高考数学圆复习课件
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（江苏专用）高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程课件
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A 的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是 (4,3)且M是线段AB的中点，
所以 x＝x0＋2 4，y＝y0＋2 3， 于是有 x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点 A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，
所以点 A 的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝ 4， 即(x0＋1)2＋y20＝4. ② 把 ①代入 ②， 得(2x－ 4＋ 1)2＋ (2y－ 3)2 ＝4，
(2)求圆的方程有两类方法 ①几何法，即通过研究圆的性质、直 线和圆、圆和圆的位置关系，进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和方程；
②代数法，即用“待定系数法”求圆 的方程，其一般步骤是：a.根据题意 选择方程的形式——标准形式或一般 形式(本例题中涉及圆心及切线，故设 标准形式较简单)；b.利用条件列出关 于a，b，r或D，E，F的方程组；c.解 出a，b，r或D，E，F，代入所设的标 准方程或一般方程．
第八章 平面解析几何
第3课时 圆的方程
回归教材•夯实双基
基础梳理 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中 (a_，__b_)____为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0(D2＋E2－4F＞0)其中圆心为
__－__D2_，__－__E2___，半径为_12__D__2_＋__E_2－ __4_F_.
d＝|2－－1－1|＝ 2.
1＋1
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2， ∴2＝2，即2＝2，解得r＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝ 4.
(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y
－b)2＝r2，则有
b＝－4a，
3－a2＋－2－b2＝r2， |a＋b－1|＝r， 2
高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程圆的方程课件
解析 设圆心的坐标为x，41x2，据题意得14x2＋1＝－x，解得 x＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆 的半径为 2，故所求圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4.
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3．直线 y＝x－1 上的点到圆 x2＋y2＋4x－2y＋4＝0 的最近距离为( )
解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在 AB 中垂线 x＝4 上，则由
2x－y－3＝0， x＝4，
得圆心 P(4,5)．
∴半径 r＝|PA|＝ 10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
13 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第九章 直线和圆的方程
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点 重难点
注意点 圆的标准方程与一般方程的关系 圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程， 二者只是形式的不同，没有本质区别.
7 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆．( × ) (2)方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆心为－a2，－a，半径为12 －3a2－4a＋4的圆．( × ) (3)方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ ) (5)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )
高考数学复习---动圆过定点PPT考向课件
6
动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题.
7
在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1，0)的距离与 它到直线x＝－1的距离相等．
(1)求动点E的轨迹C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋b与曲线C相切于点P，与直线x＝－1相交 于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点． [解] (1)设动点E的坐标为(x，y)，由抛物线的定义知，动点E的 轨迹是以(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C 的方程为y2＝4x.
8
(2)证明：易知 k≠0.由yy＝ 2＝k4xx＋b，消去 x，得 ky2－4y＋4b＝0.因为 直线 l 与抛物线相切，所以 Δ＝16－16kb＝0，即 b＝1k，所以直线 l 的 方程为 y＝kx＋1k，令 x＝－1，得 y＝－k＋1k，所以 Q(－1，－k＋1k)．设 切点 P(x0，y0)，则 ky20－4y0＋4k＝0，解得 P(k12，2k)，设 M(m，0)，
高考数学复习---动圆过定点 PPT考向课件
动圆过定点 动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出
这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角．
2
(2019·北京高考)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2， －1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛 物线 C 于两点 M，N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和 点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
9
则M→Q·M→P＝(k12－m)·(－1－m)＋2k(－k＋1k，
即 m＝1 时，M→Q·M→P＝0，即 MQ⊥MP.
所以，以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 M(1，0)．
动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题.
7
在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1，0)的距离与 它到直线x＝－1的距离相等．
(1)求动点E的轨迹C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋b与曲线C相切于点P，与直线x＝－1相交 于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点． [解] (1)设动点E的坐标为(x，y)，由抛物线的定义知，动点E的 轨迹是以(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C 的方程为y2＝4x.
8
(2)证明：易知 k≠0.由yy＝ 2＝k4xx＋b，消去 x，得 ky2－4y＋4b＝0.因为 直线 l 与抛物线相切，所以 Δ＝16－16kb＝0，即 b＝1k，所以直线 l 的 方程为 y＝kx＋1k，令 x＝－1，得 y＝－k＋1k，所以 Q(－1，－k＋1k)．设 切点 P(x0，y0)，则 ky20－4y0＋4k＝0，解得 P(k12，2k)，设 M(m，0)，
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动圆过定点 动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出
这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角．
2
(2019·北京高考)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2， －1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛 物线 C 于两点 M，N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和 点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
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则M→Q·M→P＝(k12－m)·(－1－m)＋2k(－k＋1k，
即 m＝1 时，M→Q·M→P＝0，即 MQ⊥MP.
所以，以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 M(1，0)．
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件
12/13/2021
第十页，共四十一页。
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 如果 两个 圆 的方 程 组成 的方 程 组只 有一 组 实数 解 ，则 两 圆 外
切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
(4)由题意知圆的方程为 x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0， －1)，半径为 2，则圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝|－1－2 1|＝ 2， 所以|AB|＝2 22－ 22＝2 2.
(5)由xx22＋ ＋yy22－ －44＝ x＋04，y－12＝0， 得两圆公共弦所在直线为 x －y＋2＝0.又圆 x2＋y2＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 2
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( A )
A．4π
B．2π
C．9π
D．22π
12/13/2021
第十九页，共四十一页。
【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝
a2|c＋| b2＝
|c| ＝ 2|c|
22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半
就等于 1－ 222＝ 22，所以弦长为 2. (2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为
置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1) 在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，所以直线 l 与圆相交．
12/13/2021
第二十七页，共四十一页。
2．(方向 2)已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－6y＋6＝0 相交于 A，B
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
返回
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第3节 圆的方程
+
+Dx0+Ey0+F>0.
( √)
(4)方程x2+y2-4x-2y+5=0表示圆心为(2,1)的圆.( × )
2.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是
(
)
A.(2,2)
B.(1,3)
C.(-1,-2)
√
D.(0,-1)
解析:A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
(1)直角顶点C的轨迹方程;
解:(1)法一
设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,
所以 kAC·kBC=-1,又 kAC=
所以+·
-
,kBC=
+
-
,
=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
连线组成的三角形为直角三角形,该直角三角形的外接圆的圆心为
点(0,0)和点(4,2)所连线段的中点,即(2,1),直径2R等于点(0,0)和
点(4,2)所连线段的长,即 2R= (-) + (-) ,可得 R= ,所以圆的
2
2
方程为(x-2) +(y-1) =5.
③若圆过(0,0),(-1,1),(4,2)三点,设过这三点的圆的一般方程为
已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
[针对训练]
(1)经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的一般方程是(
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
第九章
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,
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第4课时 圆
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1．定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆.
2．标准方程 设圆心C(a,b)，半径为r，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.当圆心在原点时，圆的 方程为x2+y2=r2.
y
b
rsinθ
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课前热身
1.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的
外接圆方程是(
)
(A)(x-4)2+(y-2)2=1
(B)x2+(y-2)2=4
D
(C)(x+2)2+(y+1)2=1
(D)(x-2)2+(y-1)2=5
2.若点A、B分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(a≠b)上，则
OA·OB(O为原点)的取值范围是____________ -
ab，ab
3.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆(x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m
的范围是(
)
D
(A) (C)
m
19 12
(B) (D)
m
0或
m
9 5
- 4 m 19
-
4
m
12 0或 m
9 5
4.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围
【解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求 目标函数z=x+y的最值.因此可以按线性规划思想求 解.先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0, 相切时的两切线中的较小截距即为所求.
(2)通过数形结合，本题也可求如x2+y２、 y 形式
的
x4
最值.
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延伸·拓展
4. 已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,b∈R+. 求证：
3.一般方程 当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.
4．二元二次方程表示圆的充要条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程
A=C≠0
B=0 D2+E2-4AF＞0
5．圆的参数方程 设圆心C(a,b)，半径为r,则参数方程为
( 为参数)
θ
x a rcosθ
是()ຫໍສະໝຸດ C(A) (C)-1 t 1 7
(B) (D)
-1 t 1
7
-1 t 1 2
1t 2
5. k∈R，直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长是(
)
(A)8
(B)C2
(C)4
(D)值与k有关
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能力·思维·方法
1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长为2√7的 圆的方程.
2.已知圆同时满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1； (3)圆心到直线x-2y=0的距离为55，求圆的方程.
若本题改为满足(1)(2)所有圆中，求圆心到x-2y=0的距 离最小的圆的方程，又如何求解?
3. 已知实数x,y满足x2+y2+2x-2√3y=0，求x+y的最小值.
【解题回顾】求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直 线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即 用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式，标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、 b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一 般式方程.
ax by z a2 b2
【解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等式成立，即证 (ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2).
5.在△ABC中，已知
cosB a ，3P是，内b切 10
圆上一点，求PA2+PB2+PC2的c最o大sA值与最b小值.4
【 解 题 回 顾 】① 对 于 圆 上 的 动 点 ， 常 常 利 用 圆 的 参 数 方 程 ， 设 其 坐 标 为 (a+rcosθ，b+rsinθ)；②在求某一变量的最值时，常构造一个目标函数加以 解决，如本题中，PA2+PB2+PC2=80-8sinθ,θ=∠EOP∈[0,，2π].
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• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1．定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆.
2．标准方程 设圆心C(a,b)，半径为r，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.当圆心在原点时，圆的 方程为x2+y2=r2.
y
b
rsinθ
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课前热身
1.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的
外接圆方程是(
)
(A)(x-4)2+(y-2)2=1
(B)x2+(y-2)2=4
D
(C)(x+2)2+(y+1)2=1
(D)(x-2)2+(y-1)2=5
2.若点A、B分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(a≠b)上，则
OA·OB(O为原点)的取值范围是____________ -
ab，ab
3.若过点(4，2)总可以作两条直线与圆(x-3m)2+(y-4m)2=5(m+4)相切，则m
的范围是(
)
D
(A) (C)
m
19 12
(B) (D)
m
0或
m
9 5
- 4 m 19
-
4
m
12 0或 m
9 5
4.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程，则t的取值范围
【解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求 目标函数z=x+y的最值.因此可以按线性规划思想求 解.先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0, 相切时的两切线中的较小截距即为所求.
(2)通过数形结合，本题也可求如x2+y２、 y 形式
的
x4
最值.
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延伸·拓展
4. 已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,b∈R+. 求证：
3.一般方程 当D2+E2-4F＞0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.
4．二元二次方程表示圆的充要条件 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程
A=C≠0
B=0 D2+E2-4AF＞0
5．圆的参数方程 设圆心C(a,b)，半径为r,则参数方程为
( 为参数)
θ
x a rcosθ
是()ຫໍສະໝຸດ C(A) (C)-1 t 1 7
(B) (D)
-1 t 1
7
-1 t 1 2
1t 2
5. k∈R，直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长是(
)
(A)8
(B)C2
(C)4
(D)值与k有关
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能力·思维·方法
1. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截下的弦长为2√7的 圆的方程.
2.已知圆同时满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1； (3)圆心到直线x-2y=0的距离为55，求圆的方程.
若本题改为满足(1)(2)所有圆中，求圆心到x-2y=0的距 离最小的圆的方程，又如何求解?
3. 已知实数x,y满足x2+y2+2x-2√3y=0，求x+y的最小值.
【解题回顾】求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直 线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即 用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式，标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、 b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一 般式方程.
ax by z a2 b2
【解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等式成立，即证 (ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2).
5.在△ABC中，已知
cosB a ，3P是，内b切 10
圆上一点，求PA2+PB2+PC2的c最o大sA值与最b小值.4
【 解 题 回 顾 】① 对 于 圆 上 的 动 点 ， 常 常 利 用 圆 的 参 数 方 程 ， 设 其 坐 标 为 (a+rcosθ，b+rsinθ)；②在求某一变量的最值时，常构造一个目标函数加以 解决，如本题中，PA2+PB2+PC2=80-8sinθ,θ=∠EOP∈[0,，2π].
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