八年级上册数学《实数》平方根和立方根 知识点整理
2024八年级数学上册第十四章实数14.5用计算器求平方根与立方根课件新版冀教版
(2) －
(3) 33 .
8
； －
25
8
＝－ 0.32≈－0.57.
25
33 ≈5.20.
知1－练
感悟新知
知识点 2 用计算器开立方
求一个数的立方根
用计算器上的
2ndF
知2－讲
利用计算器求一个数的立方根需
键 . 按键顺序为先按
键，再按数字键，最后按 = 键，显示结果 .
感悟新知
(1) 9 801
知1－练
解：依次按键
9
8
0
1
=
，
显示结果为 99. 所以 9 801 =99.
5
(2)
(结果精确到 0.01) .
12
依次按键
5
ab/c
1
显示结果为 0.645 497 224. 所以
2
= ，
5
≈ 0.65.
12
感悟新知
1-1.利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：
行操作 .
感悟新知
(1)
知2－练
－145
解：在计算器上依次按键
－ 1
2ndF
4
5
=，
显示结果为 － 5.253 587 872，
所以
－145 ≈ － 5.254.由于任何一个数都有立方根，
所以求负数的立方根要用 － 键 .
感悟新知
(2)
知2－练
2
.
7
解：在计算器上依次按键
2ndF
2 ab/c 7 = ，
第十四章
实
数
14.5
八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理
平方根和立方根一、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
八年级上数学实数平方根与立方根
6.1平方根立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。
注意：这样的数常常有两个。
2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。
3.平方根的表示方法:正数a的平方根表示为“± ”4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。
记作。
0的平方根0,也叫做0的算术平方根。
5. ≥0（当 a<0时, 无意义）。
到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。
6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。
二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2. 表示的正数a的平方根。
蕴含条件a≥0。
三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2解:(1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即± =±11, =11。
(2)∵(±0.07)2=0.0049 ∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。
(3)∵(± )2= ∴ 的平方根是± ,算术平方根是, 即±=± , = 。
(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(± )2= ∴4 的平方根为± ，算术平方根为。
即,± 。
(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。
∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。
说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。
例2.求下列各式的值:(1)3 =3× = (2)± =± (3)=8(4)± =± (5)- (带分数要先化成假分数)(6)3× =3×7=21(7)(8) ×0.6+ ×0.9=0.3+0.3=0.6(9) (a<b)= ∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。
1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。
平方根的记号为√a。
1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。
- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。
2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
以³√a表示a的立方根，其中a为实数。
2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。
立方根的记号为³√a。
2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。
- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。
- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。
3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。
3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。
- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。
例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。
4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。
4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。
- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。
- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。
4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。
八年级上册实数的知识点
八年级上册实数的知识点实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合。
实数在数学中占有非常重要的地位。
本文将会介绍八年级上册学习的实数知识点。
一、实数的类别实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是指形如 $\dfrac{p}{q}$ 的数，其中 $p$ 和 $q$ 均为整数且$q$ ≠ 0 。
有理数包括整数、正有理数、负有理数、零和分数等。
例如，-2，$\dfrac{3}{4}$，和 0.5 都是有理数。
无理数是指不能表示为有理数形式的实数。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数。
例如，$\sqrt{2}$ 和$\pi$ 都是无理数。
二、实数的比较在实数中，有大小之分。
不同的实数可以通过比较大小来确定它们之间的大小关系。
下面提出了几个规则来比较实数的大小：1.正数大于负数。
2.对于同号的两个实数，绝对值大的数更大。
3.对于不同号的两个实数，正数比负数大。
4.如果 $a > b$ 且 $b> c$ ，那么 $a> c$ 。
这被称为传递性。
三、实数的运算实数具有加、减、乘和除四种基本运算。
1.加法和减法：实数加法和减法之间满足交换律和结合律，即：交换律： $a+b=b+a$， $a-b=-b+a$结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(a-b)-c=a-(b+c)$2.乘法和除法：二个实数之间的乘法和除法也满足交换律和结合律，并且它们的乘积和商也是实数。
交换律：$ab=ba$，$a÷b ≠b÷a$结合律：$(ab)c=a(bc))$，$a÷(bc) ≠ (a÷b) c$可以通过乘方表达式来快速表示乘积，例如 $a^3$ 可以代替$a×a×a$。
四、立方根和平方根1.立方根：如果一个数 $a$ 可以表示为 $b$ 的立方，即$a=b^3$ ，那么 $b$ 就是 $a$ 的立方根。
例如，立方根 $\sqrt[3]{8}$ 就是 2，因为 $2^3 = 8$。
八上数学实数必背知识点总结
第二章 实数1、1-25的平方：12=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361202=400212=441222=484232=529242=576252=6252、1-10的立方：13=123=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729103=10003、实数的分类：4、判断无理数的方法：① 带π的② 无限不循环的小数③ 带根号并且开不出来的5、算数平方根：算数平方根的定义：一般地，如果一个正数 x的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x就叫做 a的算术平方根. 0 的算术平方根是 0.（a≥0）符号表示： √a，表示求a的算术平方根，即 求谁 (非负数）的平方等于a.6、平方根：平方根的定义：一般地，如果一个数 x的平方等于 a，即x2 = a，那么这个数 x就叫做 a的平方根（或二次方根）。
0 的平方根是 0.（a≥0）符号表示： ±√a，表示求a的平方根，即 求谁的平方等于a.平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根还是 0；负数没有平方根.②双重非负性：a≥0，√a≥0③7、立方根：立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3= a , 那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）. 0的立方根是0 ．（a 为任意数）。
符号表示：3√a ，表示求a 的立方根，即 求谁的立方等于a.立方根的性质：①正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．②8、必考题：①√81的算数平方根是 3 . ②√16的平方根是 ±2 . ③√64的立方根是 2 .9、非负数有：（ ）2 ≥0， | | ≥0， √❑ ≥0几个非负数相加等于0，如（ ）2 + | | + √❑ = 0，说明里面都是0.10、两个答案的有：平方、平方根、绝对值，如：①若a 2 =4，则a= ±2 （两种情况！） ②若 |a | =4，则a= ±4 （两种情况！）③4的平方根是 ±2 （两种情况！）11、比大小：¿1¿GG 3¿GGGGGGGGGGG ①√❑和数字，比较它们的平方¿2¿GG 3¿GGGGGGGGGGG ②3√❑和数字，比较它们的立方③√❑和3√❑，比较它们的6次方④2√3和3√2，比较它们的平方⑤√3−12和12，分母相同比分子12、相反数、绝对值、倒数：相反数：①只有符号不同的两个数叫做相反数。
（完整版）平方根与立方根及实数知识点总结
（完整版）平方根与立方根及实数知识点总结“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151；⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343；⑵ 10227-；⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
北师大版初二数学上册《立方根》
（ 8 ） (5 )3 1 2 5 = 4 1 7 , 4 1 7 的 立 方 根 是 5 ， 即 34 1 7 = 5
3 2 7 2 7 2 7
3 2 73
思考并回答 一个正数有几个平方根？ 0的平方根是什么？
负数有没有平方根？ 一个正数有几个立方根？0的立方根是什么？ 负数有没有立方根？
立方根的性质1：
3 27 __2_7
a 3
3 a ___
对于任何数a ,
3 3a a
3 03 _0__
立方根的性质2：
对于任何数a,都有 3a3a,
(3a)3a.
例2.求下列各式的值：
（1） 3 125
（2）
3
2 10 27
(3) 3 -64 16
(4 )3( 5 )3( 5 )2 (35 )3 (5 )2
解：（1）3 125 5
（2）3
210 27
3
64 27
4 3
（3）原式=-4+4=0 （4）原式=-5+5-5-5=-10
例3. 求出下列各式中的x. （1） 27（x－1）3+125=0
（2） 3 x 2 4
解 ：(1). （ x 1）3 1 2 5 27
x 1 3 125 5 27 3
√ (5) 0的平方根和立方根都是0
√ （6）互为相反数的立方根也互为相反数
填空练习：
(1)1的平方根是_±___1；立方根为__1__； 算术平方根为___1_． ((32))平算方术根平是方它根本是身其的本数身是的_数__0是_．__0_，_．1 (4) 立方根是其本身的数是_±___1．，0
第二章 实数
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平方根和立方根
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51加速度学习网 整理
一、本节学习指导
平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，
)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：
① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
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例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2
)3(-；（3）49
15
1
. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.
解：（1）因为6482
=，所以64的算术平方根是8，即864=；
（2）因为93)3(22==-，所以2
)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151
=
，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是7
8
，即7
8
49151
=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2
)3(-的算术平方
根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求
其算术平方根，不要出现类似7
4149161=的错误.
例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
25
9； （4）2
)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表
示16的负平方根，故其结果是负数；
259表示25
9的算术平方根，故其结果是正数；2
)4(-表示2
)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.
解：（1）因为8192
=，所以±81=±9. （2）因为1642
=，所以－416-=.
（3）因为2
53⎪⎭⎫ ⎝⎛=25
9，所以259=53
.
（4）因为2
2
)4(4-=，所以4)4(2
=-.
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例
（1）64的立方根是
（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832
±=±。
其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
分析：（1）我们知道4的3次方等于64，所以64的立方根就是4；
（2）①立方根只有一个，27的立方根是3，而不是正负3，-3的立方等于-27，错；② 根据立方根的定义可知对；③ 根号64开方等于8，立方根是2，正确；④ 先把3次根号里面的化简等于3次根号下64，那么应该等于4，错。
3、立方根
（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
记做：3
a ，读作，3次根号a 。
注意：这里的3表示的是开根的次数。
一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
三、经验之谈：
实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，没关系，慢慢来，对于平方根和立方根的基础题型我们要会做，本节题目在后面变化多端，多做练习相信一定能理解的。