高中数学学案：三角函数的最值问题

高中数学学案:三角函数的最值问题1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域．2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题.1. 阅读:必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题.基础诊断1. 函数f(x)＝sin x,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为3]__． 解析:因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6),所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]．3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__．解析:f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1, 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2.4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x范例导航考向❶ 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值例1 已知函数f(x)＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2) 求f(x)的最大值和最小值．解析:(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73,x ∈R. 因为cos x ∈[－1,1],所以当cos x ＝－1时,f (x )取最大值6；当cos x ＝23时,f (x )取最小值－73.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210,A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1) 求cos A 的值；(2) 求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．解析:(1) 因为π4<A <π2,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210, 所以π2<A ＋π4<3π4,cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210, 所以cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4 ＝－210×22＋7210×22＝35.(2) 由(1)可得sin A ＝45,所以f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32,x ∈R. 因为sin x ∈[－1,1],所以当sin x ＝12时,f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时,f (x )取最小值－3.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 考向❷ 形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的三角函数的最值例2 已知函数f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1) 求当函数f(x)取得最大值时,x 的取值集合；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时,求f(x)的值域． 解析:(1) 因为f(x)＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝2cos x(12sin x ＋32cos x)－3sin 2x ＋sin x·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x ＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2(12sin 2x ＋32cos 2x)＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 由2x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,可得x ＝k π＋π12,k ∈Z,所以函数f (x )取得最大值时,x 的集合为{x |x ＝k π＋π12,k ∈Z}．(2) 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12,得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2, 所以32≤sin(2x ＋π3)≤1,所以3＋1≤f (x )≤3,故f (x )的值域为[3＋1,3]．【注】 对于三角函数最值问题,通常将表达式化为形如y ＝Af (ωx ＋φ)＋B 的形式,确定变量x 取值的集合通常由等式ωx ＋φ＝2k π＋θ,k ∈Z 解出x .已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1(ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12上的最大值和最小值． 解析:(1) 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋2cos 2ωx －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6＋cos2ωx ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6, 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π,解得ω＝1.(2) 由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为0≤x ≤7π12,所以π6≤2x ＋π6≤4π3,所以当2x ＋π6＝π2,即x ＝π6时,f (x )取得最大值为1；当2x ＋π6＝4π3,即x ＝7π12时,f (x )取得最小值为－32.【变式题】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x . (1) 求f (x )的最大值,并写出当f (x )取得最大值时,x 的集合；(2) 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝335,求f (2a )的值． 解析:(1) f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3, 所以f (x )max ＝ 3. 此时,x ＋π3＝2k π＋π2,k ∈Z,即x ＝2k π＋π6,k ∈Z.故当f (x )取得最大值3时,x 的集合为{x |x ＝2k π＋π6,k ∈Z}．(2) 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin(α＋π2)＝335, 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35, 所以cos α＝35,sin α＝45,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 所以f (2α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2α＋32cos2α ＝3[12×2sin αcos α＋32×(2cos 2α－1)] ＝3×[12×2×45×35＋32×(2×925－1)]＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1225－7350＝243－2150. 考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式例3 (1) 已知x ∈(0,π),求函数y ＝sin x ＋2sin x 的最小值；(2) 已知θ∈(0,π),求函数y ＝3sin θ1＋3sin 2θ的最大值； (3) 求函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值与最小值．解析:(1) 设sin x ＝t(0<t ≤1),则原函数可化为y ＝t ＋2t ,在(0,1]上为减函数, 故当t ＝1时,y min ＝3.(2) 因为θ∈(0,π),所以sin θ∈(0,1],y ＝31sin θ＋3sin θ≤323＝12,当且仅当sin θ＝33时等号成立,故y max ＝12.(3) 原函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x)＋4,令sin x ＋cos x ＝t(|t|≤2),则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝t 2－12－2t ＋4＝12(t －2)2＋32.因为对称轴为直线t ＝2∉[－2,2],且函数在区间[－2,2]上是减函数,所以当t ＝2,即x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时,y min ＝92－22；当t ＝－2,即x ＝2k π－3π4(k ∈Z)时,y max ＝92＋2 2.【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性,并直接利用基本不等式去求解．(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式,然后回到(1)的步骤去解决．y ＝sin x ＋a sin x 型三角函数求最值,当sin x >0,a >1时,不能用均值不等式求最值,适宜用函数在区间内的单调性求解．(3) 含有“正、余弦三姐妹”,即含有sin x ±cos x ,sin x cos x 的函数的最值问题,常用的方法是令sin x ±cos x ＝t ,|t |≤2,将sin x cos x 转化为关于t 的函数关系式,从而转化为二次函数的最值问题,在转化过程中尤其要注意新变量t 的范围的确定．【变式题】(1) 求函数y ＝2－sin x sin x ＋2的最小值； (2) 若0<x <π2,求函数y ＝(1＋1cos x )(1＋1sin x )的最小值．解析:(1) y ＝4－2－sin x sin x ＋2＝4sin x ＋2－1≥13, 所以最小值为13.(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin x ＝1＋sin x ＋cos x ＋1sin x cos x ,令t ＝sin x ＋cos x ,t ∈(1,2],则sin x cos x ＝t 2－12,所以y ＝1＋t ＋1t 2－12＝t 2＋2t ＋1t 2－1＝t ＋1t －1＝1＋2t －1, 由1<t ≤2,得y ≥3＋22,所以函数的最小值为3＋2 2.自测反馈1. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值是__－1__．解析:因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ,所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.因为x ∈R,所以y min ＝－1. 2. 函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272__． 解析:因为函数y ＝sin π3x 的周期为2ππ3＝6,函数y ＝sin π3x 在区间[0,b]上恰好取得2个最大值,则实数b 满足5T 4≤b<9T 4,解得152≤b<272.故实数b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，272. 3. 函数y ＝3cos x 2＋sin x的值域是__[－1,1]__． 解析:2y ＋y sin x ＝3cos x,y sin x －3cos x ＝－2y,得y 2＋3sin (x ＋φ)＝－2y,sin (x ＋φ)＝－2y y 2＋3,则|－2y y 2＋3|≤1,解得－1≤y ≤1. 4. 函数f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x·cos x 的值域是⎦2． 解析:令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,则t ∈[－2,2],t 2＝1＋2sin x cos x,则sin x cos x ＝t 2－12,则f(x)＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ＝t ＋t 2－12＝12(t 2＋2t －1)＝12(t ＋1)2－1.因为－2≤t ≤2,所以f(x)∈[－1,2＋12]．1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型:①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式,再求值域(最值)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数,可先设sin x ＝t,化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数,可先设t ＝sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).2. 你还有哪些体悟,写下来:。