数值分析5-5

二、矩阵的范数
1. 矩阵范数的定义 设对任意矩阵 A∈Rn×n，按一定的规则有一 ∈ × 实数与之对应，记为‖A‖ ‖A‖， ‖A‖满足 实数与之对应，记为‖A‖，若‖A‖满足
1) A ≥ 0;当 仅 A≡ 0时 有A = 0 (正 性 且 当 才 ； 定 )
2) cA =| c | A,∀ ∈R (齐 性 c ; 次 ) 3) A+ B ≤ A + B,(三 不 式 角 等 )
n
AF = ( ∑xij
i, j=1
n
1 2 2 )
= 1+ 2+9+16 ≈ 5.477
下面计算2-范数 下面计算 范数
x 2 = λmax (A A )
T
1 −3 1 −2 10 −14 A A= −3 4 = −14 20 −2 4
T
令 即
举例： 举例： A= 1 −2 计算 的各种范数 的各种范数. −3 4 计算A的各种范数 解： A = m ∑aij = m 1+ 2,3+4} = 7 ax ax{ ∞
1≤i≤n j=1 n
A1 = m ∑ aij | = m 1+ 3,2+4} = 6 ax | ax{
1 j≤n ≤ i= 1
4) A ≤ A B , (相 性 B 容 )
则称‖A‖为矩阵的范数 则称‖A‖为矩阵的范数 ‖A‖
2. 常用的矩阵范数
× ),常用的范数有 常用的范数有： 在Rn×n上的矩阵A=(aij),常用的范数有：
n
A∞ = m ∑aij ax
1≤i≤n j=1
n
称为∞ 范数或 称为∞－范数或行范数 称为1－范数或列范数 称为1 范数或
x 1 = ∑ xi | = 6 |
i= 1 n
x 2 = (∑
i=1
n
1 2 2 xi )
= 14
x ∞ = m xi = 3 ax
1≤i≤n
3. 向量范数的性质 定义：如果 定义：如果Rn中有两个范数 ||x||s 与 ||x||t ，存 在常数m, 维向量x， 在常数 M>0，使对任意 维向量 ，有 ，使对任意n维向量
第五章 解线性方程组的直接法 §5 向量和矩阵的范数
一、向量的范数 二、矩阵的范数 三、小结
一、向量的范数
1. 向量范数的定义 设对任意向量 x∈Rn，按一定的规则有一实 ∈ 数与之对应，记为‖x‖ ‖x‖， ‖x‖满足 数与之对应，记为‖x‖，若‖x‖满足
1) x ≥ 0; 当 仅 x ≡ 0时 有x = 0 (正 性 且 当 才 ； 定 )
A1 = m ∑ aij | ax |
1 j≤n ≤ i= 1
T x 2 = λmax (A A 称为2－范数 ) 称为2
(其中 max(ATA)表示 TA的最大特征值 其中λ 表示A 的最大特征值 的最大特征值) 其中 表示
A F = ( ∑xij
i, j=1
Hale Waihona Puke n1 2 2 )称为Frobennius－ 称为Frobennius－范数 Frobennius
mx s ≤ x t ≤M x s
则称这两个范数等价. 则称这两个范数等价 性质：对两种等价范数而言， 性质：对两种等价范数而言，某向量序列在 其中一种范数意义下收敛时， 其中一种范数意义下收敛时，则在另 一种范数意义下也收敛。 一种范数意义下也收敛。
定理： 上的任意两个范数等价. 定理：Rn上的任意两个范数等价 注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任 今后研究向量序列的收敛性时， 何一种范数意义下研究。 何一种范数意义下研究。
2) α =|α | x ,∀ ∈R (齐 性 x α ; 次 )
3) x + y ≤ x + y , x, y∈Rn(三 不 式 角 等 )
则称‖x‖为向量的范数 则称‖x‖为向量的范数 ‖x‖
2. 常用的向量范数 上的向量x 在 Rn 上的向量 x =(x1,…,xn)T∈Rn ， 三种常 ,x 用的范数为： 用的范数为：
x ∞ = m xi ax
1≤i≤n
n
称为∞－范数或最大范数 称为∞ 范数或 称为1 称为1－范数 称为2 称为2－范数 称为p－范数
x 1 = ∑ xi | |
i= 1
x 2 = (∑
i=1
n
n
1 2 2 xi )
1 p p
x p = (∑xi )
i=1
举例： 的各种范数. 举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数 解：
λ −10
−14
2
−14 =0 λ −20
得 2 15± λ −30λ +4 = 0 解 λ1， =15± 221
故最大的特征值为 λmax =15+ 221 所以
+ x 2 = λmax (A A = 15+ 221 )
T
作业： 作业： 习题