高中数学最值问题

最值问题一、点击高考最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。

以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。

因此，它在高考中占有比较重要的地位。

回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。

特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。

由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。

可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。

二、考点回顾:分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种：1、函数的最值；2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等；3、字母的取值范围；4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如：f(x)≥0对x∈R恒成立⇔f(x)的最小值≥0成立，f(x)≤0对x∈R恒成立⇔f(x)的最大值≤0成立；5、实际应用问题：实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。

这类题已成为这几年高考的热点。

可以肯定，这个热度会继续保持。

三、知识概要1、求函数最值的方法：“数”和“形”，数形结合：配方法 直接法 均值不等式法单调性代数方法 导数法判别式法间接法有界性函数的图像平面几何知识几何方法 线性规划解析几何 斜率两点间距离2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；（2）),0()(R a a xa x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。

3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型：能直接判断线性规划建立目标函数曲函数的最值四、典型例题分析例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=，（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值。

【考查目的】本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。

【例题详解】(1)解法一：常规思路：利用定义。

2)(x x f =-＋1++a x ，2)(x x f -=-.1---a x若22),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数；若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对R x ∈恒成立，只能是0=a .故0=a 时，)(x f 为偶数；0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数。

解法二：从特殊考虑： ,1)0(+=a f又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数。

若0=a ，则=)(x f 1)(2++=-x x x f ，)(x f 为偶函数；若0≠a ，则12)(,1)(22++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在0≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数。

（2）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知： 若21≤a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ； 若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为43)21(=f ，且)()21(a f f ≤。

当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f 。

若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-； 若21->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f 。

综上所述，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是43+a 。

【特别提示】1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。

2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。

3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。

例2、已知函数xa x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意0)(),,1[〉+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围。

【考察目的】本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。

【例题详解】（1）当21=a 时，211)(',221)(zxx f x x x f -=++=。

1≥x ，∴ 0)(>x f 。

∴ )(x f 在区间),1[+∞上为增函数。

∴ )(x f 在区间),1[+∞上的最小值为27)1(=f 。

（2） 02)(2>++=xa x x x f 在区间),1[+∞上恒成立； ∴ 022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立；∴ a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立；函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3∴ 3<-a即 3->a【特别提示】1．第（1）题中，,221)(++=xx x f 这类函数，若0>x ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。

2．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。

例3、设P 为圆2x +2y =1上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为＿＿＿＿。

【考查目的】本题考查直线和圆的基础知识，解几中的最值问题及多元函数的最值问题，考查数形结合这一重要数学思想方法。

【例题详解】解法一：设点P ),(00y x ，则点P 到直线01043=--y x 的距离为：5104300--=y x d又12020=+y x ，令)(sin ,cos 00R y x ∈==ααα，则 510sin 4cos 3--=ααd＝)34(tan 510)cos(5=-+ϕϕα ＝2)cos(-+ϕα∴当1)cos(=+ϕα时，d 有最小值1。

解法二：圆心O 到直线01043=--y x 的距离为2，故圆上的点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为2－1＝1。

【特别提示】1．本题是解析几何中的最值问题，可借助于形的直观性直接求解，如解法二；也可建立目标函数，转而求函数的最值，如解法一。

2．解法一涉及到求多元函数的最值，一般是通过消元转化为一元函数。

3．函数2)cos(-+=ϕαd 的最小值，有很多同学误以为：当cos()ϕα+取 最小值－1时，函数有最小值，忽视了绝对值。

例4、设曲线x e y -=)0(≥x 在点t e t M -,()处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积为)(t S 。

（1）求切线l 的方程；（2）求)(t S 的最大值。

【考查目的】本题考查导数公式，导数的几何意义，以及导数的应用等导数的基础知识，考查综合应用能力。

【例题详解】（1）x e y --='∴在点M （t,e t -）处的切线l 的斜率为－t e -∴切线l 的方程为)(t x e e y t t --=---（2）令,0=x 得);1(t e y t +=-令,0=y 得,1t x +=∴ t t S +=121)( )1(t e t +- 2)1(21t e t +=- )0(≥t ∴ t t e t t e t S --+++-=)1()1(21)('2 )1)(1(21t t e t -+=- 令10)('==t t S 得又,0)('S 1;0)('10<>><≤t t t S t 时，时， ∴et t 2)(S 1取到最大值时，= 【特别提示】1.由导数的几何意义知，函数在点M 处的导数值就是曲线在点M 处的切线的全斜率，这是本题的突破口2.建立目标函数，转而求目标函数的最值，这是通法。

3.导数法是求函数最值的通法，但不一定是最佳方法，注意选择。

例1（2004·江苏卷·19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。

某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【考查目的】本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

【例题详解】设投资人分别用y x 万元、万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,5.11.03.0,10y x y x y x目标函数y x z 5.0+=上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域作直线00,05.0:l y x l 关作平行于直线=+的一组直线,,5.0R z z y ∈=+与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，此时纵截距最大，这里点M 是直线8.11.03.010=+=+y y x 和的交点。

解方程组⎩⎨⎧=+=+8.11.03.0,10y x y x 得 6,4==y x此时765.04=⨯+=z (万元)。

6,4==∴y x 当时z 取得最大值。