2018学年高中数学选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 精品
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人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关 联的不同概念．
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→P ＝17O→A －5O→B －30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
解析： 如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，
c＝A→D ，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A、B1、C、D1 四点 不共面，
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的 一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.1.4《空间向量运算的正交分解及基坐标表示》课件
2
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
13
14
15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
3
复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， b（ b ≠ 0 ）
13
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15
D1 A1 D A B1 E
C1
F
B
C
16
1答案
2答案
证明: 设正方体的棱长为1,
A1
D1
z
C1 B1
建立如图的空间直角坐标系
A
D F
E C
y
x
B
17
18
1.基本知识：
（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；
（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
19
20
分析:
Байду номын сангаас
证三点共线可 尝试用向量来分析.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求
的值.
6
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB ，求 的值.
学习共面
7
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共线与共面分析
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 只要有信心，人永远不会挫败。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 如果我们一直告诫自己要开心过每一天，就是说我们并不开心。 善良的人永远命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
重难聚焦
第一章
三角函数
(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个 基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}, 其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底. z=c+a与b和c不共面,故③可以构成一个基底. ④假设a+b,b+c,a+b+c共面, 则a+b+c=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc, ������ = 1, 则 ������ + ������ = 1, 该方程组无解. ������ = 1, 故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底. 栏目 导引 答案:C
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
最新高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理:
对 空 间 任 意 两 个 向 量 a , （ b b ≠ 0 ） ， a / / b 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 λ ， 使 a ＝ λ b .
共面向量定理:
如 果 两 个 向 量 a,b不 共 线 ， 则 向 量 p与 向 量 a,b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 对 x， y， 使 p＝ xa＋ yb.
2
=
1 6
OA
+
1 3
OB
+
1 3
O
C
.
A
Q
C
P
N
B
O
M
OQ = OM + MQ
= 1 OA + 1 MN
A
Q
C
P
2
3
= 1 OA + 1( ON - 1 OA )
2
3
2
N B
=
1 3
OA
+
1( OB 6
+
OC)=
1 3
OA
+
1 6
OB
+
1 6
OC.
AEAA'A'EAA'1 A'B'A'D' 2 1AB1ADAA'.
22
1.(2013·曲阜高二检测)设 O-ABC 是四面
体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点， 且 OG＝3GG1.若OG ＝xOA ＋y OB ＋zOC ，则 (x，y，z)为( A )
A．(14，14，14) B．(34，34，34)
共线向量定理:
对 空 间 任 意 两 个 向 量 a , （ b b ≠ 0 ） ， a / / b 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 λ ， 使 a ＝ λ b .
共面向量定理:
如 果 两 个 向 量 a,b不 共 线 ， 则 向 量 p与 向 量 a,b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 对 x， y， 使 p＝ xa＋ yb.
2
=
1 6
OA
+
1 3
OB
+
1 3
O
C
.
A
Q
C
P
N
B
O
M
OQ = OM + MQ
= 1 OA + 1 MN
A
Q
C
P
2
3
= 1 OA + 1( ON - 1 OA )
2
3
2
N B
=
1 3
OA
+
1( OB 6
+
OC)=
1 3
OA
+
1 6
OB
+
1 6
OC.
AEAA'A'EAA'1 A'B'A'D' 2 1AB1ADAA'.
22
1.(2013·曲阜高二检测)设 O-ABC 是四面
体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点， 且 OG＝3GG1.若OG ＝xOA ＋y OB ＋zOC ，则 (x，y，z)为( A )
A．(14，14，14) B．(34，34，34)
高中数学选修2-1教学课件 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
单位正交基底
设 e1,e2,e3是空间三个单位正交基底,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xe1 ye2 ze3
e1, e2 , e3叫做单位正交基底
O'
(1)OB' a b c
(2)BA' (3)OG
b c
A'
1 a b 1 c
O
2
2
A
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
e3 e1
o
e2
P
y
x
向量的坐标表示
以 e1,e2,e3 方向建立直角坐标系,则
p xe1 ye2 ze3 把x,y,z称作向量 p在正交基底 e1,e2,e3
下的坐标,记为 p (x, y, z) z
e3 e1
o
e2
P
y
x
巩固性训练1
1.已知向量{a, b, c}是空间的一个基底, 从a, b, c中选哪一个向量, 一定可以与 向量 p a b,q a b构成空间的另一个 基底.
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
A' O
单位正交基底
设 e1,e2,e3是空间三个单位正交基底,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xe1 ye2 ze3
e1, e2 , e3叫做单位正交基底
O'
(1)OB' a b c
(2)BA' (3)OG
b c
A'
1 a b 1 c
O
2
2
A
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
e3 e1
o
e2
P
y
x
向量的坐标表示
以 e1,e2,e3 方向建立直角坐标系,则
p xe1 ye2 ze3 把x,y,z称作向量 p在正交基底 e1,e2,e3
下的坐标,记为 p (x, y, z) z
e3 e1
o
e2
P
y
x
巩固性训练1
1.已知向量{a, b, c}是空间的一个基底, 从a, b, c中选哪一个向量, 一定可以与 向量 p a b,q a b构成空间的另一个 基底.
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
A' O
课件2：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
答案 A
例3 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中
点，P，Q是MN的三等分点。用向量 OA,OB,OC
表示OP和 OQ 。
O
M
A
Q
C
P
N
B
解 : OP OM MP 1 OA 2 MN
2
3
1 OA 2 (ON 1 OA)
2
3
2
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
OQ OM MQ 1 OA 1 MN
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
空间向量的直角坐标系
z
给定一个空间坐标系和向
量P ,且设{e1,e2,e3}为坐标向量，
p
由空间向量基本定理，存在唯
e3
一的有序实数组(x,y, z)使
e1
O e2
y
P xe1 ye2 ze3 x
有序组(x,y, z)叫做 P 在空间直角坐标系O--xyz
中的坐标，记作 P (x, y, z)
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向 量 e1,e2 ,e3 称为单位正交基底． (2)空间直角坐标系：以 e1, e2 , e3 的公共起点O为原点，分别 以 e1, e2 , e3 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角 坐标系O－xyz.
OP OQ zk. OQ xi y j.
z
OP OQ zk xi y j zk.
pP
由此可知，如果 i, j, k 是空间两两
O
y
垂直的向量，那么，对空间任一向
量 p ，存在一个有序实数组{x,y,z}使
高中数学选修2-1精品课件6-3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
2.把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量 可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为 坐标运算，其运算原理下节课再学习.
2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj， 则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标， 记作a＝(x，y).
若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标 就是向量a的坐标.
3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将 这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其 坐标表示.
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固
1.在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD， AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
D
A
C
B
2. 在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的 中点，求异面直线OE与BF所成的角的余弦值.
O
A
E B
F C
cos q = 2 3
3.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6， AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，
空间向量的坐标表示
若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直， 则称这个基底为正交基底。 若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个 基底为单位正交基底。
特别地，设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交 基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的 正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一
空间向量基本定理: 若三个向量a，b，c不共面，则对空间 任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都 叫做基向量. 空间任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底。
2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj， 则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标， 记作a＝(x，y).
若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标 就是向量a的坐标.
3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量 p 都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将 这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其 坐标表示.
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固
1.在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD， AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
D
A
C
B
2. 在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的 中点，求异面直线OE与BF所成的角的余弦值.
O
A
E B
F C
cos q = 2 3
3.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6， AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，
空间向量的坐标表示
若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直， 则称这个基底为正交基底。 若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个 基底为单位正交基底。
特别地，设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交 基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的 正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一
空间向量基本定理: 若三个向量a，b，c不共面，则对空间 任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都 叫做基向量. 空间任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底。
(高中数学选修2-1)3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
注意 对于基底{a,b,c}需要明确以下几点：
1.向量a,b,c不共面； 2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的 一个基底； 3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意 两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐 含着它们都不是0. 4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量.
A1 D1 B1 E C1
F D
A
B C
1 1 AF AD DF DC1 DC DD1 2 2 1 1 AB AA1 x AB y AA1 2 2 1 1 所以， x , y 2 2
A1 D1 E C1 A B C F D
B1
课堂小结
1.空间向量基本定理.
p
由空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x,y,z}，使得p=xe1+ye2+ze3. 把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下 的坐标，记做p=(x,y,z).此时，向量p的坐标恰是 点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标（x,y,z）.
这样，我们就有了从正交基 底到空间直角坐标系的转换.
在空间，具有大小和方向的量如果三个向 量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有 序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc.
2.基底与基向量.
空间任意三个不共面向量都可以做空间向 量的一个基底.一个基底指一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量.
3.空间向量的正交分解.
能从正交基底到空间直角坐标系转换.
y
由平面向量基本定理可知，在OQ,k所确定 的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk. z P k O j i x Q
ห้องสมุดไป่ตู้