向量数量积的运算律

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向量的运算法则

(1) 实数与向量的运算法则：设•、」为实数，则有：1) 结合律：•(")=(」)a。

2) 分配律:(m_) —a, (a b) a ，b。

(2) 向量的数量积运算法则：1) a <b =b <a。

2) ( a) - (a Jb) - -a=a(H.b)。

3) (a b) = a <c b <c。

(3) 平面向量的基本定理。

e ,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对头数胡，..迈，满足 a ='浄',:.2e2。

(4) a与b的数量积的计算公式及几何意义：a<b =|a ||b | COST，数量积a «b等于a的长度|a |与b在a的方向上的投影|b|cosv的乘积。

(5) 平面向量的运算法则。

1) 设a = (X i,yJ , b =(X2,y2)，贝U a+b =(人X2,y i y?)。

2) 设a = (X1,yJ , b =(X2,y2)，贝V a-b =(为一x?, y1 -y?)。

3) 设点A(X1, y1), B(X2, y2)，则AB = OB - OA = (X2 _ X1, y2 - y1)。

4) 设a = (x, y), ■R，则■ a = C x, ■ y) o5) 设a = g, yj , b =(X2, y2)，贝U a *b = (X1X2 y^)。

(6) 两向量的夹角公式：亠X t X2+ y1y2/cos日, 2 2(a = (X1,yJ , b = (x?』?))。

x； y； x；y(7) 平面两点间的距离公式：d A,B =|AB|二AB AB 二(x? —xj2(y?-y j2(A(X1,yJ , B(X2,y2))。

(8) 向量的平行与垂直：设a =(X1,%) , b = (X2,y?)，且b =0，则有：1) a||b ：= b = ■ a^ x1y2-x2y1=0。

第七讲。数量积,向量积讲解

2
所以
( a,b ) 3
（3）因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律（1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律（1） a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数）（3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质：（1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |

8.1.2 向量数量积的运算律

8.1.2 向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.【知识导学】知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律 a ·b ＝□01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a .(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知|a |＝2，b 在a 上的投影的数量为－2，则a ·(a －b )＝________. (2)已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________.(3)已知|a |＝6，|b |＝8，〈a ，b 〉＝120°，则|a 2－b 2|＝________，|a －b |＝________，|a 2＋b 2|＝________.答案 (1)8 (2)－7 (3)28 237 100题型一求向量的夹角例1 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． [解] 设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝12.∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32， |a |＝a 2＝e 1＋e 22＝|e 1|2＋|e 2|2＋2e 1·e 2＝1＋1＋1＝ 3. |b |＝b 2＝e 2－2e 12＝ |e 2|2－4e 1·e 2＋4|e 1|2＝1＋4－4×12＝ 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－323×3＝－12. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°. 金版点睛求向量a ，b 夹角θ的思路(1)解题流程求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练1] 已知|a |＝3，|b |＝5，|a ＋b |＝7，求a ·b 及a 与b 的夹角．解 ∵|a ＋b |＝7，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝34＋2a ·b ＝49，∴a ·b ＝152.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1523×5＝12.又∵θ∈[0，π]，故a 与b 的夹角θ＝60°. 题型二求向量的模例2 已知x ＝1是方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0的根，且a 2＝4，〈a ，b 〉＝120°. 求：(1)向量b 的模；(2)向量λb 的模． [解] (1)∵a 2＝4，∴|a |2＝4，即|a |＝2. 把x ＝1代入方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0，得 1＋|a |＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－3，则a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2|b |cos120°＝－3， ∴|b |＝3.(2)由(1)知|b |＝3， ∴|λb |＝|λ||b |＝3|λ|. 金版点睛极化恒等式求模长(1)两个结论①(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； ②(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.证明 ①(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＋b ·a ＋b ·b ＝a 2＋2a ·b ＋b 2. ②(a ＋b )·(a －b )＝a ·a －a ·b ＋b ·a －b ·b ＝a 2－b 2. 说明：下列结论也是成立的： (a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d .(2)由上述结论，我们不难得到4a ·b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，即a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．我们把该恒等式称为“极化恒等式”． (3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量自身的数量积，等于它模的平方． [跟踪训练2] (1)已知|a |＝63，|b |＝1，a ·b ＝－9，则〈a ，b 〉＝( ) A ．120° B ．150° C ．60° D ．30°(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a －b |，|a ＋b |.答案 (1)B (2)见解析解析 (1)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－963×1＝－32，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝150°，故选B.(2)解法一：|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a·b＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝52＋52＋2×5×5×co s π3＝5 3.|a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a·b＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝52＋52－2×5×5×co s π3＝5.解法二：以a ，b 为邻边作▱ABCD ，设AC ，BD 相交于点E ，如图所示．∵|a |＝|b |且∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形，∴|a －b |＝|DB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →| ＝2|AB →|2－|BE →|2＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5 3.题型三用向量数量积解决垂直问题例3 已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a －b )⊥c .[证明] 证法一：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0.∴(a －b )⊥c .证法二：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接AB ，AC ，BC 的三条线段围成正三角形ABC ，O 为△ABC 的中心，∴OC ⊥AB . 又∵BA →＝a －b ，∴(a －b )⊥c . 金版点睛要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练3] 若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．A ，B ，C 均不是答案 C解析由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得CB →·(AB →＋AC →)＝0，又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0. ∴|AB →|＝|AC →|.∴△ABC 为等腰三角形．1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于( )A.32 B ．－32C.23 D ．－23答案 B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C解析 (a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |×4×12－6×16＝－72.解得|a |＝6.3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A 解析 |a －b |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a ·b＝12＋12－2·1·cos〈a ，b 〉＝2－2cos60°＝1.4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.答案－8或5解析由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，则49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b .由a ，b ，c 为单位向量，得a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4a 2－4a ·b －3b 2＝61，所以4×42－4×4×3cos θ－3×32＝61，cos θ＝－12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°. (2)因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a ＋b |＝13，同样可求得|a －b |＝37.。

第02讲空间向量的数量积运算(4种类型)

2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）2023.08【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；二、空间两个向量的夹角．1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a = ，OB b = ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅。

要点诠释：1.规定：π>≤≤===<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

高二数学向量数量积的运算律

ab
a b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
22
a b
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
小结：平面向量数量积运算规律
作业：（1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人，行动的矮子
；网客多拓客获客软件系统网客多拓客获客软件系统；
互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直，根据向量垂直的性质，则
（a kb）（ a kb）=0
（a

k
b）（ a

k
b）
a2
-
k
a

b

k
a

b
-
k
2
2
b
∣a∣2 -k 2∣b∣2 9 16k 2 0
解得 : k 3 或k 3
44ຫໍສະໝຸດ 平面向量数量积运算律所以（a b) （ a) b a (b)
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
即： a b b a 交换律
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b

2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

空间向量数量积

A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面内旳垂线、斜线， AO是PA在平面内旳射影， l 且l⊥OA，求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线，如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2

向量的运算律及其应用

向量的运算律及其应用向量是数学中常用的一种表示方式，它具有大小和方向的特性。

在实际问题中，向量的运算律是解决向量相关问题的重要工具。

本文将介绍向量的基本运算律，并探讨它们在实际应用中的具体运用。

一、向量的基本运算律1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加后得到一个新向量的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的加法运算可以表示为A = A + A。

向量的加法满足以下运算律：- 交换律：A + A = A + A- 结合律：(A + A) + A = A + (A + A)2. 向量的减法向量的减法是指两个向量相减后得到一个新向量的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的减法运算可以表示为A = A - A。

向量的减法满足以下运算律：- A - A = A + (-A)3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数得到一个新向量的操作。

对于一个向量A和一个实数A来说，它们的数乘运算可以表示为A= AA。

向量的数乘满足以下运算律：- 结合律：A(AA) = (AA)A- 分配律：(A + A)A = AA + AA二、向量运算律的应用1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到一个新向量的操作。

例如，给定向量A、A和A，它们的线性组合可以表示为AA + AA + AA，其中A、A和A为实数系数。

2. 向量的数量积向量的数量积（内积）是指两个向量相乘后得到一个实数的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的数量积可以表示为A·A = |A||A|cosθ，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角。

3. 向量的向量积向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后得到一个新向量的操作。

对于两个向量A和A来说，它们的向量积可以表示为A×A= |A||A|sinθA，其中|A|和|A|分别表示向量的模，θ为两个向量之间的夹角，A为垂直于向量A和A所在平面的单位向量。

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向量数量积的运算律
新知检索
8.向量数量积满足交换律：a ·b ＝__________________________.
9.向量数量积满足分配律：（a +b ）·c ＝______________________.
10.数乘向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ，有）（b a ⋅λ＝
_________.
学法指导
本节课的学习目标是掌握向量数量积的运算规律，并准确运用；重点是注意结合律的正确使用.学习本节课应注意的问题：
1.对于分配律，用向量数量积的几何意义给出了证明.在学习与使用时，可以类比数量乘法的交换律.但要明确它们的不同.
(1)已知实数)0≠b c b a （、、，则c a bc ab =⇒=；但对于向量a 、b 、c ，该推理是不正确的，即a ·b =b ·c 不一定能推出a =c .只有当向量a 、b 、c 共线且同向时，才成立，否则就不成立.
比如：|a |＝3，|b |＝1，|c |＝3,< a ,b >=30°，=60°，经过计算可知：a ·b ＝b ·c ，但a ≠c .
(2)对于实数c b a 、、有(ab )c =a (bc )，但对于向量a 、b 、c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，
这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以(a ·b )·c ≠a (b ·c ) .
2.教材中的例题1是直接对数量积性质、运算律的应用.其中推得结论：
（1）2）（b a +＝22||2||b b a a +⋅+;
（2）（a +b ）·（a -b ）＝22||||b a -.在以后的运算中，可以直接运用.
3.用向量知识证明几何问题.用向量解题可分为三步：
（1）用向量表示几何关系;
（2）进行向量运算;
（3）还原为几何结论.
1. 求证： 2）（b a -＝22||2||b b a a +⋅-
2. 证明：[（43a +b ）
·（a -b ]）＝4322||4
3||b a -. 3. 已知ABCDEF 为正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，用a ，b 表示向量DE 、AD 、BC 、
EF 、FA 、CD 、AC 、CE .
3. 已知ABCDEF 为正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，且|a |＝2，并计算AC ·CE 的
值.
课堂小测试
1．设向量,a b 满足1a b ==，及323a b -=，求3a b +的值.
2．用向量方法证明：直径上的圆周角是直角.
1. 下列各式中正确的是（）
（1）(λ·a )·b =λ·(a ·b )= a · (λb )，
（2）|a ·b |=|a |·|b |，
（3）(a ·b )·c =a ·(b ·c )，
（4）(a +b )·c = a ·c +b ·c
A ．（1）（3）
B ．（2）（4）
C ．（1）（4）
D ．以上都不对.
2．己知| a |=1，|b |=2， a 与的夹角为60，c =3 a + b ， d = λa －b ，若c ⊥
d ，则实数λ的值为（）
A ．
74 B ．75 C ．47 D ．5
7 3．设a ，b ，c 是平面内任意的非零向量且相互不共线，则下列各式中：
①(a ·b )·c －(c ·a )·b =0
②|a | －|b |< |a －b |
③(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直
④(3a +2b ) ·(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2 其中真命题是（）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④ 4．在ABC ∆中,则ABC ∆是( )
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
5. 在ABC ∆中,0为中线AM 上的一个动点,若2AM =,则的最小值是_________.
6.| a |=5， |b |=3，|a －b |=7，则a 、b 的夹角为______ ____.
7．求a 与b 2||a b a a ⋅夹角.
8. 已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝3，a 与b 的夹角为 45，且a +λb 和λa +b 的夹角是锐
角，求λ的取值范围．
9．若｜a -b ｜＝32041-，｜a ｜＝4，｜b ｜＝5，求a ·b .
10.已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：2222221m c b a +=
+.。