材料力学(刘鸿文)第三章 扭转
练习1 作内力图
练习2 传动轴如图所示，主动轮A输入功率50马力，
从动轮B、C、D输出功率分别为15马力，15马力，
20马力,轴的转速为300r/min。试画出轴的扭矩图。
B
C
A
D
3、已知PA＝20KW，PB＝PC＝6KW，PD＝ 8KW，转数ｎ＝191转/分，作扭矩图
PB
PC
PA
PD
4、作扭矩图
2、求扭矩
T1 m2 0
m2
m3
1
2 m1 3 m4
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
m2
T2 9.56kN m
T3 m4 0
m2
T3 m4 6.37kN m
1
2
3
T1
m3 T2
m4
T3
3、绘制扭矩图 T 9.56 kN m max
m2
m3
m1
m4
BC段为危险截面;
mx 0
T m0
m
m
T m
x
m
T
扭矩的符号规定：
右手螺旋法则 “T”矢量离开截面为正，反之为负。
扭矩图：扭矩沿杆件轴线各横截面上变化规律的图线。
目
①扭矩变化规律；
的
②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
m
m
T
x
危险面 处处是危险面
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW， P4=200kW，试绘制扭矩图。
3KNm 2KNm 1KNm
2KNm
2KNm
5、轴上作用有均布力偶，轴长为L＝1.2米
M0=2KNm/m
§3–3 纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒：
壁厚
t
1 10
rm
rm：为平均半径
1、观察圆筒变形
纵向线发生了倾斜；
2、观察现象
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小、间距均未改变； 只是绕轴线作了相对转动；
T1
T1 M B 63.7( N m )
T2 M B MC 0
T2
T2 M B MC 159.2( N m )
T3 M D 0
T3 M D 159.2( N m )
II A
II
III D
III
3、绘出扭矩图： T1 63.7( N m ) T2 159.2( N m ) T3 159.2( N m )
m2
m3
m1
m4
A
B
C
D
1 计算外力偶矩
m1
9.55
P1 n
15.9(kN m)
n =300r/min，P1=500kW，
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW
m2
m3
m1
m4
A
B
C
D
m2
m3
9.55
P2 n
4.78 (kN m)
m4
9.55 P4 n
6.37 (kN m)
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm2t T
一、等直圆杆扭转实验
观察不变量
通过变形观察现象
1、各圆周线的大小、形状、间距 保持不变； 半径仍保持 为直线；
圆筒两端的相对扭转角为φ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
rL
a
´
c
´
b
d t
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，
切应力与切应变成线形关系；
a
´
c
´
b
d t
G
G 材料剪切弹性模量，单位：GPa。
对各向同性材料有
G
E
21
§3–4 圆轴扭转时的应力 ·强度条件
T1 4.78kN m
T2 9.56kN m T3 6.37kN m
A
B
C
T
4.78KNm 9.56KNm
D
6.37KNm
x
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
B
C
A
D
T Nm
159.2
63.7
159.2
Tmax 159.2( N m )
在CA段和AD段
4 将A、D轮的位置更换
B
C
D
A
T Nm
63.7 Mn,max 318.3(N m)
159.2
AD段
318.3
因此将A、D轮的位置更换不合理。
3
(1)计算外力偶矩
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
B
C
A
D
1 传递的外力偶矩
B、C、D: 2、3、5KW
MA
9.549
PA n
318.3( N m )
MB
9.549
PB n
63.7( N m )
n=300r/min
MC 95.5(N m),
M D 159 .2(N m),
B
C
A
D
2、求内力 M B
MB
T3 B
MC
MD
I C
I
T1 M B 0
T
2 rm2t
rm：薄壁圆筒横截面的平均半径;
二、切应力互等定理
切应力互等定理
mz 0
tdy dx tdx dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现；
且数值相等； 两者都垂直于两平面的交线；
方向： 共同指向或共同背离该交线；
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， 使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
电机每秒输入功： W P 1000(N.m)
外力偶作功： W M 2 n 60
M 60P( KW )
2n( r / min)
9.549 P (KN m) n
M
60P(马 力 ) 2n( r / min)
0.7355
7.024
P ( KN n
m)
二、扭转变形横截面的内力
扭矩：构件扭转变形时，横截面上的内力偶矩； 记作T。 求扭矩的方法 ——截面法
§3–1 扭转的概念和实例 §3–2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3–3 纯剪切 §3–4 圆轴扭转时的应力 §3–5 圆轴扭转时的变形 §3–6 非圆截面杆扭转的概念
§3-1 扭转的概念和实例
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
扭转变形的受力特点
扭转变形的受力特点
一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；
变形特点：
变形特点：
任意两横截面绕轴线发生相对转动；
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
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材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件
也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
材料力学(刘鸿文_第5版)
第十四章 习题
2012年11月5日星期一
常州大学机械学院力学教研室
第五章 习题
第六章 弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 §6-2、挠曲线的微分方程 §6-3、用积分法求弯曲变形 6.1和连续性条件 6.3(a) Page 196 §6-4、用叠加法求弯曲变形 6.9(a) 6.10(b) Page 200 §6-5、简单超静定梁 Page 208 6.36 §6-6、提高弯曲刚度的一些措施
第十三章 习题
§13-1、概述 §13-2、杆件应变能的计算104 Page §13-3、应变能的普遍表达式 §13-4、互等定理 Page 106 §13-5、卡氏定理 Page 107 §13-6、虚功原理 §13-7、单位载荷法 Page 109 莫尔积分 §13-8、计算莫尔积分的图乘法 Page 109
第一章 绪论
§1-1、材料力学的任务 §1-2、变形固体的基本假设 §1-3、外力及其分类 §1-4、内力、截面法和应力的概念 §1-5、变形与应变 §1-6、杆件变形的基本形式
第一章 绪论习题
Page 11 1.2 Page 11 1.4 1.6
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章 习题
§2-1、轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2、轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力 2.2 Page 53 2.1(a)(c) §2-3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 Page 54 2.6 §2-4、材料拉伸时的力学性能 §2-5、材料压缩时的力学性能 §2-7、失效、安全因数与强度计算54 2.7 Page 54 2.12 Page §2-8、轴向拉伸或压缩时的变形 58 2.19 Page 61 2.30 Page
附录 I 平面图形的几何性质
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-扭转(圣才出品)
2．矩形截面的扭转计算
（1）一般矩形截面( h 10) b
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力 等于零，切应力变化情况如图 3-3（a）所示。
横截面上的最大切应力 max 发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
矩形截面扭转时，相对扭转角
7 / 44
；R 为弹簧圈平均半径， 。
6 / 44
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五、非圆截面杆扭转的概念 1．基本概念 （1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。 （2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切 应力。 （3）约束扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲受到限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截 面上有切应力和正应力。
WP
=
D3 16
式中， = d 。 D
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。 （2）强度条件 对于等直杆
对于变截面杆件需综合考虑 T 和 Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核
Tmax [ ] Wt
4 / 44
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②截面选择
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G
=
E
2(1+
)
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
=
1 2
=
2 2G ， v
= 1 2
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
（1）一般矩形截面( h 10) b
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力 等于零，切应力变化情况如图 3-3（a）所示。
横截面上的最大切应力 max 发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
矩形截面扭转时，相对扭转角
7 / 44
；R 为弹簧圈平均半径， 。
6 / 44
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五、非圆截面杆扭转的概念 1．基本概念 （1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。 （2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切 应力。 （3）约束扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲受到限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截 面上有切应力和正应力。
WP
=
D3 16
式中， = d 。 D
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。 （2）强度条件 对于等直杆
对于变截面杆件需综合考虑 T 和 Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核
Tmax [ ] Wt
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②截面选择
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G
=
E
2(1+
)
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
=
1 2
=
2 2G ， v
= 1 2
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
高教版材料力学扭转刘鸿文2011
dx
b
d
是 b-b 截面相对于
a—a 截面象刚性平面一 样绕杆 轴转动的一个角度。
(a)
a
GG' d tan dx EG
d dx
(a)
b
T
T
O
2
O
1
E
G
D
A
'
'
a
此时式说明 ： 同一 半径 圆周变 均相同 ，且其值与
得到
τ
Τ 2 Α0 t
γ
r
l
薄壁圆筒切应力计算公式推倒过程
τ
Τ 2 Α0 t
薄壁圆筒切应 力计算公式
γ
r
l
薄壁圆筒切应 变计算公式
二、切应力互等定理 y
dz
单元体：微小的正六面体
在扭转时，左右两侧面（杆的横截 面）上只有切应力，方向与y轴平行， 前后无应力。
′
o
dy
x
dx
m T
•
x
m
•
T
•
x
例题3-1 传动轴如图所示，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入 的功率为有 PA = 36 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个 从动轮输出的功率分别为 PB =PC = 11 kW及PD = 14 kW。试画 出轴的扭矩图。 PA PB PC PD 解:计算外力偶矩 n PA meA 9550 n A B C D m4 m3 m1A m2 1146 N m
由平衡知：τ′=τ
z
切应力互等定理：两个 相互垂直平面上的剪应力τ和τ′数值
材料力学刘鸿文第五版第三章扭转
例 传动轴,已知转速 n=300r/min，主动轮A输入功 率PA=45kW，三个从动轮输出功率分别为PB=10kW, PC=15kW，PD=20kW。试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
T3 M A 1432N m
a
d
b
c
C、剪（切）应力大小
（1）由于沿圆周线方向各点的 变形相同，同一圆周线上各点 的 r相同，故可认为剪应力沿圆 周线处处相等。
（2）又因壁厚很薄，又可近似的认为沿壁厚方向均匀 分布。
因此认为剪应力在横截面均匀分布
由 d A r T A
根据应力沿壁厚 均匀分布可知
r0
PkW 103 60 2πnrpm
9549
PkW nrpm
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me T:截面上的扭矩
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手大拇指指向横截面外法线方向为正,反之为负
2(1 )
先看实验
圆轴扭转时的应力
一、实验与假设
1、实验现象
﹢各圆周线的形状、大小，两 圆周线间的距离都没有发生变化， 但都绕轴转过了不同的角度。
﹢纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变 成了平行四边形。
2、平面假设
平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转
动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面， 其形状和大小不变，半径仍为直线。
Tmax 1432N m
材料力学刘鸿文第六版最新课件第三章 扭转3.1-3.3
T T
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
刘鸿文版材料力学课件全套
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设：
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
_ 扭转角（rad）
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确 定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P 7 .5 M x T 9 5 4 9 n 9 5 4 9 1 0 0 7 1 6 .2 N m
d
T GI p dx
G
d
dx
T Ip
§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于：
1）圆杆
2） max
p
横截面上某点的切应力的方向与扭矩 方向相同，并垂直于半径。切应力的大 小与其和圆心的距离成正比。
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
m ax
T Wt
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§3.4 圆轴扭转时的应力
个平面的交线，
方向则共同指向
各个截面上只有切应
或共同背离这一 力没有正应力的情况称为
交线。
纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学03扭转(刘鸿文第5版) [兼容模式]
第 3章 扭 转3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3 4 圆轴扭转时的应力（重点） 3.4 3.5 圆轴扭转时的变形（重点） 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形（自学） 3.7 非圆截面杆扭转的概述（了解）3.1 扭转的概念和实例一、工程实例 汽车方向盘的转动轴工作时受扭轮胎套筒扳手二、扭转的概念γ ϕ受力特点：杆两端作用一对等值、反向、作用面与轴线垂 直的力偶作用。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
主要发生扭转变形的杆——轴。
轴类零件的横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍 圆轴的扭转。
3.2 外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 1. 直接计算扭矩和扭矩图2. 按输入功率和转速计算 工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往是未知 的，已知的是轴的转速及轴上各轮所传送的功率。
已知： 轴的转速——n (r/min) 输出功率——P (kW) 求 力偶矩Me 求：力偶矩2π n 由外力偶矩与功率、角速度的关系： P = M eω = M e ⋅ 60可得外力偶矩计算公式： M e (N ⋅ m) = 9549P(kW) n(r ( / min) i ) P(PS) Me( (N ⋅ m) ) = 7024 n(r ( / min) i )二、扭转杆件的内力及内力图 1. 截面法求内力 取左段为研究对象： 左段为研究对象 Me Me∑Mx= 0, 0 T − Me = 0MeT = Me取右段为研究对象：TxMe∑Mx= 0, M e − T = 0xT = Me内力偶矩——扭矩TT2. 扭矩的符号规定： 按右手螺旋法则判断 右手的四指代表扭矩的转动方向，大拇指代表其矢量方 向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩为正值 ，反之为负值。
Me T (＋) T Me T (－) T Me Me3. 内力图（扭矩图） 表示杆件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
材料力学考试大纲
材料力学一、课程的性质与设置目的和要求材料力学是由基础理论课向设计课程过渡的技术基础课。
该课程对后续专业课及工程应用都有深远的影响。
通过对材料力学课程的学习，要求学生对杆件的强度、刚度和稳定性问题具有明确的基本概念、必要的基础理论知识、比较熟练的计算能力、一定的分析能力和实验能力。
二、课程内容与考核目标本课程主要讲述杆件的强度、刚度和稳定性理论及其应用，包括四种基本变形与组合变形的应力和变形，强度和刚度计算，能量方法与超静定问题，压杆稳定，动载荷与交变应力。
第一章拉伸与压缩1.学习目的与要求：本章介绍杆件在拉伸或压缩时的应力和变形计算。
通过学习，要求能熟练绘制杆件的轴力图；能熟练进行杆件强度计算和变形计算。
2.课程内容：轴向拉、压的概念；外力、内力、应力、应变、变形、位移等概念；拉（压）杆的内力、内力图；应力和强度计算、材料的拉、压力学性能、杆件的变形计算；简单的超静定问题。
3.考核知识点：轴力、轴力图；轴向拉压时截面上的应力；轴向拉压时的变形、虎克定律；材料的力学性能（低碳钢、铸铁的拉伸试验的应力应变图；低碳钢和铸铁的压缩试验及两类材料的比较）；轴向拉压的强度条件及强度计算；4.考核要求：能熟练运用截面法计算杆件的轴力，正确绘制轴力图；掌握杆件拉、压时的强度计算；掌握杆件的变形计算；了解材料的基本力学性能以及试件拉、压破坏时的现象和原因；掌握求解简单超静定问题的方法。
第二章剪切1.学习目的与要求：本章介绍连接件的实用计算。
通过学习，要求会计算简单的连接件的强度问题。
2.课程内容：剪切构件的受力和变形特点，连接处可能的破坏形式，剪切和挤压的实用计算。
3.考核知识点：剪切和挤压的概念，剪切和挤压的应力计算。
4.考核要求：了解剪切和挤压的概念，会计算简单的连接件的强度问题。
第三章扭转1.学习目的与要求：本章介绍杆件扭转时的应力和变形，通过学习，要求能熟练绘制杆件的扭矩图；掌握应力和变形的计算公式，能熟练进行轴类零件的强度和刚度计算2.课程内容：纯剪切概念、剪切胡克定律、切应力互等定理；功率、转速与外力偶矩的关系；扭矩和扭矩图、应力和变形的计算、强度条件和刚度条件；弹簧的应力和变形计算；简单扭转超静定问题的计算；非圆截面杆扭转的应力和变形简介。
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第3~4章【圣才出品】
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2．切应力互等定理
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单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面 的交线，方向则共同挃向或共同背离这一交线。
3．剪切胡克定律
（1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例枀限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
ν
1
2
2
2G
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
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三、囿轴扭转时的应力和变形 1．囿轴扭转时的应力 （1）应力计算公式 推导囿轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。 ①变形几何关系：囿轴扭转的平面假设； ②物理关系：剪切胡克定律； ③静力关系：横截面上的内力系对囿心的力矩合成为扭矩。 如图 3-1-2 所示，横截面上任一点的切应力为 τρ＝Tρ/Ip 囿截面边缘的最大切应力 τmax＝TR/Ip＝T/Wt 式中，ρ 为应力点到囿心的距离；Ip 为横截面的枀惯性矩；Wt 为扭转截面系数。
4c 1 4c 4
0.615 c
8FD πd 3
k
8FD πd 3
式中，c 为弹簧挃数，c＝D/d；k 为曲度系数
k 4c 1 0.615 4c 4 c
（3）强度条件
τmax≤[τ]
2．弹簧的变形计算
在作用点在弹簧圀中心的力 F 的作用下，沿力的作用方向的位秱
8FD3n 64FR3n F
图 3-1-2 对于直徂为 D 实心囿形截面 Ip＝πD4/32，Wt＝πD3/16 对于内徂为 d，外徂为 D 的空心囿截面
2．切应力互等定理
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单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面 的交线，方向则共同挃向或共同背离这一交线。
3．剪切胡克定律
（1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例枀限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
ν
1
2
2
2G
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
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三、囿轴扭转时的应力和变形 1．囿轴扭转时的应力 （1）应力计算公式 推导囿轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。 ①变形几何关系：囿轴扭转的平面假设； ②物理关系：剪切胡克定律； ③静力关系：横截面上的内力系对囿心的力矩合成为扭矩。 如图 3-1-2 所示，横截面上任一点的切应力为 τρ＝Tρ/Ip 囿截面边缘的最大切应力 τmax＝TR/Ip＝T/Wt 式中，ρ 为应力点到囿心的距离；Ip 为横截面的枀惯性矩；Wt 为扭转截面系数。
4c 1 4c 4
0.615 c
8FD πd 3
k
8FD πd 3
式中，c 为弹簧挃数，c＝D/d；k 为曲度系数
k 4c 1 0.615 4c 4 c
（3）强度条件
τmax≤[τ]
2．弹簧的变形计算
在作用点在弹簧圀中心的力 F 的作用下，沿力的作用方向的位秱
8FD3n 64FR3n F
图 3-1-2 对于直徂为 D 实心囿形截面 Ip＝πD4/32，Wt＝πD3/16 对于内徂为 d，外徂为 D 的空心囿截面