高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
高中数学解题的典型方法与技巧
高中数学解题的典型方法与技巧1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。
3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。
换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。
5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。
10、代数式求值的方法有：①直接代入法②化简代入法③适当变形法(和积代入法)。
注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用和积代入法求值。
11、方程中除未知数以外，含有的其他字母叫做参数，这种方程叫做含参方程。
解含参方程一般要用“分类讨论法”，其原则是：①按照类型求解②根据需要讨论③分类写出结论。
17、一元二次不等式的解法：一元二次不等式可以用因式分解法求解。
简便的实用解法是根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。
具体步骤如下：二次系数化为正→判别且求根→画出示意图→解集横轴中18、一元二次方程根的讨论：一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。
一般思路：题意→二次函数图像→不等式组(a的符号、△的情况、对称轴的位置、区间端点函数值的符号)。
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法03700(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求函数值域题型和方法一、函数值域基本知识1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.， 3.反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。
高一函数求最值总结知识点
高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。
下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。
对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。
二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。
当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。
2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。
这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。
3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。
求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。
这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。
三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。
例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。
解：首先，我们可以通过顶点法来求解。
根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。
所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。
例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。
解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。
根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。
例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的7种方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。
最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的函数最值问题，均可使用配方法。
例1、已知]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，求函数)()]([22x f x f y +=最值。
解：由]3,1[,log 2)(3∈+=x x f x，得222222log2)log 2()()]([x x x f x f y +++=+=3)3(log 6log 6)(log 23323-+=++=xx x 。
又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数)()]([22x f x f y +=定义域为{31312≤≤≤≤x x ，解得31≤≤x ，所以]21,0[log 3∈x。
由二次函数单调性得，4376≤≤y ，所求函数最大值为374，最小值为6。
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。
二、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式0≥∆，当x 的范围是R 时,仅考虑即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图形另解不等式。
特别的，形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=22,(a a 不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例2、求下列函数最值（1）432+=x x y ；（2）3274222++-+=x x x x y 。
解；（1）由432+=x x y ，得0432=+-y x yx 。
当y=0时,x=0;当0≠y 时,由0≥∆得4343≤≤-y ,故原函数最小值为34-，最大值为34。
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
求函数最值的10种方法
求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。
首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。
2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。
首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。
3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。
通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。
4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。
5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。
根据极值类型确定最值点。
6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。
平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。
7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。
8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。
9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。
这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。
10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。
以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。
3.求函数最值问题常用的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内 的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否 则相反．
八、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方 法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知 的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
【例8】 已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则 的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0， 解析 由题意，得
x＋3≥0，
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x
解：由 y
x2 2x 1 2
x
1
2 在[1,) 上是增函数，得 f(x)在[1,) 上最小
x
2x
值为 f (1) 7 。 2
例 8、求函数 y x 2x 1 的最小值
3
解 ： 设 y1 x, y2 1 2x ， y1, y2 均 为 减 函 数 ， 所 以 y 也 是 减 函 数 。 又
x4 x4
x x3 1 2x2
x4
1 1
x2 x2
2
x 1 x2
，令
x=tan
2
，则
f(x)=f(θ)= cos2 1 sin 2
sin2
1 2
sin
1
sin
1 4
2
17 16
，
2
1
∴当 sinθ=
时,
2
2 44
5
所以，所求函数最小值为 。
4
注：（1）换元前后的等价性。题中 t 1 2xt 0 ，而不是看解析式有意义的 t 取
值范围；
（2）换元后可操作性。
例4 、
求函数
y
1
x 2x2 x3 1 2x2 x4
x4
的最大值和最小值。
解:
y
1 1
2x2 2x2
解: 作 x2+y2-2x+4y-20=0 的图形 ,它是圆心在 P(1,-2)半径为 5 的圆,依题意有 x2+y2
=2x-4y+20,设 x2+y2=z,则 z=2x-4y+20 即 y 1 20 z ,其图形是斜率为 1 且与已知圆相
24
2
交的一簇平行线,于是求 z 的最值问题就是求这簇平行线中在 y 轴的截距最大或最小问题。
a1x2 b1x c1 a2 x2 b2 x c2
(a2 , a2 不同
是为 0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例 2、 求下列函数最值
（1）
y
3x x2 4
；（2）
y
2x2 4x 7 x2
3x x2 4
，得
yx2 3x 4 y 0 。
方程。
xR , 即 上 述 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 有 实 根 ， 所 以 [2( y 2)]2 4( y 2)(3y 7) 0 ，
解得 9 y 2 。又 y 2 ，函数最小值为 9 。
2
2
评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的范围后， 应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。
4
4
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的 相对位置关系。
二、判别式法
主要适用于可化为关于 x 的二次方程的函数, 把函数转化成关于 x 的一元二次方程，
通过方程 F(x,y)=0 有实根，判别式 0 ，当 x 的范围是 R 时,仅考虑 即可,当 X 的范
围非 R 时,还需要结合图形另解不等式。特别的，形如 y
三、 换元法
主要有三角换元和代数换元换两种。用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。
特别的，形如 y ax b cx d (a, b, c, d 均为常数，且 a 0 ）的函数常用此法求解。
例 3、 求函数 y 2x 2x 1 最小值。
解：令 t 1 2x (t 0) ，则 x 1 t 2 ，则 y t 2 t 1 (t 1 )2 5 5 ，
x 1
=1。
七、导数法
设函数 f(x)在[a,b]上连续在(a,b)上可导,则 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应 为 f(x)在(a,b)内的各极值与 f(a),f(b)中的最大值和最小值。
例 9、
动点 P(x,y)是抛物线 y=x2 -2x-1 上的点,O 为原点, 当 x=2 时， OP2 取
x 时，函数单调减区间 (0, k ] ，单调增区间为[ k ,) ，因其函数图象形如“√”，故称为
对号函数，其分界点为 ( k ,2 k ) 。对于 x<0 情况，可依据函数奇偶性解决；（3）复合
函数的最值，常用此法求解。
x2 2x 1
例 6、求函数 y
2 , x [1,) 的最小值。
当 y=0 时, x=0; 当 y 0 时,由 0 得 3 y 3 , 故原函数最小值为 3 ，最大
4
4
4
1
值为 3 。 4 （2）将已知函数式变形为 yx 2 2 yx 3y 2x 2 4x 7 ,
即 ( y 2)x 2 2( y 2)x 3y 7 0 ，显然 y 2 ，将上式视做关于 x 的一元二次
x2+y2 最小值为 z1 30 10 5 ，最大值为 z2 30 10 5 。
五、函数的单调性法
（1）关于自变量 x 的一次根式，如 y ax b dx c ，用换元法求解,当 ad>0 时， 也可利用单调性求最值；；（2）形如 y x k (k 0) 的函数常考虑利用单调性，当 x>0
得极小值,求 OP2 的最小值。
解: OP2 =x2+y2=x2+( x2-2x-1)2=x4 -4x3+3x2+4x+1，令 f(x)= x4 -4x3 +3x2 +4x+1,
则 f (x) =4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x- 1
3 1
)(x-
3
,
2
2
令 f (x) =0,得
2
4
f(2)=5,故 f(x)的最小值，即 OP2 的最小值为 11 6 3 。 4
5
y x
2x
1
定义域为1 2x
0 ，即
x
1 2
。当
x
1 2
时， ymin
1 2
，故原函
数最小值为 1 。 2
例
7、求函数
y
1
x2 x 9
4
的最小值。
3
解：设 u x2 x 9 ，则 y 1 u 。由 u x 2 x 9 (x 1 )2 2 ，知 当
1
x=2,
3 1
,
3
2
2
4
x
,
1 2
3
1 3 2
1 2
3
,1 2
3
1 3 2
1 2
3
, 2
2
(2,
)
f(x -
)
f(x)
0
+
极小 值
0 极大值
-
0
+
极
小
值
因定义域为 R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f( 1 3 )= 11 6 3 ，
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的 7 种方法
最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛 的应用。最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：
一、配方法 配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如
F (x) a[ f 2 (x) bf (x) c]的函数最值问题，均可使用配方法。
4
3
4
2
x
1
时，u
为减函数；当
x
1
时,u
为增函数，而
y
1
u
为减函数，故
y
1
x2 x 9
4
2
2
3
3
在 x 1 时为增函数，在 x 1 时为减函数，所以 x 1 时，原函数最小值为
2
2
2
y min
1 2 3
9。
六、不等式法 运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正、二定、三相等”．
f
(x)
17
最大值为
，当 sin=-1
时,
f (x) 最小值为 1 。
4
16
2
四、数形结合法
主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。 例 5、 已 知 x2+y2-2x+4y-20=0 求 x2+y2 的最值。
分析:本题已知条件转化为(x-1)2+(y+2)2=25 ,可用三角代换转化为三角函数最值问 题处理,也可借助几何图形数形结合处理。
例
1、 已知
f
(x)
2
log
x 3
,
x
[1,3]
，求函数
y
[
f
( x)]2
f
(x 2 ) 最值。
解
：
由
f (x) 2 log3x , x [1,3]
，
得
y
[ f (x)]2
f
(x2 )
(2
log
x 2
)
2
2
log
x 2
2
(log
x 3
)
2