北师大版八年级上册第二章 《实数》(平方根、立方根、估算)学案
北师大版八年级数学上册第二章《实数》复习案
备注（教师复备栏及学生笔记）
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3
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科目
数学
课题
第二章《实数》阶段复习案
主备人
学案
类型
习题课
学案
编号
导
学目标
通过本节课的复习训练，进一步理解无理数、算数平方根、平方根和估算的相关知识；体验成功乐趣。
装订线
学法指导及使用说明：请先认真复习课本。认真思考，独立完成导学案， 不会的或是有疑问的做好标记，以备小组合作解决。运用双色笔，第一次完成用蓝色，第二次课堂生成改动用红色。
知识链接：
课前复习：
请同学们认真复习前几天学过的无理数、算数平方根、平方根和估算的相关知识。
合作探究，展示提高：
一、认真选一选：
1、25的平方根是（）
A、5B、-5C、±5D、
2、下列说法中，正确的有( )
无限小数都是无理数； 无理数都是无限小数；
带根号的数都是无理数； －2是4的一个平方根。
⑤含∏的式子都是无理数
A. ⑤ B. C. D.
3、要式子 有意义，x的取值范围是（ ）
A. x ≥ 2 B. x ≤2 C. x ≥ -2 D. x≠2
4、 下列说法正确的是（ ）
A. 的立方根是0.4 B. 的平方根是
C.16的立方根是 D.0.01的立方根是0.000001
5、已知：a、b、c是△ABC的三边，化简 （ ）
A.2a-2bB.2b-2aC.2cD.–2c
6、 若 和 都有意义，则 的值是（ ）
八年级数学上册第二章实数第二节平方根时平方根教案北师大
第2课时平方根课题第2课时平方根课型新授课教学目标1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.重点1.了解平方根、开平方的概念，会利用互逆运算关系求某些非负数的算术平方根与平方根.2.平方根与算术平方根的区别和联系.难点1.平方根与算术平方根的区别和联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.教学用具课件教学环节说明二次备课复习上节课我们学习了算术平方根的概念、性质新课导入若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=a，而且a也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（-2）2=4，则-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.课程讲授（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？（2）平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a 的平方根（square root），也叫二次方根，3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算术平方根只有一个是3.由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？【归纳结论】联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根都是0.区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示法不同：正数a的平方根表示为±a，正数a的算术平方根表示为a.（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？2. 平方根的性质请大家思考下面的问题：（1）一个正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？小结作业布置1.习题2.4第1、2、3、4题.2.完成本课时练习部分.板书设计课后反思2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加（ ） A ．180°B ．90°C ．360°D ．540°2．若关于x 的方程33x m x -=+的解为负数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m >-B ．3m <-C ．3m ≥-D ．3m ≤-3．如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（ ）A ．第24天销售量为300件B ．第10天销售一件产品的利润是15元C ．第27天的日销售利润是1250元D ．第15天与第30天的日销售量相等4．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．35a 2-a 的取值范围是( ) A ．a≠0B ．a ＞2C ．a≥2D ．a≥2且a≠06．将一个n 边形变成(n ＋1)边形，内角和将( ) A ．减少180° B ．增加90° C ．增加180°D ．增加360°7．如图，一个函数的图象由射线BA 、线段BC 、射线CD 组成，其中点(1,2)A -，()1,3B ，(2,1)C ，()6,5D ，则此函数（ ）A ．当1x <时，y 随x 的增大而增大B ．当1x <时，y 随x 的增大而减小C ．当1x >时，y 随x 的增大而增大D ．当1x >时，y 随x 的增大而减小8．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组9．下列说法中正确的是（ ） A ．在△ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2 B ．在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2C ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2D ．AB 、BC 、AC 是△ABC 的三边，若AB 2+BC 2＝AC 2，则△ABC 是直角三角形10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，BC ＝AC ，∠BAD ＝108°，则∠D ＝（ ）A ．144°B ．110°C ．100°D ．108°二、填空题 11．若分式11x x +-的值为0，则x 的值是_____． 12．如图，矩形纸片ABCD 中，已知4=AD ，3AB =，点E 在BC 边上，沿AE 折叠纸片，使点B 落在点'B 处，连结'CB ，当'CEB ∆为直角三角形时，BE 的长为______.13．已知一次函数(1)2y m x m =-+-图像不经过第一象限，求m 的取值范围是__________. 14．据统计，2008年上海市常住人口数量约为18884600人，用科学计数法表示上海市常住人口数是___________．（保留4个有效数字）15．关于x 的一元二次方程()21210m x x --+=无实数根，则m 的取值范围是______．16．某公司招聘员工一名，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示： 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙9283若公司将面试成绩、笔试成绩分别赋予6和4的权，则被录取的人是__________.17．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为15人，频率为0.3，那么被调查的学生人数为________． 三、解答题18．六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A 、B 两种品牌的儿童服装，每套A 品牌服装进价比B 品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A 种服装数量是用750元购进B 种服装数量的2倍． (1)求A 、B 两种品牌服装每套进价分别为多少元；(2)该服装A 品牌每套售价为130元，B 品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B 品牌服装的数量比购进A 品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A 品牌的服装多少套．19．（6分）在四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，求这四个数（按从小到大的顺序排列）20．（6分）如图,将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置,AB 与A 1C 1相交于点D,AC 与A 1C 1、BC 1分别交于点E. F.(1)求证：△BCF≌△BA1D．(2)当∠C=α度时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由．21．（6分）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大.请将他们的探究过程补充完整.（1）列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，则有y=____________；（2）上述函数表达式中，自变量x的取值范围是____________；（3）列表：x …0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m …写出m=____________；（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；（5）结合图象可得，x=____________时，矩形的面积最大；写出该函数的其它性质（一条即可）：____________.22．（8分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？23．（8分）如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD、BC．（1）填空：AB 与CD 的位置关系为 ，BC 与AD 的位置关系为 ．（2）如图2，若G 、E 为射线DC 上的点，AGE GAE ∠=∠，AF 平分DAE ∠交直线CD 于F ，且30FAG ∠=，求B 的度数．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象经过点A （-2，6），且与x 轴交于点B ，与正比例函数y=3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标是1．（1）求此一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式（k-3）x+b ＞0的解集；（3）设一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交于点M ，点N 在坐标轴上，当△CMN 是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象与直线2y x =-交于点A(3,m).（1）求k 、m 的值；（2）已知点P(n ，n)(n>0)，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x-2于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数(0)ky x x=> 的图象于点N.①当n=1时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．C【解析】【分析】根据n边形的内角和定理即可求解．【详解】解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n+1．（n+1﹣1）•180﹣（n﹣1）•180＝360°．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．2．B【解析】【分析】先把m当作已知条件求出x的值，再根据x的值是负数列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵1x-m=1+x，∴x=3 2m，∵关于x 的方程1x-m=1+x 的解是负数， ∴32m +＜0， 解得m ＜-1． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 3．D 【解析】 【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为y=503t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A 、根据图①可得第24天的销售量为300件，故A 正确；B 、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为z=kx+b ， 把（0，25），（20，5）代入得：25205b k b +⎧⎨⎩＝＝， 解得：125k b ⎩-⎧⎨＝＝，∴z=-x+25，当x=10时，z=-10+25=15， 故B 正确；C 、当24≤t≤30时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为y=k 1t+b 1， 把（30，200），（24，300）代入得：11113020024300k b k b ++⎧⎨⎩＝＝， 解得：11705030k b ⎪⎩-⎧⎪⎨＝＝∴y=-503+700，当t=27时，y=250，∴第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C 正确； D 、当0＜t ＜24时，可得y=253t+100，t=15时，y≠200，故D 错误， 故选D ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 4．C 【解析】 【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ， ∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ， 在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△BNA ≌△BNE ， ∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形， 同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一）， ∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=12DE=52． 故选C ． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不为0即可解答.【详解】在实数范围内有意义， ∴a ﹣1≥0，a ≠0，解得：a≥1．故选C ．【点睛】a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．6．C【解析】【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．【详解】解：n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n ﹣1）•180°，因而（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（n ﹣1）•180°﹣（n ﹣2）•180=180°．故选C ．7．A【解析】【分析】根据一次函数的图象对各项分析判断即可.【详解】观察图象可知：A. 当1x <时，图象呈上升趋势，y 随x 的增大而增大，正确.B. 当1x <时，图象呈上升趋势，y 随x 的增大而减小, 故错误.C. 当12x <<时，y 随x 的增大而减小,当2x >时，y 随x 的增大而增大，故错误.D. 当12x <<时，y 随x 的增大而减小,当2x >时，y 随x 的增大而增大，故错误.考查一次函数的图象与性质，读懂图象是解题的关键.8．C【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与另一个的图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称．根据中心对称的定义可知，图（2）（3）（4）成中心对称，由3组，故选C.9．D【解析】【分析】根据勾股定理即可解答【详解】A、在△ABC中，不一定能够得到AB2+BC2＝AC2，故选项错误；B、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；C、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；D、AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，故选项正确．故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容10．D【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC＝∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣108°＝72°，∵BC＝AC，∴∠BAC=∠B=72°，∴∠ACB＝180°﹣2×72°＝36°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝36°，∵AD＝CD，∴∠DCA=∠DAC=36°，∴∠D＝180°﹣36°×2＝108°，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题11．-2【解析】【分析】根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可．【详解】解：由分式11xx+-的值为2，得x+2＝2且x﹣2≠2．解得x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为2，②分母的值不为2，这两个条件缺一不可．12．3或3 2【解析】【分析】分两种情况：①当∠EFC=90°，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理求出AC，设BE=x,表示出CE，根据翻折变换的性质得到AF=AB,EF=BE，再根据Rt△CEF利用勾股定理列式求解；②当∠CEF=90°，判断四边形ABEF是正方形，根据正方形的性质即可求解.【详解】分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=4，∴BC=AD=4，在Rt △ABC 中，AC=2222345AB BC +=+=设BE=x ，则CE=BC-BE=4-x ，由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x ，∴CF=AC-AF=5-3=2在Rt △CEF 中，EF 2+CF 2=CE 2，即x 2+22=(4-x)2，解得x=32； ②当∠CEF=90°，如图2由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°，∴四边形ABEF 是正方形，∴BE=AB=3，故BE 的长为3或32【点睛】此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据图形进行分类讨论.13．1<m≤2【解析】【分析】一次函数()y 1m x m 2=-+-图像不经过第一象限，则一次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴或原点.【详解】∵图象不经过第一象限，即：一次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴或原点，∴1-m<0，m-2≤0∴m 的取值范围为：1<m≤2故答案为：1<m≤2【点睛】本题考核知识点：一次函数的图象. 解题关键点：理解一次函数的性质.14．1.888×710【解析】【分析】先用用科学记数法表示为：10n a ⨯的形式，然后将a 保留4位有效数字可得．【详解】18884600=1.88846×710≈1.888×710故答案为：1.888×710【点睛】本题考查科学记数法，注意科学记数法还可以表示较小的数，表示形式为：10n a -⨯．15．m ＞2【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=（-2）2-4（m-1）＜0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：∵要保证方程为二次方程故m-1≠0得m ≠1，又∵方程无实数根，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4（m-1）＜0，解得m ＞2，故答案为m ＞2.【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 16．乙.【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【详解】∵甲的面试成绩为86分，笔试成绩为90分，面试成绩和笔试成绩6和4的权，∴甲的平均成绩的是86690487.664⨯+⨯=+(分)． ∵乙的面试成绩为92分，笔试成绩为83分，面试成绩和笔试成绩6和4的权， ∴乙的平均成绩的是92683488.464⨯+⨯=+(分)． ∵88.487.6>∴被录取的人是乙故答案为：乙.【点睛】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是计算平均数时按6和4的权进行计算.17．50【解析】【分析】根据频数与频率的数量关系即可求出答案．【详解】解：设被调查的学生人数为x ， ∴150.3x=， ∴x=50，经检验x=50是原方程的解，故答案为：50【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是正确理解频数与频率的关系，本题属于基础题型．三、解答题18．（1）A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）17套．【解析】【分析】（1）首先设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为（x-25）元，根据关键语句“用2000元购进A 种服装数量是用750元购进B 种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；（2）首先设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130-100）a+（95-75）（2a+4）＞1200，再解不等式即可．【详解】解：（1）设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为()25x -元，由题意得：2000750225x x =⨯-， 解得：100x =，经检验：100x =是原分式方程的解， 251002575x -=-=，答：A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装()24a +套，由题意得：()()()1301009575241200a a -+-+>，解得：16a >，答：至少购进A 品牌服装的数量是17套．【点睛】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A 、B 两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．19．这四个数为,,,1268或,,,1358 或,,,2358.【解析】分析：根据中位数的定义得出第二个数和第三个数的和是8，再根据这四个数是不相等的正整数，得出这两个数是3、5或2、6，再根据这些数都是正整数得出第一个数是2或1，再把这四个数相加即可得出答案．详解：∵中位数是4，最大的数是8，∴第二个数和第三个数的和是8，∵这四个数是不相等的正整数，∴这两个数是3、5或2、6，∴这四个数是1，3，5，8或2，3，5，8或1，2，6，8，故答案为：1, 2, 6, 8或1, 3, 5, 8 或2, 3, 5, 8.点睛：此题考查了中位数，掌握中位数的概念是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．20． (1)证明见解析(2)四边形A 1BCE 是菱形【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC ，∠A=∠C ，由旋转的性质得到A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ；（2）由旋转的性质得到∠A 1=∠A ，根据平角的定义得到∠DEC=180°﹣α，根据四边形的内角和得到∠A 1BC=360°﹣∠A 1﹣∠C ﹣∠A 1EC=180°﹣α，证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由于A 1B=BC ，即可得到四边形A 1BCE 是菱形．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，在△BCF 与△BA 1D 中，111A CA B BC A BD CBF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF ≌△BA 1D ；（2）解：四边形A 1BCE 是菱形，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，∴∠A 1=∠A ，∵∠ADE=∠A 1DB ，∴∠AED=∠A 1BD=α，∴∠DEC=180°﹣α，∵∠C=α，∴∠A 1=α，∴∠A 1BC=360°﹣∠A 1﹣∠C ﹣∠A 1EC=180°﹣α，∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形，∴A 1B=BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．21．见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的周长表示出另一边长，然后利用矩形面积公式即可求得y 与x 间的关系式；（2）根据矩形周长以及边长大于0即可求得；（3）把x=3.5代入（1）中的解析式即可求得m 的值；（4）按从左到右的顺序用平滑的曲线进行画图即可；（5）观察图象即可得.【详解】（1）因为矩形一边长为x ，则另一边长为（82-x ）=（4-x ），依题意得：矩形的面积y=x （4-x ），即y=-x 2+4x ，故答案为：-x 2 + 4x ；（2）由题意得40xx>⎧⎨->⎩，解得：0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4；（3）当x=3.5时，y=-3.52+4×3.5=1.75，故答案为：1.75；（4）如图所示；（5）观察图象可知当x=2时矩形面积最大，轴对称图形；当0＜x≤2时，y随x的增大而增大等，故答案为：2；轴对称图形或当0＜x≤2时，y随x的增大而增大.【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，得出函数解析式是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 22．（1）111，51；（2）11.【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为411m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：40040042x x-=解得：x=51，经检验x=51是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是51×2=111（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是111m2、51m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：1.4y+180010050y -×1．25≤8， 解得：y≥11，答：至少应安排甲队工作11天．23．（1）//AB CD ，//AD BC ；（2）120°【解析】【分析】（1）根据平移的性质，即可判定；（2）根据平行和角平分线的性质进行等角转换，即可得解.【详解】（1）由平移的性质，得//AB CD ，AB=CD∴四边形ABCD 为平行四边形∴//AD BC（2）∵//AB CD∴BAG G ∠=∠∵G EAG ∠=∠∴EAG BAG ∠=∠∵AF 平分DAE ∠∴FAE FAD ∠=∠∴2BAD FAG ∠=∠∵30FAG ∠=∴60BAD ∠=∵//BC AD∴180B BAD ∠+∠=∴120B ∠=【点睛】此题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题. 24．（1）y=-x+4；（2）x ＜1；（3）当△CMN 是直角三角形时，点N 的坐标为（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．【解析】【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式；(2)由(1)的结论可得出y=-4x+4，令y=0可求出该直线与x 轴的交点坐标，再利用一次函数的性质即可求出不等式(k-3)x+b ＞0的解集；(3)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M 的坐标，分∠CMN=90°，∠MCN=90°及∠CNM=90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质可求出点N 的坐标．【详解】(1)当x=1时，y=3x=3，∴点C 的坐标为(1，3)．将A(-2，6)，C(1，3)代入y kx b =+，得：263k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴此一次函数的解析式为4y x =-+；(2)令()30y k x b =-+=，即440x -+=，解得：1x =．∵-4＜0，∴y 的值随x 值的增大而减小，∴不等式()3k x b -+＞0的解集为x ＜1；(3)∵直线AB 的解析式为4y x =-+，∴点M 的坐标为(0，4)，∴OB=OM ，∴∠OMB=45°．分三种情况考虑，如图所示．①当∠CMN=90°时，∵∠OMB=45°，∴∠OMN=45°，∠MON=90°，∴∠MNO=45°，∴OM=ON，∴点N1的坐标为(-4，0)；②当∠MCN=90°时，∵∠CMN=45°，∠MCN=90°，∴∠MNC=45°，∴，∴CM=2，∴点N2的坐标为(0，2)．同理：点N3的坐标为(-2，0)；③当∠CNM=90°时，CN∥x轴，∴点N4的坐标为(0，3)．综上所述：当△CMN是直角三角形时，点N的坐标为(-4，0)，(0，2)，(-2，0)，(0，3)．【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)利用一次函数的性质，求出不等式的解集；(3)分∠CMN=90°，∠MCN=90°及∠CNM=90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点N的坐标．25． (1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.【解析】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，∴m=3-2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=kx，∴k=3×1=3，m的值为1.（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=3x，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知平面上四点()0,0A ，()10,0B ，()10,6C ，()0,6D ，一次函数()10y kx k =-≠的图象将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则(k = )A ．2B ．45C ．5D ．62．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF=2，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．16B ．8C ．42D ．43．若关于x 的一元二次方程 2 3 0x x a -+=的一个根是1，则a 的值为( )A ．-2B ．1C ．2D ．04．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（ ）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:15．下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ）A ．守株待兔B ．水中捞月C ．瓮中捉鳖D ．拔苗助长6．赵老师是一名健步走运动的爱好者为备战2019中国地马拉松系列赛·广元站10千米群众健身赛，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图在每天健步走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A ．2.2，2.3B ．2.4，2.3C ．2.4,2.35D ．2.3，2.37．若一次函数()0y kx b k =+≠的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集为（ ）A ．0x >B ．3x <C ．4x <D ．4x >8．某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在讯期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x 米，依题意列方程得（ ）A ．120012004(125%)x x -=+B ．120040012004004(125%)x x ---=+ C ．120012004004(125%)x x --=+ D ．120040012004004(125%)x x---=+ 9．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x ，则（ ）A ．10.8（1+x ）=16.8B ．16.8（1﹣x ）=10.8C ．10.8（1+x ）2=16.8D ．10.8[（1+x ）+（1+x ）2]=16.810．下列特征中，平行四边形不一定具有的是（ ）A ．邻角互补B ．对角互补C ．对角相等D ．内角和为360°二、填空题11．某商品的标价比成本高%p ，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过%d ，若用p 表示d ，则d =___．12．在△ABC 中，AB=8，BC=27 ，AC=6，D 是AB 的中点，则CD=_____．13．在平面直角坐标系中，将点()1,2A -向右平移3个单位所对应的点的坐标是__________．14．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD=BD ，连接DM 、DN 、MN ．若AB=6，则DN=___．15．如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的关系式是_______．16．在菱形ABCD 中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD 的面积为____________．17．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图所示为小明离家的路程()y m 与时间(min)t 的图像，则小明回家的速度是每分钟步行________m ．三、解答题18．在正方形ABCD 中，E 是△ABD 内的点，EB=EC ．（1）如图1，若EB=BC ，求∠EBD 的度数；（2）如图2，EC 与BD 交于点F ，连接AE ，若ABFE S a 四边形，试探究线段FC 与BE 之间的等量关系，并说明理由．19．（6分）已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC ，Rt △CEF ，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB ∥CF ；（2）如图1，若CB=a ，CE=2a ，求BM ，ME 的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME ．20．（6分）先化简，再求值：（3m-6m m 1+）÷22m -2m 1m -1+，其中m ＝2019－23 21．（6分）某校为奖励学习之星，准备在某商店购买A 、B 两种文具作为奖品，已知一件A 种文具的价格比一件B 种文具的价格便宜5元，且用600元买A 种文具的件数是用400元买B 种文具的件数的2倍． （1）求一件A 种文具的价格；（2）根据需要，该校准备在该商店购买A 、B 两种文具共150件．①求购买A 、B 两种文具所需经费W 与购买A 种文具的件数a 之间的函数关系式；②若购买A 种文具的件数不多于B 种文具件数的2倍，且计划经费不超过2750元，求有几种购买方案，并找出经费最少的方案，及最少需要多少元？22．（8分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F 交BC 的延长线于点E ．（1）求证：BE CD =；（2）连接BF 、AC 、DE ，当BF AE ⊥时，求证：四边形ACED 是平行四边形．23．（8分）如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，F 是边BC 延长线上的一点，且BF EF =，12AB =，设AE x =，BF y =.（1）当BEF ∆是等边三角形时，求BF 的长；。
北师大版八年级上册第二章第二节平方根(教案)
c.平方根的应用：在解决面积问题时，如求一个边长为√5的正方形面积，指导学生如何将平方根知识应用于问题的求解，建立数学模型，并得出结论。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方根》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况？”（如求解一个正方形边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方根的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根的基本概念。平方根是一个数乘以自身得到另一个数的运算，它是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于科学、技术等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，求解一个边长为3厘米的正方形面积，通过平方根的应用，我们可以轻松得到面积为9平方厘米。
北师大版八年级上册第二章第二节平方根（教案）
一、教学内容
北师大版八年级上册第二章第二节平方根
1.理解平方根的定义及性质；
2.学会求一个数的平方根；
3.了解平方根在生活中的应用；
4.掌握平方根的运算规则，如：
（1）如果a^2=b，那么a是b的平方根，记作a=√b；
（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对平方根的概念和计算方法掌握得还算不错。在导入新课环节，通过提问的方式引起了学生的兴趣，他们能够积极参与到课堂讨论中。在新课讲授环节，我注意到有些学生在理解负数没有平方根这一难点时，还是显得有些困惑。因此，我使用了图形演示和生活中的例子来帮助他们理解，效果似乎有所改善。
2019版八年级数学上册 第二章 实数 2.2 平方根(2)学案(新版)北师大版 (I)
2019版八年级数学上册第二章实数 2.2 平方根（2）学案（新版）北师大版 (I)1. 计算：=______， =______.2. 的算术平方根是_________.⑴ 9算术平方根是3，即：3的平方是9，还有其他数的平方是9吗？⑵平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？2019版八年级数学上册第二章实数 2.2 平方根（2）学案（新版）北师大版 (I)1. 计算：=______， =______.2. 的算术平方根是_________.3. 若,则=______.四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：平方根的概念⑴ 9算术平方根是3，即：3的平方是9，还有其他数的平方是9吗？⑵平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么，这个数就叫做的______.也叫做__________.3和-3的平方都是9，即9的平方根有两个3和-3；9的算术平方根只有—个是3.例题：下列说法正确的是（）A. 5是25的平方根B. ±4是16的平方根C. -6是（-6）2的算术平方根D. 0.01是0.1的算术平方根练习：1.下列说法中正确的是（）A. 16的算术平方根是±4B. 任何数都有两个平方根C. ∵3的平方是9 ∴9的平方根是3D. -1是1的平方根2．下列说法中正确的是（）A. 4是8的算术平方根B. 16的平方根是4C. 是6的平方根D. 没有平方根3．16的平方根是（）A.±4B.24C.±D.±2探究点2：平方根的性质⑴一个正数有几个平方根？⑵ 0有几个平方根？⑶负数呢？平方根的性质:一个正数有______个平方根，0只有_____个平方根，它是0本身；负数_____平方根.一个正数有两个平方根，一个是的算术平方根，“”，另一个是“”，它们互为相反数.这两个平方根合起来，可以记做“”，读作“正、负根号”.例题：1．判断下列各数是否有平方根？并说明理由.⑴ 16；⑵－0.01；⑶ (－3)2；⑷ 0；⑸－52；2. 已知某数有两个平方根分别是与, 则这个数是．练习：1．已知一个正数的平方根是和，则这个数是．2．一个正数的平方根是与，则=______，这个正数是______.探究点3：开平方的概念开平方：求一个数的________的运算，叫做开平方.其中叫做被开方数.开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根.例题：求下列各数的平方根：⑴ 64；⑵；⑶ 0.0004；⑷ (-25)2；⑸ 11.练习：求下列各数的平方根．⑴ 1600，⑵ 0，⑶，⑷ 0.25，⑸ 52－32，⑹ 1，⑺ 17，⑻│－│0．探究点4：常见公式⑴ =_______；⑵=_______；⑶ =_______；⑷对于正数，=_______. ⑷对于任意数一定等于a吗？公式：1：2：例题：1. = ______.2. 已知0≤x≤3,化简+=______.练习：1. = ______.2. 的化简结果是（）A.2B.－2C.2或－2D.43．当1<<4时，化简－结果是（）A.－3B.3C.D.5五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1．9的平方根是（）A． 3 B． -3C．±3 D．±2．(－11)2的平方根是（）A. 121B. 11C. ±11D.没有平方根3．的平方根是（）A．6 B．±6 C． D．±4．下列计算正确的是（）A. B.C. D.5．下列说法中正确的有（）①一个数的算术平方根一定是正数②一个正数有两个平方根，它们互为相反数③ 15的平方根记为；④±表示7的平方根．A．1个 B．2个C．3个 D．4个6．|－9|的平方根是（）A．81 B．±3C．3 D．－37．的平方根的相反数．。
八年级数学上册第二章实数2.3立方根学案(无答案)(新版)北师大版
2.3立方根学习目标：( 一 ) 学习知识点1.认识立方根的观点，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，认识开立方与立方互为逆运算.3.认识立方根的性质 .4.划分立方根与平方根的不一样 .( 二 ) 能力训练要求1. 在学了平方根的基础上，要修业生能用类比的方法学习立方根的相关知识，领悟类比思想 .2. 发展学生的求同求异思想，使他们能在复杂环境中是非分明.( 三 ) 感情与价值观要求此刻社会是科学飞快发展、信息变化多端的时代，每个人都不行能把一世中要接触的知识所有学会，所以让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培育优秀的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，此中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课要点训练学生的类比思想的养成 .学习要点：立方根的观点.学习难点：1.正确理解立方根的观点 .2.会求一个数的立方根 .3.划分立方根与平方根的不一样之处 .学习方法：类比学习法 .学习过程：Ⅰ . 新课导入上节课我们学习了平方根的定义，若2x =a，则 x 叫 a 的平方根，即 x=±a.若正方体的棱长为 a，体积为8，依据正方体体积的公式得a3=8，那 a 叫8的什么呢？本节课请大家依据上节课的内容自己来类推出结论，若x 3= ，则x叫a的什么呢？aⅡ . 新课解说1.请大家先回想平方根的定义 . 下边大家能不可以再依据平方根的写法来类推立方根的记法呢？. 若x 的平方等于 a，则 x 叫a 的平方根，记作x=±2a ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x 等于正，负根号a. 若x的立方等于，则x叫a的立方根，记作x=±3a ，读作xa等于正、负三次根号 a，简称 x 等于正、负根号 a.［师］请大家对这位同学的回答睁开议论，小组总结后选代表讲话.［生甲］我以为这位同学回答得不对. 假如x2=a，则x=± a ，x3=a时，x=± a 也成立的话，那怎样划分平方根与立方根呢？［生乙］由于乘方与开方是互为逆运算，求立方根可经过逆运算立方来求，如x3=8，因1为 23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.［师］大家的剖析特别有道理，请仔细看书第13、 14 页可知，若一个数x 的立方等于a，即 x3=a，那么这个数x 就叫做 a 的立方根( cube root ；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为 x=3a，读作 x 等于三次根号a.开立方的定义［师］大家先回想开平方的定义，再类推开立方的定义.［生］求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，此中 a 叫做被开方数.(2) 立方根的性质［师］ 2 的立方等于多少？能否有其余的数，它的立方也是8？［生］ 2 的立方等于8，( － 2) 3=－ 8，所以没有其余的数的立方等于8.［师］－ 3 的立方等于多少？能否有其余的数，它的立方也是－27？［生］－ 3 的立方等于－ 27， 33=27，所以没有其余的数的立方等于－27.［师］ 0 的立方等于多少？0 有几个立方根？［生］ 0 的立方等于0，0 有 1 个立方根是0.［师］从方才的议论中，大家总结一下正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数有几个立方根？［生］正数有一个立方根，0 有一个立方根是0，负数有一个立方根.［师］对 . 正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0 的立方根有一个，是0.(3) 平方根与立方根的差别与联系.［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下边请大家谈谈它们的联系与差别.［生］从定义来看，若一个数x 的平方等于a，即 x2=a，则 x 叫 a 的平方根；若一个数x 的立方等于a，即 x3=a，则 x 叫 a 的立方根，都是一个数x 的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，而且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.［生］它们的表示方法和读法不一样，一个正数 a 的平方根表示为± a ，立方根表示为3a .下边我再系统地总结一下：平方根与立方根的联系与差别.联系：(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.差别：(1)定义不一样：“假如一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根”；“假如一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根.”(2)个数不一样：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.(3)表示法不一样2正数 a 的平方根表示为± a ，a的立方根表示为 3 a.(4)被开方数的取值范围不一样± a 中的被开方数 a 是非负数；3a中的被开方数能够是任何数.2.例题解说［例 1］求以下各数的立方根：(1) －27； (2)8；(3)0.216；(4)－5. 125［师］请大家思虑以下问题.3 a 表示a的立方根，则(3 a )3等于什么？3 a3等于什么？大家能够先举例后找规律. ： (33 a ) =a.33a，所以3a 3又∵ a是 a 的立方,所以 a 的立方根就是a下边就这两个式子进行练习.= .［例 2］求以下各式的值：(1) 38 ；(2)3 0.064 ；(3)－38；(4)( 39)3 125Ⅲ . 讲堂练习( 一) 随堂练习1.求以下各式的值：3 0.125;364;3 53 ;(3 16)3.2. 一个正方体，它的体积是棱长为 3 厘米的正方体体积的8 倍，这个正方体的棱长是多少？解：设正方体的棱长是x 厘米，得( 二 ) 增补练习 1. 求以下各数的立方根：0， 1，－27， 6，－125， 0.001 8110002.求以下各式的值：3 0.027; 31;31;3631;3( 2)3;(32)3 ;3 (8 )212564273.以下说法对不对？3－ 4 没有立方根； 1 的立方根是± 1；1的立方根是1；－5的立方根是－35；64的算术366平方根是Ⅳ. 议一议1.某化工厂使用一种球形储气罐储蓄气体 . 此刻要造一个新的球形储气罐，假如它的体积是本来的 8 倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？2.一个正方体的体积变成本来的n 倍，它的棱长变成本来的多少倍？解：设原正方体的棱长为 a，以后的正方体的棱长为 b，得na3=b3∴3b3 3 a3 n∴ b=3a3n3 na .即以后的棱长变成本来的3 n 倍.Ⅴ. 课时小结 1. 立方根的定义 .2. 立方根的性质 .3. 开立方的定义 .4. 平方根与立方根的差别与联系 .5. 会求一个数的立方根 .Ⅵ. 课后作业习题 2.5.Ⅶ . 活动与研究1.求以下各式中的 x.(1)8 x3+27=0； (2)( x－ 1) 3－0.343=0 ； (3)81( x+1) 4=16； (4)32 x5－ 1=0.4。
新北师大版八年级数学上册第二章实数导学案
第一课 平方根导学案一、学习目标：1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
二、知识要点：1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a三、复习、预习：1、据图填空：x 2= , y 2= , z 2= ,w 2= .，即 ，那么这个正数a 的 ，记为 ，读作 。
特别地，我们规定0的算术平方根是 ，即 。
4、由以上定义可知如果2x =a ，那么x 就叫a 的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ） ③0.01是0.1的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ）5、5的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下6、试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 四、典型例题例1、求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1 （4）0 （5）94（6）7例2、计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5+（6） 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？五、经典练习1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121 （3）12 （4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0- （3（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m 六、课后作业1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1） 2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对 3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算：（1）- 16964 （2）2243+121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192=400202= 625252= 676262= 729272= 784282= 841292= 900302=第二课 立方根导学案一、学习目标：1、掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
北师版数学八年级上册2.2《平方根》教案
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根的基本概念。平方根是一个数乘以自身得到另一个数的运算的逆运算。它是解决许多实际问题的关键，如在工程测量、科学计算等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，如果一块土地的面积是25平方米，我们如何求出其边长？通过求25的平方根，我们得到5，这就是这块土地的边长。
-平方根的估算：掌握估算平方根的方法，提高解题效率。
-平方根的应用：能够将平方根应用于解决实际问题。
举例：求9的平方根，学生需要理解9的平方根是3，同时也要知道-3是9的平方根，因为3和-3的平方都等于9。
2.教学难点
-平方根的双重性：学生往往容易忽视一个正数有两个平方根，而且它们互为相反数。
-负数没有平方根：这一点对于学生来说是概念上的难点，需要通过具体例子和解释来帮助学生理解。
5.培养学生数学应用意识：让学生体会数学知识在实际生活中的价值，激发他们将数学应用于解决实际问题的兴趣。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平方根的定义：理解平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
-平方根的计算：学会使用数学方法计算一个数的平方根，并能解决相关问题。
五、教学反思
北师大版八年级上册数学教案：2.2平方根
在总结回顾环节，我尝试让学生们自己总结今天的学习内容，我发现他们能够很好地概括平方根的关键点。但我也意识到，对于一些细节知识，如平方根的符号表示和一些特殊情况的处理，还需要在后续的复习中加以巩固。
具体内容包括：
-平方根的定义及性质；
-平方根的计算方法；
-平方根的估算；
-算术平方根的概念；
-平方根与算术平方根的应用实例。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过平方根的概念引入，使学生能够理解数学定义的逻辑严密性，掌握平方根性质的推理过程，提高逻辑思维水平。
2.提升学生的数学运算能力：通过平方根的计算方法学习，使学生熟练掌握计算平方根的技巧，提高数学运算速度和准确性。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方根的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方根的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对平方根的概念和性质的理解普遍较好，能够跟上课程的节奏。通过引入日常生活中的例子，学生们对平方根的应用产生了浓厚的兴趣，这让我感到很高兴。不过，我也注意到在讲解平方根的双重性和估算方法时，部分学生显得有些困惑，这可能是本节课的难点所在。
举例：估算√20，可以先找到最接近20的完全平方数16和25，然后得出4<√20<5。
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实数（平方根、立方根、估算）
教学目标
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）
2.平方（立方）、开平方（开立方）；
3.估算
重点难点
1.定义及性质（平方根、算术平方根、立方根）
2.平方（立方）、开平方（开立方）；
3.估算
知识解析
知识要点：
一、无理数
概念：无限不循环小数叫无理数。
满足条件：（1）小数 （2）是无限小数 （3）不循环
二、平方根
1．算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即2xa，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为a，
读作“根号a”，a被称为被开方数。
性质：（1）正数有一个算术平方根 （2）0的算术平方根是0
（3）负数没有算术平方根 （4）双重非负性：a（0a）是一个非负数
2．平方根：如果一个数x的平方等于a，即2xa，那么这个数x就叫做a的平方根。
性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数
（2）0的平方根为0
（3）负数没有平方根
3．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数，开平方时，被开方数a必须
是非负数。
注：20aaa 200aaaaaa
三、立方根
1．立方根：如果一个数x的立方等于a，即3xa，那么这个数x就叫做a的立方根。
性质：（1）正数有一个正的立方根
（2）负数有一个负的立方根
（3）0的立方根是0
2．开立方的概念：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。开立
方与立方互为逆运算。开立方时，被开方数可以是正数也可以是负数。
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典例解析
考点一：定义及基本性质
【例1】在下列实数中，无理数是（ ）
A．13 B． C．16 D．227
【变式1】下列各数654.0、23、0)(、14.3、80108.0、1、1010010001.0、4、
544514524534.0
,其中无理数的个数是 ( )
(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4
【例2】若实数a，b满足，则a-b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2
【变式1】若2)2(a与1b互为相反数，则ba的值为（ ）
A．2 B．12 C．12 D．21
【变式2】已知22340xyz，求x，y，z的值。
考点二：比较大小、估算
二次根式中常见的解题方法------平方法、倒数法
【例1】（1）比较32与23的大小；（2）比较512与12的大小。（3）比较15-19711和的
大小
【例2】已知5+11的小数部分为a，5－11的小数部分为b，求：
（1）a+b的值；（2）a－b的值.
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考点三：先化简再计算（注意陷阱）
【例1】81的平方根是 .
【变式1】-27 的立方根与的平方根之和是（ ）
A 0 B 6 C -12或6 D 0 或-6
【例2】
02783x
2
9140x
【变式1】
2
4(1)10x
064273x
考点四：简单计算
【例1】（1）12－21－231 （2）24612；
（3）2)525(； （4）363737
考试链接
1.已知:一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则这个正数是( )
A.4 B.2 C.-2 D.36
2.下列判断正确的是( )
A.若a=b,则= B.若|a|=|b|,则a=b
C.若|a|=,则a=b D.若a
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3.下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
4.关于x的方程的解为( )
A.x=9或x=-3 B.x=±9 C.x=15或x=-9 D.x=9
5.有一个数值转换器，原理如图所示．当输入的x为25时，输出的y是( )
A.B.5 C.D.
6.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和-1则点C所对应的实数
是__________．
7.观察下列各式及其验算过程：
22
2233
验证：33222222222(21)22223321213
33
3388
验证：33222333333(31)33338831318
(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果并进行验
证;
(2) 针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且2n）表示的等
式，并给出证明。
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课堂训练
A组
1.在下列各数:3.1415926,,0.2,,,,中无理数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列说法正确的是( )
A.一个数的平方根有两个 B.有理数与数轴上的点一一对应
C.两个无理数的和不一定是无理数 D.绝对值最小的实数不存在
3.若实数a，b满足，则a-b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2
4.已知2a-1的算术平方根是3，b+2是25的算术平方根，则ab=( )
A.15 B.-15 C.35 D.-35
5.的平方根是( )
A.25 B.5 C.±5 D.±25
6.若，则a的取值范围是( )
A.a＞3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3
7.下列判断中,错误的是( )
A.是2的平方根 B.的倒数是22
C.的绝对值是 D.的平方的相反数是2
8.下列式子中,属于最简二次根式的是( )
9.A. B. C. D.
9.
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B组
1.已知的整数部分是a，小数部分是b，则a-2b的值为( )
2.A.B.C.D.
2.计算：=( )
3.A.B.C.D.
3.若实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是( )
A.B.C.D.
4.设的整数部分为a,小数部分为b,则ba1的值为( )
A.221 B. C.221 D.
课后作业
1.下列说法正确的是( )
A.无限小数是无理数 B.有理数只是有限小数
C.无理数的相反数还是无理数 D.两个无理数的和还是无理数
2.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为( )
A.0 B.-2a C.2b D.-2a-2b
3.的值( )
A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
4.现有四个无理数,,,,其中在实数+1和+1之间的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.，，的大小关系是( )
A.<
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.其中正确的判断的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
7.
5213123
2
1
； 4381279 50212582543