圆与抛物线的几何性质及方程思想．（2）向量的几何意义及方程思想．21．（1）单调速增区间是(),1-∞-，单调递减区间是()1,-+∞；（2）最小值为32e -.【解析】 【分析】（1）求出()f x '，进一步求出0f x f x '()>0,'()<的解，即可得出结论；（2）先由1(0)0f a+≤，得出0a <，通过二次求导并结合隐零点方法，求出max ()f x ，转化为a 与()14x g x x ae =+-隐零点的函数关系，再次用导数法，即可求解. 【详解】解：（1）因为0a =，所以()xf x xe =-，()()1x f x x e '=-+.令()0f x '=，得1x =-. 当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>； 当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<.故()f x 的单调速增区间是(),1-∞-，单调递减区间是()1,-+∞.（2）()()()24114x x x xf x ae x e e x ae '=-+=-+-.因为R x ∀∈，()10f x a+≤， 又()02f a =，所以120a a+≤，则0a <. 令()14xg x x ae =+-，则()g x 在R 上单调递增. 因为当0x <时，()14g x x a <+-， 所以()4141140g a a a -<-+-=.因为()1140g ae --=->，所以()041,1x a ∃∈--，使得()00g x =. 且当()0,x x ∈-∞时，()0g x <，则()0f x '>， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，则()0f x '<，所以()f x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.故()()00200max 2x xf x f x ae x e ==-. 由()000140xg x x ae =+-=，得0014x x a e +=.由()max 10f x a+≤，得0000200014e e e 2e 1x x x x x x x +-⋅≥+， 即001421x x -≥+. 结合010x +<，得2018x -≤，所以031x -≤<-.令()()1314x x h x x e +=-≤<.则()04x x h x e-'=>， 所以()h x 在[3,1)--上单调递增，所以()()332e h x h -≥-=，即32e a ≥-. 故a 的最小值为32e -. 【点评】关键点点睛：（1）函数不等式恒成立问题，要注意应用必要条件探路，这样可以缩小参数的范围，减少分类讨论情况，甚至无需分类讨论；（2）含参函数的最值经常涉及到隐零点，要注意隐零点范围的确定，如（2）由()max 10f x a +≤确定出隐零点0x 的范围，是解题的关键. 22．(2)54 【解析】【分析】（1）设曲线C 上任意一点为(2cos ,sin )P αα，根据点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解；（2）设11(,),(,)2P Q πρθρθ±，求得2222221211OP OQ OP OQ ρρ+=+⋅，即可求解. (1)解：由曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 设曲线C 上任意一点为(2cos ,sin )P αα，则点P到直线20x y +=的距离d = 当sin()14πα+=-时，可得max d == (2) 解：由曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）， 消去参数可得曲线C 的普通方程为2214x y +=，即2244x y +=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，可得曲线C 的极坐标方程为22224sin cos 1ρθρθ+=，即2213sin 14θρ=+ 由点P ,Q 是曲线C 上的两点，且OP OQ ⊥， 设11(,),(,)2P Q πρθρθ±， 所以22222222221211113131315sin cos 4444424OP OQOP OQ OP OQ θθρρ+=+=+=+++=+=⋅. 23．(1)1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【解析】【分析】（1）用分类讨论的方法解绝对值不等式；（2）求出()f x 最小值m ，由柯西不等式证明结论成立．(1)当0x ≤时，()23321f x x x x x =--+=--≥-⇒≤-； 当03x <<时，1()2333233f x x x x x =-+=-≥-⇒≤<； 当3x ≥时，()23323f x x x x x =-+=+≥-⇒≥.综合可知：x 的解集为：1(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭(2)由（1）3,0()33,033,3x x f x x x x x --≤⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，所以min ()(0)3f x f ==-，即3m =-，3a b c ++=-， 由柯西不等式得：()22221211()92a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，即2221825a b c ++≥， 当且仅当63,55a c b ==-=-时取“=”，即2221825a b c ++≥.。
2022年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年四川省德阳市高考数学二诊试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 是虚数单位，a 为实数，复数的虚部为3，则复数z 为( )A.B. C.D.3.在等差数列中，若，，则等于( )A. 13B. 15C. 17D. 484.在边长为1的菱形ABCD 中，，则( )A.B.C.D.5.已知对称轴为坐标轴的等轴双曲线经过点，则下列对该双曲线的正确描述是( ) A. 实轴长为2 B. 虚轴长为2C. 焦距为D. 渐近线斜率为16.函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是( )A.B.C.D.7.已知实数x ，y 满足则目标函数的最大值与最小值之差为( )A. 10B. 6C. 4D. 28.已知定义在R 上的偶函数在上单调递减，则对于实数a ，b ，“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：未发病发病总计未注射疫苗30注射疫苗40总计7030100附表及公式：，现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断错误的是( )A. 注射疫苗发病的动物数为10B. 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为C. 能在犯错概率不超过的前提下，认为疫苗有效D. 该疫苗的有效率为10.已知，是椭圆C ：的左、右焦点，点P 在C 上，且，那么椭圆C 的离心率的最小值是( )A.B.C.D.11.在直角坐标系xOy 中，角的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点A ，角的终边交单位圆于点B 且，记，，若且，那么( )A.B. C.D.12.已知定点A 到平面的距离为，B 、C 为平面内两点且，，点D 为A 在平面内的投影，A ，B ，C ，D 四点不共面，则下列判断中正确的个数为( )的取值范围是；若，且满足，则线段AP扫过的区域体积为；对任意的点C都存在唯一一点B使得平面ABC垂直于平面ABD；三棱锥外接球的表面积有最小值，无最大值．A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年四川省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川德阳高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年四川德阳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第1题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第1题2020年四川德阳高三二模理科第1题5分已知复数z=2，其中i为虚数单位，则|z|=（）．1+iA. √5B. √3C. 2D. √22、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第2题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第2题2020年四川德阳高三二模理科第2题5分函数y=√4−x2的定义域为A，集合B={x|log2(x+1)>1}，则A∩B=（）．A. {x|1<x⩽2}B. {x|−2⩽x⩽2}C. {x|−2<x<3}D. {x|1<x<3}3、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第3题5分2020年四川德阳高三二模理科第3题5分执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 44、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第4题5分2020年四川德阳高三二模理科第4题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第3题函数f(x)=xcosx在[−π,π]的图象大致为（）．ln(e x+e−x)A.B.C.D.5、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第5题5分2020年四川德阳高三二模理科第5题5分为了得到函数y =sin(2x +π3)的图象，可将函数y =sin2x 的图象（）．A. 向右平移π3B. 向左平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π66、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第6题5分已知a =2−12，b =(13)13，c =log 1215，则（ ）．A. b <a <cB. a <b <cC. c <b <aD. b <c <a7、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第7题5分2020年四川德阳高三二模理科第7题5分2020~2021学年四川绵阳江油市江油市第一中学高二上学期期中理科第8题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第6题已知l 为抛物线x 2=4y 的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为(4,1)，则|MP|+d 的最小值是（ ）．A. √17B. 4C. 2D. 1+√178、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第8题5分2020年四川德阳高三二模理科第8题5分不等式组{2x −y ⩾0y ⩾12x x +y −3⩽0表示的平面区域为Ω，则（ ）．A. ∀(x,y )∈Ω，x +2y >3B. ∃(x,y )∈Ω，x +2y >5C. ∀(x,y )∈Ω，y+2x−1>3 D. ∃(x,y )∈Ω，y+2x−1>59、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第9题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第8题2020年四川德阳高三二模理科第9题5分平行四边形 ABCD 中，已知AB =4，AD =3，点E 、F 分别满足AE →=2ED →，DF →=FC → 且AF →⋅BE →=−6，则向量AD →在AB →上的投影为（ ）．A. 2B. −2C. 32D. −3210、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第10题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第9题2020年四川德阳高三二模理科第10题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=60°，b=3，AD为BC边上的中线，若AD=72，则△ABC的面积为（）．A. 25√34B. 15√34C. 154D. 35√3411、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第11题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第10题2020年四川德阳高三二模理科第11题5分已知实数a>0，a≠1，函数f(x)={a x,x<1x2+4x+alnx,x⩾1在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）．A. 1<a⩽2B. a<5C. 3<a<5D. 2⩽a⩽512、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第12题5分△ABC是边长为2√3的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF//BC，沿EF把△AEF 折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P−BCFE的体积的最大值为（）．A. 2√2 B. √3 C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第13题5分已知函数f(x)=x2+ax的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线l:x−3y+2=0垂直，则实数a的值为．14、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第14题5分在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是．15、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第15题5分已知a、b为正实数，直线x+y+1=0截圆(x−a)2+(y−b)2=4所得的弦长为2√2，则ab的最大值为．16、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第16题5分2020年四川德阳高三二模理科第16题5分sinA，O为坐标在△ABC中，B、C的坐标分别为(−2√2,0)，(2√2,0)，且满足sinB−sinC=√22原点，若点P的坐标为(4,0)，则AO→⋅AP→的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第17题12分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第15题2020年四川德阳高三二模理科第17题12分已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1) 求数列{a n}的通项公式．}的前n项和S n．(2) 求数列{1a n⋅a n+218、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第18题12分如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD=120°，PC⊥BD，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．(1) 求证：DM//平面PBC．(2) 若AB=2√3，PD⊥PB，求三棱锥P−BDM的体积．19、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第19题12分贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作，对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示，设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品，以x (单位：吨，180⩽x⩽230)表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．(1) 求实数a的值．(2) 将Y表示成x的函数，并求出解析式．(3) 估计销售利润不少于910万元的概率．20、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第20题12分2020年四川德阳高三二模理科第20题12分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第19题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为√55，右焦点为抛物线y2=4x的焦点F．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M，N两点，若OM、ON斜率之积为−45，求证：△MON的面积为定值．21、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=e ax−x（a∈R，e为自然对数的底数）．(1) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．(2) 若f(x)有两个零点x1、x2，且x1<x2，求证：x1⋅x2>e2．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第22题10分2020年四川德阳高三二模理科第22题10分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第18题已知点A为圆C:(x−1)2+y2=1上的动点，O为坐标原点，过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时，直线OA约定为y轴)，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹的极坐标方程．(2) 直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=4，连接OA并延长交l于B，求|OA||OB|的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第23题10分2020年四川德阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|．(1) 求不等式f(x)⩽4−|2x−3|的解集．(2) 若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)⩾8．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】−5;;14 、【答案】25;15 、【答案】1416 、【答案】(12,+∞);17 、【答案】 (1) a n=n．;(2) n(3n+5)．4(n+1)(n+2);18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 32．;19 、【答案】 (1) 0.035． ;(2) Y ={7x −420180⩽x <2101050210⩽x ⩽230． ;(3) 0.9．;20 、【答案】 (1) x 25+y 24=1．;(2) 证明见解析． ;21 、【答案】 (1) (0,1e )．;(2) 证明见解析． ;22 、【答案】 (1) ρ=4sinθ． ;(2) 2+√38．;23 、【答案】 (1) {x |0⩽x ⩽2} ;(2) 证明见解析． ;。