浙江省温州市共美联盟2020-2021学年高二上学期期末数学试题

浙江省温州市共美联盟2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（ ） A ．210x y ++=B ．2420x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4．已知实数x ，y 满足不等式组123y x x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也比不要条件6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ）A ．αϕ≥B ．αϕ>C ．αϕ<D ．αϕ≤8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M 是唯一的，则a =（ ）A ．3±B ．CD 9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD ：④二面角A BC D --：其中正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ）A B ．3C D ．5二、双空题11．经过两点A (2,3)，B (1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．12．已知椭圆C ：221169y x +=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为 __________3cm .14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.三、填空题15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M ，则M 的方程为______.16．已知过椭圆22:12x C y +=的左焦点F 的直线交C 于A 、B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.四、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=. （1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； （2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长.19．如图，PA ⊥正方形ABCD 所在平面，M 是PC 的中点，二面角P DC A --的大小为45︒.（1）设l 是平面PAB 与平面PCD 的交线，证明CD l ∥；（2）在棱AB 是否存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN 长.20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 21．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若1AB =，BC =，1AF FE EC ===.（1）求证：AC DE ⊥；（2）若1DE =，求BE 与面ACEF 所成角的正弦值.22．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点()2,1M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当点M 恰好为线段AB 的中点时，10AB．（1）求椭圆C 的方程； （2）求AD EB ⋅的最小值．参考答案1．A 【解析】 【分析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12， 而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件； 而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件； 而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件； 而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件， 故选：A. 【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题. 2．B 【分析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】解：双曲线22154x y -=，焦点在x 轴上，3c ==，所以双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 3．B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =弦心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ．4．D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小.即min 112z =--=-. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题. 5．C 【分析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论.【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件.故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系． 7．C 【分析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】 解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角，而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角， 根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 8．A 【分析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可.【详解】解：设动点(),M x y12=， 化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆，且M 在直线20ax y a --=上， 故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴a =， 故选：A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题. 9．A 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC tθ⋅====⋅，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =， 设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-，cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=∴二面角A BC D --，故④正确. 故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题. 10．C 【分析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '， 即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得22b a m c-=，2ab n c =-，将222,b a ab F c c ⎛⎫-'- ⎪⎝⎭，即2222,c a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 代入双曲线的方程可得()222222222241ca abc a c b--=， 化简可得2241c a-=，即有25e =，解得e =故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11．－1 135° 【分析】由斜率定义式得k ＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角． 【详解】由斜率定义得k ＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tan α1,=-故3πα4=，即135° 故答案为－1 ； 135° 【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题12．8 (0, 【分析】利用椭圆方程求解a ，b ，c ，推出结果即可. 【详解】解：椭圆C ：221169y x +=，可得4a =，3b =，且焦点在y 轴上，则该椭圆的长轴长：8，c ==(0,故答案为：8；(0,. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13． 643【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,=体积为21644433⨯⨯= 14．60︒ 120︒ 【分析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ， ∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥，又ED AB ⊥，AB AC A ⋂=，AB 平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥，∴CE =1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒： 又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角， 又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒.故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题. 15．()()22345x y -+-= 【分析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为，，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，R =设(),M a b ===解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=. 故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题．16．14+【解析】 【分析】由题意画出图形，设直线AB 的方程为1x my =-，将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出11AF BF+的值，利用基本不等式求出2AF BF +的最小值，即可得出k 的最大值.【详解】 解：如图，设直线AB 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222210m y my +--=， ()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理得12222m y y m +=+，12212y y m =-+，11AF BF +=======)()211223BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭33≥+=+当且仅当AF =时，等号成立，所以，214AF BF +≥=+.1k ∴≤+k的最大值为14+.故答案为：14+. 【点睛】本题考查椭圆焦半径性质的应用，同时也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 17．【分析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=， 设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上， 又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为1122OP = 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程2222004x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=， 又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径2r ： 又由()4,0A -，则AM=故答案为：【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．18．（1）见解析；（2）【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而AC R =<= ,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点（2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为=， 考点：本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．（1）见解析（2）存在，3AN = 【分析】（1）先证明//CD 平面PAB ，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A --的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设(),0,0N x ，求出平面的法向量，根据M DN C --的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴//CD AB ，又AB 在平面PAB 内，CD 不在平面PAB 内， ∴//CD 平面PAB ，又平面PCD 过直线CD ，且平面PAB ⋂平面PCD l =，∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2， 则()0,2,0D，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ，易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =，又()1,1,1MD =--，()1,1,1NM x =-，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取1,,122x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1cos ,cos 6021mn m n m n⋅===︒=+，解得3x =故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且3AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题．20．（1）8；（2）见解析 【分析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ： （2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线. 【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1， 所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=，所以4y y '+=，4yy '=-， 所以弦长8MN ===，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4yy '=-，4y y =-'因为41OAy k y y ==-='-，244ON y y y k x y '''===''∴OA ON k k =，AO ，ON 又有公共点O ， 所以A ，O ，N 三点共线. 【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 21．（1）见解析（2）12【解析】 【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，1OE CE AF ===，2==AC BD ，从而CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ，从而EG AC ⊥，DG AC ⊥，由此能求出AC ⊥平面DEG ，由此能证明AC DE ⊥.（2）过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE 与面ACEF 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥， ∵DGEG G =，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体， 过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴2BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，B ⎫⎪⎪⎝⎭，263E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，233BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACEF 的法向量()0,0,1n =， 设BE 与面ACEF 所成角为θ，则213sin 216BE nBE nθ⋅===⋅，∴BE 与面ACEF 所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．（1）221123x y +=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ）根据离心率为2和弦长列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB ⋅的表达式()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，再求函数的最小值即得AD EB ⋅的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b+=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b⎧+=⎨+=⎩作差得， ()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=，∴AB 斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=．则12AB x =-== 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++, 由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=． 于是()()212122282142112,1414k k k x x x x kk-++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y kx x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+． 同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+．∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++=⎪++++⎝⎭， ()222222011651442kk k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭, 当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅的最小值为165． 点睛：本题的难点在求得()()()2222201144kAD EB k k +⋅=++之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442kkk k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。