高三第一轮复习：《不等式》综合检测试题

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江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题(教师版)

江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题填空题错误！未指定书签。

．（2010年高考（江苏））设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________【答案】27错误！未指定书签。

．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 【答案】56⎧⎫⎨⎬⎩⎭错误！未指定书签。

．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.【答案】1错误！未指定书签。

．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）定义在R 上的函数)(x f y =是增函数,且函数)2(-=x f y 的图象关于)0,2(成中心对称,设s ,t 满足不等式)4()4(22t t f s s f --≥-,若22≤≤-s 时,则s t +3的范围是____________.【答案】[8,16]-错误！未指定书签。

．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.【答案】2错误！未指定书签。

．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭错误！未指定书签。

．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷）设，，x x f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是____________.【答案】2≥k .错误！未指定书签。

《创新设计》2021版高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：第7章不等式第1讲 Word版含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2022·贵阳检测)下列命题中，正确的是( ) A.若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B.若ac ＞bc ，则a ＞b C.若a c 2＜bc 2，则a ＜bD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2＜bc 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确； D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 答案 C2.若a ＜b ＜0，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a －b＞1bB.a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D.a n ＞b n解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |⇔|b |＜|a |， ∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4} D.{a |0≤a ≤4} 解析由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 D4.(2022·江西重点中学盟校联考)已知a ＞0且a ≠1，则a b ＞1是(a －1)b ＞0的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由a b＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0，所以(a －1)b ＞0；由(a －1)b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b ＜0，又a ＞0且a ≠1，所以a b ＞1.即a b ＞1是(a －1)b ＞0的充要条件. 答案 C5.(2022·皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5]解析由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 A 二、填空题6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0. 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)7.(2021·宝鸡模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.由于方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 力量提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2022·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x，要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12，故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 C12.(2021·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(0，2)C.(1，3)D.(0，3)解析由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0，2).故选B. 答案 B13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 由于方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

高考数学一轮复习 22一元二次不等式及其解法检测试题(1)文(1)

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 2-2一元二次不等式及其解法检测试题（1）文1．[2014·青海质检]不等式x 2－4＞3|x |的解集是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵|x |2－3|x |－4＞0，∴(|x |－4)(|x |＋1)＞0，∴|x |＞4，x ＞4或x ＜－4，选A 项．答案：A2．[2014·常州质检]已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－35或a ＞1B ．－35＜a ＜1C ．－35＜a ≤1或a ＝－1D ．－35＜a ≤1 解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1＜0，恒成立，故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1＜0，不恒成立，∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＜0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1＜0.解得－35＜a ＜1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35＜a ≤1. 答案：D3．[2014·兰州调研]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：94．[2014·青岛调研]设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________. 解析：显然a ＝1不能使原不等式对x ＞0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2＜x 3，易知x 2＜0，x 3＞0.当x ＞0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)．答案：32 5．[2014·天津调研]设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．即1m 2－4m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 2－2x ＋1min . 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞。

2020版高三数学(文)一轮复习练习：第七章 30 不等关系与不等式

【课时训练】不等关系与不等式选择题 1．(2018江西七校联考)若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( ) A．a2＞b2 B．13a<13b

C．lg(a－b)＞0 D．ba>1 【答案】B 【解析】取a＝13，b＝－12，则a2＝19，b2＝14，∴a2＜b2，lg(a－b)

＝lg 56＜0，ba＜0＜1，故排除A，C，D选项，选B. 2．(2018四川绵阳一诊)若x＞y，且x＋y＝2，则下列不等式一定成立的是( ) A．x2＜y2 B．1x＜1y C．x2＞1 D．y2＜1 【答案】C 【解析】因为x＞y，且x＋y＝2，所以2x＞x＋y＝2，即x＞1，则x2＞1，故选C. 3．(2018成都五校联考)若a<0，则下列不等式成立的是( ) A．2a＞12a＞(0.2)a B．12a＞(0.2)a＞2a C．(0.2)a＞12a＞2a D．2a＞(0.2)a＞12a 【答案】C 【解析】若a＜0，根据指数函数的性质可知(0.2)a>12a＞1，又2a＜0，所以(0.2)a＞12a＞2a.故选C. 4．(2018浙江宁波模拟)已知a＞b，则“c≥0”是“ac＞bc”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】当 a＝2＞b＝1，c＝0时，ac＞bc不成立，所以充分性不

成立；当 ac＞bc，a＞b时，c＞0成立，c≥0也成立，所以必要性成立．所以“c≥0”是“ac＞bc”的必要不充分条件，故选B. 5．(2018全国名校大联考第三次联考)若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是( ) A．1a＜1b B．－a＞－b

C．|a|＞－b D．1a－b＞1b 【答案】A 【解析】∵a＜b＜0，∴1a－1b＝b－aab＞0，1a＞1b，A不正确；－a＞－b＞0，－a＞－b，B正确；|a|＞|b|＝－b，C正确；当a＝－3，b＝－1，1a－b＝－12，1b＝－1时，1a－b＞1b，此时D成立．故选A. 6．(2018山东德州模拟)已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A．a2＜b2＜c2 B．ab2＜cb2 C．ac＜bc D．ab＜ac 【答案】C 【解析】∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc，故选C. 7．(2018陕西西安二模)如果a＞b＞1，c＜0，在不等式①ca＞cb；②ln(a＋c)＞ln(b＋c)；③(a－c)c＜(b－c)c；④bea＞aeb中，所有恒成立的序号是( ) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解析】用排除法，∵a＞b＞1，c＜0，∴可令a＝3，b＝2，c＝－4，此时a＋c<0，b＋c<0，∴②错误，排除A，C，D，故选B. 8．(2018厦门模拟)对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)＜loga1＋1a；②loga(1＋a)＞loga1＋1a；③a1＋a＜a1＋1a；④a1＋a

江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题：不等式

江西省2015届高三数学一轮复习备考试题不等式一、选择题1、（2014年江西高考）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.42、（2013年江西高考）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为3、（2012年江西高考）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

4、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x xy -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥则的最大值为( ) A ．8B ．3C ．413 D ．29 5、（红色六校2015届高三第一次联考）若关于x 的不等式21321x x a a -+-≤--在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是（）A.13a a <->或B.03a a <>或C.13a -<<D.13a -≤≤ 6、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积最小时的k 为________7、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有21)(<'x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集为（）A.(1，2)B.(0，1)C.),1(+∞D.(-1，1)8、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是9、（2014届江西省高三4月模拟）若不等式组10100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内的点都不．在圆2221()(0)2x y r r +-=>外，则r 的最小值是________10、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）已知10a b c >>>>，对以下不等式①a b c c > ②11a bc c > ③11abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④1111abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤11log log c c a b>，其中成立的是（） A. ①②⑤B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤11、（南昌三中2014届高三第七次考试）设01,a b <<<则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a >D ．()lg 0b a -<12、（南昌铁路一中2014届高三第二轮复习测试）不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则正实数a 的取值范围______13、（上饶市2014届高三1月第一次高考模拟）若正数,x y 满足230x y +-=，则的最小值为14、设变量,x y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则23x y +的最大值为 ( ).A 20 .B 35 .C 45 .D 5515、已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 516、若R c b a ∈,,，b a >，则下列不等式成立的是（）A ．b a 11< B ．1122+>+c bc a C ．22b a > D ．c b c a > 17、已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）0 18、已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④19、设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。

高三数学一轮复习课件《基本不等式》

方法二：令 t k 2 1 ，则 k 2 t 1.
4
400（1 k 2 )2 5k 2 5 4k
2
2
2
1600 81
.
所以
当S 2且仅当4400t52 k
(5t 1)(4t
21)5204t420k02tt2，1即k2
1
t2
410时0 ， S
1 20 t
2
.
最小为
1600 81
.
所以当 1 1 ，即 k 2 1时， S 2 最小为 1600 .
2
2.能够使用基本不等式及公式的变形解决简单的最大（小）值问题. 3.在使用基本不等式求最大（小）值时注意“=”成立的条件.
4.应用基本不等式求较复杂的最大（小）值问题时，注意配凑、换元、消元、变形等方法的
使用.
【命题规律】
高考对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，但有时也在解答题中出现.
t2
81
知巩识固再型现题组
【归纳总结】
本组题目有什么特点？应该如何求解？
本组题目都是含有一个变量的函数的最值问题. 在解答时应从变量个数、次数、结构形式等角度观察与分析“目标函数”，通过辨析，运用配凑、换元等方法构造出基本不等式的结构特征，并确认 “一正、二定、三相等”是否同时成立？若成立，则可以运用基本不等式求解；若不成立，则可以从函数角度求解.
再现型题组
1.已知 ab 1， a2 b2 取得最小值时， a b 2 .
1
若 a2 b2 1，则 ab 的最大值是 2 .
2.如图所示， AB是圆 O 的直径， C 是圆上任意一点，a b

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测8--不等式、数列

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 8 )(数列与不等式)高三( )班学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是( )A.22a b > B. 1ba< C.1lg()lg a b a b ->- D. 33a b --<2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( )A.(3)(1)0x x +->B.(4)(1)0x x +-<C.2230x x -+<D.22320x x -->3．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的( )A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件 4、若数列{}n a 中，433n a n =-，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或15 5. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切正整数n ，都有n n S T =231n n +，则55a b 等于( ) A.23 B. 914 C. 2031 D. 11176．设变量x 、y 满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则目标函数y x z +=2的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．97．设x y 、为正数, 则14()()x y x y++的最小值为( )A.6B.9C.12D.158．已知平面区域D 由以(1,3)(5,2)(3,1)A B C 、、为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于( )A. －2B. －1C. 1D.4二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9．{}n a 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++=_______. 10．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _______. 11．不等式11axx <-的解集为{}1>2x x x <或,那么a 的值为__________. 12．动点(,)P a b 在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则21b a ω-=-的取值范围是_____________． 13. 设220,0,12b a b a +=≥≥,则_________. 14．设221x y +=, 则2x y +得最大值为__________.高三( )班学号_______ 姓名_____________ 成绩__________(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分12分)设全集为R ,集合A ={x ∣12log (3)2x -≥-},B ={x ∣512x +≥},求()R C A B ．16. (本小题满分12分)设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）. （1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域.17. (本小题满分14分)定义一种运算: (,,0)mn m n a m n N a ∆∆=⋅∈≠ （1）若数列{}n a （*n N ∈）满足n a n m =∆,当2m =时,求证: 数列{}n a 为等差数列;（2）设数列{}n c （*n N ∈）的通项满足(1)n c n n =∆-,试求数列{}n c 的前n 项和n S .18. (本小题满分14分)已知函数2()2f x x x =+,数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足数列1{}0n b b t =>满足(t 为常数)且1()(*)n n b f b n N +=∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为n S ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围.附加题：给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关(8)答案及评分标准DCDB BBBC9、27 10、4951 11、2112、(,2][2,)-∞-+∞ 13、423 14、515. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞= B A （ 16. 解不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2 由(3)0f -=,(2)0f =解得3,5a b =-=,于是1833)(2+--=x x x f(2)当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时,故所求函数)(x f 的值域为[12，18]17、证明：由题意知当2m =时，2n a n m a n=∆=⋅，则有21(1)n a a n +=⋅+---------------------------------------2分故有21n n a a a +-=，（*n N ∈），其中2112a a =∆=，--------------3分所以数列{}n a 是以21a a =为首项，公差2d a =的等差数列。

2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：6-4基本

[课时跟踪检测][基础达标]1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.答案：A2．当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案：B3．(2017届合肥调研)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．答案：C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x ⇔x 2＋14>x (x >0)⇔4x 2－4x ＋1>0(x >0)．当x ＝12时，4×122－4×12＋1＝0，∴A 错；当sin x ＝－1时，sin x ＋1sin x ＝－2<2，∴B 错；x 2＋1≥2|x |⇔(|x |－1)2≥0，∴C 正确；当x ＝0时，1x 2＋1＝1，∴D 错．答案：C5．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：B6．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案：D7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x8元，则800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．答案：B8．(2018届辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2 n的最小值为()A．2 B．4C．8 D．16解析：∵当x＝－2时，y＝log a1－1＝－1，∴函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)．∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.∵m>0，n>0，∴1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn＝2＋nm＋4mn＋2≥4＋2·nm·4mn＝8，当且仅当m＝14，n＝12时取等号．故选C.答案：C9．(2017届山东泰安模拟)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >b ，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由题意，知直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .由直线l 经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b .因为b a ＋2ab ≥2b a ×2a b ＝22当且仅当b a ＝2ab 时取等号，所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案：3＋2 210．(2017届江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和到B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，整理得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 211．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 12．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.[能力提升]1．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案：D2．(2018届山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12 C.14D ．16解析：作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值．即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤(2a ＋3b )24＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时等号成立，所以(6ab )max ＝1，即(ab )max ＝16. 答案：D3．(2017届山东日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝xx ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y＝ 1＋x x ＋y －x x ＋2y ＝1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )＝ 1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋13＋x y ＋2y x，因为xy >0，所以x y >0，yx >0.由基本不等式可知x y ＋2yx ≥22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22＝4－2 2. 答案：D4．(2017届陕西宝鸡一模)正项等比数列{a n }中，a 2 016＝a 2 015＋2a 2 014，若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( )A ．1B ．32 C.53D ．136解析：设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 2 016＝a 2 015＋2a 2 014，得q 2＝q ＋2，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．又因为a m a n ＝16a 21，即a 21·2m ＋n －2＝16a 21，所以m ＋n ＝6.因此4m ＋1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24n m ·m n ＝32，当且仅当m ＝4，n ＝2时，等号成立．故选B. 答案：B。

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-- -- 第二章《不等式》检测试题一、选择题（本大题共1２小题，每小题5分，共6０分.） 1.设,,Rabc,且ab,则ﻩ（）

A．acbc Ｂ.11ab C．22ab D.33ab 2、设01ab,则下列不等式成立的是 A．33abﻩ B.11abﻩﻩ C.1baﻩﻩﻩD．lg0ba()

３、若122yx,则yx的取值范围是 ( ）Ａ.]2,0[ B.]0,2[ C.),2[ﻩＤ.]2,(

4、设变量x, y满足约束条件360,20,30,xyyxy则目标函数2zyx的最小值为ﻩ( ) A.－7 Ｂ.-４ C.1ﻩＤ.2

5、已知0x，0y，且21xy，则xy的最大值是

A.14 Ｂ. 18 C. 4 D. 8 6.已知向量a＝（1,错误!),ｂ＝(x-1，1），则|a＋b|的最小值是（ ) A.１ B.＼r(２) C.错误! D.2

7、已知向量，ａ=,1xzb＝2,yz且a⊥b,若变量,xy满足约束

条件1325xyxxy,则z的最大值为 A．1 B.2 C.3 D.4 8.如果实数,xy满足不等式组1,10,220,xxyxy则22xy的最小值是 A．２5ﻩB.5ﻩC．4 D．１ 9、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分）, 则其边长x为___ m. -- -- 1０、已知01a,01xy≤,且·，那么xy的取值范围是 A.20a， B.0a， C.10a， D．210a， 11．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少）是( ) A.4.6 ｍ B．4.８ m C.5 m D．５.2 m

1２.定义在,,fMmnp，其中M是ABC内一点,m、n、p分别是MBC、MCA、

MAB的面积，已知中,23,30ABACBACfN若1,,2xy,则14xy的最

小值是 A.8 ﻩB.9 ﻩC.1６ﻩ Ｄ．1８二、填空题(本大题共４小题,每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．若变量x,y满足约束条件28,04,03,xyxy则x+ｙ的最大值为＿_＿_____

１4、已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值,则a______＿_＿_. 1５、已知向量,其中x,y都是正实数,若,则yxt2的最小值是_＿_

＿__＿. 16、若21,xx是函数)(2)(2Rmmxxxf的两个零点，且21xx,则12xx的最小值是．

三、解答题(本大题共6小题，共7０分） 17.(本小题满分１2分)已知a是实数，试解关于x的不等式:122xaxxx

ABC ⊿     1 , , 2 , y b x a    b a  --

-- 1８、(本小题满分10分)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排90０名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1６0０元/辆和２４００元／辆,旅行社要求租车总数不超过２1辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为多少元？

1９．(本小题满分1２分)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k.轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里／小时，它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v-- -- 匀速航行. （1）求k的值; （2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用)的最小值．

20．(本小题满分１2分）记cbxaxxf2)(，若不等式0)(xf的解集为(１，３),试解关于t的不等式)2()8|(|2tftf.

２1.(本小题满分12分) 、已知集合2,21P,函数22log22xaxy的定义域为Q (1）若QP，求实数a的取值范围。 -- -- （２）若方程222log22xax在2,21内有解，求实数a的取值范围。

２2．(本小题满分１2分)已知函数ｙ=f(x)＝-x3+ax2+b(a，b∈R）．（1)要使ｆ(x)在(0，２)上单调递增，试求a的取值范围； (２)当ｘ∈(0,1]时，y＝f(ｘ)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤＼f(π,4)，求a的取值范围.

参考答案一、选择题 1、【答案】Ｄ【解析】A：由于c的正负号不确定,若c为零或负数，不成立，则错误；Ｂ：若0a,无意义，-- -- 错误;C：1a，1b就不满足，错误；答案只能为D．另外从函数的单调性的角度亦可快速判断,A容易排除，BＣD四个选项分别代表了反比例函数，二次函数，三次函数,只有三次函数ｙ=x3定义域为Ｒ且在R上单调递增. 2、D 3、【答案】Ｄ

【解析】因为yxyx222221，即222yx,所以2yx,当且仅当yx22，即yx时取等号． 4、【答案】Ａ

【解析】由2zyx得2yxz.作出可行域如图,平移直线2yxz,由图象可知当直线2yxz经过点D时，直线2yxz的截距最小,此时z最小，由2030xyy,

得53xy，即(5,3)D代入2zyx得3257z，选A． 5、【答案】B 【解析】因为2122xyxy,所以18xy,当且仅当122xy，即11,42xy取等号，所以选B. 6、答案 B 解析ａ+ｂ＝（x,错误!）， |a＋b|＝错误!≥错误!;|a+b|ｍin

=错误!．

7、【答案】C 【解析】因为a⊥b，所以ab，即2()0xzyz,得2zxy，即2yxz，做出可

行域,作直线2yxz,平移直线2yxz，由图象可知当直线2yxz经过点Ｆ时,

直线2yxz的截距最大,此时z最大.由325yxxy得11xy，即(1,1)F,代入2zxy得3z，所以z

的最大值为3,选C．

3x+y-6=0 y-3=0 x-y-2=0 --

-- 8、【答案】B 【解析】在直角坐标系中画出不等式组1,10,220xxyxy≥≤≤ 所表示的平面区域如图所示的阴影部分，x2+y2

的最小值即表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的平方的最小值方，由图可知直线ｘ−y＋1=０与直线x=1的交点（1,２）到原点最近，故x2＋y２的最小值为1２+2２=5. 选B.

9、【答案】20 【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得: 40,40,0,0,404040yxyxyx且

. 10、Ａ 11、答案 C 解析令一直角边长为a，则另一直角边长为错误!,斜边长为错误!,周长l＝a+错误!＋错误!≥22+2>4.8,当且a＝＼f（2，a)时取等号． 12、【答案】D

【解析】由定义可知1,,,2NBCNCANABSSxSy由23ABAC，得cos3023ABAC，即4ABAC,所以111sin3041222ABCSABAC,所以

400 20 , 2 40 取最大值时，矩形的面积仅当 xy S y x xy y x        -- -- 12xy，即221xy。所以，

当且仅当28yxxy,即2yx取等号,解得11,63xy，所以14xy的最小值为18,选D.

二、填空题 13、【答案】６

【解析】设zxy,则yxz。作出可行域如图平移直线yxz,由图象可知当直线yxz经过点Ａ时,直线yxz的截距最大，此时ｚ最大.由

284xyx



，得42xy,即(4,2)A，代入zxy,得426z．

14、【答案】36

【解】xaxxf4)( (当且仅当x

ax4，即24xa时取等号),所以

36342a.

15、【答案】4 【解析】因为ab⊥，所以,2,10abxy,即2xy.又2224txyxy,当且仅当x＝２y=２时取等号.所以yxt2的最小值是4. 16、【答案】22 所以三、解答题

a x a x 4 4  • 